Vận dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian

Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các phương pháp thành một chuyên đề: “Vận dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian ” II.. B

Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò,

vị trí hết sức quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ nănggiải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chấtcủa con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán,tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh

Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11 rất e ngạihọc môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tínhthực tế Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phầngiáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức vàphương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian Qua một số năm giảngdạy môn học này và quá trình ôn thi TNTHPT tôi đúc kết được một số kinhnghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượnggiảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên Do đây là phầnnội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừutượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháptruyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướngmắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chấtlượng giảng dạy nói chung và môn hình học không gian nói riêng

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống,không áp đặt hoặc lập khuôn máy móc do đó học sinh dễ dàng áp dụng vào việcgiải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó

Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các

phương pháp thành một chuyên đề: “Vận dụng phương pháp tọa độ để giải

các bài toán hình học không gian ”

II Mục đích nghiên cứu

- Giúp học sinh biết cách vận dụng kiến thức về tọa độ trong không gian đểgiải quyết các bài tập hình học

- Rèn luyện kỹ năng mở rộng bài toán theo nhiều hướng

III Đối tượng nghiên cứu

Là học sinh khá, giỏi lớp 12 trường TTGDNN-GDTX Thiệu Hóa

IV Phương pháp nghiên cứu

- Đọc các tài liệu liên quan để viết cơ sở lý thuyết

- Phương pháp thực nghiệm

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

1

Bắt nguồn cảm hứng từ hai bài toán trong sách giáo khoa hình học 12, tác giả yêucầu học sinh giải bằng phương pháp tọa độ đó là:

1 Bài tập 10 trang 81(sgk hình 12): Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'

cạnh bằng 1

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song vớinhau

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên

2 Bài tập 10 trang 91(sgk hình 12): Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'

II Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

Khi khảo sát với hai bài tập ở trên đa số học sinh còn đang trên đường đi tìm lời giải, chỉ một số ít là có thể giải quyết chọn vẹn bài toán cụ thể:

III Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề

Để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ ta thực hiện theo các bước sau :Bước 1: Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ Oxyzthích hợp, chú ý đến vị trí củagốc O, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích

Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên

Bước 3 : Áp dụng công thức Học sinh cần nắm được một số công thức sau: [1]

C B A

D Cz By Ax P M d

1

,

, )

,

(

u u

M M u u d

d

Tuy nhiên qua thực tế, việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vàogiải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừutượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học Do vậy, thôngqua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải bàitoán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ

Một số dạng toán thường gặp :

 Độ dài đoạn thẳng

 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng

 Góc giữa hai đường thẳng

 Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

 Góc giữa hai mặt phẳng

 Thể tích khối đa diện

 Diện tích thiết diện

 Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc

Sau đây là cách chọn hệ trục tọa độ cụ thể cho các dạng bài tập và một số ví

dụ minh họa

1 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian [2]

Ta có: Ox Oy Oz, , vuông góc từng đôi một Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ

Cụ thể :

Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

3

Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A'B'C'D'

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của

hai đường chéo của hình thoi ABCD

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

; 0

; 2

C a

[2] Tham khảo qua trang giáo án điện tử

Với hình chóp tam giác đều S.ABC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và

đường cao bằng h Gọi I là trung

I

S

y z

B

D

C

A O S

x

y z

CB

Az

x

yD

C’

D’

B’

A’

Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A có

S

x

y z

zS

B

BA

Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại B

Tam giác ABC vuông tại B có

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân tại S và ABC vuông tại C

 ABC vuông tại C CA a CB b ; 

chiều cao bằng h

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông tại A

 ABC vuông tại A AB a AC b ; 

chiều cao bằng h

H là trung điểm của AB

B C

H

S

y z

A

B

C

Sx

z

y

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),SAB cân tại S và ABC vuông cân tại C.

Tam giác ABC vuông cân tại C có

CA CB a  đường cao bằng h

H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

Bài 1 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a

a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng (AB'D' )

b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng (AB'D' ) là

trọng tâm của tam giác AB ' D'

c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB'D' ) và (C'BD)

d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA'C) và (ABB'A' )[3]

[3] SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac

vuông góc Oxyznhư sau :

) 0

; 0

A

Sz

y

' '

D AB C A AD

)

; 0

; ( '

)

;

; ( '

a a AD

a a

AB

a a

a C

' '

0 0 ' '

2 2 2 2

AD C A AB C A a

a AD C A

a a AB C A

Nên

) ' ' ( 'C mp AB D

b Chứng minh : G là trọng tâm

của tam giác AB ' D' Phương Phương

trình tham số của đường thẳng

) ( :

t a

0 z a

a y a x z

y x

t a z t y t x

; 3

a a a

3 3

3 3

' '

' '

' '

a z

z z

z

a y

y y

y

a x

x x

x

D B

A G

D B

A G

D B

A G

(2)

So sánh (1) và (2), kết luận

Vậy giao điểm G của đường chéo

C A' và mặt phẳng (AB'D' ) là trọng tâm của tam giác AB ' D'

) ' (C BD x y z a

3 )

' ' ( , )

' ( ), ' '



j Vectơ pháp tuyến của

) ' (DA C : n3  ( 0 ; 1 ;  1 ) Phương

2

1 ) ' ' ( ), ' (



(DA'C), (ABB'A' ) 45o

Bài 2 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a

Chứng minh hai đường chéo B ' D'và A' Bcủa hai mặt bên là hai đường thẳng

chéo nhau Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B ' D'và A' B

; 0

BM SA

BM SA BM

C D

C D

S

O

; 0

; 2 2 ( ] , [SA BM    ;

) 0

; 1

; 2 (



AB

0 2 4 ].

, [SA BM AB 

3 6 2 4 8 2 4 ]

, [

].

, [ ) ,

AB BM SA BM

SA d

[4] Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004

Bài 4: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC);

cm AD

AC   4 ; AB  3cm; BC  5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặtphẳng (BCD)

nên vuông tại A Chọn hệ trục toạ

độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau

) 0

12 9 9 16

12 )

Bài 5 Cho hai nửa đường thẳng Axvà Byvuông góc với nhau và nhận

) 0 (



a a

AB là đoạn vuông góc chung Lấy điểm M trên Axvà điểm N trên

By sao cho AM BN  2a Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt

A B

1a Xác định tâm I của mặt cầu

ngoại tiếp tứ diện ABMN

By Ax

Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên trung điểm

I của MN là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

a MN

)

; 0

; 0 ( a

AB 

) 2

;

; 0 ( ] , [AM BI  a2 a2

5 5 2 ] , [

].

, [ ) ,

BI AM

AB BI AM BI

AM

Bài 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E

là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là

trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a )

khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC [5]

[5] Trích đề thi tuyển sinh

ĐH&CĐ khối B năm 2007

Toạ độ trung điểm P của SA P

4

] , [

].

, [ ,

2 2

2

a h a

h a

AC MN

AM AC MN AC

MN d

5 3 , 0; ;

3 , 0; ;

SB a và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN

và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

góc Oxyznhư sau :H(0;0;0); S

5 3

Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang , ABC  BAD 90o;

AB BC a  , AD 2a, SA vuông góc với đáy và SA a 2 Gọi H là hình chiếu

của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ

S

A

z

IH

+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu

vuông góc của A trên SB

Phương trình tham số của SB :

+ Chứng minh tam giác SCD vuông

SC CD  SCCD

 

 Tam giác SCD vuông tại C

+ Tính ( theo a) khoảng cách từ H đến(SCD)

2 2

2

3 3 ,( )

a a

15

[4] Trích đề thi TN THPT năm 2017-2018

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông

góc Oxyznhư sau :

Oz B B Oy C B Ox A B O

2

; 1

; 1 (

) 3

2

; 1

; 1 (

) 3

2

; 1

; 1 ( 3

1

' '

MD MC

M OI

OM

MC ' MD, '

) 2

; 3

4

; 0 (  

; 1

; 1 (

) 3 4

; 1

; 1 (

MB MA

3

8

; 0 ( ,

) ( ) (

.

cos

' '

' '

MAB D

MC

MAB D MC

n n

n n



65

13 17

3 Bài tập tự luyện :

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, các mặt bên

(SAB), (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt

MIO

A

z

y

x

Bài 3: Cho tứ diện ABCD: AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 3;

AC = AD= 4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)

Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a Chứng minhrằng mp(AA C' ) vuông góc với mp(AB D' ')

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a Tínhkhoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

Bài 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a , SA

= a SA vuông góc (ABCD) Gọi M là trung điểm AD và N là trung điểm SC I

là giao điểm của BM và AC Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) và (SMB)vuông góc Tính thể tích khối tứ diện ANIB

Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB =

BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) Gọi M làtrung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biếtgóc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

Bài 7: Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC= a

3, (a>0) và đường cao OA= a 3 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tínhkhoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM

Bài 8: Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3,AC=AD=4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)

IV Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Sau một thời gian áp dụng đề tài vào công tác ôn luyện cho học sinh khối 12 tôinhận thấy việc tiếp thu bài của học sinh đã thay đổi rõ Đặc biệt các em thấy hứng thú với các bài toán hình áp dụng giải được bằng phương pháp tọa độ, cụ thể kết quả thông qua khảo sát hai bài tập:

Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a Gọi M, N lầnlượt là trung điểm của các cạnh AD và BB’ Chứng minh : MN  A'C

Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a

a Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB D' ') và ( 'C BD)

b Tính góc của hai mặt phẳng (A’BC) và (A’CD)

17

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

I Kết luận: Song song với việc tiếp thu những kiến thức về toạ độ điểm, tọa

độ vectơ, phương trình đường và mặt, qua việc sử dụng công cụ là dùngphương pháp tọa độ trong trong không gian các em đã chủ động hơn, tự tin hơnkhi tiếp xúc với bài toán hình học không gian

Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:

1 Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hìnhthành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh

2 Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đềthực hiện Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyếtcác vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện

3 Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh chứng tính khả thi và hiệu quả củanhững biện pháp sư phạm được đề xuất

II Kiến nghị

Nhà trường cần đầu tư cho phòng thư viện thêm các loại sách tham khảo để họcsinh tự học, tự làm bài tập ở nhà Đoàn trường thường xuyên kiểm tra sách, vở

và việc soạn bài của học sinh trước khi đến trường Cần lắp đặt tại phòng học

hệ thống máy chiếu để học sinh tiếp thu bài tốt hơn và có hứng thú trong tiếthọc

Đề tài này đã được trình bày, trao đổi và góp ý với tổ và hội đồng chấm sángkiến kinh nghiệm trường Các thành viên đã đóng góp ý kiến quý báu cho đềtài

Mặc dù đã cố gắng nhưng đề tài không tránh khỏi thiếu sót Mong được sựgóp ý của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm trên là của bản thân, nếu sao chép tôihoàn toàn chịu trách nhiệm

Xác nhận của thủ trưởng cơ quan Thiệu Hóa, ngày 15/04/2019

Người thực hiện

Trịnh Đình Chung Đinh Văn Ba

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Hình học 11 ( sách giáo khoa ) - Văn Như Cương (chủ biên), Trần Đức

Huyên -Nguyễn Mộng Hy - NXB Giáo dục, 2000

2 Hình học 12 ( sách giáo khoa ) Văn Như Cương (chủ biên), Tạ Mân

-NXB Giáo dục, 2000

3 Hình học 12 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn Hạo và Nguyễn Mộng Hy

(chủ biên), Khu Quốc Anh - Trần Đức Huyên - NXB Giáo dục.

4 Các bài toán về phương pháp vectơ và phương pháp toạ độ - NguyễnMộng Hy - NXB Giáo dục, 1998

5 Làm thế nào để học tốt môn Toán - Đào Văn Trung - NXB Đại học quốcgia Hà Nội, 2001

6 Phương pháp toạ độ trong không gian - TS Nguyễn Thái Sơn ( tài liệu

bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kỳ 1997 - 2000 ) - Lưu

9.Giới thiệu đề thi môn toán: Doãn Minh Cường- NXB ĐHQGHN

10 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ: Trần Đình Cư

19

MỤC LỤC PHẦN I MỞ ĐẦU Trang 1 I Lý do chọn đề tài 1

II Mục đích nghiên cứu 1

III Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu 1

IV Phương pháp nghiên cứu 1

PHẦN II NỘI DUNG 2

I Cơ sở lý luận……… 2

II Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 2

III Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề 2

1 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian……… … 4

2 Bài tập áp dụng……… 7

3 Bài tập tự luyện ……… 17

IV Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 18

PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 19

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐƯỢC HỘI

ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI

Họ và tên tác giả: Đinh Văn Ba

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên dạy môn toán trường

TTGDNN-GDTX Thiệu Hóa

kinh nghiệm

Cấp đánh giá xếp loại

Kết quả đánh giá xếp loại

Năm học đánh giá xếp loại

1 Một số phương pháp giải bài

tập về tiếp tuyến

Sở GD& ĐT

2 Một số phương pháp giải

toán hình học không gian

cho học sinh khối 11

Sở GD& ĐT

3 Một số phương pháp giải các

bài toán về quan hệ vuông

góc trong không gian

Sở GD& ĐT

21