Khai thác một số dạng toán ôn thi HSG toán 8 từ một đẳng thức quen thuộc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 TỪ MỘT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC Người thực hiện: Nguyễn Xu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 TỪ MỘT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC

Người thực hiện: Nguyễn Xuân Thế

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Thánh Tông

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2018

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong giảng dạy môn Toán, ngoài việc giúp HS nắm chắc kiến thức cơ bản,thì việc phát huy tính tích cực của HS thông qua việc khai thác thêm các bài toánmới từ những bài toán điển hình cơ bản, đồng thời biết ứng dụng các bài toánđơn giản vào việc giải các bài toán phức tạp là điều rất cần thiết cho công tác bồidưỡng học sinh giỏi

Chúng ta đều biết một bài toán dù có khó, phức tạp đến đâu thì lời giải của

nó cũng có thể đưa được về một chuỗi hữu hạn các bước suy luận đơn giản, việcgiải bài toán phức tạp đều có thể đưa về việc áp dụng, tiền đề là các bài toán cơbản Nên việc thường xuyên ứng dụng, khai thác các bài toán đơn giản để giảicác bài toán khó là một cách nâng cao dần khả năng suy luận, tư duy sâu cho

HS Qua một số năm giảng dạy, tôi đã học hỏi ở các đồng nghiệp và với kinhnghiệm của bản thân tôi luôn giúp học sinh khai thác, ứng dụng nhiều bài toán,trên cơ sở đó tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “Khai thác một số dạng toán ôn thihọc sinh giỏi Toán 8 từ một đẳng thức quen thuộc”

Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đưa ra một số bài tập đặctrưng cho từng dạng, giúp học sinh nắm bắt được dạng bài tập này, có kỹ nănggiải bài tập dễ dàng hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Với sáng kiến kinh nghiệm "Khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi

Toán 8 từ một đẳng thức quen thuộc", tôi mong muốn giúp các em trong độituyển học sinh giỏi Toán lớp 8 trước hết nắm vững cách chứng minh đẳng thứcquen thuộc là:

“Chứng minh rằng: a + b + c - 3abc = (a + b + c)(a + b + c - ab - bc - ac)3 3 3 2 2 2 ” (*) Sau đó các em biết vận dụng kiến thức vào khai thác một số dạng toán ôn thihọc sinh giỏi Từ đó các em giải quyết được một số bài toán trong bài thi trongcác đề thi học sinh giỏi Cũng qua sáng kiến kinh nghiệm này, tôi muốn các emthấy được đằng sau những bài toán cơ bản quen thuộc tưởng chừng như đơngiản và khô khan ấy là những điều mới mẻ, những khám phá bổ ích và lý thú

Từ đó khơi dậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo của mỗi học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Trong các đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8 và lớp 9, thi vào các trườngchuyên trong toàn quốc ta thường xuyên bắt gặp các bài thi khai thác từ đẳngthức (*) Tuy nhiên, trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đưa ramột số dạng toán khai thác từ đẳng thức (*), hệ thống các dạng bài tập cũng nhưđịnh hướng giải cho mỗi dạng bài Với mỗi dạng bài tập tôi trình bày theo mức

độ từ dễ đến khó Từ đó giúp học sinh đội tuyển học sinh giỏi Toán 8 có thể sửdụng tài liệu này một cách hiệu quả

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài này, tôi tiến hành nghiên cứu sách giáo khoa toán 8,sách bài tập toán 8, tạp chí toán học và tuổi trẻ, toán tuổi thơ, các sách thamkhảo Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn tìm hiểu các đề thi học sinh giỏi Toán

8, Toán 9 của nhiều huyện, tỉnh thành trong cả nước, các đề thi vào các trườngchuyên, đề thi học sinh giỏi cấp trường của nhiều trường để có được hệ thốngbài tập phong phú và đa dạng Và mỗi năm sau khi giảng dạy phần này cho họcsinh thì tôi luôn tự rút kinh nghiệm để hoàn thiện hơn trong năm tiếp theo.

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người cótrí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và nhân văn cao Để đào tạo ra lớp ngườinhư vậy thì Nghị quyết trung ương IV khóa VII năm 1993 đã xác định: “Ápdụng phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy,sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề” Nghị quyết trung ương II khóa VIII tiếptục khẳng định: “ Phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ mộtchiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụngcác phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thờigian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”

"Khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi Toán 8 từ một đẳng thức quen

thuộc" là khơi dậy cho học sinh, nhất là các em học sinh khá giỏi lòng say mêhọc tập, sự khao khát khám phá những điều mới lạ, rèn tính sáng tạo Điều này

đã được tôi thể hiện rõ nét trong sáng kiến kinh nghiệm này

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Như chúng ta đã biết, trong công tác dạy học ngoài việc quan tâm đến chấtlượng đại trà, thì cần phải chú trọng đến chất lượng học sinh mũi nhọn, trong đócông tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 là rất quan trọng Muốn nâng cao chấtlượng bồi dưỡng học sinh giỏi thì giáo viên ngoài việc phải phân loại được cácchuyên đề và dạng toán cho từng chuyên đề đó thì khai thác các bài toán cơ bản

để giải các bài toán khó là một việc làm rất cần thiết để giúp các em nâng caodần khả năng suy luận, tư duy sâu Tuy nhiên, thời gian đầu khi mới ôn thi họcsinh giỏi Toán 8 9,các bài tập tôi cung cấp cho học sinh chưa có hệ thống, chưa

có sự khai thác, liên hệ Vì vậy khi học sinh làm bài tập, hoặc bài thi mà có sựliên quan thì các em thường tỏ ra lúng túng, nhiều em không định hướng đượccách giải Chính vì vậy,các em chưa thực sự say mê học tập vì chưa thấy đượcnhững điều thú vị ẩn sau các bài toán cơ bản quen thuộc Sau một vài năm, bảnthân tôi cũng có nhiều kinh nghiệm hơn trong công tác bồi dưỡng HSG, tôi nghĩrằng mình phải làm thế nào để kiến thức mình truyền đạt đến học sinh phải được

hệ thống thành các chủ đề, giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, và đặc biệt là giúp các

em thấy được mối liên hệ giữa các kiến thức để kích thích sự tìm tòi, sáng tạo

Do đó tôi đã dần dần hình thành nội dung sáng kiến kinh nghiệm này và hômnay xin được chia sẻ cùng các đồng nghiệp

Ta đã biết bài toán rất quen thuộc với các học sinh là:

“Chứng minh rằng: a3 b3 c3  3abc(abc)(a2 b2 c2  ab bc ac)”Khi ôn đội tuyển HSG Toán 8 tôi có đưa ra cho HS làm bài toán sau trong 30phút:

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3

b) Tìm x, biết: 3 ( 9 12 ) 3 ( 2 ) 3

27

1 ) 1 2 (

8 x  x  xc) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn:

a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 Hãy nhận dạng tam giác này

Thì tôi thấy đa số các em lúng túng, chưa đưa ra được lời giải như mongmuốn Cụ thể là:

" Khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi Toán 8 từ một đẳng thức quen

thuộc " với hy vọng góp một phần nhỏ bé vào việc giúp công tác bồi dưỡng họcsinh giỏi nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 nói riêng đạt được kết quảcao, và đặc biệt gây sự hứng thú, tìm tòi, tư duy cho học sinh

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng

Để thực hiện tốt đề tài, tôi đã đưa ra các giải pháp thực hiện sau:

- Khảo sát chất lượng học sinh: Tôi đã đưa các vấn đề mình cần nghiên cứu

để kiểm tra các em dưới những hình thức khác nhau để biết được các em

“hổng” ở chỗ nào?

- Tìm nguyên nhân vì sao các em “hổng”: Tôi đã tìm ra nguyên nhân dẫnđến một số học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi chưa làm được là do các

em chưa định ra được cách giải và phương pháp hợp lí cho từng dạng

- Tự học, nghiên cứu các tài liệu, tham khảo các đề thi học sinh giỏi Toán 8,

9 để phân loại, đưa ra các bài tập điển hình

- Có kế hoạch dạy bồi dưỡng học sinh giỏi phù hợp

Trong quá trình học trên lớp, học sinh đã được làm bài toán quen thuộc cơbản là:

“Chứng minh rằng: a3 b3 c3  3abc(abc)(a2 b2 c2  ab bc ac)”

Để chứng minh, học sinh có thể vận dụng kiến thức nhân đa thức với đa thức để

dễ dàng biến đổi vế phải bằng vế trái như sau:

Vế phải = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

= a3 + ab2 + ac2 - a2b - abc - a2c + a2b + b3 + bc2 - ab2 - b2c - abc + a2c + b2c + c3 - abc - bc2 - ac2

= a3 + b3 + c3 – 3abc = Vế trái  đpcm

Hoặc biến đổi vế trái bằng vế phải như sau:

Vế trái = a3 + b3 + c3 – 3abc

= (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 – 3abc

= (a + b + c)3 - 3c(a + b)(a + b + c) – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)[(a + b + c)2 - 3c(a + b) – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac - 3ab - 3bc - 3ca)

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = Vế phải  đpcm

Xét theo chiều từ trái sang phải chính là bài toán phân tích đa thức thành nhân

tử Do vậy, nếu biến đổi đề bài, hoặc cho thêm giả thiết thì ta sẽ khai thác đượcmột số dạng toán mà học sinh hay gặp trong quá trình ôn thi học sinh giỏi Toán Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi, giáo viên phải phân kiến thức thành cácchủ đề, giới thiệu đường lối chung từng loại, các công thức, các kiến thức cóliên quan từng loại bài Khi ôn học sinh giỏi về phần này, tôi phân ra các loạitoán áp dụng sau:

- Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

- Dạng 2: Chứng minh đẳng thức

- Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức

- Dạng 4: Tính chia hết đối với số nguyên

- Dạng 5: Tính chia hết đối với đa thức

- Dạng 6: Giải phương trình

- Dạng 7: Chứng minh bất đẳng thức

Khi bắt tay vào giải bài tập, một công việc hết sức quan trọng là đọc kĩ đề vànhận biết được bài toán thuộc dạng toán nào Từ đó, tôi đưa ra các dạng toán và

hệ thống bài tập cho học sinh

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Xét đa thức: A = a3 + b3 + c3 - 3abc, là một đa thức bậc lẻ đối với tất cả cácbiến nên dấu của a cũng là dấu của a3, dấu của b cũng là dấu của b3, và dấu của ccũng là dấu của c3, Do đó ta có một số bài toán áp dụng:

Ví dụ 1.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Sau đó áp dụng đẳng thức (*) rồi dễ dàng phân tích tiếp

Ví dụ 1.2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

3 3

Từ đó, biến đổi: 2 2 y2

xzx

yzz

xy

z

1y

1x

1xyz( 3  3  3 =

xyz

3 xyz. = 3

0 c b a

Sau đó xét 2 trường hợp:

a

b c

a b

c c

a c c

c b b

b a

- Nếu a = b = c thì: A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8

Vậy với ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn: a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 thì giá trị của biểuthức A = -1 hoặc A = 8.

Khai thác ví dụ 2.2: Khi thay a = yz, b = zx, c = xy thì giả thiết:

a3 + b3 + c3 = 3abc trở thành y3z3 + z3x3 + x3y3 = 3x2y2z2 Từ đó ta có bài toánsau:

Hướng dẫn giải:

Theo đẳng thức (*) ta có:

ac)bcabcbc)(ab

(a3abcc

1cb

2 2

1cb12bcc)

(b

1cb

b

1c0;b

Lập luận tương tự, ta được các bộ số (a,b,c) là (0;0;1), (0;1;0), (1;0;0)

Khi đó tính được P = 1

Ví dụ 2.5: Cho a, b, c là ba số nguyên liên tiếp và a + b + c �0 Hãy tính

giá trị của biểu thức:

bc)(ab

(a3abcc

Do a, b, c là 3 số nguyên liên tiếp, nên không mất tính tổng quát của bài toán tagiả sử: a > b > c Khi đó: a = c + 2 và b = c + 1 Thay a = c + 2 và b = c + 1 vàobiểu thức Q ở trên ta có:

2

1c)2(cc)1(c1)c2

b a

ca bc ab c b

a

2 2

Dạng 3: Tính chia hết đối với số nguyên:

Đối với loại toán này cần chú ý:

- Số nguyên a chia hết cho số nguyên b 0 khi có số nguyên q sao cho a = b.q

- Nếu a bthì kab, với a,b,kZ

- Tính chất chia hết của một tổng, hiệu

Hướng dẫn giải:

Áp dụng đẳng thức (*) ta có:

ac)bcabc

bc)(ab

(a3abcc

Mà a, b, c là 3 số nguyên liên tiếp nên a bc3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A có giá trị là số nguyên chia hết cho 3 Suy ra đpcm

Ví dụ 3.2: Cho abc là một số tự nhiên có 3 chữ số thỏa mãn.abc 11M

Chứng minh rằng: a3 – b3 + c3 + 3abc chia hết cho 11

bc)(ab

(ab)c3a(

cb)

(

a

3abcc

b

a

2 2 2 3

3 3

3 3

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 3.3: Cho a, b,c, k N� * và ƯCLN(abc, a + b + c) = 1 Chứng minh rằng nếu (a + b + c + kabc) (a + b + c)3 3 3 M thì(k + 3) (a + b + c)M .

Hướng dẫn giải:

Ta có: (a3 b3 c3 kabc)(abc)

 (a3 b3 c3  3abckabc3abc)(abc)

 (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) abc(k 3) (a b c)

Ví dụ 3.4: Cho a, b, c là ba số tự nhiên đôi một khác nhau Chứng minh rằng:

B = a3 + b3 + c3 – 3abc không phải là số nguyên tố

Hướng dẫn giải:

Dựa vào đẳng thức (*) ta có:

B = a3 b3 c3  3abc(a bc)(a2 b2 c2  ab bc ac)(1)

Vì a, b, c là ba số tự nhiên đôi một khác nhau nên ta suy ra:

b

a

3c

b

a

2 2

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho abc 7 Chứng minh rằng: M8a3  64b3 c3 24abc7

Bài 2: Cho abc 9 Chứng minh rằng: N a3 b3 c3 3abc 9

Dạng 4: Tính chia hết đối với đa thức:

Đối với loại toán này cần chú ý:

- Đa thức A chia hết cho đa thức B 0 khi có đa thức Q sao cho A = B.Q

- Để chứng minh cho đa thức A chia hết cho đa thức B thì ngoài cách đạt phépchia thì ta thường hay áp dụng cách phân tích đa thức A thành nhân tử và trongcác nhân tử đó có nhân tử chia hết cho đa thức B

   

c)-b(aac)bcabc

bc)(a

b

(a

c)a(

c)b(

abc

bac)(

b

a

c)3ab(

c)(ba3abcc

b

a

2 2 2

2 2 2

3 3

3 3

Ví dụ 4.2: Cho x = a2 – bc; y = b2 – ac; z2 = c2 – ab Chứng minh rằng:

b) Ta có x + y + z = a2 – bc + b2 – ac + c2 – ab = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca (1)Theo câu a ta có: ax + by + cz = (abc)(a2 b2 c2  ab bc ac) (2)

ac(bb)a

bc(aazcybx

acb(b)a

;b

ac1y

;a

bc1

(a3xb3yc3z)(a2xb2yc2z)

Dạng 5: Giải phương trình:

Đối với loại toán này cần chú ý:

- Cách giải phương trình đưa về phương trình tích

- Cách giải phương trình nghiệm nguyên đưa về phương trình ước số

Ví dụ 5.1: Giải phương trình: (3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3

Hướng dẫn giải:

Phương trình đã cho  (3x – 2)3 + (-x + 3)3 + (-2x - 1)3 = 0 (1)

Ta thấy rằng: (3x – 2) + (-x + 3) + (-2x – 1) = 0 Nên áp dụng đẳng thức (*) tacó: (3x – 2)3 + (-x + 3)3 + (-2x - 1)3 = 3(3x – 2)(-x + 3)(-2x – 1)

3 x 3

2 x

0 1 2x

0 3 x

0 2 3x

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

0 2

0 4 3

0 2 4

x x x

x x x

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

Phương trình đã cho  (x + y)3 + (-x + 2)3 + (-y - 2)3 = 6 (1)

Ta thấy rằng:  (x + y) + (-x + 2) + (-y - 2) = 0 Nên áp dụng đẳng thức (*) ta

có : (x + y)3 + (-x + 2)3 + (-y - 2)3 = 3(x + y)(-x + 2)(-y - 2)

Do đó phương trình (1)  3(x + y)(-x + 2)(-y - 2) = 6

 (x + y)(-x + 2)(-y - 2) = 2

Đến đây ta phân tích số 2 thành tích của 3 số nguyên sao cho tổng của 3 số nguyên đó bằng 0 Do đó : (x + y)(-x + 2)(-y - 2) = 2 = 2.(-1).(-1)

) 1 ( 1

2 2

x

z y x

x y z

z y

x

T/m phương trình (*)Vậy nghiệm nguyên (x,y,z) của phương trình (*) là hoán vị của (1 ;0 ;0)

Ví dụ 5.5: Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 - y3 = xy + 8

Hướng dẫn giải:

Ta có : x3 - y3 – xy = 8

� 27x3 - 27y3 – 27xy = 216

� 27x3 - 27y3 - 1 – 27xy = 215

(Ta thấy 27x3, -27y3, -1 lần lượt là lập phương của 3x,(-3y), (-1) còn 27xy là balần tích của ba số ấy)

Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức và vận dụng nhận dạng tam giác đặc biệt:

Đối với loại toán này cần chú ý:

- Các phếp biến đổi tương đương bất đẳng thức

- Bất đẳng thức tam giác

- Dấu hiệu nhận biết các tam giác đặc biệt

Ví dụ 6.1: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 � 3abc

Vậy: a3 + b3 + c3  3abc, với a, b, c > 0 Dấu “=” xảy ra  a = b = c

Khai thác tiếp bài toán này ta có bài toán sau:

Ví dụ 6.2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn:

a3 + b3 + c3 = 3abc Hãy nhận dạng tam giác này

Bài 1: Cho a, b, c là các số thỏa mãn a + b + c > 0

Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3  3abc Dấu “=” xảy ra khi nào?

Bài 2: Cho m, n, p là các số dương Chứng minh rằng:

n) (m p p) (m n p) (n m 3mnp p

n

Dạng 7: Chứng minh đẳng thức:

Đối với loại toán này cần chú ý:

Để chứng minh đẳng thức A = B thì có thể có các cách: Biến đổi vế trái để bằng

vế phải; hoặc biến đổi vế phải cho bằng vế trái; hoặc biến đổi tương đương, cónghĩa là A = B  C = D  E = F  … M = N, đẳng thức cuối cùng luôn