PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài tập cảm ỨNG điện từ sử DỤNG TÍCH PHÂN và PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ SỬ DỤNG TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ - Cơ sở khoa học của đề tài: + Cơ sở lí luận: Đề tài được thực hiện trên cơ sở lý lu

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ SỬ DỤNG

TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

- Cơ sở khoa học của đề tài:

+ Cơ sở lí luận: Đề tài được thực hiện trên cơ sở lý luận và phương pháp luận của chủ nghĩa Mác-Lênin, tư tưởng Hồ Chí Minh về giáo dục, các văn kiện Đại hội Đảng.Vai trò và nhiệm vụ của giáo dục và đào tạo đã được thể hiện trong các văn kiện của Đại hội Đảng: “Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu” phát triển giáo dục là nhằm “nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân lực, đào tạo nhân tài”

+ Cơ sở thực tiễn: Trong chương trình Vật lí chuyên phần điện từ học thường được dạy vào đầu lớp 11, trước đó là từ trường, dòng điện không đổi, tĩnh điện, và phần cơ học Ở phần này, các bài toán thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi vòng 2, chọn đội tuyển quốc gia, các kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia và thường có sử dụng đến tích phân, phương trình vi phân – một công cụ toán học rất mạnh giúp giải các bài tập vật lí một cách ngắn gọn

Nhưng trong thực tế, giáo viên khi dạy cho các em học sinh còn gặp rất nhiều khó khăn, phần vì kiến thức toán học của học sinh lớp 11 về tích phân và phương trình vi phân còn hạn chế, phần vì nguồn tài liệu viết một cách căn bản cho vấn đề nêu trên không nhiều

Trước thực tế đó tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Phương pháp giải

bài tập cảm ứng điện từ sử dụng tích phân và phương trình vi phân”

Với phương pháp dùng tích phân, phương trình vi phân, kết hợp với các định luật điện từ và các kiến thức nền tảng của cơ học, sẽ giúp các em học sinh, nắm bắt được các dạng bài tập khó trong phần cảm ứng điện từ và quan trọng hơn là nắm bắt tốt và hiểu sâu sắc hơn về tích phân và phương trình vi phân, từ đó có thể vận dụng sang các phần khác của Vật lí, và hy vọng rằng sẽ có ích đối với các đồng nghiệp trong quá trình dạy và ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi

- Mục đích của đề tài: Nhằm đề xuất một số phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài tập về cảm ứng điện từ, có sử dụng các phép tính tích phân và giải phương trình vi phân, đồng thời trang bị cho bản thân tác giả những kiến thức cơ bản trong công tác ôn luyện và bồi dưỡng học sinh giỏi

Nghiên cứu các vấn đề lí luận liên quan đến việc vận dụng toán cao cấp để giải các bài tập vật lí nói chung và giải các bài tập về cảm ứng điện từ nói riêng, giải thích được nguyên nhân của thực trạng và đề xuất một số phương pháp dạy ôn luyện học sinh giỏi

- Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Các bài tập vật lí đại cương, các tài

liệu ôn thi học sinh giỏi, phần cảm ứng điện từ, các phép toán cao cấp được áp dụng vào vật lí, thực hiện ở lớp chuyên lí 11

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Thực trạng việc áp dụng tích phân và phương trình vi phân trong giải bài tập Vật lí nói chung và giải các bài tập điện từ nói riêng của học sinh lớp

Với các kiến thức toán học về đạo hàm, vi, tích phân thì học sinh luôn gặp phải nhiều bài toán như chuyển động của vật chịu tác dụng của lực biến thiên, chuyển động của vật có khối lượng thay đổi, giải các bài toán chu trình biến đổi của khí lí tưởng, giải bài toán về phân bố mật độ phân tử khí, sự truyền của ánh sáng trong môi trường có chiết suất biến thiên… khi đó, trước khi dạy mỗi chuyên

đề các thầy cô lại nhắc lại các kiến thức toán học có liên quan

1.2 Khó khăn

Thực chất việc trang bị kiến thức toán học cho các em học sinh ngay từ lớp 10

là điều hết sức cần thiết và quan trọng, tuy nhiên chỉ có số ít các em có thể nắm bắt được các kiến thức đó một các có hệ thống và bài bản Phần lớn các em vẫn chưa biết được sau này các kiến thức đó sẽ được vận dụng vào đâu và vận dụng như thế nào Vì thế việc nhắc lại kiến thức toán liên quan trước khi dạy một chuyên đề mới

là cần thiết

Phần toán học về đạo hàm, vi phân, tích phân nằm trong chương trình giải tích cuối lớp 11 và lớp 12, nhưng ý nghĩa của các phép vi tích phân lại nằm trong các hiện tượng Vật lí, vì vậy việc kết hợp toán học và Vật lí để dạy cho học sinh hiểu được phần này cũng có nhiều hạn chế

Riêng với các bài toán về cảm ứng điện từ, các quá trình xảy ra như sự xuất hiện suất điện động, chiều của dòng điện cảm ứng, sự đổi chiều của lực từ khi dòng điện đổi chiều, sự biến thiên tuần hoàn của các đại lượng… không thể quan sát thấy được bằng mắt thường mà học sinh phải hình dung trong đầu thông qua các kết quả toán học Phần này gần giống như tư duy của một nhà vật lí lí thuyết, nên các em vẫn còn lúng túng và gặp nhiều khó khăn

Dạng tổng quát F x y y , , ', y'', , y n  0

- Giải phương trình vi phân là tìm dạng tường minh của hàm số y f x 

- Trong Vật lí các phương trình vi phân thường gặp là các hàm số của tọa độ phụ thuộc thời gian ví dụ như phương trình dao động điều hòa , các hàm số của dòng điện, hiệu điện thế, điện tích phụ thuộc thời gian

Một số dạng phương trình vi phân thường gặp

- Phương trình vi phân cấp 1 với biến số phân li

+ Dạng tổng quát: f x dx1   f2 y dy

Chú ý rằng ở vế trái chỉ chứa biến x và vi phân của nó, ở vế phải chỉ chứa biến y và vi phân của nó

+ Phương pháp giải: Lấy tích phân hai vế theo hai biến độc lập x và y

- Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất, khuyết y’

+ Dạng tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

Nghiệm tổng quát: y Acosx

2.2 Kiến thức vật lí

* Từ thông

- Một khung dây dẫn phẳng diện tích S được đặt trong từ trường đều có cảm ứng từ B, khung gồm N vòng dây thì từ thông gửi qua khung được định nghĩa như sau

* Hiện tượng cảm ứng điện từ - Định luật Len-xơ về chiều dòng điện cảm ứng - Định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ

- Hiện tượng cảm ứng điện từ: Là hiện tượng xuất hiện một dòng điện cảm ứng trong một mạch điện kín khi có sự biến thiên từ thông qua mạch

Chú ý rằng nếu mạch điện không kín thì trong mạch có xuất hiện một suất điện động nhưng không có dòng điện

- Định luật Len-xơ về chiều dòng điện cảm ứng: Dòng điện cảm ứng có chiều sao cho từ trường do nó sinh ra có tác dụng chống lại sự biến thiên từ thông qua mạch ( hoặc chống lại nguyên nhân sinh ra nó )

- Định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ: Suất điện động cảm ứng xuất

d e

- Chiều lực từ : Tuân the quy tắc bàn tay trái

Quy tắc bàn tay trái : Đặt bàn tay trái duỗi thẳng để các đường cảm ứng từ xuyên vào lòng bàn tay và chiều từ cổ tay đến ngón tay trùng với chiều dòng điện Khi đó ngón tay cái choãi ra 90o sẽ chỉ chiều của lực từ tác dụng lên đoạn dây dẫn

- Độ lớn (Định luật Am-pe) Lực từ tác dụng lên đoạn dòng điện cường độ I,

có chiều dài l hợp với từ trường đều B

* Hiện tượng tự cảm – Năng lượng từ trường của ống dây

Độ tự cảm:  Li ( L là hệ số tự cảm của mạch – đơn vị là Henri (H) )

Phần cuối cùng là một số bài tập để học sinh vận dụng phương pháp đã học được vào tự giải

Bài toán 1: Khung dây siêu dẫn chuyển động trong từ trường

Bài toán 2: Khung dây có điện trở chuyển động trong từ trường

Bài toán 3: Suất điện động trong mạch kín trong trường hợp một phần của mạch điện chuyển động trong từ trường

BÀI TOÁN 1: KHUNG DÂY SIÊU DẪN CHUYỂN ĐỘNG TRONG TỪ TRƯỜNG

BÀI 1

Một khung dây dẫn hình vuông siêu dẫn, có khối lượng m và cạnh a nằm trong mặt phẳng ngang trong một từ trường không đều, có giá trị cảm ứng từ biến thiên theo quy luật:

0

.0

Hỏi khung sẽ chuyển động như thế nào và ở đâu sau thời gian t kể từ lúc thả LỜI GIẢI

Sử dụng tính chất bảo toàn từ thông đối với mạch điện siêu dẫn

* Ta đi chứng minh rằng đối với mạch điện siêu dẫn thì từ thông tổng cộng đi qua diện tích của mạch được bảo toàn:

Xét một vòng dây siêu dẫn đặt trong từ trường ngoài biến thiên  trong vòng dây có một dòng điện cảm ứng, dòng điện này lại sinh ra một từ trường riêng Vậy

từ thông qua diện tích vòng dây là do hai từ trường tạo ra: từ trường ngoài và từ

Suất điện động cảm ứng trong vòng dây là: e c d

Kết luận: Từ thông qua diện tích vòng dây siêu dẫn được bảo toàn

* Xét trường hợp của bài toán: Tại một thời điểm t, từ thông qua diện tích khung dây được cho bởi từ thông của từ trường ngoài và từ thông do chính dòng điện cảm ứng sinh ra:

x y

Dễ thấy rằng thành phần Bz gây ra lực từ tác dụng lên các cạnh của khung dây

sẽ cân bằng nhau Chỉ có thành phần Bx gây ra các lực từ tác dụng lên các cạnh song song với trục Oy và lực từ này có phương thẳng đứng, lực tác dụng lên hai cạnh này luôn cùng chiều

Lực từ tổng hợp tác dụng lên khung dây có độ lớn F 2 a x i a2.i ( Vì

2 x  và i > 0 ) a

PT chuyển động của vòng là: mz'' mga2i (4)

  Nghiệm của pt này có dạng:

 b) Xét theo phương pháp năng lượng

Xét thanh dịch chuyển xuống dưới một đoạn dz ( dz < 0 ) Chú ý rằng lực từ tác dụng lên khung là

biến thiên cơ năng của khung bằng công của lực từ tác dụng

 F dzmgdzmvdv , chia hai vế của phương trình trên cho dt ta được:

Một khung dây hình chữ nhật siêu dẫn, có các cạnh là a và b, khối lượng m và

hệ số tự cảm L, chuyển động với vận tốc ban đầu v0 trong mặt phẳng của nó hướng dọc theo chiều dài khung từ vùng không có từ trường vào một vùng có từ trường đều B0 vuông góc với mặt phẳng khung dây Hãy mô tả chuyển động của khung như là hàm số của thời gian

LỜI GIẢI

Chọn gốc tọa độ tại điểm tiếp xúc giữa vùng có từ trường và vùng không có

từ trường, chiều dương hướng theo chiều chuyển động của khung Chọn gốc thời gian là lúc khung bắt đầu chuyển động vào vùng có từ trường

Giả sử b > a  Khung hình chữ nhật sẽ chuyển động dọc theo cạnh b và phương trình chuyển động của khung là:

m dv I

B a dt



 Đạo hàm hai vế theo thời gian ta được:

2 2 0

Giải điều kiện ban đầu:

0

v v

dv I

0 0

dây trùng với trục của thanh nam châm

Từ trường xung quanh chiếc vòng có tính

đối xứng trụ và được mô tả bởi hệ thức:

Hình 2

0 0

Trong đó B0, ,  là những hằng số; z và r là tọa độ theo phương thăng đứng

và phương bán kính Ở thời điểm ban đầu không có dòng điện trong chiếc vòng Khi được thả ra nó bắt đầu di chuyển xuống dưới và trục vẫn thẳng đứng Từ các

dữ kiện bên dưới, hãy xác định xem sau đó vòng nhẫn chuyển động thế nào Tính cường độ dòng điện trong chiếc vòng

Dữ kiện:

- Đặc điêm của vòng: Khối lượng m50mg; bán kính: r0 0,5cm; độ tự cảm 8

1,3.10

L  H

- Tọa độ ban đầu của tâm vòng nhẫn z0;r0

- Các thông số của từ trường:

m m

Từ thông tổng cộng qua vòng nhẫn được gây bởi từ trường ngoài và từ trường của dòng điện cảm ứng

Lực tác dụng lên vòng nhẫn bao gồm lực từ và trọng lực, thành phần B z gây

ra lực từ theo phương nằm ngang nhưng tổng lực từ do thành phần này gây ra luôn bằng không ở mọi vị trí của vòng, thành phần B gây ra lực từ tác dụng theo r

Thực hiện phép đổi biến số: z mg '' k z mg 0

Phương trình vi phân này chứng tỏ chuyển động của vòng là một dao động

điều hòa với tần số góc k

Từ những dữ kiện đề cho ta xác định được: 31, 2 rad/s và A = 1 cm

Dòng điện trong mạch có biểu thức

Dòng điện cực đại khi vòng ở vị trí thấp nhất và Imax = 39A

BÀI TOÁN 2: KHUNG DÂY CÓ ĐIỆN TRỞ CHUYỂN ĐỘNG TRONG

TỪ TRƯỜNG

BÀI 4

Một lực F không đổi tác dụng vào một thanh kim loại khối lượng m, có thể trượt trên hai thanh ray, đầu của các thanh ray được nối với điện trở R Toàn bộ hệ thống đặt nằm ngang, trong một vùng có từ trường đều, các đường sức hướng thẳng đứng Thanh được kéo từ trạng thái nghỉ Giả thiết rằng thanh trượt không

ma sát và bỏ qua hệ số tự cảm của khung, điện trở của thanh và các thanh ray a) Xác định vận tốc của thanh là hàm số của thời gian

b) Xác định dòng điện chạy qua điện trở R là hàm số của thời gian

LỜI GIẢI

v là vận tốc của nó Do vậy một dòng điên chạy trong thanh có độ lớn I Blv

trạng thái nghỉ từ thời điểm t = 0 ở ngay

phía trên có từ trường B0 được cho như

hình vẽ 3

Vòng dây có điện trở R, hệ số tự

cảm L và khối lượng m Xét khung dây

trong suốt khoảng thời gian mà cạnh

trên của khung ở trong vùng không có

a) Giả sử rằng độ tự cảm của vòng có thể bỏ qua nhưng điện trở của vòng thì không Tìm biểu thức của dòng điện và vận tốc của vòng như hàm số của thời gian b) Giả sử rằng điện trở của vòng có thể bỏ qua nhưng độ tự cảm thì không Tìm biểu thức của dòng điện và vận tốc của vòng như hàm số của thời gian

LỜI GIẢI

Nếu khung dây có điện trở R và độ tự cảm L thì trong khung có hai suất điện động Suất điện động sinh ra do cạnh dưới của khung chuyển động cắt các đường sức từ, và suất điện động tự cảm trong khung do dòng điện biến thiên

Trong trường hợp này ta viết ĐL Ôm cho toàn mạch như sau:

IR

dI Blv L

Nếu khung không có điện trở thì vế phải của pt (1) bằng không Do vậy ta thu

Biểu thức của vận tốc có dạng v Acos t 

Ta giải điều kiện ban đầu Tại t = 0 thì I = 0 và v = 0 Vì I = 0 nên từ (2) suy

a) Hãy tìm biểu thức của dòng điện cảm ứng trong vành

b) Tìm biểu thức của gia tốc a và vận tốc v của vành Nêu nhận xét về độ lớn của v, giả thiết độ cao của miền từ trường là đủ lớn

b) Do có dòng điện cảm ứng xuất hiện trong thanh nên phân tử l của thanh

sẽ chịu tác dụng của lực từ F BI l lực này hướng vuông góc với mặt phẳng của thanh lên trên ( Theo ĐL Len-xơ thì lực từ phải hướng lên trên để chống lại chuyển động rơi của vòng )

Lực điện tổng hợp tác dụng lên thanh có độ lớn:

22

Gia tốc của vòng là: a gexp B t

dz

2) Một vòng dây tròn điện trở R bán kính r và khối lượng m rơi vào một vùng

có từ trường không đều có các đường sức đối xứng xung quanh trục của hình trụ tâm của vòng tròn nằm trên trục hình trụ còn mặt phẳng vòng tròn vuông góc với

các đường sức từ, cảm ứng từ biến thiên dọc theo trục z dB z 0

Nếu cảm ứng từ tăng theo trục z thì mật độ đường sức càng mau hơn khi từ trường mạnh Khi đó ngoài thành phần cảm ứng từ theo trục z còn thành phần cảm ứng từ xuyên tâm B ( như hình vẽ 5 ) r

Ta đi chứng minh

2

r

r dB B

dz

Xét mặt trụ có bán kính tiết diện là r, chiều

Từ thông qua mặt bên là:   2 2r z B. r

Theo định lí Gau-xơ từ thông qua mặt kín bất

r dB B

dz

2) Xét vòng dây tại một thời điểm t, khi đó nó đang có vận tốc là v Chọn chiều dương hướng lên

Các pt trên cho thấy ban đầu tốc độ của vòng dây (độ lớn vận tốc) sẽ tăng dần Cho đến khi lực từ tác dụng cân bằng với trọng lực thì tốc độ của vật sẽ đạt giá trị

mgR v

dB r dt

Thanh sẽ chuyển động như thế nào sau khi được thả ra từ trạng thái nghỉ nếu mạch điện tạo bởi thanh và các thanh ray được khép kín bởi

sin

mamg  BlI

Phương trình này là giống nhau cho cả ba trường hợp Kết quả khác nhau là

do mối quan hệ giữa suất điện động và dòng điện trong mạch khác nhau ở mỗi trường hợp

a) Mạch điện được khép kín bởi một điện trở thuần R Dòng điện I và suất điện động cảm ứng e c Blv tuân theo ĐL Ôm cho toàn mạch:

Blv I R



Và điều này chỉ ra rằng lực cản tăng dần tỉ lệ thuận với vận tốc Vậy thanh sẽ chuyển động với gia tốc giảm dần xuống bằng không, và sau cùng nó chuyển động thẳng đều

Ta dễ tính được: vmax mgR2 2sin

B l



b) Nếu mạch được khép kín bởi một tụ điện có điện dung C thì quan hệ giữa suất điện động và dòng điện trong mạch sẽ khác đi

Điện tích của tụ điện được xác định bởi: QCBlv

Chú ý rằng dòng điện chạy trong thanh bằng đạo hàm của điện tích Q