Vậndụng những hiểu biết của mình vào trong thực tế, cuộc sống mà toán học còn làcông cụ giúp các em học tốt các môn học khác và góp phần giúp các em pháttriển một cách toàn diện.Từ vai t
Trang 1I.MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài:
Toán học là một trong những môn khoa học ra đời từ rất sớm trong lịch sửphát triển của xã hội loài người Cùng với sự phát triển của Toán học các mônkhoa học khác cũng dần được phát triển Trong chương trình phổ thông Toánhọc giữ một vai trò hết sức quan trọng Đây là môn học tương đối khó mangtính tư duy cao đòi hỏi người học phải chịu khó tìm tòi, khám phá và say mênghiên cứu Với đặc thù là môn khoa học tự nhiên, Toán học không chỉ giúp họcsinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi và khám phá tri thức Vậndụng những hiểu biết của mình vào trong thực tế, cuộc sống mà toán học còn làcông cụ giúp các em học tốt các môn học khác và góp phần giúp các em pháttriển một cách toàn diện.Từ vai trò quan trọng đó mà mỗi giáo viên dạy Toáncần biết phát huy tính tích cực của học sinh, kích thích được niềm yêu thích, say
mê Toán học của mỗi học sinh, giúp các em học sinh khá, giỏi có điều kiện mởrộng, nâng cao kiến thức Chính vì vậy mà việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thứccho học sinh trong giờ học và những giờ ngoại khoá là rất cần thiết và càng cầnthiết hơn đối với học sinh đầu cấp, đó là học sinh lớp 6
Nhiều năm học tôi được nhà trường phân công giảng dạy môn toán ởtrường THCS Hà Dương Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ các thầy côgiáo trong trường và qua các bài kiểm tra, các bài thi của học sinh giỏi trong nhàtrường, bản thân tôi nhận thấy một số các em học sinh chưa có kỹ năng thànhthạo khi làm các dạng bài tập về số nguyên tố Nhiều em còn rất mơ hồ về địnhnghĩa và các tính chất của số nguyên tố Sở dĩ như vậy vì phần toán về sốnguyên tố trong sách giáo khoa từ 6 lên 9 không đề cập nhiều về vấn đề này Chỉtrong sách Toán 6 có nêu định nghĩa về số nguyên tố một số dạng toán đơn giản
Nếu như các em học sinh không nắm chắc định nghĩa và tính chất của sốnguyên tố thì việc vận dụng nó để giải các dạng toán có liên quan và hình thànhkiến thức mới trong quá trình học Toán là một vấn đề khó khăn
Ngoài những bài toán ở dạng cơ bản có thể giải quyết bằng các phươngpháp thông thường cần phải nắm một số phương pháp khác và biết vận dụng cácphương pháp này khi gặp các dạng toán khó
Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho họcsinh tính tư duy độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thứcmới, ham thích bộ môn toán và giải được các dạng bài tập liên quan đến sốnguyên tố Với mục đích nâng cao chất lượng học tập của học sinh do mình phụtrách giảng dạy, giúp các em đạt kết quả tốt trong các kỳ thi vì thế tôi đã chọn và
đi sâu nghiên cứu đề tài " Nâng cao chất lượng môn Toán bằng cách rèn kỹ
năng giải các dạng toán về số nguyên tố cho học sinh lớp 6 trường THCS
Hà Dương" với mong muốn giúp cho học sinh của mình nắm vững định nghĩa
và tính chất của số nguyên tố, biết phát hiện và áp dụng các phương pháp giảiphù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau, qua đó dần dần hình thành
Trang 2được các kỹ năng giải Toán cho các em, giúp các em giải quyết được các dạngtoán liên quan trong các lớp học sau đó.
2 Mục đích nghiên cứu:
Bộ môn toán lớp 6 có vị trí rất quan trọng trong chương trình Toán THCS.Đây là tiền đề về các kiến thức toán để các em lĩnh hội tiếp các kiến thức củacác lớp trên Chính vì vậy tôi muốn hướng dẫn các em làm thành thạo và nắmchắc nội dung kiến thức về số nguyên tố
Sáng kiến được nghiên cứu trên thực tế hướng dẫn học sinh khai thác cácbài tập trong chương trình toán 6 Khi dạy các tiết luyện tập giáo viên hay xemnhẹ các bài toán dễ hoặc GV giao cho các em về nhà làm Do đó, học sinh nắmbắt một cách thụ động nên khi làm bài tập thường hay lúng túng, không có căn
cứ, thiếu cơ sở, lời lẽ lủng củng, dài dòng, trình bày thiếu logic
Do vậy, việc cải tiến phương pháp dạy học là cần thiết nhằm tích cực hóa hoạtđộng của học sinh, tạo động cơ, gây hứng thú cho học sinh khi học toán để nângcao chất lượng môn toán
Để học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản khi học và vận dụng tốt vàogiải các bài tập thì người giáo viên cần phải nghiên cứu suy nghĩ, tìm tòiphương pháp thích hợp: Đề ra các câu hỏi đào sâu những vấn đề lí thuyết, pháttriển năng lực suy luận và chứng minh Giúp học sinh có thể tự mình giải quyếtđược các bài tập khó trong SGK và các tài liệu khác
3.Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài này tôi tập trung nghiên cứu về số nguyên tố và các dạng toán ápdụng về số nguyên tố
Để tiến hành đề tài này tôi đã nghiên cứu và áp dụng cho chủ yếu là HSG
ở tất cả các khối 6, 7, 8, 9 trong các năm học qua
Đề tài này là tài liệu học tập tốt cho HSG cấp THCS và là tài liệu thamkhảo cho các thầy, cô giáo và phụ huynh HS nói chung
4 Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu bản thân tôi đã vận dụng phương pháp nghiêncứu đã học như: phương pháp đổi mới “ lấy học sinh làm trung tâm”, đó làphương pháp phân tích, tổng hợp, đánh giá
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu tài liệu để làm cơ sở lý luận.-Phương pháp kiểm tra: kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống kê sosánh, đối chiếu kết quả hoạt động khi chưa áp dụng và đang áp dụng đề tài Từ
đó kiểm nghiệm mức độ thành công của đề tài
- Nghiên cứu hoàn cảnh, môi trường, điều kiện học tập của học sinh
- Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thong tin phản hồi
- Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê
Hệ thống hóa tài liệu, đối chiếu, nghiên cứu thêm các tài liệu có liên quan
để chọn lọc những kiến thức cơ bản, trọng tâm, làm tư liệu mới, chính xác nhất,học hỏi thêm kinh nghiệm của những đồng nghiệp có dày dặn kinh nghiệm đểlàm kinh nghiệm bản thân
Trang 3II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1 Cơ sở lý luận của sỏng kiến kinh nghiệm
Toỏn học cú vai trũ quan trọng đối với đời sống và đối với cỏc ngành khoahọc Ngay từ thế kỷ 13, nhà tư tưởng Anh R Bờcơn (R Becon) đó núi rằng “ Aikhụng hiểu biết toỏn học thỡ khụng hiểu biết bắt cứ một khoa học nào khỏc vàcũng khụng thể phỏt hiện ra sự dốt nỏt của bản thõn mỡnh” Đến giữa thế kỷ 20,nhà bỏc học vật lý nổi tiếng ( P Dirac) khẳng định rằng khi xõy dựng lý thuyếtvật lý “ khụng được tin vào mọi khỏi niệm vật lý”, mà phải “ tỡm vào sơ đồ toỏnhọc, ngay cả khi sơ đồ này thoạt đầu cú thể khụng lien hệ gỡ với vật lý cả” Sựphỏt triển của cỏc khoa học đó chứng minh lời tiờn đoỏn của C.Mac (K Marx): “Một khoa học khụng chỉ thực sự phỏt triển nếu nú sử dụng được phương phỏpcủa toỏn học”
Mục tiờu cơ bản của giỏo dục núi chung, của nhà trường núi riờng là đàotạo và xõy dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phỏt triển toàndiện , cú đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trớ tuệ để đỏp ứng cỏc yờu cầuthực tế hiện nay Để thực hiện mục tiờu đú, trước hết chỳng ta phải biết ỏp dụngphương phỏp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sỏngtạo, năng lực giải quyết vấn đề, rốn luyện thành nề nếp tư duy sỏng tạo củangười học, từng bước ỏp dụng cỏc phương phỏp tiờn tiến, phương tiện hiện đạivào quy trỡnh dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiờn cứu cho học sinh
Đồng thời bản thõn mỗi giỏo viờn phải tự giỏc, tớch cực tỡm ra nhữngphương phỏp dạy học mới, khắc phục lỗi truyền thụ một chiều, phỏt huy tớnhtớch cực, tự giỏc, chủ động, sỏng tạo của học sinh trong cỏc mụn học, đặc biệt làmụn học cú tớnh đặc thự cao là mụn toỏn
Trong thời đại hiện nay nền giỏo dục của nước ta đó tiếp cận được vớikhoa học hiện đại Cỏc mụn học đều đũi hỏi tư duy sỏng tạo và hiện đại của họcsinh Đặc biệt là mụn toỏn, nú đũi hỏi tư duy rất tớch cực của học sinh, đũi hỏihọc sinh tiếp thu kiến thức một cỏch chớnh xỏc, khoa học và hiện đại Vỡ thế đểgiỳp cỏc em học tập mụn toỏn cú kết quả tốt giỏo viờn khụng chỉ cú kiến thứcvững vàng, một tõm hồn đầy nhiệt huyết, mà điều cần biết là phải biết vận dụngcỏc phương phỏp giảng dạy một cỏch linh hoạt, sỏng tạo truyền thụ kiến thứccho học sinh một cỏch dễ hiểu nhất
2 Thực trạng của vấn đề:
Trong chương trỡnh mụn Toỏn THCS núi chung và Toỏn 6 núi riờng cú rấtnhiều dạng Toỏn liờn quan đến phần số nguyờn tố.Chớnh vỡ vậy trong quỏ trỡnhgiảng dạy và nghiờn cứu tụi rất chỳ trọng đến dạng toỏn “Số nguyờn tố” Vỡ quamột số năm giảng dạy mụn Toỏn bản thõn tụi nhận thấy việc ỏp dụng cỏcphương phỏp đó học trờn lớp vào cỏc bài tập đơn giản thỡ cỏc em thực hiện được,nhưng khi gặp cỏc bài toỏn hơi khú một chỳt hoặc cỏc bài toỏn cú dạng khỏc mộtchỳt thỡ nhiều em cũn lỳng tỳng, chưa biết cỏch giải quyết Thậm chớ nhiều emhọc sinh do khụng nắm chắc định nghĩa và tớnh chất số nguyờn tố nờn khụng cúđịnh hướng để làm bài tập.Từ tỡnh hỡnh thực tế là đa số cỏc em học sinh chưa cúđiều kiện nghiờn cứu sõu và tỡm hiểu kỹ về vấn đề Khi ỏp dụng một kiến thứcnào đú vào giải bài tập chủ yếu là cỏc em chỉ bắt chước mà khụng xem xột vấn
đề một cỏch căn bản vỡ vậy rất dễ mắc sai lầm Xuất phỏt từ tỡnh hỡnh như vậy
Trang 4nên tôi đã mạnh dạn đưa ra đề tài" Nâng cao chất lượng môn Toán bằng cách
rèn kỹ năng giải các dạng toán về số nguyên tố cho học sinh lớp 6 trường THCS Hà Dương" Đề tài chỉ là một phần kiến thức cơ bản trong số rất nhiều
phần kiến thức của chương trình Toán THCS Mong rằng nó sẽ giúp cho các bạnđồng nghiệp có thêm một phần để tham khảo, giúp cho các em học sinh có cáchnhìn bao quát hơn về các dạng toán Nhưng nói chung dù là phương pháp gì đinữa thì yếu tố tạo hứng thú cho học sinh,sự tâm huyết của người thầy, tính tíchcực, ham học của các em vẫn là yếu tố quyết định Khi hội tụ đủ các yếu tố này
mà lại kết hợp vấn đề mấu chốt của bài toán được khai thác triệt để thì việc họctoán của các em sẽ không còn cảm thấy khó nữa
Kết quả, hiệu quả của thực trạng
Phần "Số nguyên tố" là một nội dung rất quan trọng, bởi kiến thức này làtiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt là vận dụng nó đểgiải quyết các dạng toán liên quan Cụ thể kết quả kiểm tra 45 phút về toán nàylà:
Để học sinh nắm chắc kiến thức và có hứng thú học tập, giáo viên phải chọnlọc hệ thống kiến thức, hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần, từ dễ đến khó, từ đơngiản đến phức tạp qua đó giúp học sinh rèn luyện các kỹ năng giải toán và phát huyđược tính độc lập sáng tạo của học sinh
Áp dụng đề tài này vào giảng dạy tôi nhận thấy đại đa số các em học sinh
đã nắm được các phương pháp cơ bản hay sử dụng và áp dụng giải quyết đượcphần lớn các bài tập tương tự mà giáo viên đã hướng dẫn, một số em khác đãbiết cách sử dụng các phương pháp mở rộng để làm một số các bài tập nâng caotrong các sách bồi dưỡng Các em cũng đã biết ứng dụng để giải một số dạngtoán có liên quan
3) Các số 0 và 1 không phải là só nguyên tố cũng không phải là hợp số
4) Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố
B/ Một số định lý cơ bản
1) Định lý 1: Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn
2/ Định lý 2:
Trang 5Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố mộtcách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số).
C/ Cách nhận biết một số nguyên tố
Để kiểm tra số a có là số nguyên tố hay không, ta có thể chia a lần lượt cho các
số nguyên tố 2; 3; ;p, với p là số nguyên tố lớn nhất thỏa mãn p2 ≤ a Nếukhông có phép chia hết thì a là số nguyên tố, trai lại a là hợp số
Đặc biệt: Với dãy 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 nên cho học sinh họcthuộc, tuy nhiên khi găp 1 số a nào đó (a < 100) muốn xét xem a là số nguyên tốhay hợp số ta thử a có chia hết cho 2; 3; 5; 7 hay không
+ Nếu a chia hết cho 1 trong 4 số đó thì a là hợp số
+ Nếu a không chia hết cho số nào đó trong 4 số trên thì a là số nguyên tố.Với quy tắc trên trong một khoản thời gian ngắn, với các dấu hiệu chia hếtthì học sinh nhanh chóng trả lời được một số có hai chữ số nào đó là nguyên tốhay không
D/ Số các ước số và tổng các ước số của 1 số:
Thật vậy: Ư(30) ={ 1;2;3;5;6;10;15;30} Ư(30) có 8 phân tử
Ứng dụng: Có thể không cần tìm Ư(a) vẫn biết a có bao nhiêu ước thôngqua việc phân tích ra thừa số nguyên tố
3100 có (100 + 1) = 101 ước
1 000 000 000 = 109 = 29.59 có (9 + 1)(9+1) = 100 ước
Ý nghĩa: Khi thông báo cho học sinh cách tính số ước của một số các em
có thể tin tưởng khi viết một tập hợp ước của một số và khẳng định đã đủ haychưa
b) Tổng các ước một số của a tính bằng công thức:
(a) = p1X1 + 1 - 1
p1 - 1 .
p2X2 + 1 - 1p2 - 1
pnXn + 1 - 1
pn - 1
E/ Hai số nguyên tố cùng nhau:
1- Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng
có ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1
Hai số a, b nguyên tố cùng nhau <=> (a,b) = 1 a,b ∈ N
2- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
3- Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
4- Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau <=> (a,b,c) = 1
Trang 65- a,b,c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau
a,b,c nguyên tố sánh đôi <=> (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1
Mọi số lẻ lớn hơn 33 là tổng của 3 số nguyên tố
Các định lý 2 và 3 ta có thể giới thiệu cho học sinh tham khảo và sử dụng
để giải một số bài tập
Mét sè bµi to¸n c¬ b¶n vÒ sè nguyªn tè DẠNG 1: ƯỚC CỦA MỘT SỐ
a = xa1.ya2 za n (x, y,…,z: các số nguyên tố)
Số ước của a là (a1 + 1)(a2 +1) (an +1)
Bài 1: 1.Tìm các ước nguyên tô của các số 30, 210, 2310
1
Ta có:
- Tập hợp K các ước nguyên tố của 30 là K = {1, 2, 3, 5} Và 30 = 1.2.3.5
- Tập hợp H các ước nguyên tố của 210 là H= {1, 2, 3, 5,7} Và 210 = 1.2.3.5.7
- Tập hợp P các ước nguyên tố của 2310 là P = {1, 2, 3, 5, 7, 11}
Trang 7Và 30 = 1.2.3.5.7.11
Chú ý: Khi phân tích số 210 ra thừa số nguyên tố ta có thể làm như sau :
210 = 21.10 Ta đó biết 10 = 2.5 nên chỉ cần phân tích 21 = 3.7 và có
210 = 2.7.2.5
Cách này hoàn toàn có lợi khi phân tích các số là bội của 10
Chẳng hạn khi phân tích số 3200 ta viết
Bài 2 : 1 Phân tích số 360 ra thừa số nguyên tố.
2 Số 360 có bao nhiêu ước.
Vậy số các ước của 360 là : (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 ước
3 Dể thấy các số 1, 2, 22, 23, (1) là ước của 360
Ta Tìm các ước còn lại theo cách sau
Bước 1: Nhân các số hạng dãy (1) theo thứ tự với 3 và 32 ta được các ước
Trang 93 Số 175 + 244 + 1321 có:
Số 175 có tận cùng là 7
Số 244 có tận cung là 6
Số 1321 có tận cùng là 3
Vậy 175 + 244 + 1321 có tận cùng là 6, chia hết cho 2 nên nó là hợp số
Bài 5 : Các số sau là nguyên tố hay hợp số
M
Suy ra EM Vậy E là hợp số 3
Trang 106 G chia hết cho 7 Vậy G là hợp số
Vì a = 24.32.5 và c = 2.33 nên a không chia hết cho c
Bài 7: Đố vui: Ngày sinh nhật của bạn
Một ngày đầu năm 2002 Huy viết thư hỏi thăm sinh nhật Long và nhận được thư trả lời.
Mình sinh ngày a tháng b, năm 1900 + c và đến nay d tuổi Biết rằng a.b.c.d = 59007
Huy đã kịp tính ra ngày sinh của Long và kịp viết thư chúc mừng sinh nhật bạn Hỏi Long sinh ngày, tháng, năm nào?
Giải
Ta có: a.b.c.d = 59007
c +d = 102 1≤ ≤a 31, 1 b 12≤ ≤
Phân tích ra thừa số nguyên tố a.b.c.d = 3.13.17.89
Trong các ước của abcd chỉ có hai số 13 và 89 có tổng bằng 102 Tuổi của Longkhông thể là 89 vậy d = 13, c = 89
Còn lại a.b = 3.17 do b≤ 12 nên b = 3, a = 17
Vậy long sinh ngày 17 – 3 – 1989
Bài 8:Chứng minh rằng:
Trang 111 Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n± 1
2 Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n± 1
Giải
1.Khi chia một số tự nhiên a lớn hơn 2 cho 4 thì ta được các số dư 0, 1, 2, 3.Trường hợp số dư là 0 và 2 hai thì là hợp số vì a M 2, ta không xét chỉ xét trườnghợp số dư là 1 hoặc 3
Với mọi trường hợp số dư là 1hoặc 3 ta có a = 4n± 1
2.Khi chia số tự nhiên a cho 6 ta có các số dư 0, 1, 2, 3, 4, 5 Trường hợp số dư
0, 2, 3, 4 Ta có a chia hết cho 2 hoặc a chia hết cho 3 nên a là hợp số