Hướng dẫn học sinh khai thác và tìm cách giải một số bài toán quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng trong hình học phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC VÀ TÌM CÁCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA BA ĐIỂM VÀ Đ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC VÀ TÌM CÁCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA BA ĐIỂM

VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Người thực hiện: Phan Anh Thắng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: 12

3.1 Kết luận: 12

3.2 Kiến nghị: 12

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Error: Reference source not found4

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Nhân loại đang bước vào thế kỷ XXI, thế kỷ tri thức, kỹ năng của

con ngừời được xem là yếu tố quyết định sự phát triển của xã hội Trong xã hội tương lai, nền giáo dục phải đào tạo ra những con người có trí tuệ phát triển thông minh và sáng tạo Muốn có được điều này, ngay từ bây giờ các trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho HS hệ thống kiến thức cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn Việt Nam và phát triển năng lực tư duy sáng tạo

Trong quá trình giảng dạy với việc ứng dụng nhiều phương pháp vào dạy học tôi nhận thấy phương pháp “phát hiện và giải quyết vấn đề” có nhiều

ưu điểm và rất phù hợp với công tác giảng dạy môn Toán ở THPT.Tuy nhiên

để thành công trong phương pháp “phát hiện và giải quyết vấn đề”ngoài năng lực chuyên môn,nghiệp vụ sư phạm còn đòi hỏi người Thầy phải đầu tư nhiều thời gian và thực sự tâm huyết với nghề Để có một bài giảng hay,thu hút học sinh giúp học trò phát triển tư duy và niềm say mê Toán học, tôi cũng như bao giáo viên yêu nghề và yêu Toán khác luôn trăn trở với những khó khăn của học trò khi tiếp cận bài toán

Trong chương trình Toán THPT, bài toán hình học giải tích phẳng luôn gây ra nhiều khó khăn cho các đối tượng học sinh đặc biệt là học sinh có năng lực trung bình Trong số các bài toán hình học giải tích có một lớp các bài toán thường có tính chất “hình học phẳng thuần túy” gây nhiều khó khăn

cho học sinh khi tiếp cận Vì vậy tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh khai

thác và tìm cách giải một số bài toán quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng trong hình học phẳng”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trong quá trình giảng dạy nếu phát huy hợp lý phương pháp “phát hiện

và giải quyết vấn đề” sẽ đem lại hiệu quả rất tích cực trong giải quyết một lớp các bài giải tích phẳng

Tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi tiếp cận bài toán hình học phẳng

Phát triển tư duy khái quát hóa,tương tự hóa,trừu tượng hóa… phát triển kỹ năng giải toán và tư duy sáng tạo cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Do điều kiện và thời gian có hạn nên trong phạm vi đề tài này tôi chỉ đi vào nghiên cứu một số bài toán quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng trong hình học phẳng

1.4 Phương pháp nghiên cứu

a Nghiên cứu lý thuyết.

Để hoàn thành đề tài này tôi đã đọc và nghiên cứu các tài liệu có liên quan sau:

- Các tài liệu về việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, lấy học sinh làm trung tâm

-Tìm kiếm tài liệu tham khảo liên quan hình học giải tích phẳng,phương pháp dạy học môn Toán

b Nghiên cứu thực tế.

- Tìm hiểu thực trạng về tổ chức hoạt động dạy học của giáo viên ở các trường THPT bằng cách dự giờ thăm lớp, trao đổi với giáo viên cùng tổ chuyên môn trong trường và các trường trong cụm

- Tổ chức trò chuyện với học sinh để nắm được nhu cầu, sở thích của các em

c Thực nghiệm sư phạm.

Tôi đã tiến hành dạy thực nghiệm một số lớp 11A1, 11A3 trong chương trình Hình học 11

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến

Trong quá trình dạy học bản thân tôi nhận thấy, khi chưa áp dụng các nghiên cứu trong đề tài vào giảng dạy thì đa phần các em học sinh rất lúng túng, không có hứng thú trong quá trình tiếp cận và giải quyết bài toán hình

học mang tính chất “hình học thuần túy” phần lớn các em đều chờ các gợi ý,

kiến thức mà giáo viên cung cấp

Khảo sát cho thấy ở các lớp giảng dạy, đa phần học sinh không làm được,không có hứng thú với bài toán.Thậm chí với học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường cũng lúng túng khi tiếp cận những bài toán được xây dựng dựa trên các bài toán có tính chất “hình phẳng thuần túy” vì kiến thức hình học phẳng nắm không vững ở THCS

Việc “Hướng dẫn học sinh khai thác và tìm cách giải một số bài

toán quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng trong hình học phẳng” giúp học sinh tiếp cận bài toán quan hệ vuông góc một cách tự nhiên,

chủ động để giải quyết vấn đề và thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện

kỹ năng giúp nâng cao chất lượng học tập

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

a.Thuận lợi

* Về phía giáo viên :

- Có sức khỏe, có kiến thức và tâm huyết với nghề

- Được giảng dạy đúng chuyên môn đã học nên phát huy được hết những kiến thức, phương pháp được đào tạo

- Trực tiếp giảng dạy môn Toán một số lớp khối 11 trường THPT Đông Sơn 2 nên thực hiện được việc khảo sát và thống kê được ưu điểm của việc áp dụng đề tài trong kết quả học tập của các em

- Được tham gia dạy học và dự giờ tại trường nên có thể học hỏi và trao đổi kinh nghiệm dạy học với đồng nghiệp cùng môn từ đó phát huy được ưu điểm và khắc phục được nhược điểm của bản thân

- Nhà trường chỉ học một buổi nên có thể ôn tập, phụ đạo thêm cho học sinh vào các buổi chiều nhằm phát huy vai trò trung tâm của học sinh trong quá trình dạy học

*Về phía học sinh:

- Được trang bị đủ sách giáo khoa

- Đa số các em đều ngoan, có ý thức thực hiện tốt nội quy trường lớp

- Một số gia đình thực sự quan tâm đến việc học tập của các em nên tạo mọi điều kiện để các em được học tập và nâng cao kiến thức

b Khó khăn

* Về phía giáo viên:

-Thư viện nhà trường chưa có nhiều tài liệu tham khảo đầy đủ dẫn đến việc sưu tầm tài liệu để phục vụ cho việc giảng dạy còn hạn chế

*Về phía học sinh:

- Đa số học sinh còn ham chơi, chưa tự giác trong học tập, một số ít

còn nghỉ học vô lí do, không làm bài tập ở nhà và không đọc bài mới trước khi đến lớp

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Bài toán cơ bản được sử dụng trong đề tài: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng ( d ): ax+by+c=0 và hai điểm A( xA;yA);B(xB;yB) không nằm trên (d).Tìm điểm M trên (d) để AM vuông góc với AB

Cách giải:

-Lập đường thẳng (d’) qua A vuông góc với (d)

-Khi đó M là giao điểm của (d) và (d’)

Giải pháp thực hiện:

Hiện nay các bài toán hình giải tích phẳng thường chia thành hai mảng

là mảng “đại số “ được xây dựng trên cơ sở tham số hóa và mảng” hình học”

được xây dựng trên cơ sở dựa vào các bài toán hình học thuần túy.Trong đề tài này,tôi sẽ trình bày ý tưởng giải quyết một dạng toán hình học giải tích

phẳng trong mảng “ hình học ” thông qua một số bài toán.

Xuất phát từ mối quan hệ vuông góc của “ ba điểm” để gỡ “nút thắt

đầu tiên ” và “ mấu chốt ” để tìm ra các yếu tố còn lại của bài toán.Từ đó

giúp học sinh hình thành kỹ năng giải toán ,phát triển tư duy,tạo hứng thú cho học sinh khi giải các bài toán hình học giải tích phẳng.Đồng thời,tôi cũng đề xuất các giải pháp xử lý các mối quan hệ đó cũng như xây dựng bài toán tổng quát ,nêu ra các cách nhìn nhận khác nhau xung quanh mối quan hệ vuông góc đó

Sau đây là một số bài toán được phân tích, suy luận, giải quyết từ mối quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng được trình bày thông qua các bài toán sau:

Bài toán 1( Trích từ đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2014-2015)

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD Điểm ( ;3)9

2

M là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của ADH là :

4x y  4 0  Viết phương trình đường thẳng BC

Bước 1:Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

-Gọi K là trung điểm của DH.Khi đó bài toán xoay quanh ba điểm

A,H,K.Bằng trực quan ta giả sử AH DK

M

d

-Để kiểm tra giả thuyết trên ta có thể kiểm tra với hình chữ nhật có

A(0;0) ,B(2;0),C(2;1) và D(0;1)

-Khi ta sẽ tìm được K và các yếu tố còn lại

Bước 2.Tìm giải pháp

Cách 1:Chứng minh theo hình học thuần túy

Gọi P là trung điểm của AH

Tứ giác BMKP là hình bình hành vì PK // BM và

PK=BM Vì PK  AB và AH  KB nên P là trực

tâm của tam giác ABK nên BP AK suy ra

MK AK

Cách 2.Chứng minh theo phương pháp tọa độ

Chọn hệ tọa độ Oxy với D O

Khi đó D(0;0),A(0;a),C(c;0),B(c;a)

Phương trình đường thẳng BD là

ax-cy=0;đường thẳng AH có phương trình là

cx+ay-a2=0.Tọa độ H là nghiệm của hệ phương

trình 













0 0

2

a ay

cx

cy

ax

















2 2 3 2 2 2

c a a y

c a ca x

Suy ra H( 2 2 2; 2 3 2

c a

a c a

ca



) (

3 2

2

2

c a

a c

a

ca



) (

2 3

2 2

2

c a

ac a

c a

ca







M (c;a2) nên MK =( ;2( )

) (

2

2

2 2

2 2

2

3 2

c a

ac c

a

c ca











).Suy ra AK.MK =0 hay MK  AK

Bước 3:Trình bày giải pháp

-Ta chứng minh MK AK (sử dụng một trong hai cách trên)

-Đường thẳng KM đi qua ; 3 )

2

9 (

M và vuông góc với AK: 4x y  4 0

nên MK có phương trình: 4 15 0

2

x y 

DoK AKMK Toạ độ K là nghiệm của hệ















2 15 4

4

4

y

x

y

x











2 2 1

y

x nên ; 2)

2

1 (

Do K là trung điểm của HD mà H(1; 2) nên D(0; 2)  phương trình của BD:

y – 2 = 0.AH đi qua H(1; 2) và vuông góc với BD nên AH có PT:

x - 1 = 0 và AAKAHA(1; 0)

Đường thẳng BC qua ; 3 )

2

9 (

M và song song với AD nên BC có PT là:

2x + y – 12 = 0

Bước 4:Nghiên cứu sâu giải pháp

- Ta nhận thấy bài toán trên thực chất là xoay quanh bài toán hình phẳng

sau “Cho hình chữ nhật ABCD .H là hình chiếu vuông góc của A trên

BD.Các điểm M,K lần lượt là trung điểm của BC,DH.Chứng minh MKAK”

A

y

H

K

B

C D

M

x

H

K

M

P

-Nếu cho ABCD là hình vuông thì ta sẽ được bài toán hình phẳng sau ”Cho

hình vuông ABCD.Gọi M là trung điểm BC,trên đoạn BD lấy điểm N sao

cho DN DB

4

1

 .Chứng minh AN MN”

-Đây là một trường hợp riêng của bài toán trên : Trong mặt phẳng với hệ tọa

độ Oxy , cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm BC, trên đoạn BD lấy

điểm N sao cho DN DB

4

1

 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết M(3;1),N( ;23

2

3

) và điểm D nằm trên đường thẳng :x-y+1=0

Bài toán 2 (Trích từ đề thi HSG tỉnh thanh hóa năm 2013-2014)

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD với

M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và BC Gọi H là chân đường cao

kẻ từ B xuống CM Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết

5

( 1; ), ( 1;0)

2

N   H  và điểm D nằm trên đường thẳng( ) :d x y  4 0 

Bước 1:Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

-Bài toán xoay quanh 3 điểm D,H,N Dựa vào

hình vẽ ta đưa ra nhận định HDHN

-Ta có thể kiểm tra nhận định trên với hình vuông

ABCD có A(0;2),D(0;0) ,C(2;0) và B(2;2)

Bước 2.Tìm giải pháp

Cách 1.Theo phương pháp hình học thuần túy

Trong tam giác vuông BCH ta có : HN=NC (1)

Mặt khác: BH MC (*) mà

NDC+MCD = MCD + MCD = 900

nên DIC =900  DN  MC (**)

Từ (*) và (**) suy ra BH // DN ( 2)

Từ (1) và (2) suy ra H và C đối xứng qua DN

 DHN=DCN=900

 DH  HN

Cách 2:Theo phương pháp tọa độ

Gắn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ với OD

Khi đó D(0;0),C(a;0),B(a;a),A(0;a),

M(a2 ;a),N(a;2a ).Đường thẳng CM có phương

trình 2x+y-2a=0.Đường thẳng BH CM và BH

qua B nên có phương trình x-2y +a=0

B

N

H

I

B

N

H

x

y

Tọa độ H là nghiệm của hệ phương

trình 















0 2

0 2 2

a y x

a y x













5 4 5 3

a y

a x

5

4

; 5

3a a

HD=( )

5

4

; 5

3a a

10

3

; 5

2a  a

 HD.HN =0 hay DH  HN

Bước 3:Trình bày giải pháp

-Ta chứng minh DH  HN (Bằng một trong hai cách trên)

Đường thẳng DH có phương trình là y=0 Mà D=DHd nên D(4;0)

Vì H và C đối xứng qua DN tìm đượcC (1; 4).Từ đó tìm được : (0;3), ( 3; 1)

Bước 4 :Nghiên cứu sâu giải pháp

Thực chất bài toán trên xuất phát từ bài toán hình phẳng sau “ Trong

mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M, N lần lượt

là trung điểm của đoạn AB và BC Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống

CM Chứng minh HD HN”

Từ bài toán 2 ,ta cắt bỏ đi tam giác MBC thì được hình thang AMCD vuông tại A và D , CD = 2AB Kết hợp với bài toán 1 ta được bài toán sau:

Bài toán 3: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D ,CD = 2AB Gọi H là

hình chiếu vuông góc của D trên AC , M là trung điểm của HC Cho B( 3;8) , M( ;1338

13

57

) và điểm D nằm trên đường thẳng (d) : 3x-y-1 = 0

Bước 1:Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

-Bài toán xoay quanh 3 điểm B,M,D Bằng trực

quan ta đưa ra nhận định MD MB

-Nếu nhận định trên là đúng thì từ đó ta sẽ tìm

được điểm D và tìm được hai điểm còn lại của

hình thang

Bước 2.Tìm giải pháp

Cách 1.Theo phương pháp hình học thuần túy

Gọi N là trung điểm DH ,khi đó ABMN là hình

bình hành.Trong ADM có DHAC , MN AD

nên N là trực tâm của ADM suy ra ANDM mà AN// BM nên BM  DM

Cách 2:Theo phương pháp tọa độ

Gắn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ với DO

Khi đó D(0;0) , C(2c;0) , A(0;a) , B(c;a)

Đường thẳng AC có phương trình: ax +2cy -2ac=0

Đường thẳng DH AC và DH qua D nên có

7

A B

H

M

N

H

M

y

x

phương trình: 2cx-ay=0.

Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:















0 2

0 2

2

ay

cx

ac cy

ax

















2 2

2 2 2

2

4 4 4 2

c a

ac y

c a

c a x

Suy ra H ( 2 2 2 2 2 2

4

4

; 4

2

c a

ac c

a

c a



M là trung điểm HC nên M ( 22 23 2 2 2

4

2

; 4

4 2

c a

ac c

a

c c a







DM ( 22 23 2 2 2

4

2

; 4

4 2

c a

ac c

a

c c

a





4

2

;

ac a

c a

c a







Khi đó DM BM = 0 hay BM  DM

Bước 3:Trình bày giải pháp

-Ta chứng minh BM  DM (Bằng một trong hai cách trên)

Khi đó đường thẳng MD có phương trình 3x-11y + 19 =0.Tọa độ D là

nghiệm của hệ: 















0 1 3

0 19 11

3

y x

y x











2 1

y x

nên D (1;2).Gọi I là giao điểm của BD và AC,

ta có  IAB IDC

nên ta có   21

CD

AB ID

IB IA

IA

Gọi I (m;n) thì BD 3BI suy ra I ( ; 6

3

7 )

Đường thẳng AC qua I , M nên có

phương trình 3x + 2y - 19 = 0

Mà A nằm trên đường tròn đường

kính BD có phương trình (x-2)2 + (y-5)2 =10.Tọa độ

A là nghiệm của hệ 

















10 ) 5 ( ) 2 (

0 19 2 3

2

2 y x

y x



















 



) ( 13 13 8

loai y

x x

 A(1;8)

Vì CD 2BA nên C ( 5;2) Vậy A(1;8),C(5;2),D(1;2)

Bước 4 :Nghiên cứu sâu giải pháp

Bài toán trên được xây dựng dựa trên bài toán hình phẳng sau :” Cho hình

thang ABCD vuông tại A và D ,CD = 2AB Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC , M là trung điểm của HC.Chứng minh BM  DM”

Dựa vào công cụ vectơ và bài toán hình phẳng trên khi thay đổi các dữ kiện một cách hợp lý , ta có thể đưa ra nhiều bài toán khác cho hình thanh vuông

Từ lời giải ở bài toán 3 , ta thấy có một điểm rất đặc biệt là “ID = 2IB ”

Như vậy nếu ta tiếp tục cắt bớt tam giác ABD trong hình thanh ABCD ,ta

được bài toán sau: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC cân

tại A (4;4),trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IB = 2IA.Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên IC ,M là trung điểm của HC.Tìm tọa độ B,C của tam giác ABC biết B thuộc đường thăng (d) :2x-y-2=0 và B có hoành độ không nhỏ hơn 2 Bài toán này học sinh hoàn toàn tự giải được khi đã được tiếp thu

tri thức từ bài toán 3.

Bài toán 4 (Trích đề thi đại học khối A năm 2013)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD với điểm C

thuộc đường thẳng d:2x+y+5=0 và điểm A(-4;8).Gọi M là điểm đối xứng của

8

A B

H

M

N

I

N