Về phương pháp lồi lôgarit và một vài ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS... Ùng döng trong b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian.. Ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thí

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Bùi Việt Hương

THÁI NGUYÊN - 2019

Möc löc

1.1 Tªp lçi H m lçi 3

1.1.1 Tªp lçi 3

1.1.2 H m lçi 5

1.2 Mët sè ki¸n thùc cì sð v· ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng 8

1.2.1 Ph¥n lo¤i ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai 9

1.2.2 M°t °c tr÷ng B i to¡n Cauchy vîi dú ki»n cho tr¶n m°t °c tr÷ng 11

1.2.3 Sü phö thuëc li¶n töc 13

1.3 Ph÷ìng ph¡p lçi lægarit 14

2 MËT V€I ÙNG DÖNG CÕA PH×ÌNG PHP LÇI LÆGARIT 20 2.1 Ùng döng trong b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian 20

2.1.1 Ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian 20

2.1.2 ¡nh gi¡ ên ành 24

2.2 Ùng döng trong b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh Laplace 28

2.2.1 Ph÷ìng tr¼nh Laplace 28

2.2.2 ¡nh gi¡ ên ành 29

MÐ †U

B i to¡n °t khæng ch¿nh xu§t hi»n trong nhi·u l¾nh vüc ùng döng B i to¡n

n y câ li¶n quan ¸n àa vªt lþ, vªt lþ plasma, c¡c b i to¡n v· l¾nh vüc i»n sinhhåc Trong mët b i b¡o nêi ti¸ng cõa Hadamard, b i to¡n n y l¦n ¦u ti¶n

÷ñc giîi thi»u nh÷ l  mët v½ dö kinh iºn v· b i to¡n °t khæng ch¿nh °c

iºm nêi bªt cõa b i to¡n n y l  mët thay êi nhä trong dú ki»n công câ thºd¨n ¸n mët sai l»ch lîn v· nghi»m cõa b i to¡n Hadamard cho r¬ng c¡c b ito¡n °t khæng ch¿nh khæng câ þ ngh¾a vªt l½ Ch½nh v¼ vªy, vi»c nghi¶n cùu c¡c

b i to¡n °t khæng ch¿nh º t¼m ra c¡c ¡nh gi¡ ên ành v  c¡c ph÷ìng ph¡pch¿nh hâa l  mët vi»c quan trång

Ph÷ìng ph¡p lçi lægarit l  mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p dòng º ên ành hâac¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh trong ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng Ph÷ìng ph¡p

n y ÷ñc nghi¶n cùu bði Pucci (1955), John (1955, 1960), Lavrentiev (1956) andPayne (1960), inh Nho H o v  Nguy¹n V«n ùc (2009, 2010, 2011) ¥y l  k¾thuªt ¡nh gi¡ düa tr¶n c¡c b§t ¯ng thùc bªc hai v· ¤o h m º ÷a ra giîih¤n tr¶n v  giîi h¤n d÷îi cho mët h m lçi lægarit, ¥y l  mët h m cõa nghi»m.C¡c ¡nh gi¡ â ÷ñc dòng º thi¸t lªp t½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n v 

ta câ thº chùng minh ÷ñc sü phö thuëc li¶n töc cõa nghi»m v o dú ki»n ¢ chotheo mët ngh¾a n o â

Luªn v«n tr¼nh b y v· ph÷ìng ph¡p lçi lægarit v  mët sè ùng döng cõaph÷ìng ph¡p º ên ành hâa b i to¡n °t khæng ch¿nh trong ph÷ìng tr¼nh ¤o

h m ri¶ng Cö thº, luªn v«n gçm hai ch÷ìng: Ch÷ìng 1, t¡c gi£ tr¼nh b y v·

h m lçi, mët v i ki¸n thùc cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng v  ph÷ìngph¡p lçi lægarit; Ch÷ìng 2, t¡c gi£ tr¼nh b y hai b i to¡n minh håa cho ph÷ìng

ph¡p n y, â l  b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian v 

b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh Laplace ¥y l  c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh

v  t¡c gi£ ¢ sû döng ph÷ìng ph¡p lçi lægarit º ÷a ra ¡nh gi¡ ên ành chonghi»m cõa c¡c b i to¡n n y vîi i·u ki»n ÷ñc bê sung Ph¦n cuèi Ch÷ìng 2,t¡c gi£ câ tr¼nh b y th¶m mët b i to¡n câ thº xem nh÷ mð rëng cõa b i to¡nCauchy cho ph÷ìng tr¼nh Laplace

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Bòi Vi»t H÷ìng Cæ

¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, ch¿ b£o em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu

Em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi Cæ

Em công xin b y tä láng bi¸t ìn tr¥n th nh tîi Th¦y Cæ gi¡o khoa To¡n Tin, tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y v t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi trong qu¡ tr¼nh em håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i tr÷íng

-Em xin tr¥n th nh c£m ìn TS Mai Vi¸t Thuªn v  TS Tr÷ìng Minh Tuy¶n ¢

d nh sü quan t¥m v  câ nhúng líi ëng vi¶n kàp thíi º em cè g­ng ho n th nhluªn v«n n y

Cuèi còng em xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b± v  chçng em ¢ luæn ð b¶n ëngvi¶n, t¤o i·u ki»n cho em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n

i) ÷íng th¯ng i qua hai iºm a v  b l  tªp hñp câ d¤ng

ii) o¤n th¯ng i qua hai iºm a v  b l  tªp hñp câ d¤ng

nèi hai iºm b§t ký cõa nâ, tùc l 

ii) Ta nâi x l  tê hñp affine cõa c¡c iºm (vectì) x1, x2, · · · , xk n¸u

M»nh · 1.1 Tªp hñp C l  lçi khi v  ch¿ khi nâ chùa måi tê hñp lçi cõa c¡c

i) Mët nân ÷ñc gåi l  nân lçi n¸u nâ l  tªp lçi

ii) Mët nân lçi ÷ñc gåi l  nân nhån n¸u nâ khæng chùa ÷íng th¯ng, khi â

ta nâi 0 l  ¿nh cõa nân N¸u nân n y l  mët tªp lçi a di»n th¼ ta nâi nâ

l  nân lçi a di»n

÷ñc gåi l  nân ph¡p tuy¸n (trong) cõa C t¤i x

ành lþ 1.1 (ành lþ x§p x¿ tuy¸n t½nh tªp lçi) Måi tªp lçi, âng, kh¡créng v  khæng tròng vîi to n bë khæng gian ·u l  giao cõa t§t c£ c¡c nûa khænggian tüa cõa nâ

ành ngh¾a 1.6 Cho hai tªp C v  D kh¡c réng, ta nâi si¶u ph¯ng aTx = αt¡ch C v  D n¸u

sao cho C ∩ D = ∅ Khi â câ mët si¶u ph¯ng t¡ch C v  D

ành lþ 1.3 (ành lþ t¡ch 2) Cho C v  D l  hai tªp lçi, âng, kh¡c réng

Khi â, hai tªp n y câ thº t¡ch m¤nh ÷ñc bði mët si¶u ph¯ng

1.1.2 H m lçi

domf = {x ∈ C : f(x) < +∞},epif = {(x, α) ∈ C × R : f(x) ≤ α}

ành ngh¾a 1.7 Tªp domf ÷ñc gåi l  mi·n húu hi»u cõa f Tªp epif ÷ñcgåi l  tr¶n ç thà cõa f

B¬ng c¡ch °t f(x) = +∞ n¸u x /∈ C, ta câ thº coi f x¡c ành tr¶n to nkhæng gian Khi â, ta câ

× R : f(x) ≤ α}

ành ngh¾a 1.8 Cho C ⊂ Rn, C 6= ∅ l  tªp lçi v  f : C → [−∞, +∞] Ta nâi

ành ngh¾a tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi: ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ta câ

V· m°t gi£i t½ch, nhªn x²t tr¶n câ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng b§t ¯ng thùc sau

f (b) − f (a)

vîi måi x, y ∈ C, vîi måi λ ∈ (0, 1)

f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) −

1

iii) H m f : Rn → [−∞, +∞] ÷ñc gåi l  h m lãm tr¶n C n¸u −f l  h m lçitr¶n C.

M»nh · 1.2 Mët h m f : C → R l  h m lçi tr¶n C khi v  ch¿ khi vîi måi

f [λx + (1 − λ)y] ≤ λα + (1 − λ)β

V½ dö 1.1 Mët sè v½ dö v· h m lçi

Nhªn x²t 1.2 N¸u f l  mët h m lçi th¼ dom f l  tªp lçi.

Trong möc n y, chóng tæi · cªp ¸n mët v i v§n · cì b£n v· ph÷ìng tr¼nh

¤o h m ri¶ng C¡c ki¸n thùc n y ÷ñc tham kh£o tø [1]

h m ri¶ng Nâ câ d¤ng

l  mët a ch¿ sè

C§p cao nh§t cõa ¤o h m ri¶ng cõa h m u câ m°t trong ph÷ìng tr¼nh ÷ñcgåi l  c§p cõa ph÷ìng tr¼nh Ch¯ng h¤n ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai cõa

h m hai bi¸n câ d¤ng

Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ÷ñc gåi l  tuy¸n t½nh n¸u nh÷ nâ tuy¸n t½nh

èi vîi ©n h m v  t§t c£ c¡c ¤o h m ri¶ng cõa nâ Ch¯ng h¤n ph÷ìng tr¼nhtuy¸n t½nh c§p hai câ d¤ng

i) B i to¡n gi¡ trà ban ¦u (I.V.P)

ii) B i to¡n gi¡ trà bi¶n (B.V.P)

B i to¡n gi¡ trà ban ¦u th÷íng ÷ñc gåi l  b i to¡n Cauchy Vîi b i to¡n gi¡trà bi¶n: n¸u i·u ki»n bi¶n câ d¤ng B(u) = u tr¶n ∂Ω th¼ b i to¡n ÷ñc gåi

l  b i to¡n bi¶n Dirichlet; n¸u i·u ki»n bi¶n câ d¤ng B(u) = ∇u · n vîi n l v²c tì ph¡p tuy¸n ìn và ngo i tr¶n ∂Ω th¼ b i to¡n ÷ñc gåi l  b i to¡n bi¶nNeumann; n¸u i·u ki»n câ d¤ng B(u) = λu + µ∇ · n vîi λ, µ l  c¡c h¬ng sè th¼

b i to¡n ÷ñc gåi l  b i to¡n bi¶n Robin hay b i to¡n bi¶n hén hñp

1.2.1 Ph¥n lo¤i ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai

trong â aij = aij v  l  c¡c h m cõa bi¸n x1, x2, , xn.

trong â E l  ma trªn ìn và, λ l  mët sè thüc, ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh °c

iºm â ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng (1.3) câ n nghi»m kh¡c 0 v  thäa m¢n câ

â ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng (1.3) câ n nghi»m, trong â câ mët nghi»m b¬ng

mët lo¤i th¼ ta nâi r¬ng ph÷ìng tr¼nh (1.2) thuëc lo¤i â trong Ω

Khi n = 2, ta x²t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai sau

Trong tr÷íng hñp n y, ma trªn A câ d¤ng

A(x, y) =



a(x, y) b(x, y)b(x, y) c(x, y)



i) thuëc lo¤i elliptic n¸u t¤i iºm â

1.2.2 M°t °c tr÷ng B i to¡n Cauchy vîi dú ki»n cho tr¶n m°t °c

Ph÷ìng tr¼nh (1.6) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh c¡c m°t °c tr÷ng (hay ph÷ìngtr¼nh c¡c ÷íng °c tr÷ng khi n = 2).

M°t S ÷ñc gåi l  m°t °c tr÷ng cõa ph÷ìng tr¼nh (1.5) n¸u ph÷ìng tr¼nhcõa nâ câ thº vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng

ành lþ 1.4 C¡c m°t °c tr÷ng b§t bi¸n qua c¡c ph²p êi bi¸n sè

º t¼m hiºu v· b i to¡n Cauchy vîi dú ki»n cho tr¶n m°t °c tr÷ng, ta x²t

l  b i to¡n sau: Trong l¥n cªn m°t S, t¼m mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.5)thäa m¢n c¡c i·u ki»n

Ta câ thº chùng minh c¡c t½nh ch§t sau (xem [1])

1 Bi¸t c¡c dú ki»n Cauchy, câ thº t¼m t§t c£ c¡c ¤o h m ri¶ng c§p mët cõanghi»m ð tr¶n m°t Cauchy

2 Tr¶n m°t °c tr÷ng, c¡c dú ki»n Cauchy phö thuëc l¨n nhau, tùc l  èivîi b i to¡n Cauchy cho tr¶n m°t °c tr÷ng, c¡c dú ki»n Cauchy khængthº cho mët c¡ch tòy þ

3 M°t °c tr÷ng l  m°t "truy·n c¡c gi¡n o¤n" cõa c¡c ¤o h m c§p caocõa nghi»m.

X²t b i to¡n câ tªp nghi»m l  U, tªp c¡c dú ki»n l  F v  A l  ¡nh x¤ tø F

v o U Gi£ sû, c¡c nghi»m cõa b i to¡n ÷ñc x¡c ành tr¶n tªp con R ⊂ U v c¡c dú ki»n x¡c ành tr¶n tªp G ⊂ F thäa m¢n G, R l  c¡c khæng gian tuy¸n

n¸u

sup

u 2 ∈S

trong â M, α l  c¡c h¬ng sè d÷ìng phö thuëc v o U v  S

Vîi c¡c b i to¡n vªt lþ, chóng ta °t

Nghi»m u1(·, t)÷ñc gåi l  ên ành H¨older trong kho£ng t ∈ [0, T ) n¸u v  ch¿

th¼

sup

0≤t≤T 1 <T

thíi iºm t v  thíi iºm ban ¦u t = 0, C l  h¬ng sè d÷ìng khæng phö thuëc

v o ε Khi â, ta câ thº nâi nghi»m cõa b i to¡n phö thuëc li¶n töc H¨older theo

i·u ki»n ban ¦u vîi t ∈ [0, T ) Chó þ r¬ng, trong ành ngh¾a tr¶n sü ên ànhH¨older ÷ñc x¡c ành tr¶n kho£ng con compact cõa kho£ng thíi gian húu h¤n

1.3 Ph÷ìng ph¡p lçi lægarit

Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m v· h m lçi lægarit T÷ìng tünh÷ h m lçi theo ngh¾a thæng th÷íng, c¡c h m lçi lægarit thäa m¢n b§t ¯ngthùc v· ¤o h m c§p hai Düa tr¶n b§t ¯ng thùc â, chóng tæi ÷a ra giîi h¤ncªn tr¶n v  cªn d÷îi cho c¡c h m lçi lægarit (xem [4]) Tr÷îc ti¶n, chóng tæi giîithi»u kh¡i ni»m v· h m lçi lægarit

ành ngh¾a 1.14 Mët h m ÷ñc gåi l  h m lçi lægarit n¸u nâ khæng ¥m v lægarit cõa nâ l  mët h m lçi

Trong ph¦n ti¸p theo, chóng tæi tr¼nh b y mët mð rëng cõa b§t ¯ng thùc

trong â, σ1 = e−a1 x 1, σ2 = e−a1 x 2 Do â, ta nhªn ÷ñc



1 · σa2 /a2

Gièng cæng thùc (1.14), cæng thùc (1.19) v  (1.18) l  cæng cö quan trång º ÷a

Ch֓ng 2

MËT V€I ÙNG DÖNG CÕA PH×ÌNG PHP LÇI LÆGARIT

2.1 Ùng döng trong b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh

parabolic ng÷ñc thíi gian

2.1.1 Ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian

Cho Ω = [0, 1], T > 0 X²t b i to¡n parabolic trong tr÷íng hñp mët chi·u

trong â, λ l  h¬ng sè Suy ra, ph÷ìng tr¼nh (2.1) t÷ìng ÷ìng vîi hai ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n th÷íng

Ta x²t c¡c tr÷íng hñp sau cõa tham sè λ

+ Tr÷íng hñp 1: N¸u λ < 0 th¼ nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (2.5) câd¤ng

+ Tr÷íng hñp 2: N¸u λ = 0 th¼ nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (2.5) câd¤ng

Tø i·u ki»n ban ¦u ta công suy ra ÷ñc a = b = 0 hay X(x) ≡ 0 Vªy, vîi

+ Tr÷íng hñp 3: N¸u λ > 0 th¼ nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (2.5) câd¤ng

Thay i·u ki»n ban ¦u ta câ

√λx) = 0

V¼ h m X(x) phö thuëc v o k n¶n ta kþ hi»u

i·u ki»n bi¶n (2.2) Ta x¥y düng mët c¡ch h¼nh thùc chuéi

ki»n ban ¦u (2.3), tùc l 

Do â, h» sè Ck ph£i l  h» sè Fourier cõa h m u0(x) khai triºn theo h» h m

K¸t hñp vîi cæng thùc nghi»m (2.11), ta câ nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.13) vîi

i·u ki»n bi¶n (2.14) v  i·u ki»n ban ¦u (2.15) câ d¤ng

ng÷ñc thíi gian l  b i to¡n °t khæng ch¿nh.

hay F (t) l  h m lçi lægarit.

Theo cæng thùc (1.13) trong Möc 1.3 ta câ ¡nh gi¡

ki»n cuèi (2.16) ta nhªn ÷ñc ¡nh gi¡ sau

T½nh ch§t nghi»m cõa b i to¡n gi¡ trà bi¶n ban ¦u (2.13)(2.16) câ thº ÷ñcsuy ra tø ¡nh gi¡ (2.23) v  (2.24) Tr÷îc ti¶n, chóng ta câ thº nhªn th§y r¬ngn¸u h m F (t) thäa m¢n b§t ¯ng thùc (2.23) v  F bà tri»t ti¶u t¤i mët iºm

b¬ng 0 vîi måi t ∈ [0, T ] Tø â, ta suy ra t½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡nCauchy tuy¸n t½nh (2.13)(2.16)

l  c¡c nghi»m cõa b i to¡n sau

º t½ch

ku0(x)k2(1−t/T )· ku(T )k2t/Ts³ nhä vîi t ∈ [0, T ) Do â, º câ t½nh phö thuëc li¶n töc cõa nghi»m v o dúki»n ban ¦u chóng ta c¦n mët h¤n ch¸ cho lîp nghi»m cõa b i to¡n Cö thº,

ta kþ hi»u M l  tªp t§t c£ c¡c h m ϕ(x, t), li¶n töc trong Ω = [0, 1] × [0, T ] v vîi méi t ∈ (0, T ) cè ành th¼ ϕ(x, t) kh£ vi li¶n töc hai l¦n theo bi¸n x, vîi méi

bà ch°n

vîi M l  h¬ng sè Ta th§y r¬ng, trong lîp h m u ∈ M th¼ nghi»m cõa b i to¡n(2.13)(2.16) s³ phö thuëc li¶n töc theo ngh¾a H¨older v o dú ki»n Cauchy trong

ành lþ 2.1 Mët nghi»m b§t ký cõa b i to¡n gi¡ trà bi¶n ban ¦u (2.13)(2.16)thuëc lîp M ·u thäa m¢n b§t ¯ng thùc

º þ r¬ng, c¡c k¸t qu£ tr¶n ch¿ câ þ ngh¾a thüc t¸ khi h¬ng sè M câ thº ÷ñct½nh to¡n tø c¡c dú ki»n vªt lþ cõa b i to¡n khi ta i nghi¶n cùu c¡c mæ h¼nhto¡n håc cõa nâ Trong nhi·u b i to¡n vªt lþ th¼ ta câ thº ÷a ra h¬ng sè M,v½ dö nh÷ n¸u nghi»m u biºu di¹n nhi»t ë cõa cõa mët b i to¡n thüc t¸ th¼ ta

câ thº ÷a ra giîi h¤n tr¶n cõa u V  khi â, ta khæng nh§t thi¸t ph£i câ d¤ngt÷íng minh cõa nghi»m

M°t kh¡c, º nghi¶n cùu d¡ng i»u cõa nghi»m, tø b§t ¯ng thùc (2.23) ta

câ giîi h¤n d÷îi cõa h m F (t) ÷ñc x¡c ành bði

F (0)

!

Thay c¡c dú ki»n câ ÷ñc tø ph¦n tr¶n ta nhªn ÷ñc

!

V¼ vªy, n¸u ku(t)k x¡c ành tr¶n [0, ∞) th¼ ku(t)k s³ t«ng theo h m sè mô V 

do â, b§t ¯ng thùc (2.28) cho ta ¡nh gi¡ v· tèc ë t«ng cõa nghi»m u(x, t)

2.2 Ùng döng trong b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh

Laplace

2.2.1 Ph÷ìng tr¼nh Laplace

Trong möc n y chóng tæi x²t b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh Laplace º

tr÷îc X²t b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr¼nh Laplace trong mi·n Ω

vîi i·u ki»n bi¶n Dirichlet

v  i·u ki»n ban ¦u

B i to¡n (2.29)  (2.31) l  b i to¡n °t khæng ch¿nh do nghi»m cõa b i to¡nkhæng phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n ban ¦u Thªt vªy, x²t h m

cosh nπx sin nπy

vîi n l  mët sè nguy¶n d÷ìng

i·u ki»n ban ¦u (2.31) vîi

sin(nπy)n