Để xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn thì việc đầu tiên là phải chọn lưới không gian và thời gian. Trong các mô hình chính áp, bài toán dự báo dự báo hai chiều, lưới được chọn là hình chữ nhật, hình vuông hoặc hình tam giác. Thường thì hình vuông được chọn nhiều hơn cả. Trong các mô hình tà áp, bài toán dự báo ba chiều, lưới được chọn là lưới không gian với các mẫu là hình hộp chữ nhật hoặc lập phương. Trong các điểm lưới nằm trên biên của miền dự báo là các điểm biên. Các điểm còn lại là các điểm bên trong. Trong trường hợp biên miền dự báo không trùng với ccs điểm lưới thì các điểm đường biên cắt các đường lưới sẽ tạo ra các điểm phụ. Tại các điểm phụ này ta đặt điều kiện biên. Trong nhiều trường hợp người ta thay đường biên cong bằng đường biên gấp khúc gồm các điểm lưới gần biên nhất. Các điểm lưới mà ta có thể tiến hành sai phân huuwx hạn mà không có điểm ra ngoài biên của miền lưới được gọi là các điểm điều hòa. Các điểm không điều hòa là các điểm biên và các điểm bên trong nhưng khi tiến hành sai phân hữu hạn cho nó phải sử dụng điểm lưới ra ngoài biên. Sau khi xác định được lưới không gian, ta xây dựng các sơ đồ sai phân hữu hạn. Phương pháp thong thường nhất là thay trực tiếp các đạo hàm bằng các sai phân hữu hạn. Trên thực tế, người ta sử dụng các phương pháp khác như phương pháp hệ số không xác định, phương pháp tích phân – nội suy.
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA KHÍ TƯỢNG - THUỶ VĂN - HẢI DƯƠNG HỌC
BÀI THU HOẠCH
DỰ BÁO THỜI TIẾT BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ
Giảng viên:
GS Trần Tân Tiến
Học viên:
Đặng Thị Lan Anh
TP.HCM-2018
Trang 2Để xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn thì việc đầu tiên là phải chọn lưới không gian
và thời gian Trong các mô hình chính áp, bài toán dự báo dự báo hai chiều, lưới được chọn là hình chữ nhật, hình vuông hoặc hình tam giác Thường thì hình vuông được chọn nhiều hơn cả Trong các mô hình tà áp, bài toán dự báo ba chiều, lưới được chọn là lưới không gian với các mẫu là hình hộp chữ nhật hoặc lập phương Trong các điểm lưới nằm trên biên của miền dự báo là các điểm biên Các điểm còn lại là các điểm bên trong Trong trường hợp biên miền dự báo không trùng với ccs điểm lưới thì các điểm đường biên cắt các đường lưới sẽ tạo ra các điểm phụ Tại các điểm phụ này ta đặt điều kiện biên Trong nhiều trường hợp người ta thay đường biên cong bằng đường biên gấp khúc gồm các điểm lưới gần biên nhất Các điểm lưới mà ta có thể tiến hành sai phân huuwx hạn mà không có điểm ra ngoài biên của miền lưới được gọi là các điểm điều hòa Các điểm không điều hòa là các điểm biên
và các điểm bên trong nhưng khi tiến hành sai phân hữu hạn cho nó phải sử dụng điểm lưới ra ngoài biên
Sau khi xác định được lưới không gian, ta xây dựng các sơ đồ sai phân hữu hạn Phương pháp thong thường nhất là thay trực tiếp các đạo hàm bằng các sai phân hữu hạn Trên thực tế, người ta sử dụng các phương pháp khác như phương pháp hệ số không xác định, phương pháp tích phân – nội suy
Ta xét phương pháp hệ só không xác định qua thí dụ xây dựng sơ đồ sai phân với phương trình khuếch tán:
∂ f
∂ t=v
∂2
ở đây v là hệ số khuếch tán và được coi là hằng số
Ta chọn lưới tính với các bước thời gian ∆ t=τ và bước không gian ∆ r =h tương ứng với chỉ số là s và q Ta tiến hành sai phân hữu hạn phương trình (1.1) sẽ được:
q−1
s+1
+β∫
q
s +1
+γ∫
q+1
s +1
+δ∫
q
s
¿ 0 (1.2)
Các hệ số α , β , γvà δ là các hệ số không xác định Chúng sẽ được xác định để cho sơ
đồ sai phân hữu hạn (1.2) có bậc chính xác cao nhất có thể theo h và τ
Sử dụng công thức phân tích hàm vào chuỗi Taylor:
f (r ± h , t ± r )=f (r ,t ) ± ∂ f
∂ r .h+
∂2f
∂r2
h2
2 ! ±
∂3f
∂ r3
h3
3 !+
∂4f
∂ r4
h4
4 ! ±
∂ f
∂ t τ
∂2f
∂ t2
τ2
2 ! ±
∂2f
∂ r ∂t hτ +…
Ta có :
Trang 3q−1
s+1
q
s
−∂ f
∂ r h+
∂2f
∂ r2. h
2
2 !+
∂ f
∂t τ +
∂2f
∂ t2. τ
2
2 +…
∫
q
s +1
q
s
+ ¿∂ f
∂t τ +
∂2f
∂ t2 .
τ2
2+…¿
∫
q−1
s+1
q
s
+ ¿∂ f
∂ r .h+
∂2f
∂r2. h
2
2 !+
∂ f
∂t τ +
∂2f
∂ t2. τ
2
2 +…¿ Thay các biểu thức trên vào (1.2) và lấy kết quả trừ đi (1.1) ta tìm được dai số của
sơ đồ sai phân (1.2) gần đúng phương trình vi phân (1.1)
ε= ∂ f
∂ t−v
∂2f
∂ r2−(α+ β +γ +δ ) f −( α+β +γ ) τ
∂ f
∂ t+(α−γ) h
∂ f
∂r−(γ+ α )
h2
2 .
∂2f
∂ r2−(α+ β+ γ) O(τ
2)+(α−γ) O(h3) (1.3)
Để tìm được bậc gần đúng của phương trình (1.2) thì các hệ số của cá thành phần
trong chương trình (1.3) phải triệt tiêu, tức là:
(α + β+ γ + δ )=0
(α + β+ γ ) τ −1=0
(α +γ ) h
2
2 +v =0 Giải hệ phương trình đại số (1.4) ta tìm được:
h2
β= 2 v
1
τ
τ
Thay các hệ số này vào (1.2) ta được:
1
τ ¿
Đây là sơ đồ sai phân hữu hạn ẩn gần đúng phương trình 1.1) với độ chính xác bậc
hai theo không gian và bậc nhất theo thời gian Phương pháp gần đúng sai phân hữu
hạn và phương pháp hệ số không xác định áp dụng cho các phương trình vi phân có
hệ và nghiệm lien tục, khả vi Trường hợp phương trình vi phân không sử dụng
Trang 4q
q-1
t r
phương pháp này được trình bày qua thí dụ xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn đối với phương trình bình lưu:
∂ f
∂ t+C
∂ f
Với C= const
Tương tự như trên ta sử dụng mẫu lưới hình 3.1 để xác định hàm ∫
q
s
,∫
q
s+1
.
Tích phân phương trình (1.5) theo ô lưới giới hạn bằng các điểm q ± 1và s, s+1
∫
t s
t s +1
∫
r q−1
r q+ 1
(∂ f ∂ t+C
∂ f
∂ r)drdt =∫
r q−1
r q+ 1
(f s +1
−f s
)dr +C∫
t s
t s +1
(f q +1−f q−1)dτ ≈(f q s+1
−f q s
)2 h+C(f q+1 s+ 12 −f q −1 s+ 12) τ =0
Từ đây ta tìm được:
1
2 τ(f q s +1−f q s)+ C
2 h(f q +1 s +
1 2
−f q−1 s+
1
2)= 0 Đây là sơ đồ sai phân trung tâm hiện
Hình 1.1 Mẫu lưới thời gian s, không gian q Nếu ô lưới được thay bằng miền gồm các điểm ở các mực q-1,q+1,s-1,s+1 thì ta nhận được sơ đồ sai phân hữu hạn trung tâm ẩn:
1
Trang 5Trong trường hợp bài toán bình lưu ba chiều không tuyến tính, phương trình có dạng:
∂ f
∂ t+u
∂ f
∂ x+v
∂ f
∂ y+w
∂ f
Trên biên G, miền D không có sự trao đổi không khí với môi trường bên ngoài:
u|G=v|G=w|G=0 (1.8)
Ta xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn cho bài toán (1.6)-(1.8) bằng phương pháp tích phân – nội suy trong miền D Các điểm lưới có chỉ số i= x
∆ x ; j=
y
∆ y ;k =
z
t
∆ t Ta chọn các ∆ x , ∆ y , ∆ z , ∆ t sao cho các điểm biên của miền D đều trùng với điểm lưới Phương trình (1.6) kết hợp với (1.7) ta viết về dạng:
∂(ρff )
∂(ρffu)
∂(ρffy )
∂(ρffw )
∂ z =0 (1.9) Mẫu lưới để tính được giới hạn bởi 4 điểm có chỉ số:
1: i , j, k , s , s+1
2: i± 1 , j , k , s
3: i , j± 1 , k , s
4: i , j, k ± 1 , s
Trong không gian đây là khối hộp chữ nhật có trọng tâm là điểm (i j k ) các cạnh là
2 ∆ x ,2 ∆ y , 2 ∆ z
Tích phân (1.9) theo các biến trong toàn mẫu lưới ta được:
∫
t s
t s +1
∫
z k−1
z k+1
∫
y j−1
y j+ 1
∫
x i−1
x i+ 1
[∂( ρff ) ∂ t +
∂ (ρffu)
∂(ρffv )
∂ (ρffw)
Lấy tích phân theo thời gian, sử dụng công thức Ostrograski-Gauss ta được:
(ρff´ )ijk s+1= ¿
(ρff´ )ijk s −∆ t[(ρfuf´ )i+1 jk−(ρfuf´ )i−1 jk
2 ∆ x +
(ρffv´ )ij+1 k−(ρffv´ )ij−1 k
2 ∆ y +
(ρffw´ )ijk +1−(ρffw´ )ijk−1
2 ∆ z ]s+ 1
2
(1.10)
ở đây kí hiệu:
Trang 6(ρff´ )ijk=∫
z k−1
z k+ 1
∫
y j−1
y j+1
∫
x i−1
x i+1
( ρff ) dxdydz
(ρffu´ )i ± jk=∫
z k−1
z k+1
∫
y j−1
y j+ 1
(ρffu)|x i +1
x i−1 dxdy
(ρffv´ )ij± k=∫
z k−1
z k+ 1
∫
x i−1
x i+ 1
(ρffv )|y j+1
y j−1 dxdz
(ρffw´ )ijk ±1=∫
y j−1
y j+ 1
∫
x i−1
x i+ 1
(ρffw)|x k +1
x k−1 dxdy
Phương trình sai phân hữu hạn (1.10) gần đúng (1.6) với độ chính xác bậc hai
((∆ t)2,(∆ x )2
(∆ y )2
(∆ z)2
) và thỏa mãn phương trình liên tục
Lấy tổng 2 vế của (1.10) và tính đến điều kiện biên (1.8) ta được:
∑
ijk
(ρff´ )ijk s+ 1= ¿∑
ijk
(ρff´ )ijk s ¿ (1.11)
Từ (1.11) ta thấy ∑
ijk
(ρff´ )ijk bảo toàn theo thời gan, tức là:
∑
ijk [∂ ρff ∂t ]ijk
=0
Sơ đồ (1.10) bảo toàn đại lượng f trong miền D
2 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN THEO KHÔNG GIAN VÀ THỜI GIAN
Các trường khí tượng thủy văn là một hàm lien tục trong không gian và thời gian Việc xác định và tính toán các trường này chỉ có thể tiến hành trên một số điểm hữu hạn, rời rạc trong miền xác định của bài toán đặt ra Người ta thường đánh số các điểm trong miền xác định của nó bằng các chỉ số I theo trục Õ, j theo trục Oy, k theo trục Oz (hoặc theo áp suất) và s theo thời gian Các chỉ số trên xác định bằng công thức:
∆ x ; j=
y
∆ y ;k =
z
t
Ở đây ∆ x , ∆ y , ∆ z ;∆ t là bước tính theo không gian và thời giantuwowng ứng Tập hợp tất cả các điểm trên trong miền không gian, thời gian tạo thành lưới không – thời gian và các điểm lưới gọi là các nút lưới
Trang 7Trường khí tượng f(x,y,z,t) được cho tại các điểm lưới của miền tính Giá trị của hàm số tại các điểm nút được ký hiệu là f ijk s Như vậy một trường sẽ là tập hợp một
số giá trị hữu hạn f ijk s Việc tính toán với một trường khí tượng ta sẽ phải tính với các giá trị của chúng tại các thời điểm rời rạc trong không gian và thời gian
Sử dụng phương pháp lưới để xác định các toán tử thì giá trị của nó tìm được phụ thuộc vào phương pháp gần đúng toán tử trên tập hợp giá trị hàm tại các nút lưới
3 XÂY DỰNG SƠ ĐỒ SAI PHÂN HỮU HẠN CHO PHƯƠNG TRÌNH: Bài toán: Xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn cho phương trình sau:
∂ f
∂ t+C
∂ f
∂ r=ϑ
∂2f
∂ r2
(∂ f ∂ t)s=f s+1−f s
τ
∫
t s
t s +1
∫
r q−1
r q+ 1
∂ f
∂ t drdt =∫
t s
t s + 1
∫
r q−1
r q +1
f s+1−f s
r q−1
r q +1
t|t s +1
t s dr
r q−1
r q +1
(t s+1−t s)dr
¿t s+1−t s
τ (t s +1−t s)r|r q +1
r q −1
τ (t s+1−t s) (r q+1−r q−1)
s+ 1
−f s)2h
(∂ f ∂ r)q
=f q+1−f q −1
2h
∫
t s
t s +1
∫
r q−1
r q+ 1
C ∂ f
∂ r drdt =∫
t s
t s+1
∫
r q−1
r q+ 1
C f q+1−f q −1
2h drdt
2h ∫
r q−1
r q+ 1
(t s+1−t s)dr
Trang 8¿C f q+1−f q−1
2h (t s +1−t s) (r q +1−r q 11)
2h ∫
r q−1
r q+ 1
(t s+1−t s)dr
2h (t s +1−t s) (r q +1−r q−1)
2h τ 2 h=C(f q+ 1−f q−1)τ
(∂ ∂ r2f2)q
=[ ∂
∂ r(∂ f ∂ r) ]q
2h
2 [ (∂ f ∂ r)q +1
2
−(∂ f ∂ r)q −1
2]
(∂ f ∂ r)q+ 1
2
= 1
2h
2
(f q +1−f q)
(∂ f ∂ r)q− 1
2
= 1
2h
2
(f q−f q−1)
⟹(∂ ∂ r2f2)q= 1
h2(f q +1−2 fq+f q −1)
∫
t s
t s +1
∫
r q−1
r q+ 1
ϑ(∂ ∂ r2f2)drdt =∫
t s
t s + 1
∫
r q−1
r q+ 1
h2(f q +1−2 fq+f q−1)drdt
r q −1
r q+ 1
(t s +1−t s)dr
h2 (t s +1−t s) (r q +1−r q −1)
(f q +1−2 fq+f q −1)
⇒2 h(f s+1−f s)+C(f q+ 1−f q−1)τ=ϑ (f q+1−2 fq+f q−1)
1
τ (f
s+1
−f s
)+C
2 h(f q+1−f q−1)=ϑ 1
h2(f q+1−2 fq+f q−1)
Trang 9TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trần Tân Tiến – Phương pháp số dự báo thời tiết – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội 2007