Phương pháp biến đổi Fourier nhanh giải phương trình Parabolic tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp biến đổi Fourier nhanh giải phương trình Parabolic tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp biến đổi Fourier nhanh giải phương trình Parabolic tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp biến đổi Fourier nhanh giải phương trình Parabolic tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp biến đổi Fourier nhanh giải phương trình Parabolic tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp biến đổi Fourier nhanh giải phương trình Parabolic tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp biến đổi Fourier nhanh giải phương trình Parabolic tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp biến đổi Fourier nhanh giải phương trình Parabolic tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp biến đổi Fourier nhanh giải phương trình Parabolic tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp biến đổi Fourier nhanh giải phương trình Parabolic tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp biến đổi Fourier nhanh giải phương trình Parabolic tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp biến đổi Fourier nhanh giải phương trình Parabolic tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp biến đổi Fourier nhanh giải phương trình Parabolic tuyến tính (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THÙY DUNG

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THÙY DUNG

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục

Trang

1.1 Biến đổi Fourier 5

1.1.1 Tích phân Fourier 5

1.1.2 Biến đổi Fourier ngược 7

1.1.3 Sự tồn tại của tích phân Fourier 8

1.1.4 Tính chất của biến đổi Fourier 8

1.1.5 Tích chập 12

1.2 Hàm tuần hoàn và hàm xung 14

1.2.1 Hàm tuần hoàn 14

1.2.2 Hàm xung 16

1.2.3 Mẫu dạng sóng 17

1.3 Biến đổi Fourier rời rạc 18

1.4 Biến đổi Fourier nhanh 20

1.4.1 Công thức ma trận 21

1.4.2 FFT với các ví dụ trực giác 21

1.4.3 Đồ thị dòng tín hiệu 25

1.4.4 Thuật toán FFT 26

1.4.5 Nhân tử hóa Wp 28

Chương 2 Ứng dụng phương pháp Fourier nhanh giải phương

2.1 Công thức sai phân hữu hạn 302.2 Bài toán giá trị biên ban đầu rời rạc 322.3 Ví dụ số minh họa 34

Mở đầu

Giải tích Fourier đươc đặt theo tên nhà toán học đồng thời là nhà vật

lý học người Pháp Jean Baptiste Joseph Fourier Khi nghiên cứu sự lantruyền của nhiệt vào những năm 1800 đã đưa ra ý tưởng về một chuỗiđiều hòa có thể mô tả bất kỳ chuyển động có chu kỳ nào kể cả là giá trịphức Biến đổi Fourier là một phương pháp chuyển một tập hữu hạn cácphân bố đều từ miền ban đầu (ví dụ như thời gian, ) thành miền tần

số Khái niệm toán học của biến đổi Fourier được áp dụng cho cả tập

vô hạn các số phức và liên quan tới tính tích phân Khái niệm biến đổiFourier liên tục có nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật Tuy nhiênkhi tính toán số thì ta cần biến đổi Fourier dạng rời rạc Từ những ứngdụng của biến đổi Fourier dạng rời rạc này trong khoa học tính toán

đã dẫn tới sự ra đời của phương pháp Fourier nhanh (FFT) vào năm

1965 bởi nghiên cứu của hai nhà toán học James Cooley và John Tukey.Biến đổi Fourier nhanh là một công cụ hữu hiệu để tính các biến đổiFourier rời rạc và Fourier rời rạc ngược Biến đổi FFT có rất nhiều ứngdụng trong các lĩnh vực khác nhau đặc biệt trong lĩnh vực xử lý tín hiệu

số Bên cạnh đó thì FFT cũng có ứng dụng không nhỏ trong việc tìmnghiệm số của phương trình đạo hàm riêng

Luận văn được chia làm 2 chương

Nội dung của Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản liên quan tớibiến đổi FFT như: Biến đổi Fourier, hàm tuần hoàn, hàm xung, biếnđổi Fourier dạng rời rạc và trình bày biến đổi FFT thông qua ví dụ trựcgiác

Chương 2 trình bày một ứng dụng của biến đổi FFT trong việc tìmnghiệm số của phương trình truyền nhiệt tuyến tính hai chiều Cũngtrong chương này có trình bày một vài ví dụ số minh họa cho tính hữuhiệu của thuật toán đề xuất.

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tìnhcủa TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh tự đáy lòng mình, em xin được bày tỏlòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướngdẫn của cô

Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên, nhất là các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, đãtận tình giảng dạy tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập tạitrường Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học ToánK11 trường Đại học Khoa học đã giúp đỡ tôi trong quá trình hoc tậptại trường

Em xin trân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

Tác giả

Nguyễn Thùy Dung

ký hiệu t là thời gian và f là tần số trong luận văn này Hơn nữa, chữthường sẽ biểu thị cho hàm thời gian; biến đổi Fourier của hàm thời giannày sẽ được biểu thị bằng chữ cái in hoa.

Nói chung, biến đổi Fourier là một đại lượng phức:

H(f ) = R(f ) + jI(f ) = |H(f )|eiθ(f ) (1.2)

trong đó R(f ) là phần thực, I(f ) là phần ảo của biến đổi Fourier; |H(f )|

là độ lớn hoặc phổ Fourier của h(t) và được cho bởi pR2(f ) + I2(f );θ(f ) là góc pha của biến đổi Fourier và được cho bởi tan−1[I(f )/R(f )]

Ví dụ 1.2 Để minh họa sự biến thiên các phần tử trong biến đổi Fourier,

ta xét hàm của biến thời gian t

Z ∞ 0

Khi đó

R(f ) = βα

α2 + f2,I(f ) = f β

α2 + f2,

|H(f )| = p β

α2 + f2,θ(f ) = tan−1 f

α

Ta có minh họa như hình dưới đây

Hình 1.1: Phần thực, phần ảo, độ lớn và góc pha trong biến đổi Fourier

1.1.2 Biến đổi Fourier ngược

Biến đổi Fourier ngược được định nghĩa như sau

h(t) =

Z ∞

−∞

Phép biến đổi Fourier ngược (1.3) cho phép xác định hàm thời gian từphép biến đổi Fourier của nó Nếu các hàm h(t) và H(f ) được xác định

từ công thức (1.1) và (1.3) thì chúng được gọi là cặp biến đổi Fourier

và ta sử dụng ký hiệu dưới đây để xác định mối quan hệ này

1.1.3 Sự tồn tại của tích phân Fourier

Định lý 1.1 Nếu h(t) khả tích theo nghĩa

Định lý 1.2 Nếu hàm h(t) = β(t) sin(2πf t + α) (trong đó f và α làhằng số bất kỳ), nếu β(t + k) < β(t) và nếu với |t| > λ > 0 hàm h(t)/tkhả tích tuyệt đối theo nghĩa (1.5) thì H(f ) tồn tại và thỏa mãn biếnđổi Fourier ngược (1.3)

1.1.4 Tính chất của biến đổi Fourier

Tính chất 1 Tính tuyến tính Nếu x(t) và y(t) có các biến đổiFourier tương ứng là X(f ) và Y (f ) thì tổng x(t) + y(t) có biến đổiFourier là X(f ) + Y (f )

Khi đó có cặp biến đổi Fourier sau

Tính chất 5 Dịch chuyển theo thời gian Với t0 là hằng số,

Tính chất 7 Công thức biến đổi Fourier ngược

Công thức biến đổi Fourier ngược (1.3) có thể được viết lại dưới dạng

Tính chất 8 Biến đổi Fourier của hàm chẵn

Nếu he(t) là hàm chẵn, tức là he(t) = he(−t) thì biến đổi Fourier cũng

Tính chất 9 Biến đổi Fourier của hàm lẻ

Nếu ho(t) là hàm lẻ, tức là ho(t) = −ho(−t) thì biến đổi Fourier cũng

Chú ý công thức (1.6) có thể thay bằng công thức

Sử dụng công thức đổi biến σ = t − τ ta nhận được

Hình 1.2: Hàm tuần hoàn tam giác

Vì hàm y(t) là hàm chẵn, theo công thức (1.16) ta có

Hàm xung có một số tính chất sau đây:

Tiếp theo ta sẽ định nghĩa một mẫu dạng sóng như sau

Định nghĩa 1.4 (Mẫu dạng sóng) Nếu hàm h(t) là liên tục tại t =

T , khi đó một mẫu của h(t) tại thời điểm T được cho bởi

ˆh(t) = h(t)δ(t − T ) = h(T )δ(t − T ) (1.24)

trong đó tích được hiểu theo (1.23) Hàm xung xảy ra tại thời điểm T sẽ

có biên độ bằng hàm h(t) tại thời điểm T Nếu h(t) liên tục tại t = nTvới n = 0, ±1, ±2, , khi đó

ˆh(t) =

1.3 Biến đổi Fourier rời rạc

Để rời rạc cặp biến đổi Fourier, trước tiên ta tạo mẫu dạng sóng h(t)(ta cũng có thể sử dụng kí hiệu h(t)∆0t trong đó ∆0t là miền thời gian).Giả sử khoảng mẫu là T , ta viết lại phương trình (1.25) dưới dạng

0, nếu ngược lại

trong đó T0 là khoảng thời gian của hàm chặt cụt Ta có

Tích chập này được cho như sau

(1.29)

Để rời rạc biến đổi Fourier (1.29), ta chú ý rằng biến đổi Fourier củamột hàm tuần hoàn h(t) là một chuỗi các hàm xung cách đều

˜H(n

Thay công thức (1.29) vào công thức (1.31) ta nhận được

Vì T0 = N T nên phương trình (1.32) được viết lại dưới dạng

Công thức (1.36) được gọi là biến đổi Fourier rời rạc

Trong phần này, luận văn trình bày một ví dụ để minh họa thuậttoán Fourier nhanh (FFT) bằng trực giác Các ma trận nhân tử đượcthay thế bởi đồ thị dòng tín hiệu Từ đồ thị này, ta sẽ xây dựng tínhlogic của thuật toán FFT

Trước tiên ta viết lại (1.38) dưới dạng sau

Bước tiếp theo ta biến đổi ma trận vuông trong công thức (1.40) dướidạng sau

Ta chú ý rằng, tích hai ma trận vuông trong công thức (1.42) cho ta matrận vuông trong công thức (1.42) ngoại trừ việc đổi dòng 1 và dòng 2(các dòng được đánh số 0, 1, 2, 3) Đặt

¯X(n) =

Ta thấy rằng, phần tử x1(0) được tính bởi một phép nhân phức và mộtphép cộng phức

x1(0) = x0(0) + W0x0(2) (1.45)Phần tử x1(1) cũng được tính bởi một phép nhân phức và một phép cộng,tuy nhiên tới phần tử x1(2) chỉ cần tới phép cộng bởi vì W0 = −W2nên

x1(2) = x0(0) + W2x0(2) = x0(0) − W0x0(2) (1.46)

trong đó W0x0(2) đã được tính từ công thức tính x1(0) Tương tự nhưvậy để tính x1(3) ta chỉ cần tới một phép cộng phức và không cần tớiphép nhân Như vậy véc tơ trung gian x1(k) được tính bởi 4 phép nhân

Với N = 2γ, thuật toán FFT là quá trình nhân tử hóa N × N ma trậnthành γ ma trận sao cho các ma trận được nhân tử hóa có tính chấtđặc biệt đó là cực tiểu hóa số phép nhân và phép cộng Ta chú ý rằng,

trong minh họa trên thuật toán FFT yêu cầu N γ/2 = 4 phép nhân và

N γ phép cộng trong khi đó nếu tính toán trực tiếp phương trình (1.38)

ta cần N2 phép nhân và N (N − 1) phép cộng Như vậy nếu ta giả sửthời gian tính toán là tỉ lệ với số phép nhân thì tỉ lệ xấp xỉ của thời giantính trực tiếp và tính theo phương pháp FFT là

Hình 1.3: So sánh số lượng phép nhân khi tính toán trực tiếp và khi sử dụng phương pháp FFT

1.4.3 Đồ thị dòng tín hiệu

Ta minh họa đồ thị dòng tín hiệu trong phương trình (1.42) như hìnhdưới đây, trong đó các véc tơ dữ liệu x0(k) được biểu diễn bởi cột thẳngđứng các nốt bên trái đồ thị, cột thẳng đứng thứ hai là mảng của véc tơ

x1(k) được tính toán từ phương trình (1.44) và cột tiếp theo biểu diễnvéc tơ x2(k) Với N = 2γ ta sẽ có γ cột tính

Hình 1.4: Đồ thị tín hiệu FFT, N = 4

Đồ thị dòng tín hiệu được mô tả như sau: Mỗi nốt được đưa vào bởi

2 đường đậm có mũi tên biểu thị đường truyền từ tín hiệu trước Mộtđường truyền dẫn một đại lượng từ một nốt trong một mảng nhân vớiđại lượng ký hiệu bởi Wp và đưa kết quả vào nốt ở mảng kế tiếp Nhân

tử Wp xuất hiện gần đầu mũi tên của đường truyền, tại các vị trí không

có ta hiểu Wp = 1 Kết quả đưa vào các nốt từ hai đường truyền đượckết hợp bởi phép cộng

Để giải thích rõ hơn về biểu đồ dòng tín hiệu, ví dụ xét nút x1(2),

theo quy tắc trên thì nút x1(2) được tính như sau (Các nút khác trong

đồ thị được tính toán tương tự)

x1(2) = x0(0) + W2x0(2)

Khi đó biểu đồ dòng tín hiệu là một phương pháp ngắn gọn để biểudiễn các tính toán cần thiết trong nhân tử ma trận của thuật toán FFT.Mỗi cột của đồ thị tương ứng với một nhân tử ma trận và có γ cột nhưvậy Sử dụng biểu diễn đồ thị dạng này cho phép ta dễ dàng mô tả quátrình nhân tử hóa ma trận với N lớn

Ta minh họa đồ thị dòng tín hiệu cho trường hợp N = 16 = 24 nhưhình dưới đây

k = 0, 1, 2, 3 hay k = (k1, k0) = 00, 01, 10, 11

n = 0, 1, 2, 3 hay n = (n1, n0) = 00, 01, 10, 11

Cách ngắn gọn để biểu diễn k, n đó là

k = 2k1 + k0, n = 2n1 + n0 (1.51)

trong đó n0, n1, k0, k1 chỉ nhận các giá trị là 0 hoặc 1

Sử dụng biểu diễn (1.51), ta viết lại (1.50) cho trường hợp N = 4 nhưsau

Hình 1.5: Đồ thị tín hiệu FFT, N = 16

Phương trình (1.54) là nền tảng của thuật toán FFT Chi tiết hơn, ta

có thể xét từng tổng trong (1.54) Trước tiên ta viết tổng trong ngoặcdạng

Tương tự, ta viết tổng còn lại trong (1.54) như sau

Xét phương trình truyền nhiệt dạng

∆x = ∆x1 = ∆x2 Ký hiệu bước thời gian là ∆t, chú ý rằng các bướcthời gian không nhất định phải bằng nhau và nói chung nhỏ hơn ∆x đểđảm bảo yêu cầu về tính ổn định.

Bài toán giá trị ban đầu được phát biểu như sau: Tìm hàm u(x, t)thỏa mãn phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu u(x, 0) = f (x) vàgiá trị trên biên (tức là trên các cạnh của hình chữ nhật) được cho bởimột trong các điều kiện sau

u(x, t) = 0, với t ≥ 0, x ∈ ∂R điều kiện Dirichlet

hoặc

∂u

∂xi(x, t) = 0, với t ≥ 0, x ∈ ∂R điều kiện Neumann

hoặc hỗn hợp của hai điều kiện trên với điều kiện Dirichlet trên cạnhnào đó của hình chữ nhật và điều kiện Neumann tại các cạnh khác

Ta rời rạc hóa phương trình (2.1) Đặt m = (m1, m2) và t = n∆t.Đạo hàm theo thời gian trong phương trình (2.1) được xấp xỉ bởi

ở giá trị n lớn bằng một bước sau đó, nhưng lược đồ này có hạn chế làkhông ổn định trong trường hợp r lớn Cụ thể, lược đồ (2.2) ổn định khi

0 < r ≤ 14 [3] Một cải tiến cho lược đồ (2.2) ta sử dụng lược đồ dướiđây

un+1m = (1 + rδ2x1)(1 + rδx22)unm (2.3)Trong [3] đã chỉ ra rằng lược đồ (2.3) là ổn định với 0 < r ≤ 12 và sai

số khi sử dụng lược đồ này xấp xỉ (2.1) là cấp của [∆t + (∆x)2] Tuynhiên, khi r = 1/6 thì lược đồ sai phân (2.3) có độ chính xác khác biệt,sai số trong trường hợp này là cấp của [(∆t)2 + (∆x)4]

Lược đồ sai phân ẩn liên quan tới một vài điểm tại bước thời gian

n + 1 Các giá trị của nghiệm tại bước thời gian n + 1 chỉ được cho dướidạng ẩn thông qua các phương trình liên quan tại bước n và bước n + 1.Lược đồ sai phân ẩn Crank-Nicolson nổi tiếng được cho bởi

(1 + rbδx21)(1 + rbδx22)un+1m = (1 + 1

2raδ

2

x 1)(1 + raδx22)unm (2.5)

Tiếp theo ta sẽ rời rạc bài toán giá trị biên ban đầu và điều kiện biên.Điều kiện ban đầu được xấp xỉ bởi

u0m = fm = f (m∆x), với 0 ≤ m1 ≤ M1, 0 ≤ m2 ≤ M2

Giả sử giải bài toán trong hình chữ nhật R = (0 ≤ x1 ≤ L1, 0 ≤ x2 ≤

L2), biên của lưới cho phương trình rời rạc được mô tả bởi các giá trịcủa m với m1 = 0, m1 = M1, m2 = 0, m2 = M2 trong đó M1 và M2tương ứng là các số nguyên sao cho M1∆x = L1, M2∆x = L2

Điều kiện biên Dirichlet được mô tả bởi un+1m = 0 Đối với điều kiệnbiên Neumann, đạo hàm không gian được mô tả bằng cách sử dụng saiphân trung tâm Cụ thể

và nghiệm này rõ ràng thỏa mãn điều kiện biên

Biểu diễn tích chập cho bài toán rời rạc cho ta một biểu diễn tương tựcho nghiệm của bài toán ban đầu Điều này được biểu diễn bởi u(x, t) =K(x.t) ∗ f (x) trong đó điều kiện ban đầu và nghiệm được giả sử cho trêntoàn bộ mặt phẳng x Trong trường hợp này hàm Green trong khônggian hai chiều K(x, t) là tích của hai hàm Green trong không gian mộtchiều k(x1, t) và k(x2, t), trong đó k(s, t) = e−s2/4t/√

4πt

Ta sử dụng ký hiệu FFT[·] để biểu thị biến đổi Fourier nhanh Đểbiểu diễn nghiệm ta đặt Un(k) = F F T [unm] Ta áp dụng biến đổi nàycho các phần tử khác nhau trong công thức (2.5), ta có

FFT[δx22un+1m ] = FFT[unmi+1− 2unm+ unmi−1] = eiwi − 2 + e−iwiFFT[unm]

do vậy

FFT[δx2

2un+1m ] = −2[1 − cos(wi)]Un(k) (2.6)trong đó wi = πk/Mi, i = 1, 2 Ta chú ý rằng

FFT[δx2

1δx22unm] = 4[1 − cos(w1)][1 − cos(w2)]Un(k) (2.7)Kết hợp (2.6) và (2.7) ta có

FFT[(1 + rbδx21)(1 + rbδ2x2)unm] =

1 − 2ra(1 − cos w1) − 2ra(1 − cos w2) + 4ra2(1 − cos w1)(1 − cos w2)
Un(k)

= [1 − 2ra(1 − cos w1)][1 − 2ra(1 − cos w2)]
Un(k)

Đây là biến đổi vế phải của (2.5) và biến đổi vế trái tương tự Kết quảsau khi áp dụng biến đổi cho cả phương trình ta có

trong đó H(k) = h(k1)h(k2) và

h(ki) = 1 − 2ra(1 − cos wi)

1 − 2rb(1 − cos wi).Nghiệm của phương trình (2.8) được tính trực tiếp và được cho bởi

u(x, t) = 0 với x ∈ ∂R

Nghiệm chính xác được cho bởi

u(x, t) = sin(πx1) sin(πx2)(1 − t)

Thời gian tính toán 0.147304 giây.

(a) (b)

(c)

Hình 2.2: : Kết quả số cho bài toán biên Dirichlet (a) nghiệm chính xác tại thời điểm t = 0.8; (b) nghiệm ước lượng tại thời điểm t = 0.8; (c) sai số từng điểm tại thời điểm t = 0.8.

(a) (b)

(c)

Hình 2.3: : Kết quả số cho bài toán biên Neumann (a) nghiệm chính xác tại thời điểm t = 0.2; (b) nghiệm ước lượng tại thời điểm t = 0.2; (c) sai số từng điểm tại thời điểm t = 0.2.

(a) (b)

(c)

Hình 2.4: : Kết quả số cho bài toán biên Neumann (a) nghiệm chính xác tại thời điểm t = 0.8; (b) nghiệm ước lượng tại thời điểm t = 0.8; (c) sai số từng điểm tại thời điểm t = 0.8.

Kết luận

Luận văn đã đạt được một số kết quả sau đây:

- Trình bày lại một cách có hệ thống một số khái niệm liên quan tớibiến đổi Fourier bao gồm: tích phân Fourier, biến đổi Fourier ngược, tíchchập, hàm tuần hoàn, hàm xung và biến đổi Fourer rời rạc

- Trình bày lại một số kiến thức cơ bản liên quan tới biến đổi Fouriernhanh

- Trình bày ứng dụng của biến đổi Fourier nhanh trong việc tìmnghiệm số của phương trình parabolic tuyến tính, có ví dụ số minh họakèm theo