Cách khai thác bài toán mới từ một số bài toán hình học trong sách giáo khoa cho học sinh lớp 8 trường THCS bắc sơn

Lí do chọn đề tài: Là giáo viên dạy Toán nhiều năm, tôi nhận thấy: dạy Toán đặc biệt là dạy môn Hình học, không đơn thuần là dạy cho học sinh nắm được những khái niệm, định lý hoặc giải

PHẦN I- MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Là giáo viên dạy Toán nhiều năm, tôi nhận thấy: dạy Toán đặc biệt là dạy môn Hình học, không đơn thuần là dạy cho học sinh nắm được những khái niệm, định lý hoặc giải được bài toán đơn lẻ thông thường … mà điều quan trọng là dạy cho học sinh thói quen tìm tòi, thói quen tự khám phá và phát hiện kiến thức thông qua sự hướng dẫn của giáo viên hoặc thông qua các hoạt động

do giáo viên tổ chức

Với suy nghĩ đó, trong quá trình giảng dạy nhiều năm tôi đã tiến hành dạy khai thác bài toán hình học mới từ bài toán sách giáo khoa đối với các đối tượng học sinh và tôi nhận thấy hiệu quả rất rõ rệt từ cách dạy trên Vì vậy tôi xin được

mạnh dạn trình bày kinh nghiệm “Cách khai thác bài toán mới từ một số bài toán Hình học trong sách giáo khoa cho học sinh lớp 8 trường Trung học cơ

sở Bắc Sơn- Bỉm Sơn” để trao đổi với đồng nghiệp với mong muốn nâng cao

chất lượng dạy học hơn nữa

2 Mục đích nghiên cứu:

Khai thác bài toán mới từ bài toán ban đầu giúp cho học sinh thói quen đào sâu suy nghĩ, phát triển năng lực tư duy, óc tò mò khoa học và sức sáng tạo của học sinh Giúp học sinh biết xử lí các tình huống

3 Đối tượng nghiên cứu:

3.1 Khách thể nghiên cứu: Hệ thống các bài tập thông qua nội dung các bài

Hình học Qua đó, giúp các em rèn tốt khả năng tư duy, hệ thống kiến thức, thu thập, phân tích thông tin, làm bài tập thực hành

3.2 Khách thể khảo sát : Gồm hai nhóm học sinh lớp 8 trường Trung học cơ sở

Bắc Sơn- Bỉm Sơn, năm học 2017 - 2018

3 3 Đối tượng: Xây dựng và thử nghiệm, rút kinh nghiệm chuyên đề cấp trường

ở khối 8 theo sự chỉ đạo của Ban giám hiệu trường Trung học cơ sở Bắc Sơn-Bỉm Sơn

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, kiểm tra, thống kê…

- Nghiên cứu tài liệu trên mạng Intenet và quan sát, phỏng vấn, khi dạy học sinh

PHẦN II- NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở của sáng kiến kinh nghiệm

1.1 Cơ sở lí luận

- Mục tiêu cơ bản của giáo dục là “Đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ, có kỹ năng mềm để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay” Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng

phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự tìm ra những phương pháp mới, khắc

phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là môn Toán

1.2 Cơ sở thực tiễn

Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoa học hiện đại Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học sinh Đặc biệt là môn Toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức một cách chính xác, khoa học và hiện đại Vì thế để giúp các em học tập môn Toán có kết quả tốt giáo viên không chỉ có kiến thức vững vàng, một tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh một cách dễ hiểu nhất

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Thực trạng tình hình

Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn khi giáo viên thay đổi giả thiết bài toán thì còn bỡ ngỡ, không biết cách làm Xuất phát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa cao, chỉ đạt ở mức trung bình Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng khai thác, tạo nên bài toán mới từ bài toán trong sách giáo khoa là việc làm thiết thực

Muốn thế giáo viên phải tích cực quan tâm thường xuyên, không chỉ giúp các

em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng tư duy, tìm tòi Do đó giáo viên không những cố gắng rèn luyện cho học sinh cách giải mà cần khuyến khích học sinh xây dựng bài toán mới từ bài toán ban đầu để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin cho học sinh khi học môn Hình học

Với hai nhóm có học sinh nhận thức ngang nhau và kết quả khảo sát trước khi thực hiện dạy thực nghiệm như sau:

Nhóm Số HS

khảo sát

trở lên

Thông qua kết quả kiểm tra, tôi nhận thấy kết quả chưa được như mong muốn, vì lẽ đó tôi quyết định nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên:

“ Cách khai thác bài toán mới từ một số bài toán Hình học trong sách giáo

khoa cho học sinh lớp 8 trường THCS Bắc Sơn” với mục tiêu nâng cao chất

lượng hơn nữa và tạo hứng thú tìm tòi cho học sinh khi học bộ môn Hình học

2.2 Những thuận lợi và khó khăn

2.2.1 Thuận lợi

- Trường Trung học cơ sở Bắc Sơn- Bỉm Sơn luôn có được sự quan tâm giúp đỡ của Phòng Giáo dục và Đào tạo, Ban giám hiệu nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất cả các hoạt động của trường, luôn tạo mọi điều kiện để giáo viên làm tốt công tác nghiên cứu

- Hầu hết các em học sinh ngoan thích học bộ môn Toán khi mà tôi giảng dạy

2.2.2 Khó khăn :

- Trường Trung học cơ sở Bắc Sơn- Bỉm Sơn là điểm trường thuộc vùng miền núi, nhiều học sinh không thể tự học ở nhà vì các em còn phải phụ giúp gia đình

- Khả năng nắm kiến thức mới của các em còn chậm và chỉ có thói quen giải xong bài tập trong sách giáo khoa, không tìm tòi, tư duy khi thay đổi điều kiện bài toán thì ta có được bài toán nào và hướng giải ra sao

- Kỹ năng vận dụng lý thuyết vào bài tập của các em còn hạn chế

3 Giải pháp và tổ chức thực hiện

3.1 Giải pháp:

Từ những khó khăn cơ bản của học sinh cũng như những yếu tố khách quan khác, tôi đã cố gắng tìm ra những giải pháp khắc phục nhằm đạt được hiệu quả cao Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi học môn Hình học nên tôi

đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù hợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng Các bài tập ở dạng từ thấp đến cao để các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình, đồng thời kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá

3.2 Tổ chức thực hiện

Tuy khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi nhóm chưa đồng đều nhưng khi học tất cả đều phải dựa vào một quy tắc ba bước sau:

Bước 1: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung bài toán Trong bước này học

sinh cần :

- Đọc kỹ đề bài, hiểu đề bài

- Khái quát được nội dung bài toán

- Phân tích nội dung bài toán: bài toán cho biết gì? yêu cầu chứng minh điều gì?

- Vẽ hình chính xác, trực quan, vẽ trong các trường hợp khác nhau và không vẽ hình trong trường hợp đặc biệt

Bước 2: Tìm đường lối chứng minh.

- Tìm sự liên hệ giữa cái đã biết và điều chưa biết.

- Có thể phân tích thành bài toán đơn giản hơn hoặc tìm sự tương tác với các bài toán đã làm

- Bài toán liên quan đến nội dung kiến thức nào đó học

- Ta cần đưa hình phụ

Bước 3: Thực hiện chương trình giải và kiểm tra lời giải

- Trên cơ sở phân tích tìm lời giải trên, tổng hợp lại quá trình chứng minh

- Kiểm tra lại việc vận dụng các kiến thức đó đã hợp lý chưa ? kết luận của bài toán có đáp ứng được yêu cầu chứng minh không ?

- Để khai thác bài toán mới từ bài toán ban đầu hỏi học sinh phải phân tích kỹ bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

- Đặc biệt hóa hoặc khái quát hóa bài toán ta được bài toán nào? Kết luận bài toán ban đầu còn phù hợp không?

- Đảo giải thiết và kết luận của bài toán cho nhau ta có thể được bài toán mới không?

3.3 Các ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1: ( Bài 6 – Trang 24 – SGK Hình học 8)

Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB,

BC, CD, DA Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành?

Giải :

MN là đường trung bình của tam giác ABC

Þ MN // AC và MN = 1

2AC (1)

PQ là đường trung bình của tam giác ACD

Þ PQ//AC và PQ = 1

2 AC (2)

Từ (1) và (2) => MN = PQ và MN // PQ

Þ MNPQ là hình bình hành

Khai thác bài toán :

1 Câu hỏi đặt ra là: Liệu tứ giác ABCD không

lồi như hình 1 thì tứ giác MNPQ có là hình bình

hành không?

Dễ thấy hoàn toàn tương tự như trên ta chứng minh

được tứ giác MNPQ là hình bình hành Vì vậy ta có

hai bài toán sau:

Bài toán 1.1:

Cho tứ giác ABDC có M, P lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB và CD và Q, N lần lượt là trung điểm của các đường chéo AD

và BC Chứng minh rằng tứ giác MNQP là hình bình

hành?

Bài toán 1.2: Cho tam giác ABD, C là điểm nằm

trong tam giác ABD.Gọi M, N, P,Q lần lượt là trung

điểm các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA Chứng

minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành?

Và cũng từ bài toán 1.1 và bài toán 1.2 cho ta

bài toán:

Bài toán 1.3 :

(hình 1)

Q

P

N M

D C

B A

Q

N M

B A

N M

C

D B

A

Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA Các điểm A, B, C, D phải thỏa mãn điều kiện gì để M, N, P, Q là bốn đỉnh của:

a) Hình chữ nhật?

b) Hình thoi?

c) Hình vuông?

BNM ABC CNP BCD DPQ ACD AQM ADB

S  S S  S S  S  S

2

MNPQ ABCD

S  S , do vậy ta có các bài toán sau:

Bài toán 1.4 :

Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB,

BC, CD, DA Chứng minh 1

2

MNPQ ABCD

Bài toán 1.5 :

Cho tứ giác ABCD gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BD,

CD Chứng minh rằng 1

4

MNP ABCD

s  S ?

3 Từ ví dụ 1 ta thấy rằng nếu trên cạnh BC có điểm E , trên cạnh AD có điểm F ( E  N , F Q ) mà tứ giác FPEM là hình bình hành thì cũng có tứ giác FQEN là hình bình hành, do vậy giúp ta giải được bài toán sau:

Bài toán 1.6:

Cho tứ giác ABCD có M, P lần lượt là trung điểm

thuộc các cạnh AB,CD.Chứng minh rằng nếu tồn tại

hai điểm E, F lần lượt thuộc các cạnh BC và DA ( EB

 EC, FA  FD ) sao cho tứ giác FPEM là hình bình

hành thì BC // AD?

Hướng dẫn: Nếu I, J lần lượt là trung điểm các

đường chéo AC và BD, từ ví dụ 1 và bài toán 1 ta có

IJ và NQ cùng đi qua trung điểm của MP giúp ta đến

với bài toán Giecgôn sau:

Bài toán 1.7(Bài toán Giecgôn):

Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm hai

đường chéo và đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối của tứ giác đồng quy tại một điểm?

E N

F Q

P M

D

C B

A

J

I M

N

P

C B

A

Hướng dẫn: Hơn nữa ta nhận ra rằng ở ví dụ 1 còn có :

AC  BD  MN  MQ  MNPQ là hình chữ nhật (1)

AC = BD  MN = MQ  MNPQ là hình thoi (2)

Từ (1) và (2) => AC  BD và AC = BD

 MNPQ là hình vuông

Từ kết quả trên giúp ta giải bài toán hay và khó sau :

Bài toán 1.8:

Cho tam giác OBC Về phía ngoài dựng các hình

vuông OBIA, OCKD Gọi Q, N lần lượt là trung

điểm của các đoạn thẳng AD và CB Các điểm M,

P là tâm các hình vuông OBIA; OCKD Chứng

minh rằng: tứ giác MNPQ là hình vuông?

Hướng dẫn: Nhận thấy rằng M, N, P, Q lần lượt là

trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác

ABCD, do vậy chìa khóa của bài toán là chứng

minh AC = BD, AC BD Điều này có được từ OAC =  OBD( c.g.c)

VÍ DỤ 2: ( Bài 27 - Trang 80 SGk Toán 8 tập 1 )

Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, K lần lượt là trung

điểm của AD, BC, AC Chứng minh rằng

AB+CD

EF

2

Giải

Theo giả thiết E, F, K lần lượt là trung điểm của

AD, BC, AC Nên KF là đường trung bình của tam giác ABC

2

AB KF

đường trung bình của tam giác ADC

2

CD KE

2

AB CD

KE KF  

Mặt khác FE  KE + KF Suy ra FE 

2

AB CD

Dấu “=’’ xảy ra  E, K, F thẳng hàng  AB // CD

*Khai thác bài toán :

1.Khi cho G là trung điểm của AB, H là trung điểm của CD chứng minh

tương tự ta cũng có GH

2

AD BC

 do đó ta có bài toán:

P

N M

Q D

K

I

A

C B

O

Q

N M

B A

K

F E

B A

Bài toán 2.1:

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC, AB, DC của tứ giác ABCD Chứng minh rằng FE + GH không lớn hơn nửa chu vi của tứ giác ABCD?

2 Nhận thấy EK// CD và KF // AB nên nếu K nằm giữa F và E thì AB// CD vì vậy ta có bài toán sau:

Bài toán 2 2 :

Cho tứ giác ABCD, gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và

có FE =

2

AB CD

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang?

3.Trở lại ví dụ 2 nếu cho H là trung điểm của BD Thì EH =

2

AB

và EH//AB Xét ba điểm E,H,K có KH EK EH nên

2

DC AB

KH  

do đó cho ta các bài toán:

Bài toán 2.3:

Cho tứ giác ABCD Gọi K, H lần lượt là trung

điểm của AC, BD

Chứng minh rằng: KH 

2

DC AB

?

Bài toán 2.4:

Cho tứ giác ABCD Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AC, BD Chứng minh rằng: nếu KH = DC AB2 thì tứ giác ABCD là hình thang?

VÍ DỤ 3: ( Bài 76 -Trang 106 – SGK Toán 8

tập 1)

Cho hình thoi ABCD có AB = BD

Tính các góc của hình thoi ABCD?

Giải

ABCD là hình thoi ( giả thiết )

Þ AB = BC = CD = DA

Þ Mà AB = BD ( giả thiết)

Þ Nên AB = BD = AD =>ABD đều =>

· 60 0

BAD=

Lại có: AD // BC nên BAD· +·ABC= 180 0 (cặp góc trong cùng phía)

Hay 60 0 +·ABC= 180 0 Þ ·ABC= 120 0

Mặt khác: ·ADC=·ABC BAD,· =BCD· (t/c hình thoi),

* Khai thác bài toán :

1 Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

D

C

B

A

H

F K E

B A

ta có 1

2

AO CO  AC , 1

2

BO DO  BD , AC^BD

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác OAB vuông tại O

ta có: OA2 OB2 AB2

AB BD

Từ đó giúp ta có các bài toán sau:

Bài toán 3.1: Cho hình thoi ABCD có chu vi là 8cm

và AB = DB Tính độ dài đường chéo AC?

Bài toán 3.2: Cho hình thoi ABCD có chu vi là 8 cm và AC = 2 3 cm Tính số

đo các góc của hình thoi ABCD?

Bài toán 3.3: Cho hình thoi ABCD có chu vi là 8 cm và AB = BD Tính độ dài

đường cao của hình thoi?

Bài toán 3 4: Cho hình thoi ABCD có chu vi là 16 cm; đường cao AH bằng 2

cm Tính các góc của hình thoi?

2 Từ ví dụ 3 nếu đặt AB = a và M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB; BC

sao cho: AM = BN thì BND = AMD (c.g.c), ta có các điều sau:

+ DN = DM  trung trực của MN đi qua

điểm D cố định

+·BDN=·ADM Þ

60

BDN+BDM=ADM+MDB=ADB=

Þ DMND đều Từ AB = a và ABD đều ta

có BD = a và AO = 3

2

2

ABCD

a

S 

Kẻ ME // BD và NF // BD ( E  AD, F CD

) thì AD//MF và FE = MN, mà MN=MD nên FE = MD nên FDEM là hình thang cân Vì vậy có các bài toán sau :

Bài toán 3.5: Cho hình thoi ABCD có AB = BD Gọi M , N lần lượt trên các

cạnh AB, BC sao cho AM = BN Tính số đo các góc của tam giác DMN?

Bài toán 3.6: Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 600 Gọi M, N lần lượt di động trên các cạnh AB, BC sao cho AM = BN Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định?

3 Kẻ ME // BD và NF//BD (EAD, F CD chứng minh FDEM là hình thang cân?

VÍ DỤ 4: ( Bài 126 trang 73 – SBT )

Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC

Hỏi trung điểm I của AM di chuyển trên đường nào?

Hướng dẫn:

Cách 1:

Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB và

AC theo thứ tự ở P và Q AMB có: AI = IM,

O

D

C

B

A

O

F

N M

E

D

C

B

A

Q

B

A

IP // BM nên P là trung điểm của AB Chứng minh tương tự Q là trung điểm

AC Các điểm P của Q cố định nên I di chuyển trên đoạn thẳng PQ ( P, Q theo thứ tự

là trung điểm của AB, AC)

Cách 2 :

Từ A và I kẻ AH và IK vuông góc với BC,DAMH có: IA = IM (gt), IK//AH (cùng BC), IK là đường trung bình của AMH nên

2

AH

IK  , AH không đổi

=>

2

AH

không đổi, BC cố định nên I nằm trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng

2

AH không đổi

Nếu M  B => I P ( P là trung điểm AB )

Nếu M  C => I Q ( Q là trung điểm AC )

Vậy khi M di chuyển trên BC thì I di chuyển trên

đường trung bình PQ của ABC

* Khai thác bài toán :

1 Ở ví dụ 1 nếu kẻ MD // AC, ME // AB thì tứ giác

ADME là hình bình hành, khi đó trung điểm của AM

cũng là trung điểm của DE nên ta có bài toán sau:

Bài toán 4.1: Cho ABC, M là một điểm bất kỳ thuộc

cạnh BC, kẻ MD // AC, ME // AB(D AB E , AC), gọi

I là trung điểm của DE.Khi M di chuyển trên cạnh BC

thì I di chuyển trên đường nào?

2.Đặc biệt bài toán 4.1 bằng cách cho µ 0

A = 90 ta

có bài toán sau:

Bài toán 4.2: Cho ABC có Aµ = 90 0, M là một điểm

bất kỳ thuộc cạnh BC, gọi MD là đường vuông góc kẻ

từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến

AC, I là trung điểm của DE Khi M di chuyển trên

BC thì I di chuyển trên đường nào ?

3 Đặc biệt bài toán 4.1 bằng cách choABC đều thì các tam giác BMD và CME cũng đều.Vì vậy ta có bài toán:

Bài toán 4.3: Cho đoạn thẳng BC cố định, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng

ấy, vẽ về một phía của BC các tam giác đều BMD và CME Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng BC thì trung điểm I của đoạn

thẳng DE di chuyển trên đường nào ?

4 Nếu ABC vuông cân tại A, qua điểm M kẻ

đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng

AB, AC tại K và I thì các tam giác BMK và CMI

E

D

I

B

A

E

D

I

B

A

D

E I K

M C B

A

K P

A D

E

cũng vuông cân tại M Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BK và CI thì ADME là hình chữ nhật, khi đó trung điểm của DE cũng là trung điểm của

AM nên ta có bài toán:

Bài toán 4.4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M chuyển động trên

cạnh huyền BC Đường thẳng qua M vuông góc với BC, cắt các đường thẳng

BA, CA theo thứ tự ở K và I Gọi E là trung điểm của CI, D là trung điểm của

BK Tìm tập hợp các trung điểm O của DE?

5 Từ bài toán 4.4 ta lấy P đối xứng với M qua D, Q đối xứng với M qua E thì các tứ giác BMKP và CMIQ là các hình vuông có tâm lần lượt là D và E,

do đó ta tiếp tục có bài toán:

Bài toán 4.5: Cho đoạn thẳng BC = a, gọi M là điểm nằm giữa B và C.Vẽ về

một phía của BC các hình vuông BMKP, CMIQ có tâm theo thứ tự là D và E Gọi O là trung điểm của DE, khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào?

6 Khai thác dạng bài toán trên với 2 điểm di động trên các đoạn thẳng cố định ta có các bài toán sau hay và khó hơn.

Thật vậy!

+ Nếu ABC cân tại A, các điểm D, E thuộc các cạnh AB, AC sao cho AD =

CE thì tứ giác ADME luôn là hình bình hành, khi đó trung điểm của AM cũng

là trung điểm của DE nên ta có bài toán sau:

Bài toán 4.6: Cho tam giác ABC cố định có AB = AC, hai điểm D và E theo thứ

tự di chuyển trên các cạnh bên AB, AC sao cho AD = CE Tìm tập hợp trung điểm O của DE?

+ Nếu ABC cân tại A, các điểm D, E thuộc các cạnh AB, AC sao cho

AD CE

BD AE thì AD DB AD DB AB 1

CE AE CE AE CA



toán 4.6 Do vậy ta có bài toán tiếp theo:

Bài toán 4.7: Cho tam giác ABC cố định có AB = AC, hai điểm D và E theo thứ

tự di chuyển trên các cạnh bên AB, AC sao cho AD CE

BD AE Tìm tập hợp trung điểm O của DE?

Khai thác: Vấn đề đặt ra với bài toán 4.6 là:

Nếu ABC không cân và BD + CE = a không

đổi thì có tìm được qũy tích trung điểm M của

DE không?

Hướng dẫn: Ta xét các trường hợp đặc

biệt sau:

- Khi E  C thì D  G (BG = a) M ở vị trí I là

trung điểm CG

M I

O K D

G

H A