Ở chương trình Toán lớp 7, khi học bài “Hai đường thẳng song song”, học sinh biết cách chứng minh hai đường thẳng song song, khi học bài “Hai tam giác bằng nhau”, học về các trường hợp b
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 7 CHỨNG MINH
Trang 22.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 17
Trang 31 MỞ ĐẦU
1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Theo quan điểm chỉ đạo phát triển của Bộ Giáo dục và Đào tạo trong chiếnlược phát triển giáo dục Việt Nam 2009 - 2020 đã nêu: “ giáo dục phải bám sátnhu cầu và đòi hỏi của xã hội, thông qua việc thiết kế các chương trình đào tạođáp ứng yêu cầu cung cấp nhân lực phục vụ các ngành kinh tế đa dạng Vì họcsinh có những mong muốn, nhu cầu khác nhau, điều kiện sống và học tập khácbiệt, giáo dục chỉ thực sự có hiệu quả nếu không đồng nhất tất cả mọi đối tượng.Các chương trình, giáo trình và các phương án tổ chức dạy học phải đa dạnghơn, tạo cơ hội cho mỗi học sinh những gì phù hợp với chuẩn mực chung nhưnggắn với nhu cầu, nguyện vọng và điều kiện học tập của mình”
Để đạt được những mục tiêu của nền giáo dục tiên tiến cũng như đáp ứngđược quan điểm chỉ đạo phát triển của Bộ Giáo dục và Đào tạo cần phải hướngtới cách dạy học phù hợp với đối tượng
Hướng đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay là tích cực hóa hoạtđộng học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hìnhthành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực pháttriển và giải quyết vấn đề, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức và thực tiễn, tácđộng đến tình cảm, đem lại niềm tin, hứng thú học tập cho học sinh
Người giáo viên khi lên lớp ngoài nhiệm vụ truyền thụ hết kiến thức cơ bảncho học sinh còn cần có trách nhiệm bồi dưỡng, phát hiện các em có khả năng
về từng môn, giúp các em phát triển tư duy, rèn luyện các kĩ năng tạo điều kiện
đề các em trở thành nhân tài cho đất nước
Ở chương trình Toán lớp 7, khi học bài “Hai đường thẳng song song”, học sinh biết cách chứng minh hai đường thẳng song song, khi học bài “Hai tam giác bằng nhau”, học về các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, học sinh biết
cách chứng minh hai tam giác bằng nhau Tuy nhiên sau khi học xong bài “Tiên
đề Ơ-clit về đường thẳng song song” học sinh chưa thành thạo ứng dụng của nótrong dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Do vậy, ở bài toán chứng minh
ba điểm thẳng hàng các em thường không có sự định hướng tốt, lúng túng, bếtắc, không tìm ra hướng giải
Qua tìm hiểu của bản thân thì hiện tại chưa có nhiều tài liệu nào bàn sâu vềchứng minh ba điểm thẳng hàng dành cho học sinh lớp 7 Các đồng nghiệp trong
tổ chuyên môn cũng chưa có kinh nghiệm để khắc phục vấn đề này Vì vậy, tôi
chọn đề tài nghiên cứu của mình là: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 chứng minh
ba điểm thẳng hàng”.
1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trang 4Trong quá trình giảng dạy môn Toán ở lớp 7, tôi phát hiện ra rằng nhiềuhọc sinh kĩ năng giải toán hình học còn kém đặc biệt là đối với dạng toán chứngminh ba điểm thẳng hàng Vì vậy, tôi cố gắng xâu chuỗi, tìm cách hướng dẫn cácdạng bài chứng minh ba điểm thẳng hàng thông qua các ví dụ cụ thể để giúp họcsinh đạt kết quả cao hơn trong học tập.
Mặt khác, triển khai đề tài giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, có cáinhìn tổng hợp, biết sử dụng nhiều kiến thức, tự tin hơn khi giải dạng toán chứngminh ba điểm thẳng hàng Từ đó chăm học hơn
Việc nghiên cứu đề tài giúp tôi có một tài liệu mang tính hệ thống về phươngpháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, phục vụ cho công tác giảng dạy Qua đógiúp tôi tự tin hơn trong công tác giảng dạy
Qua nghiên cứu và triển khai đề tài giúp bản thân có nhiều điều kiện để giaolưu, học hỏi, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp
1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Trong đề tài này, tôi chỉ đưa ra các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh lớp 7 qua các ví dụ cụ thể.
1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1.4.1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Căn cứ định nghĩa bađiểm thẳng hàng SGK Toán 6 tập 1; Tiên đề Ơ-clit SGK Toán 7 tập 1; các định lí
về các đường đồng quy trong tam giác SGK Toán 7 tập 2 của nhà xuất bản giáodục Việt Nam
1.4.2 Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Giáo viên điềutra kiến thức trên cơ sở tiết dạy trên lớp, qua thực tế bài làm của số học sinh lớp
7 đang học tại trường
1.4.3 Phương pháp tiếp cận vấn đề: Giáo viên quan sát trực tiếp học sinh, phântích thông qua bài tập
1.4.4 Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê kết quả bài kiểm tra củahọc sinh
1.4.5 Phương pháp phân tích, bình luận: Giáo viên phân tích hiệu quả của cáchoạt động Sau mỗi dạng bài tập tác giả luôn đưa ra bình luận, hướng dẫn họcsinh biết cách nhận dạng, tìm hướng giải cũng như sai lầm mà các em thườngmắc phải khi giải
1.4.6 Phương pháp tổng hợp, hệ thống hóa: Nội dung đề tài được phân chiathành nhiều dạng toán, là kết quả quá trình tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồntài liệu và từ bản thân rút ra
Trang 52 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.1 Khái niệm ba điểm thẳng hàng: Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng được
gọi là ba điểm thẳng hàng
2.1.2 Tiên đề Ơ-clit: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường
thẳng song song với đường thẳng đó
2.1.3 Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước (Hình học 7 tập 1 trang 85).
2.1.4 Các định lí về các đường đồng quy trong tam giác.
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm đó
cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2
3độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy
Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cáchđều ba cạnh của tam giác đó
Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cáchđều ba đỉnh của tam giác đó
Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm
2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.2.1 Về phía học sinh: Học sinh lớp 7 thường suy nghĩ rằng toán học là phải
tính toán, các em chưa quen với suy luận lôgic Vì vậy, ngại học Hình học, chưabiết vận dụng các định lí cũng như tính chất vào giải toán hình học đặc biệt là
bài toán chứng minh Chứng minh ba điểm thẳng hàng là bài toán xa lạ đối với
nhiều học sinh và vị trí của nó thường rất “khiêm tốn”có thể là một ý nhỏ hoặcmột câu (thường là cuối cùng) trong bài toán hình học nào đó
2.2.2 Về phía giáo viên: Phần lớn giáo viên đã chú trọng rèn luyện cho học
sinh thao tác tư duy hình học đặc biệt là các phương pháp chứng minh hình học.Bên cạnh đó vẫn còn một bộ phận chưa chú trọng cung cấp cho học sinh phươngpháp chứng minh hình học, thường chỉ chốt được một phương pháp trong bài tập
cụ thể nên khi gặp bài tập học sinh chưa xác định được phương pháp giải cũngnhư chưa có nhiều phương pháp nào để lựa chọn
Trước những nguyên nhân cơ bản làm cho học sinh ngại học hình học, đặcbiệt là chứng minh hình học, người giáo viên cần: Xác định một trong nhữngnhiệm vụ quan trọng của Toán học là rèn luyện các thao tác tư duy Môn Toánđòi hỏi học sinh phải thực hiện những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp,sosánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa một cách thường xuyên Mặt khác, phần lớnviệc dạy toán của chúng ta là dạy theo chương trình hóa, dạy thuật toán Cónhững bài toán hình học cần phải chứng minh thêm bước phụ ba điểm thẳnghàng và sử dụng nó để làm các câu khác Như vậy bài toán chứng minh ba điểm
Trang 6thẳng hàng là bài toán rất quan trọng nhưng học sinh thường bỏ qua nó trong cácbài tập Giáo viên cần tổng hợp một số kiến thức Hình học 6, Hình học 7 để tìm
ra một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng Việc triển khai đề tàinày nhằm mục đích đó
Để nắm bắt được học sinh của mình có giải được dạng toán này không tôi
đã mạnh dạn bổ sung thêm câu hỏi “chứng minh ba điểm thẳng hàng” vào bài 3kiểm tra một tiết chương II: Tam giác (Tiết 46)
Cụ thể bài 3 như sau:
Cho tam giác ABC cân tại A có ˆA< 900 Kẻ BH ⊥ AC (H ∈AC), CK ⊥ AB (K
∈AB).Gọi O là giao điểm của BH và CK.
a) Chứng minh tam giác ∆ABH =∆ACK.
b) Tam giác OBC cân
Từ thực trạng trên để công việc đạt kết quả cao hơn, để học sinh tự tin hơn,
có khả năng tự học hỏi tìm ra những kĩ năng, phương pháp để chứng minh cácbài toán cùng loại như: Chứng minh song song, chứng minh vuông góc tôi đãmạnh dạn viết thành tài liệu nhỏ phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh lớp
7 để tổng hợp các phương pháp để học sinh có thể vận dụng vào chứng minh bađiểm thẳng hàng Tôi đã sử dụng các biện pháp sau:
1) Tham khảo các loại sách tham khảo Hình học 6, 7
2) Đọc kĩ SGK, sách giáo viên Toán 6, 7
3) Đọc kĩ sách bài tập Toán 7
Cuối cùng dựa trên nghiên cứu các tài liệu tôi đã tổng hợp được các phươngpháp chứng minh ba điểm thẳng hàng
Trang 72.3.1 Phương pháp 1: Chứng minh độ dài một đoạn thẳng bằng tổng độ dài hai đoạn thẳng còn lại.
Phương pháp này dựa trên cơ sở công nhận nhận xét trong bài 8: Khi nào thì AM + MB = AB? Nhận xét đó như sau: “Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A
và B thì AM + MB = AB Ngược lại nếu điểm AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B” (SGK Toán 6 tập 1 trang 120) Trên cơ sở đó có những
bài toán đã cho sẵn độ dài các đoạn thẳng, học sinh có thể dựa vào đó lí luận bađiểm thẳng hàng và vẽ hình một cách rất dễ dàng Sau đây là một ví dụ
Ví dụ 1 (Bài tập 49 - trang 102, SBT Toán 6 tập 1):
Cho các đoạn thẳng có độ dài sau đây cho biết ba điểm A, B, M có thẳng
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = AC Trên hai cạnh AB và AC lần lượt
lấy các điểm D và E sao cho AD = AE Nối D với E Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BE và BC Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng
hàng
Bài giải:
GT
∆ABC (AB = AC);
AB = AE D∈ AB; E∈AC; MD = ME.
(M∈DE); NB = NC (N∈BC)
KL A, M, N thẳng hàng.
+ Phân tích, tìm tòi lời giải: Với phương pháp này ta thường đã biết ba điểm
thẳng hàng và chứng minh cho các điểm cần thẳng hàng trùng với ba điểm đã biết thẳng hàng Ta đã biết ba điểm A, M’, N’ thẳng hàng vì đều thuộc tia phân giác Ax của ·BAC Do đó, ta chứng minh cho các điểm cần thẳng hàng trùng với
Trang 8Suy ra: ∆ABN' = ∆ACN'(c.g.c) ⇒ N’B = N’C (hai cạnh tương ứng)
Mà N’ nằm giữa B và C nên N’ là trung điểm của đoạn thẳng BC ⇒N' ≡N.Chứng minh tương tự ta có M' ≡M
Ta có: M’, N’ thuộc tia Ax Do đó, A, M, N thẳng hàng.
+ Nhận xét: Ta có thể chứng minh AM và AN đều là đường trung trực của đoạn
thẳng BC Do đó, A, M, N thẳng hàng.
+ Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh AB lấy điểm M, trên
tia đối tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN Gọi K là trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng (theo phương pháp ở 2.3.9)
2.3.3 Phương pháp 3: Sử dụng tiên đề Ơ-clit
Trong SGK Toán 7 tập 1, tiên đề Ơ-clit được phát biểu như sau: “Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó” (Trang 92).
Điều đó có nghĩa là nếu ta chỉ ra được qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng cho trước thì hai đường thẳng đó phải trùng nhau (nếu không sẽ trái với tiên đề Ơ- clit) và những điểm nằm trên hai đường thẳng đó là thẳng hàng Cụ thể:
Ví dụ 3 (Bài tập 48 Sách bài tập Toán 7 tập 1):
Cho tam giác ABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC Trên tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN = EB Chứng minh rằng A là trung điểm của MN
a
.
.
Trang 9∆ABC; KA = KB (K∈AB)
∆ABC; EA = EC (E∈AC)
KM = KC; EN = EB
KL A là trung điểm của MN.
+ Phân tích, tìm tòi lời giải:
Nếu ta chú ý vào thao tác khi vẽ hình bài toán này thì thấy rằng cần chứng
Suy ra: ∆AKM = ∆BKC (c.g.c) ⇒AM = BC; ·KAM =KBC·
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM // BC (1)
Chứng minh tương tự ta có: AN = BC; AN // BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM = AN.
Qua A ta có: AM // BC và AN // BC Vậy theo tiên đề Ơ-clit AM≡AN
⇒A, M, N thẳng hàng
Kết hợp với AM = AN ta có A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Vậy A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Trang 10+ Bài tập tương tự
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D Kẻ DF song
song BC (F ∈ AC ) Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD Gọi I
là trung điểm của DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ
tia Ax sao cho C· Ax =·ACB Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ tia
Ay sao cho BAy· =·ABC Chứng minh các điểm thuộc tia Ax, các điểm thuộc tia Ay
thẳng hàng
2.3.4 Phương pháp 4: Sử dụng tính chất của góc bẹt
Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau Cụ thể:
Nếu ·ABD DBC+· = 180 0 thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Ví dụ 4 (Bài tập 26 sách Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán Hình
học 7): Cho tam giác ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D Trên tia đối
của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE Nối D với E Gọi I là trung điểm của của DE Chứng minh rằng ba điểm B, I, C thẳng hàng.
+ Phân tích, tìm tòi lời giải:
Để chứng minh B, I, C thẳng hàng ta cần
chứng minh ·BIC= 180 0
Do dó, ta cần chứng minh DIB CIE· = ·
Ta vẽ thêm điểm F trên cạnh BC sao cho ∆EIC= ∆DIF
·FDI CEI=· (so le trong do DF//AC)
GT ∆ABC (AB = AC); D ∈ AB;
Trang 11DF = CE (= BD)
⇒ ∆DIF =∆EIC(c.g.c) ⇒ ·DIF=EIC· (hai góc tương ứng)
Mà DIF EIF· + · = 180 0 ⇒EIC EIF· + · =FIC· = 180 0 ⇒F, I, C thẳng hàng
⇒B, I, C thẳng hàng.
+ Nhận xét: Việc vẽ thêm đường phụ DF // AC đã giúp ta chứng minh dễ dàng hơn.
Nhiều học sinh không biết vẽ thêm đường phụ và thường nhầm lẫn ∆DBI = ∆ECI
nên đã giải sai bài toán
+ Bài tập tương tự
Bài 1: Cho tam giác ABC có µA= 60 0 Vẽ ra phía ngoài của tam giác hai tam
giác đều AMB và ANC Chứng minh M, A, N thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC Kẻ tia Cx vuông
góc với CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.
2.3.5 Phương pháp 5: Sử dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao)
Ví dụ 5 (Bài tập 40 trang 73 SGK - Toán 7 - tập 2):
Cho tam giác ABC cân tại A Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng.
GT
∆ABC (AB = AC);
G là trọng tâm; I là điểm nằm trong ∆
ABC và cách đều ba cạnh của ∆ABC.
KL A, G, I thẳng hàng
+ Phân tích, tìm tòi lời giải:
Ta biết rằng giao điểm ba đường trung tuyến (trọng tâm) bao giờ cũng nằm trên một đường trung tuyến bất kỳ của tam giác; giao điểm ba đường phân giác trong tam giác bao giờ cũng nằm trên một đường phân giác bất kỳ của tam giác; giao điểm ba đường trung trực trong tam giác bao giờ cũng nằm trên một đường trung trực bất kỳ của tam giác; giao điểm ba đường cao (trực tâm) trong tam giác bao giờ cũng nằm trên một đường cao bất kỳ của tam giác