VẺ ĐẸP CỦA VECTƠ QUA LỜI GIẢI NHỮNG ĐỀ THI HAY VÀ KHÓ

Trong kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng hàng năm, thường xuyên xuất hiện các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và bất đẳng thức. Có nhiều phương pháp để giải các bài toán đó như: biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, nhân liên hợp, dùng lượng giác, dùng hàm số, dùng bất đẳng thức,…Bài viết này giới thiệu một phương pháp để giải quyết các bài toán như thế, đó là ‘‘Phương pháp Vectơ ” qua đó cho ta một hướng suy luận và một cách xây dựng lớp bài toán mới.

VẺ ĐẸP CỦA VECTƠ QUA LỜI GIẢI NHỮNG ĐỀ THI HAY VÀ KHÓ

Nguyễn Duy Liên (GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

Trong kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng hàng năm, thường xuyên xuất hiện các bàitoán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và bất đẳng thức Có nhiềuphương pháp để giải các bài toán đó như: biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, nhân liênhợp, dùng lượng giác, dùng hàm số, dùng bất đẳng thức,…Bài viết này giới thiệu mộtphương pháp để giải quyết các bài toán như thế, đó là ‘‘Phương pháp Vectơ ” qua đó cho

ta một hướng suy luận và một cách xây dựng lớp bài toán mới

• a br+ ≤ +r ar br ( )2 dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ar↑↑br

• a br− ≥ −r ar br ( )3 dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ar↑↑br

• a br− ≤ +r ar br ( )4 dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ar↑↓br

B ÁP DỤNG GIẢI TOÁN

I Sử dụng phương pháp vectơ chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1.(Đại học khối A năm 2003) Cho , , a b c>0 thỏa mãn a b c+ + ≤1 Chứng minh

Giải Bổ đề: với mọi , , , x y z t∈¡ ta có x2 +y2 + z2 +t2 ≥ (x+z) (2 + y+t)2

Dấu '' = '' xẩy ra ⇔ xt= yz (chứng minh bởi biến đổi tương đương hoặc dùng véc tơ)

4 2

2

3 1 2

3 1 2

3 1 2

3 1

2 2

+ +

= + +

− +

a a

a

a a

Ví dụ 3.(KS ĐH 2013-CVP) Cho , , x y z là các số thực thỏa mãn 2 x+3y z+ =40 Tìmgiá trị nhỏ nhất của biểu thức S =2 x2 + +1 3 y2+16+ z2+36

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S bằng 20 5 đạt được khi x =2 ;y =8 ;z =12.

Ví dụ 4.(ĐH NT A 1998 ) Cho , , x y z là các số thực thỏa mãn hệ phương trình

163

Lời bình Qua các ví dụ trên cho thấy việc sử dụng phương pháp vectơ để chứng minh

bất đẳng thức cho ta một lời giải ngắn, gọn tránh được việc biến đổi đại số phức tạp

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P c b a= ( − )

7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau, với ,x y∈¡

F x y( ), = x2+ y2−2y+ +1 x2+ y2+ 3x y+ + +1 x2 + y2 − 3x y+ +1

5 2

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất: 41

=

⇔x (thỏa mãn ( )* )

Vậy, bất phương trình có nghiệm là x=5

Lời bình Qua các ví dụ trên việc sử dụng phương pháp vectơ vào việc giải phương

trình , bất phương trình cho ta một lời giải ngắn, gọn và giảm được nhiều việc biến đổicồng kềnh, phức tạp

 Bài luyện tập Giải các phương trình, bất phương trình sau

Giải Hệ phương trình đã cho tương đương với

= + + +

= + + + + + + +

8

10 9 9

8

10 1

2

y x

y x

y

x

y x y y

x x

4

y

x

thoả mãn hệ phương trình

Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất: ( x y, ) ( )= 4,4

Ví dụ 2.(Đề hsg 12 Bà Rịa Vũng Tàu - 2011) Giải hệ phương trình:

= +

6 5 5

2 2

6

2 2

2

2 2

y

x y

x

(thỏa mãn ( )* )

Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y; = 2;6

Ví dụ 3.(Đề Đại học khối A - 2014) Giải hệ phương trình:

(8)(9)

(11)(12)

2 2 1 8

12 12

12

3

2

y x

x

x y y x

Giải Điều kiện : 2 3− ≤ ≤x 2 3 ;2≤ ≤y 12

12

x y

x y

Thay x= 3 vào ( )17 ta được y= 3

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của hệ phương trình là: ( ) ( )x y; = 3;3

− +

+ +

1 4 4 4 2

3 22 8

3 5 3

3

x y y x

y

y x y

xy x y

xy x







 +

59 5

2

1 5 5

2

59 5

2

1 5

18

2 2

2 2

(17)

(18)(19)

Áp dụng bất đẳng thức vectơ u +v ≥ u+v ta có:

(x y)

y xy x y

xy

Dấu đẳng thức trong ( )20 xÈy ra ⇔ ur↑↑ ⇔ =vr x y

Thay y=x vào ( )19 ta được: (8x−22) x− = +3 (2 x−4)( x+4 x− +4 1)



 + − +

− +

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy, hệ phương trình có hai nghiệm là: ( ) ( )x y; = 4;4 và ( ); 52 52;

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là ( ; ; ) 1; ;1 5

C LINH HOẠT, SÁNG TẠO TRONG GIẢI TOÁN

Ví dụ 1.(Khối A - 2010) Giải bất phương trình: ( 2 ) 1

0 1 1

x x

x x

Cách giải sáng tạo … Do đó bất phương trình⇔ 2(x2 − + ≤ − +x 1) 1 x x ( )1

Nhận xét: - Đây là bài toán tương đối khó, trước hết học sinh phải nhận ra bất đẳng thức

( )* để chuyển về BPT ( )1 Sau đó chia hai vế cho x và đặt ẩn phụ 1 x t

Suy ra hàm số f t đồng biến trên ¡ Do đó:( )

Cách giải sáng tạo Bây giờ ta thử đưa phương trình về theo biến y với việc thay thế dễ

dàng hơn và áp dụng phương pháp nhân liên hợp với nhân tử chung y−2 việc chứng

minh biểu thức còn lại luôn dương quá hiển nhiên

Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) (x y; = 0,5 ; 2)

Nhận xét: Đây là bài toán khó, trước hết học sinh phải nhận xét được phương trình thứ

nhất có dạng a3+ = + ⇒ =a b3 b a b Sau khi thế vào phương trình ( )2 ta được g x( ) =0, với g x là một hàm số liên tục và đơn điệu trong tập xác định hoặc theo cách giải thứ( )

hai chuyển về phương trình ẩn y , dùng phương pháp liên hợp thì đẹp hơn.

 Bài luyện tập Giải các hệ phương trình sau

Ví dụ 3.(Khối B - 2010) Giải phương trình: 3x+ −1 6− +x 3x2 −14x− =8 0 *( )

Phân tích tìm lời giải Điều kiện : 1 6

3 x

Gặp dạng phương trình này, ta thường nhẩm nghiệm và ta thấy phương trình có mộtnghiệm x =5, như vậy ta nghĩ đến dùng phương pháp “Nhân liên hợp ” để làm xuất hiệnnhân tử chung ( x−5)

1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x=5

Nhận xét: Đây là bài toán tương đối khó, trước hết học sinh phải nhận xét được phương

trình có một nghiệm x=5 và sử dụng dùng phương pháp “Nhân liên hợp ” để làm xuấthiện nhân tử chung (x−5) , sau đó khẳng định phần còn lại luôn dương trên tập xác địnhcủa phương trình

 Bài luyện tập Giải các phương trình sau

Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: ( ) ( ) ( )

5 2 , 10

5

; 10

5 2 , 1

; 1 , 1

; 1

; y

Nhận xét: Đây là bài toán mức độ trung bình, trước hết học sinh phải nhận ra được

phương trình( )2 đưa về được phương trình tích

 Bài luyện tập Giải các hệ phương trình sau:

Ví dụ 5.(Khối B - 2011) Giải phương trình: 3 2+ −x 6 2− +x 4 4−x2 = −10 3x ( )*

Giải Điều kiện 2− ≤ ≤x 2

Cách giải thông thường: Khi đó, ( )* ⇔3( 2+ −x 2 2−x) +4 4−x2 = −10 3 **x( )Đặt t= 2 +x− 2 2 −x (**)⇔ 3t= ⇔t2 t= 0 hoặc t =3

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất 6

5

x=

Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản ở mức độ trung bình, trước hết học sinh phải biết cách

đặt ẩn phụ (1 ẩn hay 2 ẩn phụ), sau đó biến đổi tương đương để giải

 Bài luyện tập Giải các phương trình sau

Giải Điều kiện 1− ≤ ≤x 1

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x=0

Cách giải sáng tạo: Nhẩm nghiệm và ta thấy phương trình có một nghiệm x=0, nhưvậy ta nghĩ ngay đến dùng phương pháp “Nhân liên hợp ” để làm xuất hiện nhân tử

( ) ( )

2 2

2 0

Nhận xét: Đây là bài toán tương đối khó với học sinh khối D, trước hết học sinh phải

nắm được tính chất phép toán lôgarit , sau đó biến đổi tương đương đưa về phương trình

đa thức để giải hoặc cách hay hơn thì dùng liên hợp

 Bài luyện tập Giải các phương trình sau

Phân tích tìm lời giải

• Nhận thấy ( )1 có x và y cô lập sang từng vế, hơn nữa bậc của đa thức với biến x

và y đều là 3 , vậy ta sẽ biến đổi ( )1 theo phương pháp “ hàm đại diện ”

1

12

3 , 2

3

; 2

1

; y

Nhận xét: Đây là bài toán tương đối khó với học sinh, trước hết học sinh phải cô lập x

và y sang từng vế, hơn nữa bậc của đa thức với biến x và y đều là 3 , vậy ta sẽ biến đổi

( )1 theo phương pháp “ hàm đại diện ”, kết hợp với điều kiện có nghiệm từ phương trình( )2 tạo nên tập xác định của hàm đại diên chặt chẽ , để chứng tỏ hàm đại diện đơn điệu

từ đó tìm được mối liên hệ giữa x và y Chú ý ngoài cách giải trên các bạn còn có thể

giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ nhưng cách giải này tương đối dài

 Bài luyện tập Giải các hệ phương trình sau.

Ví dụ 8.(Khối B-2012) Giải bất phương trình: x+ +1 x2 −4x+ ≥1 3 x ( )1

Phân tích tìm lời giải

Điều kiện: 0 ≤x≤ 2 − 3 hoặc x≥ +2 3.

• Nhận xét do x=0 là một nghiệm của bất phương trình

• Với x>0 chia hai vế của ( )1 cho x ta được: x 1 x 1 4 3 2( )

x x

4 2

1

2

x

x x

; 2

5 1

; y

• x2 = y kết hợp( )1 ⇒ + − = ⇔x3 x 2 0 (x−1) (x2 + + = ⇔ =x 2) 0 x 1,y =1

; 2

5 1

; y

Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản ở mức độ trung bình với học sinh khối D, nó giống như

đề thi khối A năm 2011

 Bài luyện tập Giải các hệ phương trình sau

Phân tích tìm lời giải Điều kiện: x≥1 ( )*

• Ta thấy phương trình ( )1 có thể cô lập x và y sang từng vế, nên rất có thể sử

dụng được phương pháp “Hàm đại diện ” để giải quyết, thật vậy:

+ rõ ràng với t∈¡ thì hàm số f t không chắc đơn điệu, vậy( )

ta cần tìm điều kiện chặt chẽ hơn đối với t như sau.

biến trên khoảng [0;+∞)

( )3 ⇔ f(4 x− 1)= f( )y ⇔ 4 x− 1 =y⇔x= y4 + 1 Thay vào ( )2 ta được:

Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: ( ) ( ) ( )x;y ∈{1 ; 0 , 2 ; 1}.

Nhận xét: Đây là bài toán tương đối khó với học sinh, trước hết học sinh phải cô lập x

và y sang từng vế, vậy ta sẽ biến đổi ( )1 theo phương pháp “ hàm đại diện ”, kết hợp vớiđiều kiện có nghiệm từ phương trình ( )2 tạo nên tập xác định của hàm đại diên chặt chẽ,

để chứng tỏ hàm đại diện đơn điệu từ đó tìm được mối liên hệ giữa x và y Sau đó thế

vào phương trình ( )2 thành phương trình đa thức bậc 8 nhẩm được nghiệm đưa vềphương trình tích như trên

 Bài luyện tập Giải các hệ phương trình sau

Phân tích tìm lời giải Điều kiện 2x y+ ≥0 và x+4y ≥0

Ta có: ( )1 ⇔ y2 −(3x+2) y+2x2 +3x+ =1 0 Ta xem đây là phương trình bậc hai

theo y có biệt thức ( )2 ( 2 ) 2

3x 2 4 2x 3x 1 x

Do đó: ( )

3 2

2 12

1

3 2

12

Ta nhẩm thấy phương trình ( )3 có một nghiệm x=0, như vậy ta nghĩ đến dùng

phương pháp “Nhân liên hợp ” để làm xuất hiện nhân tử chung x

1 0 4

⇔ = ⇒ =y 1 Vậy ( ) ( )x y; = 0;1 là một nghiệm của hệ phương trình

• Với y x= +1 thay vào phương trình ( )2 ta được:

4x − +x 1 + + =x 4 3x+ +1 5x+ ⇔4 3x − + =x 3 3x+ +1 5x+4 4

Ta nhẩm thấy phương trình ( )4 có hai nghiệm x=0,x =1, vậy ta nghĩ đến

phương pháp “Nhân liên hợp ” để làm xuất hiện nhân tử chung x x( − =1) x2 −x ( Chẳng hạn 3x+ =1 mx n+ ( )* lần lượt thay x=0;x=1 vào đẳng thức ( )* ta được

Vậy ( ) ( ) ( ) ( )x y; = 0;1 , ;x y = 1;2 là nghiệm của hệ phương trình

Kết hợp hai trường hợp ta được các nghiệm của hệ là: ( ) ( ) ( ) ( )x y; = 0;1 , ;x y = 1;2

Nhận xét: Đây là bài toán tương đối khó với học sinh khối B, trước hết học sinh cần

tìm được mối liên hệ giữa x và y bằng cách coi đây là một phương trình bậc hai của một

biến coi biến còn lại là tham số , bước sau sử dụng phương pháp liên hợp ra hai nghiệmcủa phương trình x=0,x=1 với suy nghĩ giản dị như trên

 Bài luyện tập Giải các hệ phương trình sau

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất là: x= −4 2 3

Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản ở mức độ tương đối khó với học sinh khối D, trước hết

học sinh phải nắm được tính chất phép toán lôgarit, sau đó thực hiện phép chia cho 1− x

tạo nên một phương trình bậc hai ẩn là:

1

x x

−

 Bài luyện tập Giải các phương trình sau

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của hệ phương trình là: ( ) ( )x y; = 3;3

Nhận xét: Đây là bài toán tương đối khó đối với học sinh, trước hết học sinh phải tìm ra

được mối liên hệ giữa hai ẩn x và y , thông qua phép biến đổi tương đương ở phương

trình ( )1 , qua cách dùng các bất đẳng thức sao cho hợp lý Sau khi thay thế ở phươngtrình ( )2 ta được phương trình chứa căn thức và sử dụng phương pháp liên hợp để giảiphương trình

 Bài luyện tập Giải các hệ phương trình sau.

Phân tích tìm lời giải Điều kiện :x≥2 ;4y x≥5y+3 và y≥0

Ta thử với phương trình ( )1 thì thấy quy luật sau :

• Với y =1 thay vào ( )2 ta được 9 3− x= ⇔ = ⇒0 x 3 ( ) ( )x y; = 3;1 là nghiệm hệ

• Với x y= +1 thay vào ( )2 ta được: 2y2 +3y− =2 1− y

  là một nghiệm của hệ phương trình.

Vậy, hệ phương trình có nghiệm là ( ) ( )

; 2

5 1

; y

Nhận xét: Đây là bài toán khó, trước hết học sinh phải nhận xét được phương trình ( )1

có nhân tử chung là x y− −1 từ đó có hướng biến đổi phương trình ( )1 thành phươngtrình tích Sau khi thế vào phương trình ( )2 sử dụng phương pháp nhân liên hợp để giải

 Bài luyện tập Giải các hệ phương trình sau

Phân tích tìm lời giải Điều kiện:x≥ −2

Ta nhẩm thấy phương trình ( )1 có nghiệm x=2, vậy ta nghĩ đến dùng phương pháp

“Nhân liên hợp ” để làm xuất hiện nhân tử chung x−2 Thậy vậy, bất phương trình ( )1

Nhận xét Đây là bài toán khó với học sinh khối D ( bài toán tôi tâm đắc nhất trong kỳ thi

đại học năm 2014), trước tiên học sinh phải nhận xét được phương trình ( )1 có nghiệm2

x= , rồi nghĩ đến phương pháp “Nhân liên hợp ” để làm xuất hiện nhân tử chung x−2.Sau đó phải biết đánh giá dấu biểu thức M bước này tương đối tinh tế mới giải quyếtđược ( không thể dùng hàm số để biết dấu của M , còn dùng biến đối tương đương thì rấtdài, tôi thấy đây là bước khó nhất của bài toán này

 Bài luyện tập Giải các phương trình , bất phương trình, hệ phương trình sau

Phân tích tìm lời giải Điều kiện: x≥ −2

Ta nhẩm thấy phương trình ( )1 có nghiệm x=2, vậy ta nghĩ đến phương pháp “Nhân liênhợp ” để làm xuất hiện nhân tử chung x−2 Thậy vậy phương trình ( )1

0 1 1

2 1

⇔

−

= +

x x

x x

x x

f x

Nhận xét Đây là một bài toán khó đối với học sinh, trước tiên học sinh phải nhận xét

được phương trình ( )1 có nghiệm x=2, rồi nghĩ đến phương pháp “ Nhân liên hợp ” đểlàm xuất hiện nhân tử chung x−2, sau đó học sinh phải biết cách đưa hai vế của phươngtrình ( )2 về dưới dạng hàm số với các biến x+2 và (x−1) , để tìm ra hàm đại diện

Bài luyện tập Giải các phương trình, bất phương trình sau

Mục tiêu ở đây là qua một số bài mẫu nói lên được phần chính yếu về đề thi đại họcnhững năm gần đây Lúc soạn lại tôi đã thêm bớt, sữa chữa ít nhiều để giữ sự thống nhất

và cân bằng của vấn đề khảo sát, vì vậy khó tránh khỏi thiếu sót, nhầm lẫn về phươngdiện chuyên môn cũng như phương diện sư phạm

Lối trình bày ý kiến của tôi trong lúc giải một bài toán không phải là duy nhất Tôi đã cốgắng định hướng cách giải sao cho phù hợp với vấn đề mà học sinh đã học Học sinh cóthể làm theo mà không sợ lạc hướng, cuối mỗi bài đều có bài tập rèn luyện để các em thửsức.

Ngoài ra, lúc viết tôi luôn chú ý đến những bạn vì nhiều lý do phải tự học Vì vậy đơngiản và tự nhiên là phương châm của tôi khi viết chuyên đề này Tôi hy vọng rằng khi các

em giải được một số bài trong chuyên đề này sẽ không còn cảm thấy khó với những bàitoán thuộc những chủ đề trên

Tôi chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp, phê bình của các bạn đồng nghiệp, bạnđọc để giúp tôi sửa bài viết ngày càng hoàn thiện hơn

Tôi thân ái gửi đến các em học sinh bài viết chuyên đề nhỏ này, chúc các em học tập tốt

và thành công ở các kì thi sắp tới Sau cùng, tôi thân mến tỏ lòng cảm ơn một số học sinhlớp 11A1 THPT Chuyên Vĩnh Phúc niên khóa 2013-2016 đã cố gắng và thành thực, giántiếp hay trực tiếp giúp tôi hoàn thành chuyên đề này