"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TỔ HỢP" A.. ĐẶT VẤN ĐỀ Trước tình hình các lớp học sinh lớp 11 và 12 ở các khóa mà tôi đã dạy: Các em lú
Trang 1
"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TỔ HỢP"
A ĐẶT VẤN ĐỀ
Trước tình hình các lớp học sinh lớp 11 và 12 ở các khóa mà tôi đã dạy:
Các em lúng túng khi gặp những bài toán về chứng minh đẳng thức,bất đẳng
thức có liên quan đến C
n
k
(Tổ hợp chập k của n) Các em không biết xuất phát từ đâu để đưa ra đẳng thức, BĐT cần chứng minh, hay từ đắng thức cần
chứng minh thế nào để đưa đến một đắng thức luôn đúng chứa C
n
k
, Trong đề tài này tôi rèn luyện cho học sinh ba phương pháp chứng minh đẳng
thức,BĐT tổ hợp đó là: Sử dụng cồng thức, tính chất tổ hợp để biến đổi; Sử
dụng đạo hàm; Sử dụng tích phân
Với mục đích phần nào giúp các em giải quyết những vướng mắc trên,
chuẩn bị cho các em vững tin bước vào kỳ thi Tốt nghiệp và Đại học
B CƠ SỞ KHOA HỌC
1) Cơ sở lý thuyết
Trước hết cho các em nắm vững những vấn đề sau:
+ Công thức khai triển Nhị thức Niu Tơn:
(a + b)n= n n k k
k
k
C −
=
0
(n, k nguyên dương k n)
+ Tổng số các hạng tử trong khai triển (a + b)n bằng (n + 1)
+ Hệ số của các hạng tử trong khai triển: Có tính chất đối xứng, tức là:
Trang 2n
k
=
n
k n
C −
(0 k n)
+ Dạng đặc biệt của nhị thức Niu Tơn:
Dạng 1: Thay a = 1 ; b = x ta được:
(1 + x)n =
n
C n
C0 + 1 x +
n
C2 x2 + +
n
n
C −1
xx - 1 +
n
n
C xn
Dạng 2: Thay a = 1 ; b = - x
(1 - x)n =
n
C n
C0 − 1x +
n
C2x2 - + (-1)n
n
n
C xn + Công thức tính đạo hàm của hàm số mũ: [(1 + x)n]’ = n (1 + x)n -1 + Công thức tính tích phân
2) Cơ sở thực tiễn:
Qua nhiều năm giảng dạy, tôi đã áp dụng đề tài này vào các lớp mà tôi phụ trách rất hiệu quả, đặc biệt năm học này tôi đã tiến hành trên các lớp 11I, 11H, 11G và các lớp 12A, 12G cùng các lớp ôn thi đại học của trường THPT
Ba Đình Nga Sơn, kết quả thu được tương đối tốt Từ chỗ các em thấy rất khó khăn khi giải các bài toán dạng này, sau khi được hướng dẫn, rèn luyện thì các em đã giải thành thạo
C BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
Sau khi cho các em nắm vững kiến thức cơ bản về công thức khai triển nhị thức Niu Tơn và các tính chất của nó, nắm vững công thức tính đạo hàm, tích phân của hàm số mũ Tôi đưa ra 3 phương pháp chứng minh đẳng thức,
bất đẳng thức chứa C
n
k
, mỗi phương pháp tôi đưa ra các ví dụ từ dễ đến khó
và nâng lên tổng quát, sau đó đưa ra các bài tập áp dụng
Trang 3I- PHƯƠNG PHÁP 1: Sử dụng các công thức và tính chất tổ hợp để
chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa C
n
k
(Tổ hợp chập k của n )
Ví dụ 1:
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) C10
21 = C9
9 + C9
10 + C9
11 +… + C9
20 (1) b) C 1
1
+
+
k
n = Ck
n + Ck
n 1− + Ck
n 2− +… + Ck
k (2) Giải: Trước hết ta chứng minh công thức : Cp
n 1− + C 1
1
−
−
p
n = Cp
n
Thật vậy: Ta có Cp
n 1− + C 1
1
−
−
p
n =
)!
1 (
)!
1 (
−
−
−
p n p
n
+
)!
( )!
1 (
)!
1 (
p n p
n
−
−
−
=
)!
(
)!
1 ( ) ( )!
1 (
p n p
p n p n n
−
− +
−
−
=
)!
(
)!
1 (
p n p
n n
−
−
=
)!
(
!
p n p
n
p n
a Áp dụng công thức trên ta có:
VP (1) = C10
10 + (C10
11 - C10
10) + (C10
12 - C10
11) + + (C10
21 - C10
20) = C10
21 = VT(1) đpcm
b Tương tự câu a, ta có:
VP (2) = C 1
1
+ +
k
k + (C 1
2
+ +
k
1
+ +
k
k ) + + (C 1
1
+ +
k
n - Ck+ 1
n ) = C 1
1
+
+
k
n = VT(2) đpcm
Ta có thể chứng minh câu b, tổng quát trước rồi áp dụng cho câu a
Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
a k Ck
n = n C 1
1
−
−
k
n với mọi k,n nguyên dương, 1k n
b n Cr
n = (r+1)Cr+ 1
n + r Cr
n với mọi r,n nguyên dương, 0r n
Giải: a Ta có: n C 1
1
−
−
k
n = n
)!
1 ( )!
(
)!
1 (
−
−
−
k k n
n
= k
! )!
(
!
k k n
n
k
n đpcm
b CM tương tự câu a,
Có thể sử dụng 2 công thức trên vào chứng minh các đẳng thức khác
Ví dụ 3:
Trang 4CMR với mọi k, n nguyên dương và 0 k n, ta có:
a C0
2011C1000
2010 + C1
2011C999
2010 + + C1000
2011C0
2010 = C1000
4021
b C0
mCk
n + C1
mCk− 1
n + + Ck
mC0
n = Ck
n m+
c (C0
n)2 + (C1
n)2+ + (Cn
n)2 = (Cn
n)2
Giải: Cách 1: Ta chứng minh câu b, rồi thay k=1000, m=2011, n=2010
thì được câu a,
b Từ khai triển nhị thức Niu tơn:
(1 + x)n = C n C n
1
0 + x +
n
C2 x2 + +
n
n
C −1
xx - 1 +
n
n
C xn
Và (1+x)m; (1+x)m+n ta đồng nhất hệ số của xk ở hai vế của đẳng thức (1 + x)n(1 + x)m = (1+x)m+n ta được:
C0
mCk
n + C1
mCk− 1
n + + Ck
mC0
n = Ck
n m+ đpcm
c Đặc biệt hoá: k = m = n thì:
(C0
n)2 + (C1
n)2+ + (Cn
n)2 = (Cn
n)2 đpcm Cách 2: Chứng minh câu a, trước rồi nâng lên tổng quát ta được câu b,
Ví dụ 4:
CMR: C0
2010C2009
2010 + C1
2010C2008
2009 + + C2009
2010C0
1 1005.22010 + 1 (*)
Giải:
Ta có: Ck
2010C k
k
−
− 2009
C k
k k
k k
k ( 2009 )! 2010. 2009
! 2009 2010 )!
2009 (
)!
2010 ( )!
2010 (
! 2010
=
−
=
−
−
−
Suy ra VT(*) = 2010.(C0
2009+C1
2009+ + C2009
2009) = = 2010.22009= 1005.22010 1005.22010 + 1 đpcm
Qua VD này ta có công thức TQ: Ck
nC − − 1
−k
n k
n = n.Ck
n 1−
Ví dụ 5:
CMR với mọi k,n nguyên dương và 0 k n, ta có:
Trang 5Cn
k n+
2 Cn
k n−
2 (Cn
n)2
Giải:
Cho n cố định, xét dãy số(Un): Un = Cn
k n+
2 Cn
k n−
2
Khi đó bđt viết dưới dạng Uk Uo 0 k z
Ta chứng minh dãy (Un) luôn đơn điệu giảm
Thật vậy:
Uk+1 Uk
)!
1 (
)!
1 2
(
+ +
+ +
k n n
k n
)!
1 (
)!
1 2
(
−
−
−
−
k n n
k n
)!
(
)!
2 (
k n n
k n
+
+
)!
(
)!
2 (
k n n
k n
−
−
1
1 2
+ +
+ +
k n
k
n
k n
k n
−
− 2
n+ 2nk 0 - luôn đúng
Do đó Uk Uo 0 k z
Vậy Cn
k n+
2 Cn
k n−
2 (Cn
n)2 đpcm
Bài tập áp dụng:
1 C1000
2011 C1000
2009 (C1000
2010)2
2 CMR:Ck
2001 + C 1
2001 +
k C1000
2001 + C1001
2001 (o k 1000 k z)
3 (ĐHSP Vinh 2001)
CMR: C0
2001+ 32
C2
2001+ 34
C4
2001+ + 32000
.C2000
2001 = 22000
(22001
-1)
4 CMR: 2n
Co
n+ 2n− 2
C2
n + + Cn
n <
2
2
3 +n
5 4n C0
n- 4n-1C1
n+ + (-1)n Cn
n = C0
n+ 2C1
n+ 22 C2
n+ +2n Cn
n
II- PHƯƠNG PHÁP 2: Sử dụng đạo hàm
Xuất phát từ khai triển nhị thức Niu tơn:
(1 + x)n =
n
C n
C0 + 1 x +
n
C2 x2 + +
n
n
C −1
xx - 1 +
n
n
C xn
Ta có thể lấy đạo hàm cấp 1, cấp hai hoặc cấp r, sau đó thay x = a tuỳ vào đẳng thức hoặc bđt cần chứng minh
Trang 6Cũng có những bài toán sau khi đạo hàm ta phải nhân thêm với xk, hoặc nhân với xk rồi mới đạo hàm và thay giá trị của x tuỳ vào ycbt
Ví dụ 1: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng
a) 1
n
C1 -+ 2
n
C2 +
n
C3 + + n
n
n
C = n 2n - 1
b)
n
C1 - 2
n
C2+ 3
n
C3 - + ( - 1)k - 1 C
n
k
xk + + (- 1)n- 1 n
n
n
C = 0
Giải: a) x, với n là số nguyên dương ta có:
(1 + x)n =
n
C0 +
n
C1x +
n
C2x2 + +
n
n
C xn (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được :
n (1 + x)n - 1 =
n
C1 + 2
n
C2x + + n xn - 1
n
n
C (2)
Thay x = 1 vào (2) ta có: n 2n - 1 =
n
C1 + 2
n
C2 + + n
n
n
C đpcm b) Với x và với n là số nguyên dương ta có:
(1 - x)n =
n
C0 -
n
C1x +
n
C2x2 - + ( - 1)n
n
n
C xn (3)
Lấy đạo hàm hai vế của (3) theo x ta được:
- n (1 - x)n - 1 =
-n
C1+ 2
n
C2x - + n (-1)n
n
n
C xn - 1 (4) Thay x = 1 vào (4) ta có:
0 = -
n
C1 + 2
n
C2 - + ( - 1)n n
n
n
C
n
C1 - 2
n
C2 + 3
n
C3 - + (- 1)n - 1 n
n
n
C = 0 đpcm
Ví dụ 2: Với n nguyên dương, chứng minh rằng:
a) 2 1
n
C2 + 3 2
n
C3 + + n (n - 1)
n n
C = n(n - 1) 2n - 2
Trang 7b) (-1)r
n
r C r
r
C + (-1)r + 1
1 +
r
r
C
n
r
C +1
+ + ( - 1 )n
n
r C
n
n
C = 0
(r nguyên dương, r n)
Giải:
a) x và n nguyên dương, ta có:
(1+ x)n =
n
C0 +
n
C1 + 2
n
C2x + +
n
n
C xn (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) được:
n (1+ x)n - 1 =
n
C1 + 2
n
C2x + + n
n
n
C xn - 1 (2) Lấy đạo hàm theo x hai vế của (2) ta có:
n (n - 1) (1 + x)n - 2 = 2.1
n
C2 + 3.2
n
C3x + + n(n - 1)
n
n
C xn - 2 (3) Thay x = 1 vào (3) ta được:
n (n - 1) 2n - 2 = 2.1
n
C2 + 3.2
n
C3+ + n(n - 1)
n
n
C đpcm b) Lấy đạo hàm cấp r theo x hai vế của (1) ta được:
n(n - 1) (n - r + 1) (1 + x)n - r =
=
n
r k
k (k - 1) (k - r + 1)
n
k
C xk - r (4) Chia hai vế của (4) cho r ! ta được:
!
1
r n (n - 1) (n - r + 1) (1 + x)n - r =
=
n
r
) 1 ) (
1 (
r
r k k
k − − +
n
k
C xk - r
=
=
n
r
!
r k r
k
k
C xk - r
=
=
n
r
r C n
k
C xk – r (5)
Thay x = - 1 vào (5) ta được: 0 =
=
n
r
r C n
k
C ( - 1)k - r
=
n
r
r C n
k
C (-1)k = 0 đpcm
Ngoài việc lấy đạo hàm theo x hai vế của khai triển nhị thức Niu Tơn cấp 1, 2, 3, , cấp r, rồi thay x = 1 hay x = - 1; ta còn gặp các bài toán thay
Trang 8x = a hoặc khai triển từ (b + x)n, muốn xác định a, b ta căn cứ vào đầu bài, chẳng hạn:
Ví dụ 3: Với n nguyên dương, chứng minh rằng:
a)
n
C1 + 4
n
C2 + + n 2n - 1
n
n
C = n 3n - 1
b) 3 n - 1
n
C1 + 2.3n - 2
n
C2 + 3.3n - 3
n
C2+ + n
n
n
C n.4n - 1 +1
Giải:
x R, với n nguyên dương ta luôn có:
a) (1 + x)n =
n
C0 +
n
C1x +
n
C2 x2 + +
n
n
C xn (1) Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo x, rồi thay x = 2, ta được:
n.3n - 1 =
n
C1 + 2 2
n
C2 + 3.22
n
C3+ + n.2n - 1
n
n
C đpcm
b) Từ : (3 + x)n =
n
C03n +
n
C13n - 1x +
n
C23n - 2 x2 + +
n
n
C 30 xn (2) Đạo hàm 2 vế của (2) và thay x = 1 ta được:
n.4n - 1 =
n
C13n - 1 + 2
n
C23n - 2 + 3
n
C33n - 1+ + n
n
n
C n.4n - 1 +1 đpcm
+ Có những bài toán không chỉ đơn thuần từ khai triển: (x + a)n rồi đạo hàm cấp r, thay x = m, mà có thể phải nhân thêm với một biểu thức của x, tách ra thành tổng 2 biểu thức hay nhân chia, cộng, trừ với một biểu thức khác, chẳng hạn:
Ví dụ 4: Với n nguyên dương, chứng minh:
a) 12
n
C1 + 22
n
C2 + 32
n
C3 + +
n
n
C = (n2 + n) 2n - 2
b)
n
C2 + 2
n
C3 + + (n - 1)
n
n
C > (n - 2) 2n - 1
Giải:
Trang 9a) Từ khai triển: (1 + x)n =
n
C0 +
n
C1x + +
n
n
C xn (1) Lấy đạo hàm cấp 2 hai vế của (1) theo x
n(n -1) (1 + x)n - 2 = 2.1
n
C2 + 3.2
n
C3x + + n (n - 1)
n
n
C xn - 2
Thay x = 1, được: n(n - 1)2n -2 = 2.1
n
C2 + 3.2
n
C3 + + n(n- 1)
n
n
C (2) Cộng theo vế đẳng thức (2) với đẳng thức sau:
n 2n - 1 =
n
C1 + 2
n
C2 + + n
n
n C
(Do thay x = 1 vào đẳng thức sau khi đạo hàm cấp 1 hai vế của (1) )
Ta có: n(n - 1)2n - 2 + n 2n - 1 =
n
C1 + 22
n
C2+ 33
n
C3+ +n2
n
n
C
n
C1 + 22
n
C2+ 33
n
C3+ +n2
n
n
C = (n2 + n) 2n - 2 đpcm
b) Thay x = 1 vào (1) ta được:
2n =
n
C0 +
n
C1 +
n
C2+ +
n
n
C (3) Lấy hàm theo x hai vế của (1) rồi thay x = 1 ta được:
n.2n - 1 =
n
C1 + 2
n
C2+ + (n - 1)
n
n
C −1
+ n
n
n
C (4) Lấy (4) trừ (3) theo vế, ta được:
n.2n - 1 - 2n =
-n
C0 +
n
C2 + + (n - 2)
n
n
C −1
+ (n - 1)
n
n
C
n
C2 + 2
n
C3+ + (n - 1)
n
n
C = (n - 2)2n - 1 + 1 > (n - 2) 2n - 1 đpcm
Ví dụ 5: Với n nguyên dương, chứng minh rằng:
n
C1 + 4
n
C2 + + n 2n -1
n
n
C = n.4n - 1
n
C0 - (n - 1)4n - 2
n
C1 +
+ (n - 2) 4n - 3
n
C2 + + ( - 1)n - 1
n
n
C −1
Trang 10
Giải: Từ khai triển: (1 + x)n =
n
C0 +
n
C1 x + +
n
n
C xn (1) Lấy đạo hàm 2 vế (1) rồi thay x = 2 ta được:
n.3n - 1 =
n
C1 + 4
n
C2 + + n 2n – 1
n
n
Lại có: (x - 1)n =
n
C0 xn -
n
C1 xn - 1 + + (- 1)n
n
n
C (2) Lấy đạo hàm hai vế của (2) rồi thay x = 4 ta được:
n.3n - 1 = n 4n - 1
n
C0 - (n - 1) 4n - 2
n
C1 + + ( - 1)n -1
n
n
C −1
(3)
Từ (*) và (3) ta suy ra:
n
C1+ 4
n
C2 + +n.2n - 1
n
n
C = n.4n - 1
n
C0- (n - 1)4n - 2
n
C1 +
…+(-1)n-1
n
n
C −1
đpcm
Ví dụ 6: CMR:
= 1004 1
k
(2k - 1)2
2007
1
2 −k
C = 2007 2008 22004
Giải: Ta có: S =
= 1004 1
k
(2k -1)2
2007
1
2 −k
C =12
2007
1
C +32
2007
3
C + +20072
2007
2007
C
Xét hàm số: (x) = 12 [(1 + ex)2007 - (1 - ex)2007]
Khai triển nhị thức Niu Tơn ta có:
(x) =
= 1004 1
1
2 −k
C e(2k - 1)x ''(x) =
= 1004 1
k
(2k - 1)2
2007
1
2 −k
C [e(2k - 1)x]
Tổng cần tìm là: S =
= 1004 1
k
(2k - 1)2
2007
1
2 −k
C = ''(0)
Mà: (x) = 12 [ (1 + eX)2007 - (1 - ex)2007]
''(x) = 2007e
x
2 [(1 + e
x)2006 + (1 - ex)2006] + 2007.2006 e
2x
x)2005 - (1 - ex)2005]
Trang 11 S = ''(0)= 2007 2008 22004 đpcm
Bài tập áp dụng:
Với n nguyên dương, chứng minh rằng:
1)
n
C1 + 2.4
n
C2 + 3.42
n
C3 + + n.4n-1
n
n
C = n.5n-1
2)
n
C1 5n-1 + 2
n
C2 5n-2 + + n
n
n
C n 6n - 1 - 2
3)
n
1
(
n
C1 + 2
n
C2 + 3
n
C3 + + n
n
n
C ) < n !
4) 3.2
n
C0 + 4.3
n
C1 + 5.4
n
C2 + + (n + 3)(n + 2)
n
n
C
= 3(2 + n) 2n + n (n - 1) 2n - 2
III- PHƯƠNG PHÁP 3: Sử dụng tích phân:
Căn cứ vào đẳng thức hay BĐT cần chứng minh để chọn tích phân hai vế của khai triển nhị thức Niu tơn (a+b)n theo a hay b rồi thay giá trị của chữ còn lại cho phù hợp
Ví dụ 1: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
a)
n
C0 +
n n
n
n C k
n
k C n
C n
+
−
= + + + + + + +
+ +
+
1
1 2 1
1
2 1
2
1 1
1
1
(ĐHGTVT 2000)
b)
n
1
1 1
) 1 (
2 1
2 1 1
1
+ +
+
− + + +
+
n
n C n
C n
C
n
Giải: x và với n nguyên dương ta có:
(1 + x)n =
=
n
k
Lấy tích phân theo x hai vế của (1), ta được:
t
0
(1 + x)n dx = t
0
=
n
k
C xk dx
1
) 1
+
n
x n t
0
=
=
n
k C
1 +
+
k
x k t t
0
Trang 12
1
1 ) 1
+
−
n
t n
=
=
n
1
+
+
k n
k C
t k
a) Thay t = 1 vào (2), ta được:
n
n
+
− + 1
1
2 1
=
=
n
k 0 k+ 1
n
k C
đpcm b) Thay t = - 1 vào (2) ta được:
-1
1
+
n =
=
n
) 1
+
k n
k C
k
1
1 +
n =
=
n
) 1
+
k n
k C
k
suy ra đpcm
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
2
n
C0 - 22
2
1
n
C1 + 23
3
1
n
C2 + +
1
2 ) 1
+
n
n n
n
n C
=
1
1
+
n [1 + (-1)n ] n N
Giải: Với x và với n là số nguyên dương ta có:
(1 - x)n =
=
n
k 0
(-1)k
n
k
C xk (*) Lấy tích phân theo x hai vế của (*) ta được:
2
0
(1 - x)n dx = 2
0
=
n
k 0
( - 1)k
n
k
C xk dx
-
1
) 1
+
n
x n 2 0
=
=
n
k 0
(- 1)k
n
k C
1
1 +
+
k
x k
2 0
1
] 1 ) 1 [(
+
+
−
n
n
= 2
n
C0 - 22
2
1
n
C1 + 23
3
1
n
C2 - +
1
) 1 ( +
−
n
n
2n
n
n
C .đpcm
Ví dụ 3: Tính tích phân: In = 1
0
(1 - x2)n dx, với n N
Từ đó suy ra:
n
C0 -
3
1
n
C
+
5
2
n
C
- +
1 2
) 1 ( +
−
n n
n C
n
=
) 1 2 (
5 3
) 2 (
4 2
+
n n
Giải: Tính In bằng phương pháp tích phân từng phần, với cách đặt:
Trang 13
=
−
−
=
=
−
x v
dx x
nx du
dx dv
x
u ( 1 2)n 2 ( 1 2)n 1
Khi đó: In = x (1 - x2)n 1
0
+ 2n 1
0
(1 - x2)n - 1 x2 dx
= - 2n 1
0
(1 - x2)n - 1 [(1 - x2) - 1] dx
= -2n [1
0
(1 - x2) n dx - 1
0
(1 - x2)n - 1 dx] = -2n (In- In - 1)
In =
1 2
2 +
n
n
In- 1 =
1 2
2 +
n
n
1 2
) 1 ( 2
−
−
n
n
3
2
I0 =
) 1 2 (
5 3
) 2 (
4 2
+
n
n
1
0
dx
=
) 1 2 (
5 3
) 2 (
4 2
+
n
n
Ta có (1 - x)n =
=
n
k 0
(-1)k
n
k
C xk
(1 - x2)n =
=
n
k 0
(- 1)k
n
k
Lấy tích phân theo x hai vế của (2), ta được
1
0
(1 - x2)n dx = 1
0
=
n
k 0
(- 1)k
n
k
C x2kdx =
=
n
k 0
(- 1)
n
k C
1 2
1 2 +
+
k
x k 1 0
=
n
C0 -
3
1
n
C
+
5
2
n
C
- +
1 2
) 1 ( +
−
n n
n C
n
Từ (1) và (3) suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với n nguyên dương ta có:
1
2 C n
0
- 14
n
C1 + +
) 1 ( 2
) 1 ( +
−
n
n
n
n
C >
) 1 ( 2
1 +
n - 3