Hướng dẫn học sinh khắc phục những sai lầm khi giải toán về cực trị của hàm số trong chương trình giải tích 12

Để khắc phục những điểm yếu trên, tôi cốgắng đưa ra một số bài toán, từ đó chỉ ra những sai lầm thường gặp của các dạngbài toán này, giúp các em học sinh trung bình và yếu tích lũy dần k

MỤC LỤC

1 Mở đầu……… 1

1.1 Lí do chọn đề tài……….1

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….1

1.4 Phương pháp nghiên cứu………1

2 Nội dung……… 3

2.1 Cơ sở lí luận……….… 3

2.2 Thực trạng của đề tài……… ….4

2.3 Biện pháp thực hiện……… ……… … 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……… … 14

3 Kết luận……….……… …….17

Tài liệu tham khảo………18

Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đạt giải………19

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình giải tích 12, cực trị của hàm số là một trong những vấn

đề quan trọng, có nhiều ứng dụng và thường xuất hiện trong đề thi trung học phổthông (THPT) quốc gia

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn

và mắc phải những sai lầm khi giải các bài toán liên quan đến cực trị Các emthường mắc những sai lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếukhông có sự hướng dẫn của người thầy

Trong sách giáo khoa (SGK) chương trình chuẩn thời lượng để giáo viêncung cấp kiến thức về bài toán cực trị của hàm số hơi ít Mặt khác có nhiều họcsinh còn có tư tưởng xem nhẹ và không thích giải các loại bài toán này Qua thực

tế giảng dạy, dự giờ đồng nghiệp, chấm bài kiểm tra của học sinh, còn nhiều họcsinh làm chưa tốt nội dung này Nguyên nhân cơ bản là các em không nắm đượcbản chất của vấn đề, chưa có kinh nghiệm trong việc giải các bài toán tìm tham sốthỏa mãn điều kiện bài toán cho trước Để khắc phục những điểm yếu trên, tôi cốgắng đưa ra một số bài toán, từ đó chỉ ra những sai lầm thường gặp của các dạngbài toán này, giúp các em học sinh trung bình và yếu tích lũy dần kinh nghiệm khigiải Ngoài ra đối với các em học sinh khá, giỏi có thêm tài liệu tham khảo vềcác dạng bài toán nằm ngoài sách giáo khoa, từ đó giúp các em xử lí tốt hơn khitiếp cận với các đề thi THPT quốc gia

Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về cực trị của hàm số và giải

được tốt các bài tập về cực trị, tôi chọn đề tài "Hướng dẫn học sinh khắc phục những sai lầm khi giải toán về cực trị của hàm số trong chương trình Giải tích 12".

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thiết kế, xây dựng giáo án về các ví dụ cụ thể giúp học sinh khắc phục nhữngsai lầm khi giải toán về cực trị của hàm số trong chương trình Giải tích 12 nhằmphát huy tính tích cực khơi dậy hứng thú học tập của học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Một số ví dụ minh họa giúp học sinh khắc phục những sai lầm khi giải toán

về cực trị của hàm số trong chương trình Giải tích 12

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

- Nghiên cứu tài liệu và các công trình nghiên cứu đổi mới phương pháp dạyhọc (PPDH) theo hướng tích cực hóa việc học của học sinh

- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Giải tích 12

1.4.2 Phương pháp chuyên gia

Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để làm cơ sở cho việcnghiên cứu đề tài

1.4.3 Phương pháp thực tập sư phạm

Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT 4 Thọ Xuân, tiến hành theo quy trìnhcủa đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu quả của đề tài nghiêncứu

1.4.4 Phương pháp thống kê toán học

Sử dụng phương pháp thống kê toán học để thống kê, xử lý, đánh giá kết quảthu được

2 Nội dung

2.1 Cơ sở lý luận

Nội dung cực trị của hàm số (chương I - Giải tích 12 - Cơ bản)

Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung vàphạm vi nghiên cứu của đề tài)

Các định lí về điều kiện đủ để hàm số có cực trị

 Định lí 1: Giả sử hàm số y f x  

liên tục trên khoảng K x0 h x; 0h

và cóđạo hàm trên K hoặc trên K x\ 0

2.2 Thực trạng của đề tài

Trong thực tế, khi học sinh học phần cực trị của hàm số - chương I “Ứngdụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khănsau:

- Không nắm vững định nghĩa và các khái niệm liên quan đế cực trị của hàmsố

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0

- Nhầm lẫn giữa cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

2.3 Biện pháp thực hiện

Để khắc phục những sai lầm mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đềtài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:

Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa

Sai lầm thứ nhất: Không phân biệt được các khái niệm liên quan đến cực trị

Ví dụ 1: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 3x2 là

A x  ; CT 1 B x  ; CT 1 C 1;0; D 1;4.

Trong ví dụ này học sinh dễ nhầm lẫn giữa phương án A và phương án C

Nếu hàm số f x  đạt cực tiểu tại x thì 0 x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số;0

 0

f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số, còn điểm M x f x 0;  0  được gọi làđiểm cực tiểu của đồ thị hàm số Bởi vậy phương án đúng phải là C

Ví dụ 2: Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x 3; B Hàm số đạt cực đại tại x  2;

C Hàm số đạt cực đại tại x 2; D Hàm số đạt cực đại tại x 4

Trong ví dụ này học sinh dễ nhầm lẫn giữa phương án A và phương án B

Nguyên nhân sai lầm: Không nắm vững được các khái niệm về cực trị

Cách khắc phục: Nắm vững các khái niệm sau:

Cho hàm số y f x 

nếu x là điểm cực trị của hàm số thì:0

Hàm số đạt cực trị tại x (0 x là điểm cực trị của hàm số).0

 (vô nghiệm) nên hàm số không có cực trị.

Tuy nhiên, lập bảng biến thiên của hàm số ta được

Do đó hàm số vẫn có cực trị (đạt cực tiểu tại x = 2)

Nguyên nhân sai lầm: Ngộ nhận kết quả: Hàm số đạt cực trị tại x thì 0 f x  '( ) 00

Cách khắc phục: Khi gặp các bài toán tìm cực trị mà phương trình f x  vô'  0nghiệm thì ta phải lập bảng biến thiên của hàm số

Sai lầm thứ ba: Hàm số không có đạo hàm tại x thì không đạt cực trị0

tại điểm đó.

Ví dụ 4: Tìm cực trị của hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số yf x  có bao nhiêu điểm cực trị?

Trong ví dụ này học sinh không nắm vững sẽ chọn phương án B tuy nhiên hàm số

vẫn đạt cực trị tại x = 0

Suy ra hàm số yf x  có ba nhiêu điểm cực trị

Nguyên nhân sai lầm: Ngộ nhận kết quả: Hàm số đạt cực trị tại x thì hàm số0

phải có đạo hàm tại điểm đó

Cách khắc phục: Khi gặp các bài toán tìm cực trị tại x mà hàm số không có đạo0

hàm tại x thì ta phải lập bảng biến thiên của hàm số.0

Bài tập tương tự

Bài 1: Cho hàm số yf x  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như

hình vẽ

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số chỉ có giá trị nhỏ nhất không có giá trị lớn nhất;

B Hàm số có một điểm cực trị;

C Hàm số có hai điểm cực trị;

D Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 3.

Bài 2: Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A Hàm số không đạt cực tiểu tại điểm x 2; B Hàm số đạt cực đại tại điểm

1;

x 

C Điểm cực đại của đồ thị hàm số là 1;2; D Giá trị cực đại của hàm số là y 2

Sai lầm thứ tư: Nếu x là nghiệm của phương trình 0 f x  thì kết'  0

luận x là điểm cực trị của hàm số0

Ví dụ 5: Hàm số f x  x3 có bao nhiêu điểm cực trị?1

A 0; B 1; C 2; D 3

Trong ví dụ này học sinh dễ sai lầm lựa chọn đáp án B do khi tính đạo hàm củahàm số đã cho f x'  3x2 có nghiệm là x 0 Tuy nhiên ở đây, tại x 0 lànghiệm kép, đạo hàm f x'  không đổi dấu khi đi qua x 0 nên hàm số không đạt

cực trị tại điểm này Phương án đúng là A

Học sinh quan sát bảng biến thiên sau để thấy rõ hơn

Ví dụ 6: Hàm số f x  x4  6x2 8x10 có bao nhiêu điểm cực trị?

Nguyên nhân sai lầm: Nhầm lẫn các loại điều kiện.

Khi mệnh đề: "A B" (nếu có A thì có B) đúng, học sinh có thể ngộ nhận về kết

Cách khắc phục:

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dấu của f x' sẽ không đổi khi xquax nếu 0 x là nghiệm bội chẵn của0

phương trình f x ' 0 0 nên x không phải là điểm cực trị của hàm số.0

Bài 3: Cho hàm số y f x   liên tục trên , có đạo hàm f x( )x x5 1 2 x2 Hỏi

hàm số y f x   có bao nhiêu điểm cực trị?

Sai lầm thứ năm: Nếu x là điểm cực đại của hàm số 0 yf x  thì

0

''( ) 0

f x  (tương tự cho cực tiểu)

Ví dụ 7: Cho hàm số yf x  x4 mx2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để hàm số đạt cực tiểu tại x 0?

A m 0; B m 0; C m 0; D m 0

Cách giải sai:

+) Ta có: f x  4x3 2mxvà f x  12x2 2m

+) Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x 0là:

Phân tích sai lầm:

Chẳng hạn, với m 0, hàm số có dạng yf x x4

Ta có: yf x  4x3 0 x0

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Vậy lời giải trên sai ở đâu ?

0 0

+) Nếu m 0 thì ta có bảng biến thiên

Khi đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

+) Nếu m 0 ta có bảng biến thiên

Khi đó hàm số đạt cực đại tại x = 0.

+) Vậy với m 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0. Phương án đúng là A.

Ví dụ 8: Cho hàm số yf x  mx4  1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0

Vậy lời giải trên sai ở đâu ?

0 0

+) Ta có: f x 4mx3

+) Nếu m 0 thì f x 0 Khi đó hàm số đã cho là hàm hằng yf x  1nênkhông cực trị

+) Nếu m 0 thì f x 4mx3  0 x0

 Với m 0 ta có bảng biến thiên:

Khi đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

 Với m 0 ta có bảng biến thiên:

+) Vậy với m 0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0. Phương án đúng là A

Nguyên nhân sai lầm: Khi sử dụng quy tắc 2 để xác định cực trị của hàm số các

em cũng quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần

Điều ngược lại nói chung là không đúng

Cách khắc phục: Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bài tập tương tự

Bài 1 Cho hàm số y = mx 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để hàm số đạt cực đại tại x 0?

A m 0; B m 0; C m 0; D m 0

Bài 2 Cho y = x 4 + mx 3 + 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m

A m 1; B m 1 hoặc m 3; C m 3; D Đáp án khác

Trong ví dụ này học sinh dễ nhầm lẫn giữa phương án B và phương án C

Đạo hàm của hàm số: y' x2 2m m 2  2x 3m21

.Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x 2 là y ' 2  0

13

Nguyên nhân sai lầm: Xét thiếu các trường hợp có thể hoặc không thể xảy ra của

bài toán

Cách khắc phục: Cần chú ý xét hết tất cả các trường hợp có thể hoặc không thể

xảy ra của bài toán

Sai lầm thứ bảy: Giá trị cực đại là giá trị lớn nhất và giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 11: Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số có giá trị lớn nhất là 3;

B Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0;

C Hàm số có giá trị lớn nhất là 3và có giá trị nhỏ nhất là 0;

D Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Trong ví dụ này học sinh dễ nhầm lẫn giữa phương án C và phương án D

Đây là sai lầm rất nghiêm trọng khi coi giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất và giá trịcực đại là giá trị lớn nhất của hàm số Điều này chỉ đúng khi hàm số chỉ có đúngmột cực trị là cực tiểu thì giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất hoặc hàm số chỉ cóđúng một cực trị là cực đại thì giá trị cực đại là giá trị lớn nhất của hàm số

Nguyên nhân sai lầm: Không nắm vững được các khái niệm về cực trị và giá trị

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Tôi đã chọn lớp 12A5 là lớp thực nghiệm dạy học theo phương pháp mới,

hướng dẫn học sinh khắc phục sai lầm khi giải toán về cực trị của hàm số còn lớp

12A6 là lớp đối chứng dạy theo phương pháp truyền thống Kết quả thực nghiệmsau khi cho hai lớp làm bài tập khảo sát như sau:

Các bài tập khảo sát:

Bài 1 Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là

A x CÐ  ; B 0 y CÐ  ;2 C 0;1; D 2;5.

Bài 2 Cho hàm số f x  có đạo hàm f x   x1 4 x 2 5 x33 Số điểm cực trị

của hàm số f x  là

A Hàm số yf x  có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu;

B Hàm số yf x  có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu;

C Hàm số yf x  có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu;

D Hàm số yf x  có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

21.95

21.9

5 19.54 17.07

ĐC 0.0 0.00 0.0 15.3 17.9 23.0 20.5 12.8 7.69 2.56

(%) 0 0 8 4 7 1 5

Bảng phân bố tần suất bài khảo sát

Từ bảng số liệu phân tích điểm số qua bài khảo sát cho thấy:

Lớp TN:

- Tỷ lệ HS đạt điểm khá, giỏi chiếm hơn 80,00%

- HS trung bình dưới 20,00%, không có yếu kém

Kết luận chung về thực nghiệm

Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của họcsinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạohàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan ; đề tài đã góp phầnnâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt Trong thờigian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhàtrường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quátrình thực nghiệm

3 Kết luận

Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinhnhư một tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các ứngdụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái nhìn sâu sắchơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán Đồng thời, qua những sai lầm

ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêngmình; người học có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang

bị để làm toán Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của chươngứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm là một công cụ rất "mạnh" đểgiải quyết rất nhiều bài toán; hơn nữa, những bài toán được giải bằng công cụ đạohàm thì lời giải cũng tỏ ra ngắn gọn hơn, đẹp hơn

Nói riêng, với học sinh thì những kiến thức về đạo hàm cũng là tương đốikhó, nhất là đối với những em có lực học trung bình trở xuống Các em thườngquen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định

lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học Đó là chưa kể sách giáo khoahiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng và thậm chí mangtính hàn lâm ; những nội dung này học sinh sẽ được tiếp cận thêm khi có cơ hộihọc sâu hơn (chủ yếu ở bậc Đại học)

Do giới hạn về thời gian cũng như các điều kiện khác nên tôi chưa thực hiệnthực nghiệm được trên quy mô lớn hơn Chính vì thế mà kết quả thực nghiệm chắcchắn chưa phải là tốt nhất

mình viết, không sao chép nội dung của

người khác

Trương Văn Hòa

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Bá Kim(2002), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học sư

phạm Hà Nội

2 Sách giáo khoa Giải tích 12 – cơ bản (NXB Giáo dục)

3 Thư viện: violet.vn › Toán

DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC

CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Trương Văn Hòa

Chức vụ và đơn vị công tác: Tổ phó chuyên môn trường THPT 4 Thọ Xuân

TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại

Kết quả đánh giá xếp loại

Năm học đánh giá xếp loại

1 Tạo hứng thú học tập môn Toán

cho học sinh thông qua giải bài

tập trong sách giáo khoa

Sở GD và ĐT Tỉnh Thanh Hóa

C 2008- 2009

2 Tạo hứng thú học tập môn Toán

cho học sinh thông qua giải bìa

tập trong sách giáo khoa Đại số

Sở GD và ĐT Tỉnh Thanh Hóa

C 2009- 2010

10 nâng cao.

3 Tạo hứng thú học tập môn Toán

cho học sinh thông qua giải bìa

tập trong sách giáo khoa

Sở GD và ĐT Tỉnh Thanh Hóa

C 2010-2011

4 Hướng dẫn học sinh sử dụng

đạo hàm vào giải một số dạng

bài tập về lượng giác trong tam

giác

Sở GD và ĐT Tỉnh Thanh Hóa

C 2014- 2015

6 Giúp học sinh lớp 10 giải

phương trình vô tỉ bằng phương

pháp đặt ẩn phụ

Sở GD và ĐT Tỉnh Thanh Hóa

C 2015- 2016