Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 7 vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải các dạng bài tập

Với chút kinh nghiệm của bản thân sau 11 năm giảng dạy tôi đã, đang trăn trởtrong từng bài giảng nhằm tìm ra các giải pháp hiệu quả nhất, tạo cho các em cóniềm tin, sự hứng thú trong học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

Người thực hiện: Đỗ Thị Cảnh

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Thánh Tông

SKKN thuộc lĩnh mực ( môn ): Toán học

THANH HOÁ NĂM 2017

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, môn toán học là môn khoa học tự nhiên đóng vai tròquan trọng Để học sinh có kiến thức môn toán được vững vàng thì các em phảichăm chỉ học tập, có phương pháp học tập đúng đắn và phải nắm kiến thức mộtcách có hệ thống Trong khi đó nhiều học sinh hiện nay chưa có phương pháphọc hiệu quả, chưa biết cách hệ thống các kiến thức mà mình đã được học trongsách giáo khoa Các em chỉ trông chờ vào các thầy cô giáo, thầy cô dạy bài nàothì biết bài đó, dạy dạng nào thì biết dạng đó

Nếu như học sinh lớp 6, các em mới được chuyển đổi môi trường học tập (từbậc tiểu học lên bậc trung học cơ sở) nên có một bộ phận không nhỏ học sinh bỡngỡ trước cách tổ chức Dạy - Học rất khẩn trương và khoa học của bộ mônToán, đã làm cho học sinh khó khăn trong việc tiếp thu kiến thức - kĩ năng thìsang lớp 7 tuy các em không còn bỡ ngỡ lúng túng về phương pháp như ở lớp 6nhưng các em lại phải tiếp cận đồng thời với rất nhiều luồng kiến thức mới,mang tính chất bản lề, khó hơn và dàn trải hơn, các bài tập mang tính tư duy caohơn, số liệu khô khan, những con số cồng kềnh hơn.Do đó việc tiếp thu và lĩnhhội kiến thức của các em học sinh lớp 7 (đặc biệt là học sinh trung bình, yếu)gặp rất nhiều khó khăn, lúng túng trong việc tìm lời giải và dẫn tới mất tự tin khihọc môn toán

Với chút kinh nghiệm của bản thân (sau 11 năm giảng dạy) tôi đã, đang trăn trởtrong từng bài giảng nhằm tìm ra các giải pháp hiệu quả nhất, tạo cho các em cóniềm tin, sự hứng thú trong học tập, cho các em thấy rằng toán học là một bộmôn rất thú vị và bổ ích

Trong chương I Đại số 7: Số hữu tỉ.số thực, qua nhiều năm giảng dạy và bồidưỡng học sinh khá giỏi, tôi nhận thấy có một đơn vị kiến thức rất quan trọng,kích thích sự tìm tòi khám phá của học sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi đó là:

Tính chất tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau, với dung lượng kiến thức này khi

nhìn qua công thức và áp dụng trực tiếp công thức (SGK) một số học sinh (Hskhá, giỏi) cho rằng dễ chứ không khó, nhưng thực sự khi bắt tay vào giải quyết

các bài tập ta mới thấy phải có “Kỹ thuật” mới biết sử dụng tính năng của tính

chất này

Đó cũng chính là lí do mà tôi chọn tên đề tài SKKN là: “Kinh nghiệm

hướng dẫn học sinh lớp 7 vận dụng tính chất tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải các dạng bài tập”

Trong quá trình giảng dạy trên lớp, các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi, cácbuổi học thêm với sự tìm tòi góp nhặt từ những bài toán cơ bản đến những bàitoán hay và khó hay những sai lầm thường mắc phải của các em học sinh khigiải bài tập bản thân tôi đã đúc rút được cho mình những kinh nghiệm nhỏ trongquá trình giảng dạy và mạnh dạn trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm này

1.2 Mục đích nghiên cứu

Với sáng kiến kinh nghiệm “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 7 vận dụng tính chất tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải các dạng bài tập” tôi mong muốn:

- Tìm cách dạy - học môn toán trong việc áp dụng tính chất dãy tỉ số bằngnhau một cách có hiệu cao nhất, từ đó tiết kiệm được thời gian của thầy và tròkhi dạy và học

- Tạo cho học sinh thói quen suy nghĩ, tìm tòi, khám phá kiến thức, từnhững bài tập cơ bản áp dụng công thức ban đầu đến giải quyết những bài tập cótính tư duy cao hơn

- Thông qua đề tài “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 7 vận dụng tính chất tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào giải các dạng bài tập” nhằmgiúp các em chủ động kiến thức, biết vận dụng kiến thức đúng lúc vào giải quyếtnhững dạng bài tập như thế nào? Làm cho các em không còn phải lo lắng, lúngtúng và mắc phải những sai lầm khi bắt gặp dạng toán này Bên cạnh đó họcsinh còn được rèn luyện:

+ Kỹ năng phân tích một bài tập toán dạng này, biết “Quy lạ về quen”.+ Kỹ năng vận dụng kiến thức và biến đổi các bài tập từ chỗ chưa có thể

áp dụng được công thức về dạng dãy tỉ số bằng nhau để áp dụng được côngthức

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài này chủ yếu là học sinh lớp 7 mà chútrọng là học sinh khá, giỏi Ngoài ra còn vận dụng sáng kiến này cho công tácbồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài này, tôi tiến hành nghiên cứu sách giáo khoa toán 7,sách bài tập toán 7, sách giáo viên, tạp chí toán học và tuổi trẻ, toán tuổi thơ, cácsách tham khảo Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn tìm hiểu các đề thi học sinh

giỏi cấp huyện, cấp tỉnh để thường xuyên cập nhật và bổ sung hệ thống bài tậpmột cách đa dạng và phong phú Và mỗi năm sau khi giảng dạy phần này chohọc sinh thì tôi luôn tự rút kinh nghiệm để hoàn thiện hơn trong năm tiếp theo.

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Ngày 4/11/2013, Tổng Bí thư Nguyễn Phú Trọng đã ký ban hành Nghịquyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị quyết số29-NQ/TW) Nghị quyết có nội dung về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục vàđào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tếthị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế

Trong nghị quyết 29 có nêu rõ: "Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng caodân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh quá trình giáo dục

từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chấtngười học Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trườngkết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội"

Với vị trí là một giáo viên trực tiếp giảng dạy, bản thân tôi nhận thấy, đểthực hiện theo định hướng trên thì trước hết mỗi giáo viên phải luôn luôn biết tựhoàn thiện mình, phải tâm huyết với nghề, có năng lực chuyên môn vững vàng,biết làm chủ kiến thức Giáo viên phải đổi mới phương pháp giảng dạy, tạo racác giờ học sinh động và hấp dẫn

Đối với môn toán, khi giảng dạy giáo viên cần giúp cho học sinh hệ thốngđược các nội dung kiến thức theo từng chủ đề, biết vận dụng tốt các kiến thứctrong sách giáo khoa vào giải các bài tập và các bài toán thực tế Vì vậy khigiảng dạy chuyên đề " Tính chất tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau", bản thân tôiluôn suy nghĩ làm thế nào để học sinh có thể nắm vững được hệ thống các kiếnthức và các dạng bài tập từ đơn giải đến phức tạp, từ những bài tập trong sáchgiáo khoa đến những bài thi trong các kỳ thi mà các em sẽ trải qua, từ đó tạo rahứng thú học tập cho học sinh, hình thành ở học sinh tư duy linh hoạt, sáng tạo

và chủ động tiếp thu kiến thức Khơi dậy cho học sinh, nhất là các em học sinhkhá giỏi lòng say mê học tập, sự khao khát khám phá những điều mới lạ Điềunày đã được tôi thể hiện rõ nét trong sáng kiến kinh nghiệm này

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong chương trình môn toán lớp 7, phần Tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ

số bằng nhau là một mắt xích đóng vai trò rất quan trọng Vì vậy việc giúp họcsinh nắm vững kiến thức trong sách giáo khoa và biết áp dụng kiến thức vào giảibài tập là việc làm vô cùng cần thiết Tuy nhiên, thời gian đầu khi mới giảng dạymôn toán 7, khi dạy phần tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau tôi cònkhá lúng túng Các bài tập tôi cung cấp cho học sinh chưa có hệ thống, chưa làmnổi bật được tầm quan trọng của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Vì vậy khi học sinh học phần này, các em cũng nắm kiến thức một cách dàn trải,chưa có hệ thống Các em chưa thực sự say mê học tập vì chưa thấy được nhữngđiều thú vị ẩn sau các công thức đơn giản trong sách giáo khoa Sau một vàinăm, bản thân tôi cũng có kinh nghiệm hơn trong giảng dạy, tôi nghĩ rằng mìnhphải làm thế nào để kiến thức mình truyền đạt đến học sinh phải có chọn lọc, có

hệ thống, giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, đã nhớ thì khó quên Do đó tôi đã dầndần hình thành nội dung sáng kiến kinh nghiệm này mà hôm nay xin được chia

sẻ cùng các đồng nghiệp

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng

Khi giảng dạy cho học sinh lớp 7 vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy

tỉ số bằng nhau thì đầu tiên tôi nhắc lại cho học sinh các kiến thức mà các em đãđược học trong sách giáo khoa:

Định nghĩa tỉ lệ thức: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số a c

b d Ta còn viết:a: b = c: d.Trong đó a và d là các ngoại tỉ (số hạng ngoài) ; b và c là các trung tỉ(số hạng trong)

Tính chất của tỉ lệ thức: a c

b d

Tính chất 1: Nếu a c

b d thì a.d = b.cTính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

b d f b d f b d f , (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Chú ý: Khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b, c tức là ta có: x y z

a b c Ta cũng viết: x: y: z = a: b: c

Khi giảng dạy cho học sinh lớp 7 vận dụng tính chất Tỉ lệ thức và dãy tỉ sốbằng nhau thì tôi đưa ra hệ thống kiến thức theo ba dạng chính sau:

DẠNG 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Phương pháp chung:

+ Dạng bài tập này học sinh gặp rất nhiều, nó rất phong phú và đa dạng.Bài toán thường cho 2 dữ kiện, cũng có khi chỉ cho 1 dữ kiện Từ những mối quan hệ đó ta có thể tìm được đáp án của bài toán, nhưng cũng có thể phải khéo léo biến đổi giả thiết thì mới có thể áp dụng được

+ Lưu ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp dữ kiện bài toán có liên quan đến số mũ chẵn hoặc tích của hai số, để tránh tìm ra số không thỏa mãn yêu cầu bài toán Cũng lưu ý các trường hợp có thể xảy ra để không bỏ xót những giá trị cần tìm

) 2 x ( ) 1 x (

6 2 3 x 2 8

16 5 3

y x

3  5 Khi đó x = 3k; y = 5k

Thay vào biểu thức x + y = 16 ta có : 3k + 5k = 16 => 8k = 16 => k = 2

2 2 2 y

6 3 2 x 2

10 20 5

2 3

z y x 5 z 2

y

3

x

Vậy: x=6, y=2, z= 10.Vậy: x=-42, y=-9, z= -33

Cách 2: Học sinh vận dụng tương tự cách đặt ẩn phụ trong cách 2 bài 3

Nhận xét: Mặc dù đây là dạng toán áp dụng công thức đơn giản nhưng

trong quá trình làm bài tập tôi nhận thấy các em vẫn mắc phải sai lầm như sau: Chẳng hạn ở Bài tập 3a học sinh trình bày: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số

8

16 5 3

y x 5

y 3

Cách 1: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Cách 2: Đặt ẩn phụ

Tiếp theo, ta sẽ xét đến các bài toán vận dụng cao hơn tính chất của tỉ lệ thức

và dãy tỉ số bằng nhau trong bài toán tìm x, y, z

9 3 3 x 3 13

39 10 3

y 2 x 10

Nhận xét: Từ bài 5, tôi có thể khai thác thêm một số bài toán khác bằng

cách thay điều kiện

5

y 3

x

 bởi 5x=3y; hoặc x: y = 3: 5; cũng có thể thay đổi

điều kiện x + 2y = 39 bởi 2y = 39 – x

Vậy: x=45, y=60, z =84

Tổng quát hóa bài toán 6 ta có bài toán tổng quát sau:

1 3

1 2 1

z y x 5 1 z 3 1 y 2 1

2 x 4 x 1 29

29 25 4

y x

2 x

2 x

Nhận xét: Bài toán này rất nhiều học sinh gặp sai lầm khi biến đổi

Chẳng hạn:

Ta có:

25

y 4

x 5

Sai lầm là dấu “=” tại (1)

Cách giải đúng: Chỉ cần thay dấu “=” bởi dấu “=>” tại (1)

2 2

x z

y x

z z

z y x

Nên giáo viên cần nhắc nhở công thức đó

là không đúng VD: 12426312..24..36

Bài 12:Tìm x, y biết

5

y x 3

ta có: ( 1 )

4

y 8

y 5

3

y x x y 5

y x 3

x 5

3

y x x y 5

y x 3

2

4

y 1

x 4

y 1

.

10

20 10

Vậy có 4 cặp (x ;y) thỏa mãn đề bài là: (1 ;2) , (-1 ;-2) , (1 ;-2) , (-1 ; 2)

Nhận xét: Các bài toán 9, 10, 11, 12 học sinh rất dễ thiếu nghiệm Khi

chúng ta giải các bài tập lũy thừa mũ chẵn khi lấy nghiệm học sinh thường sót nghiệm âm.Do đó các bài tập dạng này tôi cô gắng khắc sâu nhằm giúp học sinh nắm vững bản chất của các bước biến đổi để có thể ghi nhớ và tránh sai lầm.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

15a 10b 6c 15a 10b 6c 15a 10b 6c 15a 10b 6c 0

Nhận xét: Bài toán này giáo viên cần lưu ý học sinh quan sát các hệ số của

a, b, c để từ đó có thể làm xuất hiện các cặp số đối nhau, qua đó có thể đưa ra dãy tỉ số bằng nhau trên cơ sở rút ra từ các tử số của các tỉ số bằng 0

Bài 14: Tìm x, y, z biết x 915 y 1220 z 2440

   và xy = 1200Hướng dẫn giải: Điều kiện x 9, y 12, z 24   

Hay x y z

152040

Từ đó học sinh có thể vận dụng các phương pháp đã nêu ở trên để tìm x, y, z

Đôi khi bài toán này chỉ xuất hiện một dữ kiện duy nhất, học sinh sẽ rất lúng túng để giải quyết tình huống này, ta xét một số bài toán điển hình:

Nhận xét: Ở câu a ta chỉ có một trường hợp vì đã có điều kiện x + y + z ≠ 0

Ở câu b ta phải xét hai trường hợp.Thông thường học sinh hay xét thiếu trường hợp 1.Vận dụng tương tự học sinh có thể thực hành thông qua bài tập sau:

Tìm x, y biết:

2x513y7 2 2x6xy 1 (1)

(Trích tại chuyên mục “sai ở đâu sửa cho đúng” - Báo toán học tuổi thơ 2)

Nhận xét: Thông qua bài tập trên tôi muốn lưu ý đến học sinh khi hai tỉ

số bằng nhau, tử số bằng nhau các em cần xét hai trường hợp có thể xảy ra: Trường hợp 1: Tử số bằng nhau và bằng 0

Trường hợp 2: Tử số khác nhau dẫn đến mẫu số bằng nhau

DẠNG 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC

Để chứng minh tỉ lệ thức ta thường dùng một số phương pháp sau:

•) Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A.D = B.C

•) Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số có cùng giá trị

•) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức

* Một số kiến thức cần chú ý

•) => = (n N*)

Sau đây là một số bài tập minh họa (giả thiết các tỉ số đã cho đều có nghĩa)

Bài 1: Cho b a d c chứng minh rằng a a b c c d

a d

c b

b a d c

b a d

b c

a d

b a c

a

n n

n n n

b d nếu n là số sè lÎ và ba  dc nếu n là số chẵn

(Trích BT 6 trang 57: Sách KT cơ bản và Nâng cao Toán 7 -Vũ Ngọc Đạm)

Bài 4 Cho 4 số khác 0 a a a a1, 2, ,3 4 thỏa mãn a22 a a a1 3; 33 a a2 4

a a a

a a

3 2 1 4 3 3 2 2

1

a a a

a a a a

a a

a a

3 3 2 2

1

a

a

a

a a

a a

2

2011 2

1

2012

1

a

a

a

a

(Trích đề thi Học sinh giỏi huyện Thọ Xuân năm học 2011-2012)

Giải: Từ giả thiết :

2012 2011 4

3 3 2 2

1

a

a

a

a a

a a

2

2011 2

1 2012

1

a

a a

a

a a a

Bài 1: Cho tỉ lệ thức: b a d c Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giảthiết các tỉ số đều có nghĩa)

d c

b a d c

b a

b a cd

bd b

ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

2

2 2

c z

y x

b z

(Trích - Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS)

DẠNG 3: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Bài 1: Cho các số x, y , z khác 0 thỏa mãn:

Nhận xét: Qua bài tập 1 tôi muốn học sinh bước đầu tập làm quen với

dạng toán”Tính giá trị của biểu thức”, ngoài phương pháp áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau giáo viên cũng nên nhấn mạnh hiệu quả của phương pháp đặt ẩn phụ trong bài toán này

Bài 2: Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn 2x = 3y = 5z Tính giá trị của biểu

Nhận xét: Thông qua bài tập 2, tôi muốn lưu ý học sinh tính hữu dụng

của phương pháp đặt ẩn phụ trong bài toán tính giái trị của biểu thức.Học sinh cũng có thể vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nhưng lời giải sẽ dài hơn rất nhiều

2, vì vậy giáo viên cần lưu ý học sinh xét trường hợp a + b + c

= 0 để không bỏ sót nghiệm của bài toán

Nhận xét: Thông qua bài tập 4 tôi muốn chốt lại khi các tỉ số bằng nhau,

tử số bằng nhau các em phải xét hai trường hợp, trường hợp 1 tử số bằng 0, trường hợp 2 tử số khác 0, khi đó mẫu số bằng nhau

Một số bài tập tương tự:

Bài 1: Cho 3 số x, y, z khác 0 thỏa mãn điều kiện: y z x x z x y y x y z z

Hãy tính giá trị của biểu thức: B = 1 x 1 y 1 z

Tính giá trị của biểu thức: M = 4 (a - b) (b - c) - (c - a) 2

Bài 3: Cho dãy tỉ số bằng nhau :

a d b a

d c a d

c b d c

b a

và x + y + z + t = 2018 Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y - 3z + t

Bài 5 : Cho x, y, z thỏa mãn 2015z 2016y 2016x 2014z 2014y 2015x

x 3y z 2015   

Tính giá trị của biểu thức P x 2015  2016y 2015  2016z 2015  2016

(Trích báo toán học và tuổi thơ số 153 tháng 11 năm 2015)