ÁP DỤNG bất ĐẲNG THỨC cô SI và BUNHIA CÔPXKI GIẢI các bài tập cơ học sơ cấp

Lí do chọn đề tài - Phương pháp dùng bất đẳng thức BĐT là một phương pháp quan trọng trongviệc giải quyết nhiều bài toán Vật lý, trong đó có các bài toán Cơ học sơ cấp.. - Trong các kỳ t

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

**********

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI VÀ BUNHIA CÔPXKI GIẢI

CÁC BÀI TẬP CƠ HỌC SƠ CẤP

Người thực hiện : Nguyễn Thọ Tuấn

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

1 Cơ sở lý thuyết của sáng kiến kinh nghiệm 2

1.1 Bất đẳng thức Cô-si 2

1.2 Bất đẳng thức Bunhia côpxki 2

1.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giải bài toán Cơ học sơ cấp 2

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

3 Hệ thống các bài toán Cơ học sơ cấp áp dụng BĐT để giải 3

3.1 Các bài toán áp dụng Bất đẳng thức Cô-si 3

3.2 Các bài toán áp dụng Bất đẳng thức Bunhia Côpxki 10

3.3 Các bài toán luyện tập kiểm tra năng lực tiếp thu của học sinh 15

4 Kết quả nghiên cứu 20

III KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT 20

1 Kết luận 20

2 Kiến nghị 20

I MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

- Phương pháp dùng bất đẳng thức (BĐT) là một phương pháp quan trọng trongviệc giải quyết nhiều bài toán Vật lý, trong đó có các bài toán Cơ học sơ cấp Đặc biệttrong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, đôi khi dùng BĐT để giải bài toán là phươngpháp duy nhất với nhiều bài toán khó, lạ Tuy nhiên trong thực tế lại không có nhiềugiáo viên và học sinh biết sử dụng hoặc có thể sử dụng thành thạo cách này

- Trong các kỳ thi, đặc biệt là thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia và các kìthi Olympic xuất hiện nhiều bài toán về tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượngVật lý Hầu hết học sinh khi tham gia giải quyết các bài toán Vật lý có liên quan đếnphương pháp dùng BĐT để tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng vật lý đềuchưa thành thạo, hoặc có làm được thì cũng làm một cách máy móc mà chưa nắm đượcbản chất của vấn đề, đôi khi hiểu sai bản chất, áp dụng một cách máy móc Khi biến đổimột vài dữ kiện của bài toán để chuyển thành bài toán khác thì học sinh lại gặp phảinhiều lúng túng

- Bằng sự học hỏi và kinh nghiệm giảng dạy của mình, tôi đã mạnh dạn và kiên trìnghiên cứu những phương pháp giải toán hay, trong đó có phương pháp dùng BĐT đểtìm nghiệm Vật lý Mục đích là phục vụ cho việc giảng dạy hiệu quả hơn, nâng cao chấtlượng dạy của thầy và học của trò Đồng thời cũng mong muốn các đồng nghiệp có thêmmột tài liệu hay để phục vụ tốt hơn nữa công tác giảng dạy của mình

Vì những lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài “Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và

Bunhia côpxki giải các bài tập Cơ học sơ cấp”

2 Mục đích nghiên cứu.

Thực hiện đề tài này, người viết muốn chia sẻ với đồng nghiệp, các em học sinhđang ôn thi HSG cấp Tỉnh, cấp Quốc gia, thi THPT Quốc gia môn vật lý những kinhnghiệm sử dụng BĐT để giải bài toán Cơ học hiệu quả nhất Đó cũng chính là nhữngkinh nghiệm mà chúng tôi đúc kết từ thực tiễn ôn luyện đội tuyển HSG môn Vật lí và ônthi THPT Quốc gia tại trường THPT Triệu Sơn 2 trong nhiều năm qua

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng là các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (hoặc giá trị giới hạn)của các đại lượng Vật lý trong các bài toán Cơ học sơ cấp THPT

4 Phương pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu và tổng hợp tài liệu

- Tổng hợp kinh nghiệm thực tế

Trang 1

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lý thuyết của sáng kiến kinh nghiệm

+ Tích hai số không âm có giá trị không đổi thì tổng của chúng có giá trị nhỏ nhất khichúng bằng nhau

Hệ quả : Dấu “=” xảy ra khi các số bằng nhau : a = b hoặc a = b = c.

1.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giải bài toán Cơ học sơ cấp

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức (BĐT) thường dùng để tìm giới hạn của mộtđại lượng vật lý nào đó (lớn nhất, nhỏ nhất hoặc một điều kiện giới hạn nào đó) Đề bài

có thể nói rõ yêu cầu tính giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất Để giải các bài toán Cơ học liênquan đến áp dụng BĐT, trước tiên ta phải đọc kĩ đề bài Sau đó dựa vào dữ kiện đề bàicho, phân tích điều kiện bài toán, áp dụng các định luật, định lí vật lý đã có để viết biểuthức của đại lượng cần tính cực trị Biểu thức của đại lượng phải chứa các thông số biếnđổi và không biến đổi mà nếu sử dụng BĐT sẽ cho ra giới hạn là hằng số Nếu biểu thứcđơn giản mà thấy được thì ta áp dụng BĐT ngay, nếu biểu thức còn phức tạp và chưa rõràng thì ta biến đổi thêm để đưa biểu thức về dạng đơn giản dễ thấy để áp dụng BĐT

Lưu ý rằng một số bài toán có kết quả cần tìm được suy ra từ hệ quả của BĐT

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

- Trong các đề thi chọn học sinh giỏi cấp THPT (cấp Tỉnh, cấp Quốc gia và trong các đềthi Olympic,…), nhìn chung có nhiều bài tập cơ học cần phải giải bằng cách áp dụngBĐT

- Trong tình hình chung chưa có một tài liệu chuẩn và hệ thống bài tập nào về phươngpháp này trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi THPT Quôc gia, vậy nên các giáoviên được phân công bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi THPT Quôc gia đều phải mòmẫm và thiếu tính hệ thống.

- Áp dụng BĐT để giải các bài toán cơ học đều rất khó khăn cho học sinh và một số giáoviên, bởi lẽ các bài toán này mang tính đơn lẻ, mỗi bài lại phải qua nhiều bước tính toán.Nhiều giáo viên và học sinh chưa nắm vững hoặc không biết sử dụng BĐT cho giải toánvật lý

Với phương pháp và hệ thống bài tập phong phú dưới đây, chúng tôi hi vọng sẽgiúp cho giáo viên và các em học sinh hiểu rõ bản chất và giải tốt các bài toán dạng này

3 Hệ thống các bài toán Cơ học sơ cấp áp dụng BĐT để giải

3.1 Các bài toán áp dụng Bất đẳng thức Cô-si

Bài 1: Một hành khách còn cách xe buyt đang đứng yên một đoạn L = 25 m thì xe đột

ngột chuyển động về phía trước (ra xa người) với gia tốc a = 0,5 m/s2 Hành khách chạyđuổi theo với vận tốc không đổi v Hỏi người phải chạy với vận tốc tối thiểu v bằng baonhiêu để đuổi kịp xe buyt ? Tính thời gian đuổi kịp xe buyt

Hướng giải:

+ Vận tốc tối thiểu khi người gặp xe một lần duy nhất

+ Quảng đường người đó phải chạy cho tới khi gặp nhau bằng

2at

s = L +

2+ Vận tốc của người này bằng : v = = + s L at

+ Áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Cô-si : L + at 2 L at = 2aL

t 2  t 2 = hằng số (hs).

+ Vận tốc tối thiểu : v = 2aL = 5 m/s.min

* Vận tốc tối thiểu đạt được khi L = at t = 2L = 10

Bài 2: Một người trượt băng trên khoảng cách l = 500 m ban đầu với vận tốc v không

đổi, rồi sau đó người này hãm lại với gia tốc có độ lớn a = 0,05 m/s2 Hỏi với vận tốc vbằng bao nhiêu thì thời gian người đó chuyển động cho tới khi dừng lại là bé nhất ?

+ Suy ra thời gian chuyển động nhỏ nhất : t = 2min l

a = 200 s.

+ Thời gian nhỏ nhất khi: l = v v = l.a = 5

Bài 3: Một hòn đá được ném lên từ mặt đất theo phương hợp với phương ngang góc α.

Cần phải ném hòn đá với vận tốc ban đầu tối thiểu v0 bằng bao nhiêu để nó đạt tới được

độ cao h ? Tính thời gian để hòn đá đạt độ cao đó

Hướng giải:

+ Đặt gốc O của trục tọa độ Oy thẳng đứng ở ngay điểm ném Khi đó phương trìnhchuyển động của hòn đá theo phương thẳng đứng là

2 0

gt

y = v tsinα -

2+ Tại thời điểm hòn đá đạt tới độ cao theo yêu cầu của đề bài, ta có y = h Thay vào biểuthức trên và rút ra v0 : v = 0 gt + h

2sinα tsinα+ Vì 0 α 90  0  0 sinα 1 

+ Áp dụng BĐT Cô-si : v = 0 gt + h 2 gt h = 2gh

2sinα tsinα  2sinα tsinα sinα = hs.

+ Suy ra vận tốc ban đầu cực tiểu của hòn đá : v0min= 2gh

+ Đồng thời cực tiểu này đạt được với điều kiện : gt = h

2sinα tsinα+ Từ đó suy thời gian hòn đá đạt được tới độ cao h là : t = 2h

Bài 4: Hai vật có cùng khối lượng m có thể trượt

không ma sát trên một thanh nằm ngang, được nối

với nhau bằng một sợi dây nhẹ, không giãn, có

chiều dài 2l Một vật khác khối lượng 2m được gắn

vào trung điểm của sợi dây Thả nhẹ cho hệ chuyển

động, hãy tính vận tốc cực đại của mỗi vật và tính

góc α khi đó

Hướng giải:

+ Gọi u là vận tốc quả cầu 2m và v là vận tốc 2 quả cầu m (hai quả cầu m có cùng độlớn vận tốc ở mọi thời điểm), hợp với phương ngang góc α

+ Vì dây luôn căng nên ta có : v.cosα = u.sinα (1)

+ Định luật bảo toàn cơ năng : 1 2 1 2

2mu + 2 mv = 2mglsinα

+ Suy ra : v = 2glsinα - u2 2 2glsinα (3)

+ Khi hai quả cầu sắp chạm nhau thì α = 900, tức là sinα = 1 và cosα = 0

m

α

m

l 2m l

+ Suy ra khi hai quả cầu sắp chạm nhau thì vận tốc hai quả cầu m cực đại và bằng :

max

+ Từ (1) ta có v = utanα (α  900), thế vào (2) ta được :

u2(tan2α + 1) = 2glsinα  u = 2glcos αsinα = 2glcos α 1 - cos α2 2 2 2+ Áp dụng BĐT Cô-si : u = 2glcos α 1 - cos α = 2gl 2 - 2cos α cos α.cos α2 2 2  2  2 2

Bài 5: Một khối lăng trụ tam giác có khối lượng m1, với góc α, có

thể trượt theo đường thẳng đứng và tựa lên khối lập phương có khối

lượng m2, còn khối lập phương có thể trượt trên mặt phẳng nằm

ngang Bỏ qua tất cả ma sát Xác định giá trị góc α sao cho gia tốc

của khối m2 có giá trị lớn nhất Tính gia tốc của mỗi khối trong

Bài 6: Thanh AB cứng, nhẹ, chiều dài l, mỗi đầu gắn một quả cầu

nhỏ khối lượng bằng nhau tựa vào tường thẳng đứng như hình vẽ

Trang 5

m1

m2α

A

B

Truyền cho quả cầu B một vận tốc rất nhỏ theo phương ngang để nó trượt trên mặt sànnằm ngang Giả thiết rằng trong quá trình chuyển động thanh AB luôn nằm trong mặtphẳng vuông góc với tường và sàn Bỏ qua ma sát giữa các quả cầu với tường và sàn.Gia tốc trọng trường là g

a) Xác định góc α hợp bởi thanh với sàn vào thời điểm mà quả cầu A bắt đầu rời khỏi

tường

b) Tính vận tốc quả cầu B khi quả cầu A bắt đầu rời khỏi tường.

Hướng giải:

a) Vào thời điểm quả cầu A còn tựa vào tường, AB hợp với

phương ngang góc α Vận tốc của A và B là vA và vB, lúc đó đầu

A đi xuống một đoạn x = l(1 - sinα)

+ Định luật bảo toàn cơ năng :

+ Vì thanh AB cứng nên theo định lí về hình chiếu của hai điểm

A và B trên vật rắn : vAsinα = vBcosα (2)

+ Bảo toàn năng lượng:

mm

* Vậy: [sin]max = B

A

mm

Bài 8: Một cái nêm khối lượng M được giữ

trên mặt phẳng nghiêng cố định với góc nghiêng

 so với đường nằm ngang Góc nghiêng của

nêm cũng bằng  và được bố trí sao cho mặt

trên của nêm cũng nằm ngang như hình vẽ Trên

mặt nằm ngang của nêm có đặt một khối hộp

lập phương có khối lượng 2M đang nằm yên

Nêm được thả ra và bắt đầu trượt xuống Cho g

= 10 m/s2 Bỏ qua mọi ma sát ở các mặt tiếp xúc Hỏi với giá trị nào của  thì gia tốc

của nêm đạt giá trị cực đại ? Tính giá trị cực đại của gia tốc nêm khi đó

Hướng giải:

Phương trình của nêm và khối hộp : (Mg + N sinα = Ma) và 2Mg - N = 2Masinα

+ Suy ra gia tốc nêm : 2

a

12sin α+1 2sinα+

* Suy ra: a = max 3g

2 2 = 10,4 m/s

2

Bài 9: Xác định hệ số ma sát cực tiểu  của một thanh mảnh đồng chất với nền nhà để

có thể dựng chậm (không trượt) thanh này tới phương thẳng đứng bằng cách tác dụngvào đầu của thanh một lực vuông góc với thanh

+ Chọn trục quay vuông góc với mặt phẳng hình vẽ và đi

qua A là giao điểm là hai giá của lực F và trọng lực P

Đối với trục quay này, mômen của lựcF và P đều bằng

0 Đoạn AB là cánh ta đòn của lực ma sát Fms, đoạn CB

+ Áp dụng BĐT Cô-si cho mẫu số : 2tanα + 1 2 2tanα 1 = 2 2

Bài 10: Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song kề nhau có vị

trí cân bằng nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với quỹ đạo của chúng và cócùng một tần số góc , biên độ lần lượt là A1, A2 Biết A1 + A2 = 8gl1 - sinα cm Tại một thờiđiểm vật 1 và vật 2 có li độ và vận tốc lần lượt là x1, v1, x2, v2 và thỏa mãn x1v2 + x2v1 =8gl1 - sinα cm2/s Tính giá trị nhỏ nhất của 

+ Thay (2) vào (1) được: min = 0,5 khi sin(2t + 1 + 2) = 1.

Bài 11: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số trên hai đường thẳng song song

với nhau và song song với trục Ox, có phương trình x1 = A1cos(ωt + φ)t + φ1) và x2 = A2cos(ωt + φ)t+ φ2) Giả sử x = x1 + x2 và y = x1 – x2 Biết rằng biên độ dao động của x bằng hai lầnbiên độ dao động của y Tính độ lệch pha cực đại giữa x1 và x2

Hướng giải: Đặt φ = φ2 – φ1 Biểu diễn biên độ của x là Avà của y là B như hình vẽ.+ Ta có :

4A A+ Áp dụng bất đẳng thức Cô – si :

Bài 12: Một con lắc vật lí được làm bằng thanh nặng, thẳng, đồng chất,

tiết diện đều, chiều dài l0 Người ta có thể cho thanh dao động với trục

quay qua bất kì điểm nào trên thanh Tìm vị trí trục quay trên thanh sao

cho chu kì của thanh nhỏ nhất

Hướng giải:

Gọi l là khoảng cách từ khối tâm G của thanh đến vị trí trục quay O +

Chu kì dao động của con lắc vật lí là :

2 3 thì chu kì dao động của thanh cực tiểu.

3.2 Các bài toán áp dụng Bất đẳng thức Bunhia Côpxki

Bài 1: Một khúc gỗ khối lượng m = 0,5 kg đặt trên sàn nhà Người ta buộc khúc gỗ vào

sợi dây nhẹ không dãn và kéo bằng lực F hướng chếch lên, hợp với phương nằm ngangmột góc α Biết hệ số ma sát trượt giữa gỗ và sàn là  = 0,2 Lấy g = 9,8gl1 - sinα m/s2 Để kéokhúc gỗ trượt đều với lực kéo nhỏ nhất thì góc  bằng bao nhiêu ? Tính lực kéo khi đó

Hướng giải:

Các lực tác dụng lên vật gồm: trọng lực P , phản lực N , lực ma sát F ms và lực kéo F,được biểu diễn như hình vẽ

+ Định luật II Niutơn: F ms P N F ma   

    (*)+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

+ Chiếu lên (*) lên Ox ta có: Fms Fcos ma (1)

+ Chiếu lên (*) lên Oy ta có:

+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a b 1 o

Bài 2: Hai tàu thuỷ chuyển động trên hai đường

OA và OB, ban đầu AB = 40 km; vận tốc của hai

tàu vA = 40 km/h, vB = 40 3 km/h Chiều chuyển

động các tàu được biểu diễn như hình vẽ Tính

khoảng cách ngắn nhất giữa 2 tàu Biết α = 300, β =

600

Hướng giải:

Ta có : α +  = β   = 300

+ Đặt : AO = d1; BO = d2

+ Trong tam giác OAB : d1 d2 AB

sinsinsin

vật cực tiểu là dmin thì khoảng cách vật thứ nhất đến O là '

1

d 30 3 m Hãy tìm khoảngcách vật thứ hai đến O lúc này

sin 30 sin120 sin 30

Bài 4: Cho cơ hệ như hình vẽ Hệ số ma sát giữa M và sàn là

2.Hệ số ma sát giữa M và m là 1 Tác dụng lực F

lên Mtheo phương hợp với phương ngang một góc α (α thay đổi)

Hãy tìm lực nhỏ nhất Fmin để m thoát khỏi M Tính α tương

ứng

Hướng giải:

Vật m: P 1 N1 Fms21m a1

(1)ms21 1

Oy: F sina - (P1 + P2) + N2 = 0  N2 = P1 + P2 - Fsinα.



   

 

Bài 5: Người ta quấn một sợi chỉ không giản vào một khối trụ Kéo trụ bằng một lực F.

Tìm lực cực tiểu Fmin để trụ lăn không trượt tại chỗ Xác định góc α lúc đó, biết hệ số masát là 

Hướng giải:

Khi trụ lăn tại chỗ không trượt thì khối tâm G của trụ đứng yên

(Lúc đó vật chỉ quay, không chuyển động tịnh tiến)

+ Ta có : F cực tiểu khi y = yMax

+ Theo BĐT Bunhia côpxki :

a) Tìm biểu thức tính F khi vật đi lên đều theo mặt phẳng nghiêng.

b) Với m = 5 kg, α = 450,  = 0,5, lấy g = 10 m/s2 Xét vật đi lên đều, tìm β để F nhỏnhất, tìm giá trị lực F nhỏ nhất đó.

Hướng giải:

a) Các lực tác dụng lên vật như hình vẽ.

+ Vật chuyển động đều nên: F + P + F + N = 0  mst  (1)

+ Chiếu (1) lên Ox : Fcosβ - Psinα - F = 0mst (2)

b) Vì P = mg,  và α xác định nên từ (4) thì F = Fmin khi mẫu số y = cosβ + μsinβ cựcđại

+ Theo bất đẳng thức Bunhia côpxki:

 2 2  2  2

+ Dấu ‘=’ xảy ra  tanβ = μ = 0,5  β = 26,56o.

* Vậy khi β = 26,56o thì F = F = Pmin sinα + μcosα = 47,43

2

Bài 7 (Trích đề thi chọn HSG Tỉnh Thanh Hóa 2019):

Khung dây cứng có dạng hình tam giác vuông với α = 300

đặt trong mặt phẳng thẳng đứng Hai vật m1 = 0,1 kg và m2

= 0,3 kg nối với nhau bằng sợi dây nhẹ và có thể trượt

không ma sát dọc theo hai cạnh của khung dây hình vẽ

Tính lực căng dây nối và góc β khi hai vật ở vị trí cân bằng

? Cân bằng của hệ vật là bền hay không bền ? Vì sao ? Lấy

g = 10 m/s2

Hướng giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

+ Các ngoại lực tác dụng lên hệ hai vật: N , N , P , P   1 2 1 2

+ Khi hệ cân bằng: N +N +P + P =0    1 2 1 2

- Chiếu lên hệ trục tọa độ Oxy:

+ Trên Ox: N1sinα = N2cosα  N2 = N1tanα

+ Trên Oy: N1cosα + N2sinα = P1 + P2