Luận văn thác sĩ nghiên cứu một tình huống dạy học khái niệm giới hạn ứng dụng công nghệ thông tin

Mục đích nghiên cứu : Nghiên cứu này nhắm vào việc thiết kế, phân tích và thực nghiệm một tình huống dạy học khái niệm giới hạn hữu hạn gắn với các nghĩa thực sự của khái niệm sau khi kh

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT 3

MỞ ĐẦU 4

1 Lý do chọn đề tài 4

2 Mục đích nghiên cứu 5

3 Phương pháp nghiên cứu 6

CHƯƠNG 1 7

1.1 Các ý nghĩa của khái niệm giới hạn trong lịch sử toán học 7

1.2 Quan niệm của học sinh sau khi học khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh lý hợp nhất 2000 12

1.3 Phân tích các tiết dạy học khái niệm giới hạn của chương trình hiện hành trong một lớp học 15

1.3.1 Protocole giới hạn của hàm số (tiết 53) 15

1.3.2 Protocole giới hạn của hàm số (tiết 54) 19

1.3.3 Protocole giới hạn của hàm số (tiết 56) 21

1.4 Kết luận 22

CHƯƠNG 2 24

2.1 Giả thuyết Rogalski và mục đích thực nghiệm 24

2.1.1 Giả thuyết Rogalski 24

2.1.2 Mục đích thực nghiệm 24

2.2 Những lựa chọn cho hoạt động 24

2.2.1 Nghiên cứu toán học 25

2.2.2 Vẽ các đồ thị (bằng phần mềm Geogebra) 27

2.2.3 Dự đoán giới hạn bằng thực nghiệm số với máy tính Casio FX570MS 28

2.2.4 Lý do lựa chọn các hàm số 29

2.2.5 Giới thiệu sơ lược về 2 phần mềm sử dụng trong kịch bản thực nghiệm 30

2.2.5.1 Phần mềm giả lập máy tính cầm tay FX570MS 30

2.2.5.2 Phần mềm hình học động Geogebra 31

2.3 Chi tiết kịch bản thực nghiệm 33

2.3.1 Hoạt động 1: (8 phút) Sử dụng phần mềm giả lập Casio FX 570 MS 33

2.3.2 Hoạt động 2: (12 phút) Thực nghiệm số 35

2.3.3 Hoạt động 3: (24 phút) Sử dụng phần mềm Geogebra và quan sát đồ thị 38

2.3.4 Hoạt động 4: (5 phút) Định nghĩa giới hạn tại 1 điểm 42

2.3.5 Hoạt động 5: (10 phút) Hình thành quan điểm « xấp xỉ f(x) » 42

2.3.6 Phân tích tiên nghiệm 45

2.3.7 Phân tích hậu nghiệm 49

2.4 Kết luận 60

KẾT LUẬN 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài :

Ngày nay, việc ứng dụng công nghệ thông tin đã trở nên khá quen thuộc với những thầy cô đang công tác trong ngành giáo dục Với công văn số 12966/BGDDT-CNTT (2007) của Bộ Giáo Dục & Đào Tạo năm học 2008-2009 được chọn là Năm học Công nghệ thông tin Như vậy có thể thấy ứng dụng công nghệ thông tin đang được yêu cầu và khuyến khích trong dạy học Phổ thông Tuy nhiên, trong dạy học nói chung

và trong dạy học Toán nói riêng, không phải kiến thức nào cũng có thể áp dụng được cách dạy này Có thể nói CNTT là một trong các yếu tố giúp làm nảy sinh và thúc đẩy những xu hướng dạy học mới thay thế dần những phương pháp dạy học truyền thống,

mà người ta thường gọi là "Phương pháp dạy học tích cực" Tức là người học giữ vai trò trung tâm, chủ động thực hiện các tình huống để giải quyết vấn đề, còn giáo viên chỉ là người tổ chức các hoạt động và tổng kết các kiến thức được học sinh phát hiện Khi đó kiến thức sẽ không được truyền thụ trực tiếp từ giáo viên đến học sinh mà có thể sẽ được xuất hiện không hoàn chỉnh trong những sản phẩm của học sinh, và như đã nói trên giáo viên sẽ là người thể chế hóa lại những kết quả đó thành tri thức Dựa theo những tiêu chuẩn đó, trong một bài báo của mình, tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung đã

đề nghị phân chia việc UDCNTT thành 3 cấp độ

Cấp độ 1 : Giáo viên ứng dụng CNTT để trình chiếu và minh họa

Cấp độ 2 : Giáo viên ứng dụng CNTT để minh họa các hoạt động

Cấp độ 3 : Học sinh trực tiếp thao tác trên phần mềm trong một tình huống gợi vấn đề1

Ở đây có thể thấy trong cấp độ 3, quan điểm lấy người học làm trung tâm được thể hiện rõ nét Việc vận dụng cấp độ này vào môn Toán còn rất nhiều hạn chế, còn có

1

Thuật ngữ tình huống gợi vấn đề được dùng theo nghĩa của Lê Văn Tiến (2005)

những vấn đề cần phải nghiên cứu áp dụng một cách cụ thể Trong các vấn đề đó có vấn đề dạy học giới hạn ở trường THPT

Mặt khác, nhiều ý kiến cho rằng bản chất của khái niệm giới hạn rất khó giảng dạy ở trường Phổ thông, và thế là các quy tắc đại số, những kỹ thuật tính giới hạn được

ưu tiên gần như tuyệt đối trong việc giảng dạy ở trường THPT Đó âu cũng là lẽ tự nhiên vì nó thỏa mãn yêu cầu của các kỳ thi mà Bộ Giáo Dục đề ra Vậy thì việc hiểu được bản chất của khái niệm giới hạn đối với học sinh có những lợi ích gì? Bản chất đó

có thể giảng dạy trong chương trình hiện hành được hay không? Và làm sao để có thể giảng dạy khái niệm này ứng với các PPGD tích cực (lấy người học làm trung tâm) mà nền giáo dục chúng ta đang theo đuổi?

Từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là :

"Nghiên cứu một tình huống dạy học khái niệm giới hạn ứng dụng công nghệ thông tin"

2 Mục đích nghiên cứu :

Nghiên cứu này nhắm vào việc thiết kế, phân tích và thực nghiệm một tình huống dạy học khái niệm giới hạn hữu hạn gắn với các nghĩa thực sự của khái niệm sau khi khái niệm đã được giới thiệu ở trường phổ thông bằng các phương pháp giáo dục tích cực có ứng dụng CNTT

Ngoài ra các hàm số được chọn lựa trong tình huống sẽ không đơn giản như các dạng hàm thường xét giới hạn trong chương trình THPT Vì chúng tôi muốn thông qua các thực nghiệm số và đồ thị để xem xét giả thuyết của Rogalski trong dạy học phổ thông Việt Nam

Giả thuyết của Rogalski (1994) về việc dạy học khái niệm hội tụ ở bậc đại học

Để dạy sinh viên hiểu khái niệm hội tụ và sử dụng khái niệm này giải toán, chúng ta không được giới hạn cho họ giải các bài tập quá cơ bản Điều này tránh hình thành cho sinh viên những mô hình quá đơn giản hay sai tạo thành các chướng ngại dạy học.

3 Phương pháp nghiên cứu :

Với mục đích nghiên cứu một tình huống dạy học khái niệm giới hạn như trên, chúng tôi tuân theo quy trình như sau :

Phân tích tri thưc luận → Phân tích chương trình, sách giáo khoa → Thiết kế tình huống và phân tích tiên nghiệm tình huống → Thực nghiệm tình huống và phân tích hậu nghiệm → Cải tiến tình huống, bổ sung phân tích tiên nghiệm → …

Để đạt được mục đích nghiên cứu của mình trong một khoảng thời gian ngắn của khóa luận, chúng tôi sử dụng các kết quả đã có cho hai mắt xích đầu tiên : Phân tích tri thức luận → Phân tích chương trình, sách giáo khoa

Cụ thể, chúng tôi sẽ tìm hiểu một số kết quả nghiên cứu tri thức luận về khái niệm giới hạn trong lịch sử từ các kết quả của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) Sau

đó, chúng tôi dựa vào các biên bản dự giờ của Lê Thành Đạt (2010) cho chương trình hiện hành và kết hợp với những phân tích thực nghiệm liên quan đến chương trình và SGK chỉnh lí hợp nhất của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) và Nguyễn Thành Long (2004)

Việc hiểu và tóm lại các điểm chính và cần thiết cho khóa luận này từ các nghiên cứu đã có cho phép chúng tôi nhanh chóng tiến hành nghiên cứu và thực nghiệm một tình huống dạy học khái niệm giới hạn

Với phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu đề ra, khóa luận của chúng tôi sẽ

tổ chức thành hai chương :

Chương 1 : Tổng hợp các nghiên cứu về dạy học khái niệm giới hạn

Chương 2 : Thực nghiệm

CHƯƠNG 1

TỔNG HỢP CÁC NGHIÊN CỨU VỀ DẠY HỌC

KHÁI NIỆM GIỚI HẠN

Mục tiêu của chương

Từ việc phân tích và tổng hợp bài báo "DẠY VÀ HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN HÀM SỐ Ở TRƯỜNG THPT" của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2011) chúng tôi rút ra được một số kết luận về những quan điểm khái niệm giới hạn hàm số trong lịch sử cũng như sự thể hiện của những quan điểm này trong các trường phổ thông hiện nay

1.1 Các ý nghĩa của khái niệm giới hạn trong lịch sử toán học :

Trước tiên chúng tôi xin được điểm qua vài nét nổi bật hình thành nên những khái niệm giới hạn trong lịch sử Ngay từ thời toán học cổ Hy Lạp, nhà toán học Eudoxus (khoảng 408 – 355 TCN) được xem là một trong những người có tư tưởng về giới hạn đầu tiên, một khái niệm trung tâm của phép tính vi phân và tích phân, sớm nhất Tuy nhiên, trước Eudoxus, Antiphon đã có một ý tưởng về giới hạn như sau: Để tìm một hình vuông có diện tích bằng một hình tròn cho trước, Antiphon cho rằng bằng cách liên tiếp nhân đôi số cạnh của đa giác nội tiếp trong một đường tròn, thì cuối cùng hiệu số của diện tích của hình tròn và đa giác sẽ bị vét cạn Vì với bất kỳ đa giác nào cũng đều có thể dựng được một hình vuông có diện tích bằng diện tích đa giác đó Do vậy, ta có thể dựng được một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn cho trước Lập luận này của Antiphon lập tức bị phê phán về mặt căn cứ, người ta cho rằng

nó vi phạm điều mà được cho là các đại lượng có thể chia ra được vô hạn, và quá trình của Antiphon không thể bao giờ sử dụng được cho tới đa giác có diện tích đúng bằng đường tròn Tuy nhiên cách làm của Antiphon đã giúp cho Eudoxus phát triển của

phương pháp vét cạn (method of exhaustion) nổi tiếng với mệnh đề sau đây làm cơ sở:

"Nếu từ bất kỳ một đại lượng nào và bỏ đi một phần không nhỏ hơn phân nửa của nó, v.v thì cuối cùng sẽ còn lại một đại lượng nhỏ hơn bất kỳ đại lượng nào được ấn định trước cùng loại"

Nhờ phương pháp vét cạn mà ông và các nhà toán học về sau, đặc biệt là Archimedes, tìm ra nhiều công thức tính diện tích, thể tích của nhiều hình hình học mà đặc trưng là việc tính diện tích hình thang cong, chính cách làm này đã thể hiện những quan điểm đầu tiên về khái niệm giới hạn

<<Quan điểm đầu tiên về khái niệm giới hạn tồn tại từ thời Euclide (tư tưởng của nó thể hiện trong Phương pháp vét cạn ) đến tận Newton (1642-1727) Chúng tôi gọi đây là quan điểm « xấp xỉ x » Trong quan điểm này, biến số

« kéo » hàm số :

Nếu một đại lượng x tiến về một giá trị a của đại lượng này (theo nghĩa, nó nhận các giá trị ngày càng gần a) thì đại lượng y – đại lượng phụ thuộc x (một hàm số biến x)- tiến về một giá trị l Nghĩa là x càng lúc càng gần a kéo theo y càng lúc càng gần l.>> [4, tr.2]

Phương pháp vét cạn có thể hiểu một cách trực quan là phương pháp giúp tìm diện tích của một hình bằng cách nội tiếp trong nó một chuỗi các đa giác mà diện tích của nó dần tới diện tích của hình đó Nếu chuỗi đa giác này được dựng đúng, hiệu số giữa diện tích của đa giác thứ n và hình cần tìm diện tích sẽ nhỏ tùy ý nếu n đủ lớn Khi hiệu này có thể nhỏ một cách tùy ý, giá trị có thể có của diện tích hình cần tìm sẽ

bị vét kiệt bởi đa thức nội tiếp Đến đây ta có thể thấy được tư tưởng "biến số kéo hàm số" trong phương pháp vét cạn một cách rõ ràng, tức là "biến số đa giác" kéo "hàm diện tích" đa giác đến hình cần tìm

Như đã nói trên phương pháp vét cạn được xem là sự thể hiện tư tưởng quan điểm « xấp xỉ x » và được Archimedes sử dụng rất thành thạo, nhờ đó mà ông đã tìm

được diện tích của nhiều hình khác nhau Sau này khi khái niệm giới hạn được định nghĩa một cách chặt chẽ, phương pháp vét cạn không còn được dùng để giải toán nữa

Quan điểm được định nghĩa chặt chẽ mà chúng tôi muốn nói đến ở đây chính là quan điểm « xấp xỉ f(x) », và mãi tới thời Cauchy, tức là giai đoạn toán học hiện đại,

nó mới được xuất hiện

<<Quan điểm thứ hai về khái niệm giới hạn xuất hiện khi Cauchy (1821) đưa ra định nghĩa chính xác cho khái niệm này Chúng tôi gọi đây là quan điểm « xấp

xỉ f(x)»

Trong quan điểm « xấp xỉ f(x) » chúng ta hiểu khái niệm giới hạn (thể hiện trong kí hiệu hiện đại ngày nay lim ( )

x a f x l

→ = ) có nghĩa là độ xấp xỉ của f(x) với l

mà ta mong muốn sẽ quyết định độ xấp xỉ của x với a cần chọn >> [11, tr.12] Chưa dừng lại ở đó, 55 năm sau, đến lượt Weierstrass (1815 – 1897) đã làm cho định nghĩa này trở nên súc tích bằng ngôn ngữ ε δ Định nghĩa của Weierstrass có ý ,nghĩa quan trọng vì với sự hình thức hóa quan điểm « xấp xỉ f(x) » này, các nhà toán học có thể thao tác dễ dàng khi chứng minh và trình bày giải tích thực

<<Định nghĩ súc tích này vẫn được sử dụng ở bậc đại học ngày nay Với ngôn ngữ hình thức, chúng ta có thể thể hiện khái niệm giới hạn như sau :

Algebraic_year 12 » mà tác giả Lê Thành Đạt (2011) đã phân tích, một định nghĩa sơ sài giới hạn của hàm số tại a được sách giáo khoa Mỹ đưa ra :

<<Khi chúng ta viết lim ( )

x a f x L

→ = chúng ta hiểu là f(x) nhận giá trị dần đến L khi x nhận giá trị dần đến a (nhưng không bằng a) >> [tr 813]

Sách giáo khoa Mỹ giải thích lý do không trình bày định nghĩa giới hạn của hàm

số tại x = a theo ngôn ngữ ( , )ε δ hoặc theo ngôn ngữ giới hạn của dãy số như sau :

<<Thật là khó để tiếp cận định nghĩa thực chất của giới hạn Nếu nó dễ tiếp cận, sẽ không phải mất đến 150 năm >> [tr 813]

Theo tác giả Lê Thành Đạt thì sách giáo khoa Mỹ đã tự hạn chế ngay từ đầu là không xem xét quan điểm « xấp xỉ f(x) » của khái niệm giới hạn, thể hiện khi giải thích

ký hiệu lim ( )

x a f x L

→ = , sách giáo khoa này nhấn mạnh trên quan điểm « xấp xỉ x » của khái niệm giới hạn

Như đã phân tích, khi khái niệm giới hạn được định nghĩa chính xác thì chúng ta

dễ dàng tìm thấy những sự đối lập trong hai quan điểm kể trên

<<Hai quan điểm kể trên thể hiện sự đối lập nhau về vai trò của độ xấp xỉ biến

δ và độ xấp xỉ giá trị hàm số ε : trong quan điểm « xấp xỉ x », độ xấp xỉ δ kéo

theo độ xấp xỉ ε ; còn trong quan điểm « xấp xỉ f(x) », độ xấp xỉ ε mong muốn sẽ

[21, tr 2]

Thật vậy

-2n n -2

Và đến đây sự thiếu xót trong quan điểm « xấp xỉ x » được bộc lộ rõ ràng, thực

ra sự thiếu xót ấy có thể tìm thấy trong những ví dụ tưởng chừng như rất đơn giản, chẳng hạn như "Khi x càng gần 0 thì x càng gần 0,0001, vậy

1821, các quy tắc đại số khi thực hiện phép tính với các vô cùng bé (kí hiệu là 0) và vô cùng lớn (kí hiệu là +∞ và -∞)

<<Như vậy, người ta có thể thao tác theo các quy tắc đại số trên các giới hạn

mà không đề cập đến ý nghĩa của khái niệm giới hạn Lang (1986) đã xem một tập hợp các quy tắc đại số tối tiểu trên các giới hạn như một hệ tiên đề Đến đây, chúng ta thấy xuất hiện quan điểm mà chúng tôi gọi là « quan điểm đại

số » của khái niệm giới hạn.>> [10, tr.3]

1.2 Quan niệm của học sinh sau khi học khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh lý hợp nhất 2000 :

Với phần trình bày trên chúng ra đã có cái nhìn khá tổng quan về tiến trình hình thành nên các quan điểm về giới hạn trong lịch sử, để thấy được sự xuất hiện của những quan điểm này ở cấp độ trường trung học phổ thông, chúng ta hãy trở lại thực nghiệm trên 131 học sinh lớp 12 trong bài báo, nhằm tìm hiểu một phần quan niệm của học sinh sau khi học khái niệm giới hạn hàm số

<<Thực nghiệm gồm hai câu hỏi sau đây :

Câu hỏi 1 Hãy tính

3

lim

3x

xx

1

1x

xx

→

nghĩa là gì ?

Kết quả thực nghiệm như sau :

- Đối với câu hỏi 1, 86 % học sinh được hỏi đã áp dụng quy tắc đại số để khử dạng vô định (0/0) và cho kết quả hoặc là một số cụ thể hoặc là kí hiệu ∞ (mặc

dù giới hạn này không tồn tại)

- Đối với câu 2, 73 % học sinh được hỏi soạn một chỉ dẫn để tính giới hạn Đặc biệt, một cố học sinh còn lưu ý rằng « cứ làm như vậy mà chẳng cần hiểu gì về lim ».>> [15, tr.1]

Điều này cho thấy nhận định "Thật là khó để tiếp cận định nghĩa thực chất của giới hạn Nếu nó dễ tiếp cận, sẽ không phải mất đến 150 năm " của sách giáo khoa Mỹ cũng khá hợp lý, hơn nữa theo các nghiện cứu về khái niệm giới hạn của 2 tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) và Nguyễn Thành Long (2004) có nhận định :

<<Việc xây dựng và tổ chức các kiến thức cần giảng dạy về khái niệm giới hạn dựa gần như tuyệt đối trên quan điểm đại số hĩa>> [7, tr.49]

<<Sách giáo khoa hiện hành chỉ tạo thuận lợi cho việc thiết lập quan điểm đại

số về khái niệm giới hạn ở học sinh Chỉ cĩ vài dấu vết nhỏ của các quan điểm khoa học luận khác trong sách giáo khoa này>> [12, tr.19]

Cũng trong nhận xét này chúng tơi nhận định thêm rằng những kiểu nhiệm vụ tính giới hạn thực sự khơng cĩ nhiều ý nghĩa đối với học sinh, các em chỉ được làm quen với những bài tốn tính giới hạn, rồi xem xem chúng thuộc dạng nào và giải, đại loại như :

tử

dạng vô địnhmẫu

Và như thế giới hạn chẳng qua chỉ là những thao tác đại số, đã hình thành khuơn mẫu, ngồi ra khơng cĩ ý nghĩa gì nổi bật Tất nhiên khơng thể phủ nhận rằng, đối với những bài tốn giới hạn khĩ thì học sinh cũng phải tìm tịi, suy nghĩ từ đĩ năng lực tư duy tốn học được nâng lên Nhưng rộng hơn, việc hiểu bản chất của khái niệm giới hạn sẽ giúp ích rất nhiều cho học sinh khi học các mơn khoa học khác được học trong trường phổ thơng như Lý, Hĩa hay những kiến thức khác liên quan trong tốn học như đạo hàm, tích phân Ví dụ như về khái niệm đạo hàm, như chúng ta đã biết sau khi Descartes phát minh ra phương pháp xác định tọa độ 1 điểm trong hệ trục tọa độ vuơng

góc và cách biểu diễn hàm số bằng đồ thị thì ông và nhà toán học Fermat đã đặt ra bài toán : Tìm tiếp tuyến của đường cong, tìm cực đại và cực tiểu của hàm số Để giải quyết bài toán này, các ông đã tiếp cận được điều "cốt lõi" của khái niệm đạo hàm, phương pháp mà các ông sử dụng chính là việc đánh giá xấp xỉ tiếp tuyến bằng cát tuyến rồi chuyển qua giới hạn Còn về tích phân, khái niệm này được định nghĩa thông qua bài toán tính diện tích hình thang cong, mà ở đó các nhà toán học đã xấp xỉ diện tích của nó bằng tổng diện tích các hình chữ nhật rồi lại chuyển qua giới hạn cũng như thông qua việc dạy khái niệm giới hạn, học sinh có nhu cầu tìm hiểu các chức năng đặc biệt của máy tính ( nhập biểu thức đại số, tính toán hàng loạt ), sử dụng phần mềm vẽ đồ thị để quan sát, thao tác trực tiếp lên hình ảnh trực quan của khái niệm giới hạn

Rất tiếc trong các sách giáo khoa hiện hành, kiểu nhiệm vụ tính giới hạn đã lấn

át những quan điểm mang lại ý nghĩa thực thụ cho khái niệm giới hạn, theo thống kê của tác giả Nguyễn Thành Long đối với chương trình chỉnh lý hợp nhất : "kiểu nhiệm

vụ này chiếm 80,6% trong các ví dụ và 87% trong phần bài tập" và trong phần lời kết của bài báo cũng có đề cập đến :

<<Phân tích chương trình và sách giáo khoa bậc THPT cùng với những nghiên cứu thực nghiệm về việc dạy học khái niệm giới hạn cho thấy kiểu nhiệm vụ tính giới hạn đã lấn át những vấn đề khác mang lại ý nghĩa thực thụ cho khái niệm giới hạn.>> [21, tr.6]

Một cách tự nhiên, chúng ta có thể nghĩ ngay đến việc : Liệu có thể nghiên cứu được những tình huống dạy học khái niệm giới hạn của hàm số thỏa mãn được những yêu cầu rất cần thiết đã nêu, hơn là việc chỉ giảng dạy khái niệm giới hạn trong bài học

có tên Giới hạn và theo một trình tự xuất hiện trong các sách giáo khoa nước ta Và đó cũng chính là tiền đề để chúng tôi thực hiện luận văn "Nghiên cứu một tình huống dạy học khái niệm giới hạn"

1.3 Phân tích các tiết dạy học khái niệm giới hạn của chương trình hiện hành trong một lớp học :

Các biên bản dự giờ do Lê Thành Đạt thực hiện (2004)

1.3.1 Protocole giới hạn của hàm số (tiết 53) :

Dựa vào biên bản dự giờ ta có thể tóm tắt các hoạt động chính của giáo viên và học sinh như sau:

Hoạt động 1: (từ 1->9 trong biên bản) Dạy khái niệm giới hạn

nx

n

+

tìm f x( )n ” GV đặt câu hỏi: “Để tìm f x( )n

theo n ta làm như thế nào?”

GV vừa nói vừa viết trên bảng:

giới hạn là 2 khi x→ Tất cả mở SGK trang 1

124 ghi nội dung định nghĩa 1

nx

về giá trị 2 (quan điểm <<xấp xỉ x>>) cũng như là khoảng cách f x( )− nhỏ bao 2nhiêu tùy ý khi x ngày càng gần 1 (quan điểm <xấp xỉ f(x)>> Ở đây có thể lựa chọn cách phát biểu cho học sinh: "Khi x = 1 thì ta không có giá trị của y, nhưng chuyện gì xảy ra khi x càng gần 1 trong từng trường hợp" và cho học sinh thực nghiệm với máy tính trong 15' Khi đó sự xấp xỉ x có thể xuất hiện vì học sinh được lựa chọn một cách tùy ý những giá trị x gần 1 mà không bị áp đặt Và đến một lúc nào đó khi x đủ gần 1(chẳng hạn 0,999999) máy tính bỏ túi sẽ cho kết quả tính f(x) = 1 (tư tưởng <<xấp xỉ f(x)>> có thể xuất hiện)

Ngoài ra giáo viên cũng không cho học sinh quan sát đồ thị nên không hình thành được biểu tượng trực quan về giới hạn của hàm số tại 1 điểm Vì vậy khi chuyển

từ ví dụ qua định nghĩa có thể khiến học sinh hình dung rất mơ hồ về khái niệm giới hạn

Hoạt động 2: (từ 10->14 trong biên bản) Vận dụng định nghĩa để tính giới hạn

Hoạt động 3: (từ 15->hết) Dạy học các định lý về giới hạn hàm số

Về giới hạn hữu hạn của hàm số, ta cũng có

các định lí về tổng, hiệu, tích, thương và khai

căn giống giới hạn của dãy số Chúng ta về

xem trong SGK Và bây giờ chúng ta sẽ áp

dụng nội dung định lí để tìm giới hạn của

Đến bài tập 3 giáo viên giới thiệu đây là

dạng vô định và hướng dẫn phương pháp giải

:

B1: phân tích các đa thức của tử và mẫu thành

nhân tử; B2: đơn giản tử số và mẫu số; B3:

thay giá trị của x để tính giới hạn”

Chia đa thức cho đa thức, sơ đồ hosner

Dùng định lí

Nhận xét :

Phần giới thiệu các định lý về giới hạn hàm số giáo viên đã giải thích minh họa bằng các ví dụ nên học sinh tiếp cân tích cực hơn

Như đã nói trên, giáo viên đã bỏ qua phần thực nghiệm số và quan sát đồ thị nên

ý nghĩa thực sự của khái niệm giới hạn đã không xuất hiện, đến phần này dễ hướng học sinh đến việc hiểu khái niệm giới hạn theo quan điểm đại số, tức là chỉ đơn thuần việc tính giới hạn bằng các quy tắc đại số Điều này sẽ khắc sâu trong tâm trí của học sinh

và vì thế những quan điểm mơ hồ trong định nghĩa giới hạn hàm số tại 1 điểm dường như biến mất, nhất là khi giáo viên củng cố phần áp dụng định lý để tính giới hạn bằng câu: "Chúng ta thấy cách tìm giới hạn bằng định nghĩa và bằng định lý, cách nào dễ thực hiện hơn"

1.3.2 Protocole giới hạn của hàm số (tiết 54) :

Tóm tắt hoạt động chính của giáo viên và học sinh:

Tạo động cơ ( )

2 2

1 khi 1

khi 11

xx

Cho học sinh đọc định nghĩa 2, lưu ý định lý 2 :

Quay lại hướng dẫn học sinh giải bài toán trên

Sau đó cho quan sát đồ thị của hàm số

hàm số tại vô cực

Hướng dẫn cho học sinh phương pháp giải các ví dụ

Giải các ví dụ

Định nghĩa 2 : (Đại số và Giải tích 11, trang 126)

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng ( , )x b 0

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x→ nếu với dãy số ( )x0 x nbất kỳ, x0 <xn < và b xn → , ta có ( )x0 f xn → L

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng ( ;a x 0)

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x→ nếu với dãy số ( )x0 x nbất kỳ, a<xn < và x0 xn → , ta có ( )x0 f xn → L

Sau khi giải thích cho học sinh định lý 2, giáo viên tiếp tục hướng dẫn học sinh

giải bài toán ( )

2 2

→ Có thể thấy đây chỉ đơn

thuần là một kiểu nhiệm vụ tính giới hạn của hàm số cho bởi nhiều biểu thức giải tích

và củng cố thêm cho học sinh về định lý 2 trong SGK

Trong phần giới hạn của hàm số tại vô cực giáo viên cho học sinh quan sát đồ thị trong SGK, có thể nói việc giáo viên không cho học sinh quan sát đồ thị trong khái niệm giới hạn hàm số tại 1 điểm đã làm cho học sinh không hình thành được biểu tượng trực quan ngay từ đầu bài học, khiến hoạt động này cũng như cưỡi ngựa xem hoa Và định nghĩa ấy cũng nhanh chóng bị mờ dần khi giáo viên hướng dẫn cho học sinh cách tính giới hạn hàm số tại vô cực

1.3.3 Protocole giới hạn của hàm số (tiết 56) :

Tóm tắt hoạt động chính của giáo viên và học sinh:

Tổ chức cho học sinh giải các bài tập 1,2,3,4,5/Trang

132,133 trong sách giáo khoa ĐS&GT 11 cơ bản

Bài 1,3,4 dạng tính toán và bài 2,5 thiên về lý thuyết

Lên bảng giải các bài tập

Phân tích và nhận xét :

Trong giờ sửa bài tập này, ta có thể thấy kiểu nhiệm vụ tính giới hạn đã lấn át bản chất của khái niệm giới hạn rất rõ, bằng chứng là đối với những bài toán 1,3,4 thì học sinh giải rất nhanh (các dạng bài theo kiểu phân tích thành nhân tử chung hoặc nhân lượng liên hiệp)

Còn đối với những bài tập mang màu sắc lý thuyết thì học sinh dường như không cảm nhận được và giải theo sự hướng dẫn của giáo viên một cách áp đặt Chẳng hạn trong biên bản dự giờ có thể thấy là các em không thật sự nắm vững định nghĩa, khiến việc nhận thấy khi tồn tại 2 dãy số cùng có giới hạn là 0, nhưng lim f u( )n và

( )

lim f v khác nhau, thì sẽ không tồn tại n lim f x( )

→ , là rất khó khăn

Tiếp theo trong bài tập 5, sau khi cho học sinh quan sát đồ thị và nêu nhận xét

hành cho học sinh kiểm tra lại kết quả bằng cách tính

<<b) Kiểm tra lại nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau :

→− với f x được xét trên khoảng ( ) ( 3;3)− >> [4; tr.133; SGK]

Và một điều có thể nhận ra là vấn đề tổ chức thực nghiệm bằng đồ thị gặp nhiều khó khăn đối với học sinh, mà hệ quả là việc đã không có một hoạt động thực nghiệm

số đi kèm trước đó

1.4 Kết luận :

Như vậy khái niệm giới hạn được xuất hiện đầu tiên thông qua quan điểm

<<xấp xỉ x>>, theo quan điểm này, sự xấp xỉ x đến a kéo theo sự xấp xỉ f(x) đến l Nghĩa là "Nếu một đại lượng biến thiên x tiến về một giá trị a (theo nghĩa là nó lấy những giá trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y phụ thuộc vào x (y là một hàm số của đại lượng x) tiến về một giá trị l Nếu x dần dần xích lại gần a kéo theo đại lượng y xích lại gần l" (BKOUCHER 1996)

Sau này bản chất của khái niệm giới hạn mới thật sự xuất hiện trong quan điểm

<<xấp xỉ f(x)>> Theo quan điểm này, độ xấp xỉ f(x) với l mong muốn sẽ quyết định

độ xấp xỉ x với a Định nghĩa theo ( , )ε δ không gì khác hơn là sự hệ thống hóa quan điểm xấp xỉ này (BKOUCHER 1996) Và cuối cùng là sự xuất hiện của quan điểm đại

số, quan điểm này cho phép thao tác trên các định lý và sử dụng các kết quả liên quan đến các "giới hạn thông dụng" mà không cần làm rõ bản chất của khái niệm giới hạn

Thực tế dạy học cho thấy, giáo viên ở các trường trung học phổ thông không quan tâm tổ chức cho học sinh thực hiện 1 thực nghiệm số với các giá trị của hàm số f(x) ứng với giá trị cụ thể của biến x và không đi sâu vào phần quan sát đồ thị, mà qua

đó có thể hình thành quan điểm <<xấp xỉ x>> của khái niệm giới hạn hay manh nha các ý tưởng về quan điểm <<xấp xỉ f(x)>>, vì thế học sinh hiểu không đầy đủ về ý nghĩa của khái niệm giới hạn Ở đây, giáo viên chỉ quan tâm đến mục đích hình thành các thao tác kỹ thuật để giải quyết các nhiệm vụ chứng minh lim ( )

x a f x L

nhận xét thêm sách giáo viên cũng đã không làm rõ tầm quan trong của các hoạt động thực nghiệm số và quan sát đồ thị góp phần khiến giáo viên bỏ qua các hoạt động này Ngoài ra, dường như giáo viên cũng thiếu những bài giảng mẫu về các hoạt động này

Vì vậy trong chương tiếp theo, chúng tôi sẽ thiết kế một hoạt động mẫu, mong muốn có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên, các tình huống dạy học với những ví

dụ không đơn giản, học sinh sẽ được trực tiếp thao tác trên phần mềm trong một tình huống gợi vấn đề mà trong đó thực nghiệm số và quan sát đồ thị đóng vai trò chính yếu, để xem những tình huống đó có áp dụng được trong dạy học phổ thông Việt Nam được hay không

CHƯƠNG 2

THỰC NGHIỆM

2.1 Giả thuyết Rogalski và mục đích thực nghiệm :

2.1.1 Giả thuyết Rogalski :

Giả thuyết của Rogalski (1994) khi dạy học khái niệm hội tụ ở bậc đại học

“Để dạy sinh viên hiểu khái niệm hội tụ và sử dụng khái niệm này giải toán, chúng ta không được giới hạn cho họ giải các bài tập quá cơ bản Điều này tránh hình thành cho sinh viên những mô hình quá đơn giản hay sai tạo thành các chướng ngại dạy học.”

Các mục đích này nhằm trả lời cho nghi vấn sau đây :

Phải chăng chúng ta không thể giảng dạy khái niệm giới hạn với quan điểm

2.2.1 Nghiên cứu toán học :

a)

0

1lim( sin ) 0

x

Hiện nay ở các sách giáo khoa phổ thông không đưa định lý kẹp vào dạy chính

thức mà chỉ đưa vào bài đọc thêm, vì vậy để tìm

0

1lim( sin )

"Cho hai dãy số (un)và ( )vn

Nếu un ≤ với mọi n và limvn vn = thì lim0 un = " 0

Tìm

0

1lim( sin )

n n

“Ta nói hàm số y= f x( )có giới hạn là số L khi x dần tới x nếu với dãy số (0 x ) bất n

kỳ, xn ∈ Κ\ { }x0 và xn → , ta có ( )x0 f xn → ” L

Ta kết luận không tồn tại giới hạn của ( )f x khi x dần đến 0

Kết luận : hàm số không có giới hạn tại x = 0

Hơn nữa câu b) y f x( ) sin1

x

= = hàm số không có giới hạn tại x = 0, đặt học sinh vào tình huống đối lập với trường hợp a) Như vậy quan điểm « xấp xỉ f(x) » có thể được đề cập

+ Nghĩa là nếu học sinh dự đoán ( )f x gần về 0 hoặc về 1 khi x dần về 0 thì

các em sẽ giải phương trình sin1 0

Ví dụ :

2.2.5 Giới thiệu sơ lược về 2 phần mềm sử dụng trong kịch bản thực nghiệm :

2.2.5.1 Phần mềm giả lập máy tính cầm tay FX570MS :

GV hướng dẫn học sinh sử dụng : các em click chuột vào biểu tượng góc trái, phía trên giao diện máy tính (hình giống tờ giấy bị gấp góc), rồi nhập mã số học sinh và nhiệm vụ, enter và có thể tính toán

( )

f x ≈ -0,005 -0,008

Phần mềm này có ưu điểm là có thể lưu lại các thao tác của học sinh vì vậy rất tiện cho giáo viên có thể khắc phục những lỗi bấm máy tính cho học sinh cũng như là phân tích hậu nghiệm sau này để cải tiến tình huống

File word lưu lại hoạt động của học sinh 2.2.5.2 Phần mềm hình học động Geogebra :

GeoGebra là phần mềm cho phép vẽ và thiết kế các hình dùng để học tập Hình học trong chương trình môn Toán phổ thông Phần mềm không những có khả năng tạo được các hình vẽ chính xác tuyệt đối mà còn có chức năng làm cho các hình này chuyển động trên màn hình Khả năng chuyển động các hình hình học trên màn hình được gọi là “hình học động”

GV hướng dẫn học sinh sử dụng :

+ Vẽ đồ thị của 1 hàm số cho trước : Nhập hàm số vào ô nhập lệnh

phía dưới giao diện phần mềm, ví dụ

trong câu a) f x( ) xsin1

x

= , các em nhập x*sin(1/x) Rồi enter, màn hình sẽ hiển thị đồ thị của hàm số mới nhập

+ Phóng to, thu nhỏ đồ thị : click chuột vào vùng hệ trục tọa độ, kéo con lăn chuột, đồ thị sẽ được phóng to hoặc thu nhỏ

+ Di chuyển vùng làm việc : Trên thanh công cụ phía trên giao diện của

phần mềm, click phím chức năng , sau đó kéo để di chuyển vùng cần quan sát

Giao diện phần mềm Geogebra