BÀI 7. PHÉP VỊ TỰ

Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M �, sao cho OMuuuur�kOMuuuur được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k và kí hiệu là VO k, c Biến tia thành tia.. Chú ý: Qua phép VO k, đường t

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI LỚP TOÁN THẦY THÀNH

MÔN TOÁN HÌNH LỚP 11, CHƯƠNG I

BÀI 7 PHÉP VỊ TỰ

BÀI 7 PHÉP VỊ TỰ

A KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM

1 Định nghĩa phép vị tự.

Cho điểm O cố định và một số thực k không đổi, k�0 Phép biến hình biến mỗi điểm M

thành điểm M �, sao cho OMuuuur�kOMuuuur được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k và kí hiệu là V(O k, )

c) Biến tia thành tia

d) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k

e) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k

f) Biến góc bằng góc ban đầu

Chú ý:

Qua phép V(O k, )

đường thẳng d biến thành chính nó khi và chỉ khi đường thẳng d qua tâm vị tự O

3 Định lí 3: Phép vị tự tỉ số k biến một đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính

k R

Chú ý: Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến đường tròn (I R, )

và OIuuur�=kOIuur

3 Tâm vị tự của hai đường tròn.

Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kiA Tâm

của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn

Nếu tỉ số vị tự k> thì tâm vị tự đó gọi là tâm vị tự ngoài, nếu tỉ số vị tự 0 k< thì tâm vị tự đó 0gọi là tâm vị tự trong

Hai đường tròn có bán kính bằng nhau và khác tâm thì chỉ có một tâm vị tự trong, đó chính là trung điểm của đoạn nối tâm

Hai đường tròn có bán kính khác nhau thì có một tâm vị tự ngoài và một tâm vị tự trong

Đường tròn ( )C biến thành chính nó khi và chỉ khi đường tròn ( )C có tâm là tâm vị tự và tỉ số vị tự

1

k=�

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm ảnh, tạo ảnh của một điểm qua phép vị tự

Ví dụ 2 Cho I2;1 ,  M 1;1 ,M �1;1, phép vị tâm I biến điểm M thành M � có hệ số k bằng bao nhiêu?

k  

để biến B thành C

Dạng 2: Tìm ảnh, tạo ảnh của một đường thẳng qua phép vị tự

Ví dụ 1 Cho d x: 2y 1 0 Tìm ảnh 'd của d qua phép vị tự tâm I 2;1 có hệ số k :2

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: 3x2y 6 0 Hãy viết phương trình của

đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I 1;2

Do vậy ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự là d' : 3x 2 y 9 0

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 5x2y 7 0 Tìm ảnh d� của d qua

phép vị tự tâm O tỉ số k  2

Lời giải

Cách 1: Chọn hai điểm A B, phân biệt trên d , xác định ảnh A B� �, tương ứng Đường thẳng d�

cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh A B� �, (học sinh tự làm)

Cách 2: Do d� song song hoặc trùng với d Nên d�có dạng 5x2y c 0.

Lấy M 1;1 �d Khi đó: VO, 2  M M x y� � � ;  �OMuuuur� 2OMuuuur�M� 2; 2

Thay vào d��c14 Vậy d�: 5x2y14 0

Dạng 3: Tìm ảnh, tạo ảnh của đường tròn qua phép vị tự

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy,cho đường tròn ( ) :C x2y26x4y  Tìm phương trình 12 0.đường tròn( ')C là ảnh của ( )C qua phép vị tự tâm I(2;1) tỉ số

12

R 

Vì A' là ảnh của A qua phép vị tự tâmI, tỉ số

12

2

IA   IA

�uuur uur' ( ' 2; ' 1); (1; 3)

IA  x y  IA 

3 5' ;

x  y  Hãy viết phương trình

đường tròn ( ')C là ảnh của đường tròn ( )C qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k   2

Lời giải

MO

Đường tròn( )C có tâm K3; 1  bán kính R Gọi 3 K'( '; ')x y là tâm và R� là bán kính của

( ')C , với ( ')C là ảnh của ( )C qua phép vị tự tâm I tỉ số k   Ta có tọa độ của 2 K� thỏa mãn biểu thực tọa độ của phép vị tự :

23

Ta chứng minh VO k,  :   P1 � P2

với hệ số tỉ lệ

b k a



Thật vậy, nếu M x y   , �P1 thì    2

A k

AI k

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép vị tự tâm O tỉ số

12

k 

Tìm ảnh  S�

của đường cong  : 2 1

2

x x

Dạng 5: Tìm quỹ tích điểm dựa vào phép vị tự

đỉnh B C, cố định, còn đỉnh A chạy trên một đường tròn O R; 

Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC

Ví dụ 2 Cho đường tròn  O

và một điểm P nằm trong đường tròn đó Một đường thẳng thay đổi đi qua P , cắt  O

tại hai điểm

A và B Tìm quỹ tích điểm M sao cho uuuur uuur uuurPM PA PB

uuuur uuur uuur uur

Gọi V là phép vị tự tâm P tỉ số k  thì V biến điểm 2 I thành điểm

M

Vì I là trung điểm của AB nên OI AB Suy ra quỹ tích của điểm

I là đường tròn   đường kính PO Vậy quỹ tích của điểm M là

đường tròn  ' ảnh của   qua phép vị tự V Nếu ta lấy O� sao cho

điểm A cố định Một dây cung BC thay đổi của O R; 

có độ dài không đổi BC Tìm tập 2

hợp các điểm G sao cho GA GB GCuuur uuur uuur r  0

Lời giải

Ta có GA GB GCuuur uuur uuur r   �0 G là trọng tâm ABC .

Gọi M là trung điểm của BC thì

32

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có hai góc B và C nhọn Dựng hình chữ nhật DEFG có

2

EF  DE với hai đỉnh D E, nằm trên BC và hai đỉnh F G, lần lượt nằm trên AB AC,

Lời giải:

Giả sử đã dựng được hình chữ nhật DEFG thỏa mãn điều kiện đề bài (hình 1)

Khi đó từ một điểm G� tùy ý trên đoạn thẳng AB ta dựng hình chữ nhật

D E F G���� có E F��2D E�� , hai đỉnh D E� �, nằm trên BC Ta có:

22

Lấy điểm G� tùy ý trên cạnh AB

Dựng hình chữ nhật D E F G���� có E F��2D E�� hai đỉnh D E� �, nằm trên BC

Đường thẳng BF� cắt cạnh AC tại F Đường thẳng qua F song song với BC cắt

cạnh AB tại G Gọi D E, lần lượt là hình chiếu vuông góc của F G, trên đường

thẳng BC

Ta sẽ chứng minh DEFG là hình chữ nhật cần dựng:

Thật vậy, vì GF G F GD G D// ��, // �� nên G F GF  B G BG G D GD

�� �� �� Từ đó suy ra 2

góc nhọn Hãy dựng hình vuông MNPQ , sao cho M N, lần lượt nằm trên cạnh AB AC, và P Q,



Qua phép vị tự tâm A tỉ số k thì các điểm M N P Q, , , lần lượt biến thành

Ta dựng được BCP Q�� nên dựng được hai điểm P Q, Vậy dựng được hình vuông MNPQ.

�

Ta được tứ giác MNPQlà hình vuông cần dựng

Chứng minh

Ta có tứ giác MNPQ là ảnh của tứ giác BCP Q�� qua VA K, 

, mà tứ giác BCP Q�� là hình vuông nên

tứ giác MNPQ là hình vuông

Bài toán có một nghiệm hình

kính AB Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nữa đường tròn, hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB

Lời giải:

Gọi O trung điểm của AB Giả sử dựng được hình vuông MNPQ với M N,

thuộc đường kính AB; P Q, thuộc nữa đường tròn Khi đó O phải là trung

điểm của MN Nếu lấy hh́ình vuông M N P Q���� sao cho M N� �, thuộc

Từ đó suy ra hình vuông MNPQ là ảnh của hình vuông M N P Q���� qua phép

vị tự tâm O , suy ra O P P�, , và O Q Q�, , thẳng hàng Vậy ta có cách dựng:

Dựng hình vuông M N P Q���� nằm trong nữa hình tròn sao cho M N�� thuộc AB và O là trung

điểm của M N�� Tia OP� cắt nữa đường tròn tại P ; tia OQ� cắt nữa đường tròn tại Q.

Khi đó dễ thấy tứ giác MNPQlà hình vuông cần dựng

với dây cung PQ Dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A B, nằm trên đường thẳng PQ và hai đỉnh

,

C D nằm trên đường tròn.

Lời giải

Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD thỏa mãn điều kiện của bài

toán Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng PQ thì OI là đường trung

trực của PQ nên cũng là đường trung trực của DC và do đó cũng là

đường trung trực của AB Từ đó suy ra, nếu dựng hình vuông

PQMN thì có phép vị tự tâm I biến hình vuông PQMN thành hình

vuông ABCD

Cách dựng

Dựng hình vuông PQMN Lấy giao điểm C và C� của đường thẳng IM và đường tròn, lấy giao điểm D và D� của IN và đường tròn (ta kí hiệu sao cho hai điểm C D, nằm về một phía đối với đường thẳng PQ ) Gọi các điểm B A B A, , ,� � lần lượt là hình chiếu của các điểm

Sử dụng các tính chất của phép vị tự để chứng minh tính chất mà bài toán yêu cầu

, ,

A B C� � � lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CA AB, , Gọi I G H, , lần lượt là tâm đường tròn

ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC

a) Chứng minh I là trực tâm của tam giác A B C���.

b) Tìm ảnh của A B C��� qua phép vị tự tâm G tỉ số k   2

c) Chứng minh GHuuur 2GIuur (Như vậy khi ba điểm G H I, , không trùng nhau thì chúng nằm trên

một đường thẳng, đường thẳng này gọi là đường thẳng Ơ – le)

d) Gọi I � là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C��� Chứng minh I � là trung điểm của IH

c) Theo câu b) ABC V G, 2A B C���

, mà I H, lần lượt là trực tâm của A B C ��� và ABC , nên VG, 2  I H �GHuuur 2GIuur

.d) Theo câu b) ABC V G, 2 A B C���

, mà I I�, lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp

.Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M N,

a) Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM N, là trung điểm của CQ

b) Tìm quỹ tích của điểm M N, khi đường kính PQ thay đổi

Lời giải:

a) Có AB và PQ là hai đường kính của đường tròn  O

nên APBQ là hình chữ nhật, do đó AP BQ// và

//

AQ BP Trong ACM có BQ là đường trung bình

nên suy ra Q trung điểm của MC , và BM là đường trung bình của tam giác ACQ suy ra N trung điểm của CQ

Vì Q di động trên đường tròn tâm O bán kính R suy ra tập

hợp điểm N nằm trên đường tròn tâm O�� bán kính bằng 2

R

với

1 C;

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy,cho đường tròn ( ) : (C x4)2y2  và đường tròn 2 ( )' : (C x2)2 (y 3)2  Tìm phép vị tự 8biến đường tròn ( )C thành đường tròn ( ')C ?

và tâm vị tự ngoài của hai đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau

b) Hai đường tròn tiếp xúc trong nhau

c) Một đường tròn chứa đường tròn kia

Lời giải:

Gọi I là tâm vị tự ngoài và I � là tâm vị tự trong của hai đường tròn  O

và  O�

tiếp xúc trong thì tiếp điểm I là tâm vị tự ngoài, tâm vị tự trong I� là giao

điểm của OO�uuuur

Dựng đường thẳng qua O� song song với OM , cắt  O�

tạiM � và M �� (hai điểm M M �, cùng

phía đối với đường thẳng OO�)

Dựng I MM��OO� và I�MM��OO�.

Đặc biệt, khi O trùng O� thì I và I � trùng với O

C BÀI TẬP TRÁC NGHIỆM

DẠNG 1 KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP VỊ TỰ

Câu 1: [1H1-7.1-1] Mệnh đề nào sau đây sai về phép vị tự:

A Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

B Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

C Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

D Biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

Chọn A

Theo tính chất phépv ị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng nhay, không

có trường hợp d cắt d�

Câu 4: [1H1-7.7-1] Cho hai đường thẳng song song d và d� , và một điểm O không nằm trên chúng Có

bao nhiêu phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành d�?

Khi đó phép hợp thành F M  M2. Gọi I là ảnh của O qua phép hợp VO k�;  �O Iuuur�kO Ouuuur�

Khi đó uuuurIM2 k OM�uuuur1k k OM �uuuur nên: MMuuuuur uur uuuur uuur2 OI OO � �O I  1 k OO� �uuuur

Vậy F là phép tịnh tiến theo vectơ ur  1 k OO� �uuuur.

Câu 7: Cho ABC vuông tại A, AB6,AC8 Phép vị tự tâm A tỉ số 32 biến B thành B� , biến C

thành C� Mệnh đề nào sau đây sai?

A BB C C�� là hình thang B B C�� 12

C

34

A B C

S ���

23

Câu 8: [1H1-7.5-2] Cho hình thang ABCD AB CD / / 

Đáy lớn AB , đáy nhỏ 8 CD Gọi 4 I là giao

điểm của hai đường chéo và J là giao điểm của hai cạnh bên Phép biến hình uuurAB thành CD

uuur

là phép vị tự nào?

A

1 I, 2

V� �

1 J, 2

V� �

1 I, 2

uur uur uur uur uuur uuur

Câu 9: [1H1-7.9-3] Cho đường tròn O R; 

và một điểm A cố định trên đường tròn BC là dây cung di động và BC có độ dài không đổi bằng 2a a R  Gọi M là trung điểm BC Khi đó tập hợp

trọng tâm G của ABC là:

, 3

D

 

2 B, 3

qua phép vị tự

2 , 3

A

V� �

Câu 10: [1H1-7.9-2] Cho đường tròn O R; 

đường kính AB Một đường tròn  O�

tiếp xúc với đường tròn  O

và đoạn AB lần lượt tại C và D Đường thẳng CD cắt O R; 

tại I Tính độ dài đoạn

là điểm chính giữa của cung AB.

Xét AOI vuông tại O : AI  2OA2 R 2

Câu 11: [1H1-7.9-2] Cho hai đường tròn O R; 

Câu 12: [1H1-7.7-2] Cho hai đường thẳng cắt nhau d và ' d Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành

đường thằng 'd ?

Lời giải

Chọn A

Vì qua phép vị tự, đường thẳng biến thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

Câu 13: [1H1-7.7-2] Cho hai đường thẳng song song d và ' d Có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số k20

biến đường thẳng d thành đường thẳng ' d ?

Lời giải

Chọn D

Lấy hai điểm A và A' tùy ý trên d và ' d Chọn điểm O thỏa mãn OAuuur' 20 OAuuur Khi đó phép vị

tự tâm O tỉ số k 20 sẽ biến d thành đường thẳng ' d

Do A và A' tùy ý trên d và ' d nên suy ra có vô số phép vị tự.

Câu 14: [1H1-7.7-2] Cho hai đường thẳng song song d và ' d và một điểm O không nằm trên chúng

Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành đường thằng ' d ?

Lời giải

Chọn B

Kẻ đường thẳng  qua O , cắt d tại A và cắt 'd tại A'

Gọi k là số thỏa mãn OAuuur'kOAuuur.

Khi đó phép vị tự tâm O tỉ số k sẽ biến d thành đường thẳng ' d

Do k xác định duy nhất (không phụ thuộc vào ) nên có duy nhất một phép vị tự

Câu 15: [1H1-7.7-2] Cho hai đường thẳng cắt nhau d và ' d Có bao nhiêu phép vị tự biến mỗi đường

thẳng thành chính nó

Lời giải

Chọn D

Tâm vị tự là giao điểm của d và ' d Tỉ số vị tự là số k khác 0.

(hoặc tâm vị tự tùy ý, tỉ số k  - đây là phép đồng nhất)1

Câu 16: [1H1-7.7-2] Cho hai đường tròn bằng nhau O R; 

và O R'; '

với tâm O và ' O phân biệt Có

bao nhiêu phép vị tự biến O R; 

Phép vị tự có tâm là trung điểm OO , tỉ số vị tự bằng 1.' 

Câu 17: [1H1-7.7-2] Cho đường tròn O R; 

Có bao nhiêu phép vị tự với tâm O biến O R; 

thành chính nó?

A 0 B 1 C 2 D Vô số.

Lời giải

Chọn C

Tỉ số vị tự k � 1.

Câu 18: [1H1-7.7-2] Cho đường tròn O R; 

Có bao nhiêu phép vị tự biến O R; 

R k R

 �

Câu 20: [1H1-7.7-2] Phép vị tự tâm O tỉ số k là phép nào trong các phép sau đây?1

A Phép đối xứng tâm B Phép đối xứng trục.

C Phép quay một góc khác k D Phép đồng nhất.

Lời giải

Chọn D

Câu 21: [1H1-7.7-2] Phép vị tự tâm O tỉ số k  là phép nào trong các phép sau đây?1

A Phép đối xứng tâm B Phép đối xứng trục.

Câu 23: [1H1-7.1-2] Phép vị tự tâm O tỉ số k , k�0 biến mỗi điểm M thành điểm M � Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A

1

Câu 24: [1H1-7.1-2] Phép vị tự tâm O tỉ số 3 lần lượt biến hai điểm A B, thành hai điểm C D,

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A uuurAC 3BDuuur. B 3uuur uuurAB DC . C uuurAB 3CDuuur D AB13CD.

Khi đó OC ODuuur uuur  3OA OBuuur uuur  � DCuuur 3BAuuur�uuurDC3uuurAB

Câu 25: [1H1-7.1-2] Cho phép vị tự tỉ số k  biến điểm 2 A thành điểm B , biến điểm C thành điểm

D Mệnh đề nào sau đây đúng?

A uuurAB2CDuuur. B 2uuur uuurAB CD C 2uuur uuurAC BD D uuurAC 2uuurBD

Lời giải

Chọn C

Theo tính chất 1, ta có BDuuur2uuurAC

Câu 26: [1H1-7.1-2] Cho tam giác ABC với trọng tâm G , D là trung điểm BC Gọi V là phép vị tự

tâm G tỉ số k biến điểm A thành điểm D Tìm k

A

32

k 

32

k  

12

k

12

k 

Câu 27: [1H1-7.0-2] Cho tam giác ABC với trọng tâm G Gọi A B C', ', ' lần lượt là trụng điểm của các

cạnh BC AC AB, , của tam giác ABC Khi đó, phép vị tự nào biến tam giác ' ' ' A B C thành tam

A

Vậy VG, 2 

biến tam giác ' ' 'A B C thành

tam giác ABC

Câu 28: [1H1-7.7-2] Cho hình thang ABCD có

hai cạnh đáy là AB và CD thỏa mãn

k 

C

1.3

k 

D k  3.

Lời giải

Chọn B

Do ABCD là hình thang có AB CD P và AB3CD suy ra uuurAB3uuurDC

Giả sử có phép vị tự tâm O, tỉ số k thỏa mãn bài toán.

 Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm A ��� suy ra C OC k OAuuur uuur  1

 Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm B ��� D suy ra OD k OBuuur uuur  2

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Mà uuurAB3DCuuur suy ra  1k 3� k 13

Nhận xét Tâm vị tự là giao điểm của hai đường chéo trong hình thang Bạn đọc cũng có thể chứngminh bằng hai tam giác đồng dạng

Câu 29: [1H1-7.7-2] Cho hình thang ABCD , với

12

CDuuur  uuurAB

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo

AC và BD Xét phép vị tự tâm I tỉ số k biến uuurAB thành CD

uuur Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

1.2

k  

B

1.2

.Suy ra uur uurID IC k IB IA  uur uur �CD k ABuuur uuur

Kết hợp giả thiết suy ra

1.2

k  