Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hình học không gian về khoảng cách và góc bằng phương pháp véc tơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC BẰNG PHƯƠNG PHÁ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ

Người thực hiện: Hà Thị Nguyệt Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực : Môn Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

MỤC LỤC

2.3.2.Các biện pháp tổ chức thực hiện

5 2.3.3 Nội dung thực hiện

2.3.3.1- Quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp véctơ

2.3.3.2- Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán về khoảng cách

và góc

*BÀI TOÁN 1 Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

*BÀI TOÁN 2 Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng

chéo nhau

5 5 6 6

10

Tài liệu tham khảo 19 Danh mục các đề tài SKKN đã được cấp Sở GD&ĐT đánh giá đạt từ

loại C trở lên

20

1- MỞ ĐẦU:

1.1.Lí do chọn đề tài:

-Trong chương trình toán THPT, “ Hình học không gian” là một bộ môn tương đối khó , bởi nó đòi hỏi phải vận dụng rất nhiều kiến thức tổng hợp cả trong mặt phẳng - không gian và cả kĩ năng tính toán Hơn nữa để có thể học tốt môn học này thì học sinh phải vẽ được hình Tuy nhiên đối với một số bài toán hình

học không gian, việc xác định được các yếu tố cần tính trên hình vẽ một cách

trực quan không phải lúc nào cũng dễ dàng đối với tất cả học sinh, Khoảng

cách - góc là một trong những bài toán như vậy

- Trong những năm gần đây, câu hình học không gian trong đề thi Đại học, cao

đẳng tuy không được đánh giá ở mức độ khó nhưng vẫn là thử thách đối với học sinh nên các em thường có tâm lí hơi sợ câu hỏi này, đặc biệt là một số em bị hổng kiến thức hình học ở lớp dưới Lí do vì các em này không có kỹ năng tốt trong việc vẽ hình để xác định khoảng cách cần tính

- Thông thường các bài toán về khoảng cách -góc giải bằng phương pháp hình học

thuần túy đều đòi hỏi học sinh phải vẽ thêm nhiều đường phụ trên hình để tìm

ra khoảng cách -góc cần tính Nhưng đây lại là điểm yếu của một bộ phận không nhỏ học sinh

-Phương pháp véctơ có thể giải một số bài toán về khoảng cách - góc mà

không cần vẽ thêm đường phụ nào, không phải xác định khoảng cách-g óc trên hình nên có thể giải quyết vấn đề này cho học sinh.

Vì vậy tôi đã chọn đề tài SKKN:"Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hình học không gian về khoảng cách và góc bằng phương pháp véctơ”.

1.2.Mục đích nghiên cứu:

-Giúp học sinh khắc phục được những hạn chế về khả năng vẽ hình, làm cho học sinh thấy hứng thú hơn với các bài tập hình học không gian ,không còn

"sợ hình" đặc biệt là các bài tâp về góc và khoảng cách

-Giúp học sinh giải được tốt hơn bài tập về khoảng cách - góc mà không cần

vẽ thêm đường phụ

-Cung cấp thêm cho học sinh khá giỏi một ứng dụng mới của phương pháp véctơ vì biết một vài phương pháp giải vẫn là chưa đủ Từ đó tạo hứng thú tìm tòi khám phá thêm các cách giải mới cho những học sinh có khả năng học tốt hơn nhằm phát triển tư duy cho các em

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài tập trung nghiên cứu hình thành cho học sinh cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; khoảng cách - góc giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng phương pháp véctơ và rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập

1.4.Phương pháp nghiên cứu:

-Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết kết hợp với thực tế học hỏi tìm tòi đúc rút kinh nghiêm và vận dụng giảng dạy ở nhiều năm

-Phương pháp điều tra khảo sát thực tế thu thập thông tin để đánh giá tình hình hiệu quả áp dụng cúa SKKN

2.NỘI DUNG SKKN:

2.1.Cơ sở lí luận

a- Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

ĐN :Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng(P) là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu vuông góc của điểm đó trên mặt phẳng(P).

Từ đó:

+Nếu M có hình chiếu vuông góc trên mp(ABC) là N thì 

















0 0

C N M B N M C N M B N M

















+Khoảng cách từ M đến mp(ABC) là M N

b-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

ĐN: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

+Nếu P1P2 là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 (P1 thuộc d1, P2 thuộc d2) thì





 1

2

1P u

P  

1 2

1P u

P =0





 2

2

1P u

P  

2 2

1P u

với 

1

u , 

2

u lần lượt là véctơ chỉ phương của d1 , d2

+ Khoảng cách giữa d1 , d2 l à 

2

1P P

Cos











2 1

2 1

.

u u

u u



<=>

2.2 Thực trạng của vấn đề:

-Trong những năm gần đây,bài toán khoảng cách -góc có mặt trong đề thi đại

học ,cao đẳng tương đối nhiều ,chẳng hạn đề khối B2007,D2008,A2010,A2011,THPTQG2015 ,HSG tỉnh Thanh hoá 2016 … -Thời lượng 2 tiết đối với bài "khoảng cách " được quy định trong phân phối chương trình là hơi hạn hẹp nên thực tế giảng dạy giáo viên cũng không có nhiều thời gian để rèn luyện cho học sinh giải bài tập về khoảng cách

-Học sinh thường có tâm lí "sợ hình",hình không gian lại càng sợ Thêm vào đó

do nhiều em bị hổng kiến thức hình từ cấp hai nên đối vơi các bài toán phải vẽ thêm đường phụ như khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng,khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là rất lúng túng và thường đầu hàng vô điều kiện Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy sau khi học về góc - khoảng cách ,trong một lớp chỉ có khoảng 10% số học sinh có thể giải được bài tập, 20% -> 25% giải được sau khi có hướng dẫn, gợi ý, còn lại đa số học sinh rất lúng túng, không xác định được phương hướng giải

-Phương pháp véctơ có thể tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phảng

mà không cần dựng được hình chiếu của điểm trên mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau mà không cần vẽ chính xác đoạn vuông góc chung, cũng không cần xác định thêm các khoảng cách trung gian khác như khoảng cách giưã đường thẳng và mặt phẳng song song hay giữa hai mặt phẳng song song…ngoài ra cũng tính luôn được góc giưã chúng mà không phải vẽ thêm đường phụ nào.

Do đó để giúp học sinh khắc phục được những hạn chế về khả năng vẽ hình, làm cho học sinh thấy hứng thú hơn với các bài tập hình học không gian

về góc và khoảng cách, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài :" Hướng dẫn học

sinh giải một số bài toánhình học không gian về khoảng cách và góc bằng

phương pháp véctơ”.

2.3 Nội dung SKKN và các giải pháp

2.3.1-Các giải pháp thực hiện:

Khi giảng dạy trên lớp, ngoài những phương pháp tính khoảng cách và góc bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp, tôi đã hướng dẫn cho học sinh phương pháp véctơ để phần nào giải quyết khó khăn về vấn đề xác định khoảng cách và góc cần tính bằng hình vẽ trực quan cho các em.Vì vậy tôi đưa ra giải pháp như sau:

*Yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức về véctơ đặc biệt là :

+ Công thức tính độ dài véctơ, góc giữa 2 véctơ

+ Biểu diễn một véctơ theo 3 véctơ không đồng phẳng

+ Các phép toán véctơ, đặc biệt là tích vô hướng.

*Tổ chức rèn luyện kỹ năng định hướng giải các bài toán liên quan đến khoảng cách -góc:

+Bài toán 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

+ Bài toán 1: Tính khoảng cách -góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.

2.3.2-Các biện pháp tổ chức thực hiện:

Nội dung SKKN được triển khai thông qua 3 tiết:

Tiết 1:Ôn tập về: +các kiến thức véctơ cần thiết

+quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp véctơ Tiết 2:+Tổ chức hình thành phương pháp giải bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và hướng dẫn học sinh làm VD minh họa

+ Tổ chức hình thành phương pháp giải bài toán tính khoảng cách-góc giữa hai đường thẳng chéo nhau và hướng dẫn học sinh làm VD minh họa

Tiết 3:+Rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập

+Nhận dạng bài toán tính khoảng cách-góc có thể giải được bằng phương pháp véc tơ (hình đa diện có các góc phẳng ở đỉnh nào đó đã xác định và biết độ dài các cạnh của các góc đó)

2.3.3-Nội dung thực hiện:

2.3.3.1- Quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp véctơ

Bước 1: Chọn hệ véctơ cơ sở, biểu diễn các giả thiết, kết luận của bài toán theo

ngôn ngữ véctơ

Bước 2: Thực hiện yêu cầu bài tập thông qua việc biểu diễn các véctơ cần xét

theo hệ véctơ cơ sở, biến đổi các hệ thức theo yêu cầu bài toán

Bước 3: Từ kết quả bằng véctơ suy ra kết quả hình học tương ứng.

Lưu ý:

+ Chọn hệ véctơ cơ sở: Là 3 véctơ không đồng phẳng (ưu tiên các véctơ chung gốc, vuông góc hoặc góc giữa chúng xác định,biết độ dài) Từ đó tính tích

vô hướng của các véctơ cơ sở dễ dàng

2.3.3.2- Hướng dẫn học sinh giải một số bài toánvề khoảng cáchvà góc

*BÀI TOÁN 1 Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Cho mp (ABC), điểm M không thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC)

Phương pháp giải:

+ Chọn hệ véctơ cơ sở: Là 3 véctơ không đồng phẳng (ưu tiên các véctơ chung gốc, vuông góc hoặc góc giữa chúng xác định,biết độ dài)

Chẳng hạn :Đặt             AB a AC b                             ,               

, A M c

Gọi N là hình chiếu của M lên (ABC).

Khi đó : M NA N A M k al b c Do MN  (ABC) nên 















0 ) (

0 ) (

b c b l a k

a c b l a k

















Khi tìm được k,l ta có khoảng cách từ M đến (ABC) là M N = (k al b c) 2 .

Ví dụ 1: (Đề chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Hải Dương năm học 2013 - 2014).

Cho khối chóp S ABC. có SA =2a, SB = 3a, SC = 4a, AS  B SAC   90 , 0

BSC  Gọi M, N lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a a,Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) theo a

b,Chứng minh tam giác AMN vuông

Hướng dẫn,phân tíchcâu a:

+Các góc phẳng ở đỉnh S đều biết và tính được, SA,SB,SC có độ dài cho trước nên nếu chọn hệ véctơ cơ sở là:   SA a SB b SC c                                        ,                              ,               

thì tích vô hướng và độ dài các véctơ này đều tính được dễ dàng

+Muốn giải bằng phương pháp véc tơ chúng ta cần phải biểu diễn các giả thiết, kết luận của bài toán theo ngôn ngữ véctơ:

Gọi H là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB)

Vì H là điểm thuộc mp(SAB) nên SH k SA lSB ka lb  

                                                                                         

Mặt khác H là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB) nên ta có:



















0

0

H

B

S

H

A

S

H

B

S

H

A

S

















Từ đó tính được k,l và suy ra độ dài CH

Bài giải:

Trong tam giác vuông SAC ta có:

2

SA

SC

Đặt SA a SB b SC c ,  , 

     

Ta có: a2  4 ,a b2 2  9 ,a c2 2  16a2

và a b   0, b c  6 , a a c2   4a2

a,Gọi H là hình chiếu của C trên mp (SAB) thì

SH k SA lSB ka lb  

     

và

1

2

3

k

SA CH

l

SB CH









 

 

3

CH a b c

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là CH  2a 2

S

B

A

C

N M

a 

c



b 

.

b, Ta có 2 , 1

SM  b SN  c

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

3

AM SM SA a b

,

1 2

AN SN SA a c

 

Vậy AM AN, tức là tam giác AMN vuông tại A

Ví dụ 2: (Đề tuyển sinh đại học khối D năm 2007).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang GócABCBAD  90 0, BA=BC=a, AD=2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

Hướng dẫn,phân tích:

Các góc phẳng ở A đều biết và bằng 90o,AB,AD, SA có độ dài cho trước nên nếu chọn hệ véctơ cơ sở là:              AB a AD b AS c                             ,                              ,               

thì tích vô hướng và độ dài các véctơ này đều tính được dễ dàng

Bài giải:

Đặt AB a AD b AS c ,  , 

     

Ta có: a b b c c a       0

2

SB a c SC a    b c SD b c  

         

Gọi K là hình chiếu của H trên mp (SCD)

( ;( ))

Dễ dàng tính được 2

3

SH

SB  Khi đó :

2 3

HKHS SK  SB k SC lSD 

k

         

Ta có:

0

1 2

3

k

HK SC

k



 



 

 

2

a

HN a b c HK a b c

.

Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) là 3a

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh

bằng a, SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC)

H

D

C B

A S

a

b



c

Bài giải:

a) Đặt              AS                             a AB b AD c,                              ,               

Ta có: a2  3 ,a b2 2 c2 a2 và a b b c c a       0

Khi đó:              AC              AB AD b c                                            

,

,

SBAB AS a b BC c 

,

SOAO AS a b c

H thuộc mặt phẳng (SBC) thì

SH k SB l BC ka kb lc 

OH                        SH SO            

k a k b l c

       

Nếu H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (SBC) ta có:

OH SB

OH BC









 

 

2

1 1

2 2

l





2 2

                                                              

b) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB  AG13AS AB  13a13b

K thuộc mặt phẳng (SAC)               AK               m AS n AC m AS n AB AD                                                                                                         ma nb nc 

GK AK AG m an b nc

Nếu K là hình chiếu của G trên mặt phẳng (SAC) ta có:

2

2 2

.3 0

1 1

6 3

AS GK







 

 

2 .0

Vậy khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) là

7

6

a

Ví dụ 4 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4.Điểm D nằm trên cạnh

SC, CD=3, còn khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2 Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC) của hình chóp

Bài giải:

b

A

S

G D

B

C

a

c

O

.

Chọn hệ véc tơ cơ sở

S Aa;S Bb;S Dc 

Đặt  là góc phẳng ở đỉnh của hình chóp

N là hình chiếu vuông góc của điểm A

trên đường thẳng BD

) (1 )

AN DN DA xDB DA   a xb   x c

Do ANDB

(17 1) 8( 1) os 0 (1)

S

A

B

C D

N

Mặt khác:AN   2 AN2   4 17x2  2x 13 8(  x 1) cos 2   0 (2)



Từ (1) và (2) ta được 7

9

x  Vì vậy : os 55

64

c  

Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC) Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên

4

9 2



  

(Nếu muốn tính cạnh đáy thì ta có

Vậy khoảng cách từ S đến mp(ABC) của hình chóp là

2 58

Bài tập tương tự:

Bài 1: (Đề thi Đại học khối D năm 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB2a 3và

 300

SBC  Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt

phẳng (SAC) theo a

Bài 2:

Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc

BAD  Các cạnh bên SA SC SB SD a ,   3 Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC)

* BÀI TOÁN 2: Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 , d 2 Đường thẳng d 1 đi qua A 1 , có véctơ chỉ phương 

1

u Cho đường thẳng d 2 đi qua A 2 , có véctơ chỉ phương 

2

u Tính khoảng cách và góc giữa d 1 , d 2

Phương pháp giải :

* Tính khoảng cách giữa d 1 và d 2