SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT CẨM THỦY ---SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH BIẾT VẬN DỤNG CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI - ĐẠI SỐ 9
Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GD&ĐT CẨM THỦY
-SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH BIẾT VẬN DỤNG
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ RÚT GỌN BIỂU THỨC
CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI - ĐẠI SỐ 9
Người thực hiện: PHẠM THỊ HUYỀN Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Cẩm Tân SKKN thuộc lĩnh vực : Môn Toán
THANH HÓA NĂM 2019
Trang 2MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU Trang 1
1.1 Lí do chọn đề tài Trang 11.2 Mục đích nghiên cứu Trang 1 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trang 11.4 Phương pháp nghiên cứu Trang 1
2 NỘI DUNG Trang 32.1 Cơ sở lí luận Trang 32.2.Thực trạng vấn đề Trang 32.3 Các biện pháp thực hiện Trang 32.3.1 Phân tích kiến thức, kỹ năng và những nguyên nhân Trang 3 dẫn đến học sinh giải sai phần rút gọn biểu thức chứa căn
2.3.2 Phát hiện những sai lầm thường gặp khi vận dụng giải
toán về căn bậc hai Trang 42.3.3 Biết sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức có
chứa căn bậc hai Trang 72.3.4 Một số dạng bài tập thi học kỳ và thi tuyển sinh vào
lớp 10, thi HSG các cấp các năm Trang 10 2.4.1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Trang 15
3 KẾT LUẬN, KIẾN THỨC Trang 17 3.1 Kết luận Trang 17 3.2 Đề xuất Trang 17 Danh mục tham khảo Trang 18
Trang 3
1 MỞ ĐẦU:
1.1 Lí do chọn đề tài
Toán học là một môn học dành được nhiều sự quan tâm chú ý của các nhànghiên cứu, các bậc phụ huynh và học sinh Nó đóng vai trò rất quan trọng trong thựctiễn cuộc sống, ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực khác nhau như: Kinh tế, tàichính, kế toán, Nhưng học toán với nhiều học sinh cũng không phải là dễ, khi họctập và nghiên cứu môn học này, học sinh thường gặp nhiều khó khăn trở ngại trongviệc đưa ra phương pháp hợp lí để giải một bài toán cho đúng hoặc nên nhờ vào côngthức nào để vận dụng vào bài tập mình cần làm
Trong quá trình giảng dạy môn toán ở cấp THCS, bản thân tôi nhận thấy:Phần rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai là một đơn vị kiến thức trọng tâmcủa chương trình Đại số 9 Đặc biệt trong các kỳ thi vượt cấp, thi HSG, có nhiều bàitoán rất dễ nhưng học sinh vẫn lúng túng, giải chưa tốt, chưa linh hoạt, vì vậy, việcrèn cho học sinh lớp 9 thực hiện tốt dạng toán này là yêu cầu bắt buộc
Để giúp các em giải quyết được mối băn khoăn lúng túng của mâu thuẫn này,với kinh nghiệm của nhiều năm công tác tôi đã chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh biếtvận dụng các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai – Đại số 9”
1.2 Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này đưa ra một số phương pháp giải để giúp học sinh biết vận dụng lýthuyết vào thực hành giải bài tập Đại số 9 phần: “ Rút gọn biểu thức chứa căn thứcbậc hai ”để nhằm mục đích giải quyết được phần nào thắc mắc trong khâu giải bàitập và tìm ra lời giải thích hợp cho học sinh để góp phần nâng cao sự nghiệp giáo dục
và tinh thần trách nhiệm của người thầy giáo trong sự nghiệp giáo dục
Giúp học sinh biết sử dụng các hằng đẳng thức đã học một cách thích hợp,biết tổng hợp và bố cục một bài toán như thế nào
Khắc phục những sai lầm khi học sinh giải dạng toán này và luyện thi cũngnhư các bài tập nâng cao
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
- Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán chứa căn thức bậc hai mà đối tượngnghiên cứu là học sinh lớp 9 trường THCS Cẩm Tân, điều này có thể giúp tôi đi sâuvào nội dung nghiên cứu và cung cấp cho học sinh những kiến thức, phương pháp, kỹnăng giải toán rút gọn biểu thức chứa căn
- Vận dụng chính xác các hằng đẳng thức khi rút gọn biểu thức chứa căn thứcbậc hai
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng nhữngphương pháp sau :
Trang 4- Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề màhọc sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó.
- Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh trong cả khối 9 của trường THCSCẩm Tân mà tôi đang trực tiếp giảng dạy để thống kê học lực của học sinh Tìm hiểutâm lý của các em khi học môn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn
đề về giải toán có liên quan đến căn bậc hai (qua các phiếu học tập, các bài kiểm tra
và câu hỏi trắc nghiệm )
- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết trảbài kiểm tra, tôi đã đưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luậnbằng nhiều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở đểhọc sinh khắc sâu kiến thức, tránh được những sai lầm trong khi giải bài tập Yêu cầuhọc sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa rồi đưa thêm vào đónhững yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luậncủa học sinh, tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà HS thường mắc phải
- Về lí thuyết: Yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản đã học, thamkhảo thêm các sách ngoài luồng và sách nâng cao
- Đưa ra các dạng bài tập từ dễ đến khó, các dạng toán luyện thi và lưu ý họcsinh các sai lầm dễ mắc phải trong quá trình giải toán.
Trang 52 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
em học các hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 8 viết dưới dạng biểu thức chứa chữ,không có chứa căn, mà ở lớp 9 bài tập rút gọn biểu thức thường cho dưới dạng cănthức bậc hai có liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng nhớ Chính vì vậy một số emcòn yếu không nhận thấy được ở điểm này nên không làm được bài tập rút gọn Vìvậy ta phải làm sao cho học sinh nhìn thấy được mối quan hệ qua lại giữa hằng đẳngthức đáng nhớ ở lớp 8 và hằng đẳng thức lớp 9 để các em có thể tự mình phát hiện vàvận dụng nó vào việc giải bài tập
2.2 Thực trạng vấn đề :
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy nhiều năm và liên tục dạy chương trình toán
9 ở trường THCS Cẩm Tân.Theo dõi trong quá trình học tập, qua các bài kiểm tra vàtrong thi cử khi gặp dạng toán này nhiều em thường mắc sai lầm như: Thiếu điềukiện, phương pháp giải máy móc, lúng túng khi vận dụng phương pháp giải vào từngdạng toán cụ thể, nhất là khi vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ vào biểu thức cóchứa căn, dẫn đến chất lượng chưa cao Vì vậy sắp xếp các bài tập theo mức độ từthấp đến cao theo từng dạng toán với phương pháp giải phù hợp giúp học sinh dễhiểu, dễ nhớ là việc làm hết sức cần thiêt
Trang 6- Để khắc phục vấn đề đã nêu ở trên, cho học sinh ôn kỹ lại những hằng đẳngthức đã học như sau:
1 Bình phương của một tổng: ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
2 Bình phương của một hiệu: ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
3 Hiệu hai bình phương : a2 – b2 = ( a + b ).( a – b )
4 Lập phương của một tổng : ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5 Lập phương của một hiệu : ( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
6 Tổng hai lập phương : a3 + b3 = ( a + b).( a2 - ab + b2 )
7 Hiệu hai lập phương : a3 - b3 = ( a - b).( a2 + ab + b2 )
- Biết vận dụng nó để đưa vào những hằng đẳng thức đáng nhớ ở lớp 9 viếtdưới dạng có dấu căn:
- Nêu tóm tắt lý thuyết cần nhớ đã được học trong chương trình SGK sau đó
đưa ra các dạng bài tâp cơ bản, bài tập nâng cao, các đề luyện thi, đi từ dễ đến khósau mỗi dạng bài tập rút ra được phương pháp giải và tránh những sai lầm hay mắcphải khi giải toán
2.3.2 Phát hiện những sai lầm thường gặp khi vận dụng giải toán về căn bậc hai.
a Sai lầm trong các kỹ năng tính toán :
Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai :
Ví dụ 1 : Tìm x, biết : 4 ( 1 x) 2 - 6 = 0
* Lời giải sai :
2 ) 1
(
4 x - 6 = 0 2 ( 1 x) 2 = 6 2 (1 – x ) = 6 1 – x = 3 x = - 2
* Phân tích sai lầm: Học sinh có thể chưa nắm vững được chú ý sau : Mộtcách tổng quát, với A là một biểu thức ta có A2 = | A|, có nghĩa là :
Trang 7A = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
2
A = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm )
Vậy thì theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm
* Lời giải đúng :
2 ) 1
* Lời giải đúng : Để tồn tại x thì x ≥0 Do đó A = x + x ≥ 0 hay
min A = 0 khi và chỉ khi x = 0
b Sai lầm trong kỹ năng biến đổi và sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai :
3
) 3 )(
3 ( 3
x x
x x
* Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu x = - 3 thì x + 3 = 0, khi đó biểu thức
Trang 8* Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, mà để phân thức tồn tại thìcần phải có x + 3 ≠ 0 hay x ≠ - 3 Khi đó ta có:
3
) 3 )(
3 ( 3
x x
x x
1 (
) 1 ( ) 1 (
x x
x x
x x
= (
x
x x
x x x x
x
x x
x
x x
1
) 3 ( 2
=
x x
3 1
3 3
* Lời giải sai ý b: Q > -1 nên ta có:
* Phân tích sai lầm : Học sinh đã bỏ dấu âm ở cả hai vế của bất đẳng thức
mà không đổi chiều của dấu BĐT ( Kiến thức lớp 8 ) vì thế có được bất đẳngthức mới với hai vế đều dương nên kết quả của bài toán dẫn đến sai
* Lời giải đúng : Với Q > -1 nên ta có
3
< 1 1 + x > 3 x > 2 x > 4Vậy với x > 4 thì Q > -1
2.3.3 Biết vận dụng các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai
Trang 9x x
x
)
2
) 1 ( x
2 )
1 )(
1 (
) 1 )(
1 (
) 1 )(
2 ( ) 1 )(
2 (
x x
x x
)
2
) 1 ( x 2
2 2 2
x x x x x x
)
2
) 1 ( x 2
x
)
2
) 1 ( x 2
2 2
1
với x 0 ; x 4
a, Rút gọn P
b, Tìm x để P = 2
Nhận xét: Lưu ý học sinh xem bài toán cho có dạng hằng đẳng thức nào đã nêu
ở trên, từ đó các em sẽ nhận ra được hằng đẳng thức cần áp dụng trong bài:
4 x 2 x 2 x và dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu thức P
Giải:
Với x 0; x 4 ta có:
Trang 10b) Tìm giá trị của a để Q dương
Nhận xét: Sau khi quy đồng mẫu thức, cho học sinh quan sát và nhận thấyxuất hiện dạng hằng đẳng thức thứ 3 đã học ở lớp 8, vận dụng vào lớp 9 và giải nhưsau:
1 1
1
x x
x x
x
x x
Trang 11b, Tìm x để B = 3
Nhận xét: Bài toán cho có dạng hằng đẳng thức thứ 6 và thứ 7 đã học ở lớp 8,
ta đưa về dạng hằng đẳng thức lớp 9 có chứa căn thức nêu ở trên để áp dụng trong bài:
Cụ thể giải như sau:
Trang 12a, Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.
b, Tính giá trị của P khi 1
1 (
x x
2 24
x x
x
x x
)3(
232
3
a Rút gọn biểu thức P
b Tính giá trị của P với x = 14 - 6 5
Trang 13Giải: a, Điều kiện để giá trị của biểu thức P xác định : x0; x 9
3
31
)3(
2)3)(
1(
x x
x
x x
=
)1)(
3(
)1)(
3(
)3(
x x
x x
x
=
) 1 )(
3 (
3 3
18 12
2 3
x x x
x x
x x
=
)1)(
3(
248
x x
x x
)1)(
3(
)8(3)8(
x x
b, Từ x = 14 - 6 5 = ( 5)2 - 2 5.3 + 9 = ( 5 - 3)2
x = 3 - 5
Khi đó P =
1 5 3
8 5 6 14
5 6 22
=
11
5 2
58
Vậy khi x = 14 - 6 5 thì P =
11
5 2
Trang 14y - y +
2 1 ( -1)(y + +1) ( +1)(y - +1)
( -1) ( 1) ( 1)( 1)
2 1 (y + +1) (y - +1)
( 1) 1
y + +1- y + -1
A =
2( 1) 1
2
A =
2( 1) 1
y y
2 (
4 (
: ) ) 2 )(
2 (
8 (
) ) 2 )(
2
(
) 2 ( 4
x x
x
x x
x
x x
x x x
Trang 15( 2 ))
2 2 ( : ) ) 2 )(
2 (
4 8 ( ) ) 2 (
2 4
( : ) ) 2 )(
2
(
8 8 4
x x
x
x x x
x
x x
x x
x x x
2 ) ) 2 (
) 1 ( 2 ( : ) ) 2 )(
2
(
) 2 ( 4
x
x x
x
x x
2x1
Bài 5: (4 điểm) (Đề thi HSG lớp 9 năm học 2014 – 2015 Tỉnh Thanh Hóa )
Trang 16x x
x
x
với x 0 ; x 1
a, Rút gọn P
b, Tìm các giá trị của x sao cho P < 1
Nhận xét: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử rồi quy đồng mẫu thức ta
x x
x x
1
1 (
x
x x
x
x x
x x
x
x x
) 1 )(
1 (
2 1 ( : ) 1
1 (
x x
x
x x
=
) 1 (
) 1 )(
1 ( ).(
x
x x
=
) 1 (
b, Với P < 1
) 1 (
2 0
) 1 (
1 1
0 1 ) 1 (
1 1
) 1 (
x x x
x
x x
x
x x
Trang 179 Còn rất nhiều bài tâp mà ta có thể sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểuthức có chứa căn thức bậc hai hoặc thực hiện phép tính căn thức bậc hai Để cho các
em học sinh nhận thấy được tầm quan trọng của hằng đẳng thức đáng nhớ, qua đócác em có thể tránh được sai lầm trong giải bài tập, biết cách học mục đích của nộidung này là nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học trong nhà trường
2.4.1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
- Lúc chưa áp dụng đề tài, học sinh còn rất bỡ ngỡ vì không biết phải xuấtphát từ đâu khi gặp một số bài mà tôi đã trình bày ở trên Nguyên nhân chính ở đây làcác em chưa nắm vững hằng đẳng thức hoặc có thuộc thì chỉ thuộc lòng, không biếtcách vận dụng chúng như thế nào để giải bài tập dạng nêu trên Chính vì vậy phầnlớn các em rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai hoặc thực hiện phép tính cóchứa dấu căn không ra đến kết quả cuối cùng
- Sau khi áp dụng đề tài tôi nhận thấy rằng các em bắt đầu hiểu ra, hứng thúhọc tập, không còn lo lắng, lúng túng mà các em tự tin hơn và biết cách áp dụngchúng một cách triệt để Nhờ vậy chất lượng tăng lên rõ rêt
Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra rút gọn biểu thức có chứa cănthức bậc hai và thực hiện phép tính có chứa dấu căn thu được ở hai lớp 9A, 9B trongchương I năm học 2018 – 2019 đã áp dụng đề tài cho thấy:
Trang 189B 24 6 25 8 33,3 10 41,7 0 0
Tỉ lệ học sinh làm bài kiểm tra và thi tiến ích học kỳ I thì phần này đã làm rấttốt đạt tỉ lệ điểm cao Đối tượng học sinh đi thi học sinh giỏi các em giải bài tập phầnnày rất tự tin, năm học 2018 – 2019 tôi có 01 em đạt học sinh giỏi toán cấp huyện vàđang tiếp tục ôn để chuẩn bị đi dự thi cấp tỉnh
b Đối với giáo viên ( bản thân )
Qua việc áp dụng đề tài tôi nhận thấy giáo viên đỡ vất vả rất nhiều trong khâuphải giải bài tập cho học sinh, trước đây giáo viên phải làm việc nhiều hơn, học sinhchỉ biết thụ động tiếp thu kiến thức Sau khi sử dụng đề tài này tôi thấy học sinh có ýthức học tập hơn, biết tự mình phát hiện ra kiến thức và biết áp dụng chúng, đúng vớitinh thần lấy học sinh làm trung tâm phù hợp với việc đổi mới phương pháp dạy họchiện nay
Trang 19gọn được biểu thức chứa căn, định hướng dạy học ở từng dạng toán cơ bản để nângcao tính tự giác học tập đồng thời giúp các em tự tin hơn khi giải toán Việc áp dụng
đề tài này đã giúp cho học sinh hoàn thành tốt các bài tập Đại số - Phần rút gọn biểuthức chứa căn thức bậc hai và các bài tập có tính chất nâng cao trong sách bài tập,sách tham khảo Các em tự tin khi bước vào kỳ thi vượt cấp và thi HSG
3.2 Kiến nghị:
Để có thể nâng cao được nghiệp vụ giảng dạy và để cho kinh nghiệm bản thân
có được hiệu quả cao hơn, tôi xin đề xuất một vấn đề sau:
Về sách giáo khoa, cần in và chỉnh sửa từng đơn vị kiến thức, từng bài chophù hợp, khớp với phân phối chương trình
Tôi xin cam đoan SKKN trên là
hoàn toàn do bản thân tôi tìm
tòi,nghiên cứu và không copy
Người viết
Phạm Thị Huyền
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa toán 9 – Nhà xuất bản giáo dục
- Bài tập toán 9 - Nhà xuất bản giáo dục
Trang 20- Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 9 - Nhà xuất bản giáo dục.
- Tham khảo đề thi vào lớp 10 và thi HSG các năm tỉnh Thanh Hóa
DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH
VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Trang 21Họ và tên tác giả: Phạm Thị Huyền
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Cẩm Tân
TT Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
( Nghành GD cấp
huyện/Tỉnh, )
Kết quả đánh giá xếp loại ( A,B hoặc C) Năm học đánh giá xếp loại 1. Một số phương pháp giải toán 9 phần “ Phương trình bậc hai một ẩn” Cấp huyện B Năm học 2010 – 2011 2 Một số phương pháp giúp học sinh sử dụng “ Hệ thức Vi-Ét ” để giải các dạng bài tập – Đại số 9 Cấp huyện B Năm học 2015 – 2016 ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG ………
………
………
………
Trang 22………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
……
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN ………
………
………
………