Phân tích kĩ năng giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 ban nâng cao

Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các bài tập toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THÚY HÀ

PHÂN TÍCH KĨ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO

HỌC SINH LỚP 10 BAN NÂNG CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI, 2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THÚY HÀ

PHÂN TÍCH KĨ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO

HỌC SINH LỚP 10 BAN NÂNG CAO

CHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ và góp ý nhiệt tình của quý thầy cô giáo trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội

Lời cảm ơn chân thành được chuyển đến quý thầy cô trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là những thầy cô đã tận tình chỉ bảo tác giả trong suốt thời gian thực hiện Luận văn tốt nghiệp này

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Nhụy, người thầy đã dành rất nhiều thời gian, tâm huyết để tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện trong quá trình làm và hoàn thiện luận văn

Đồng thời, tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô khoa Toán trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy cô, các em học sinh trường Trung học phổ thông Văn Giang - Hưng Yên đã tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình nghiên cứu khảo sát và thực nghiệm sư phạm cho đề tài

Cuối cùng, lời cảm ơn chân thành xin được giành cho gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, khuyến khích tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Mặc dù có rất nhiều cố gắng để hoàn thiện Luận văn bằng khả năng của mình, tuy nhiên Luận văn không thể tránh khỏi sự thiếu xót, rất mong nhận được những đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn

Xin trân trọng cảm ơn

Hà Nội, ngày 20 tháng 10 năm 2017

Nguyễn Thị Thúy Hà

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

Danh mục các từ viết tắt ii

Danh mục các bảng v

Danh mục các hình vi

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Cơ sở lý luận 4

1.1.1 Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 4

1.1.1.1 Kỹ năng 4

1.1.1.2 Kỹ năng giải toán 6

1.1.1.3 Đặc điểm của kỹ năng 7

1.1.1.4 Sự hình thành kỹ năng 7

1.1.2 Vấn đề và giải quyết vấn đề 11

1.1.2.1 Vấn đề 11

1.1.2.2 Giải quyết vấn đề 12

1.1.2.3 Kỹ năng giải quyết vấn đề toán học 14

1.1.2.4 Kỹ năng giải quyết vấn đề trong mối liên hệ dạy học chủ đề bẩt đẳng thức lớp 10 Ban nâng cao 16

1.1.3 Dạy học giải bài tập toán học 17

1.2 Cơ sở thực tiễn 25

1.2.1 Mục tiêu giáo dục phổ thông 25

1.2.2 Đổi mới phương pháp dạy học toán 26

1.2.3 Nội dung dạy học chủ đề bất đẳng thức trong trung học phổ thông 26

1.2.4 Thực tiễn dạy học chủ đề bất đẳng thức 27

Chương 2 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH LỚP 10 30

2.1 Mục tiêu và nội dung dạy học Bất đẳng thức 30

2.1.1 Mục tiêu 30

2.1.2 Nội dung dạy học 30

2.2 Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức 30

2.2.1 Định nghĩa 30

2.2.2 Một số tính chất 31

2.2.3 Các bất đẳng thức cơ bản 33

2.3 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 36

2.3.1 Phương pháp dùng định nghĩa 36

2.3.2 Phương pháp biến đổi tương đương 38

2.3.3 Phương pháp quy nạp 40

2.3.4 Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác 42

2.3.5 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 46

2.3.6 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy 49

2.3.7 Phương pháp hình học 51

2.3.8 Phương pháp lượng giác 54

2.4 Một số ứng dụng của bất đẳng thức 64

2.4.1 Giải phương trình và hệ phương trình 64

2.4.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 67

2.5 Hệ thống các bài tập 70

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 74

3.1 Mục đích thực nghiệm 74

3.2 Nội dung thực nghiệm 74

3.3 Đối tượng thực nghiệm 74

3.4 Phương pháp thực nghiệm 74

3.5 Tiến hành thực nghiệm 74

3.6 Nội dung thực nghiệm 75

3.7. Đánh giá kết quả thực nghiệm 83

3.7.1 Đánh giá định tính 83

3.7.2 Đánh giá định lượng 83

3.8 Thời gian, đối tượng thực nghiệm 85

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO 88

PHỤ LỤC 89

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Kết quả khảo sát việc dạy và học chủ đề bất đẳng thức 28 Bảng 3.1 Tên bài dạy thực nghiệm 74 Bảng 3.2 Tên GV, lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 74Bảng 3.3 Kết quả thu được từ bài kiểm tra 45 phút củacác lớp thực nghiệm và lớp đối chứng 84

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 Sơ đồ một số thao tác tư duy phổ biến của học sinh 24 Hình 3.1 Biểu đồ thể hiện kết quả nắm kiến thức của các lớp TN và lớp ĐC 84Hình 3.2 Kết quả kiểm tra 45 phút của các lớp đối chứng và các lớp thực nghiệm 85

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học có vai trò đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển trí tuệ, Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh( người học toán) những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn giúp người học rèn luyện khả năng tư duy logic

Trong việc dạy học toán thì tìm ra cách thức giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp phần củng cố kiến thức, hình thành và phát triển tư duy cho học sinh Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các bài tập toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo của tư duy và trí tuệ

Tuy nhiên các bài toán về bất đẳng thức nhìn chung là khó vì phạm vi kiến thức rộng, đòi hỏi học sinh phải tư duy tích cực

Qua thời gian còn học tập ở trường trung học phổ thông và thời gian đi thực tập Tôi thấy thực trạng khi dạy toán bất đẳng thức đó là:

- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác, phân tích mở rộng các bài toán dẫn đến khi học sinh gặp các bài toán khác một chút

là sẽ không giải được

- Học sinh thường ngại học toán về chương bất đẳng thức vì các bài toán thường khó phải áp dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng, nên học sinh hay ngại và chưa vận dụng được bài toán bất đẳng thức được giải các bài toán khó như cực trị, hàm số,

Với lí do kể trên, tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Phân tích kĩ năng giải quyết vấn

đề trong dạy học chủ đề bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 ban nâng cao” nhằm

giúp học sinh bớt lúng túng khi giải các bài toán về bất đẳng thức, có thể tự định hướng được các phương pháp chứng minh, giải các bài toán liên quan và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn toán nói chung cũng như giúp bản thân tự nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ

2 Lịch sử nghiên cứu

Các sách viết về bất đẳng thức ở cấp trung học phổ thông đã có rất nhiều, sự phong phú về nội dung của chúng ta được khẳng định qua các ẩn phẩm của các tác giả nổi tiếng trong nước như: Phan Huy Khải, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Kim Hùng

3 Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu

- Giúp HS phát triển năng lực toán học, phát triển lòng yêu thích môn học

- Chuẩn bị kiến thức nhằm phục vụ các kì thi tiếp theo

 Các nhiệm vụ nghiên cứu:

- Tìm hiểu cơ sở lí luận về việc hướng dẫn học sinh giải bài toán

- Tìm hiểu mục tiêu và nội dung dạy học bất đẳng thức trong sách giáo khoa 10 nâng cao

- Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về bất đẳng thức cho học sinh

+ Hệ thống những kiến thức cơ bản và các phương pháp giải bài tập về bất đẳng thức

+ Xây dựng hệ thống các bài toán về bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 trong chương trình nâng cao

4 Phạm vi nghiên cứu

Chương bất đẳng thức trong chương trình đại số lớp 10 ban nâng cao

5 Mẫu khảo sát

Khối 10 - Trường THPT Văn Giang - Hưng Yên

6 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu dạy học giải quyết vấn đề về bất đẳng thức cho học sinh được giảng giải một cách khoa học, có logic và học sinh hiểu và vận dụng được thì gợi cho học sinh thích thú với môn học, đưa ra các cách giải sáng tạo và logic

7 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận

- Quan sát điều tra

- Tổng kết kinh nghiệm

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm ba chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về bất đẳng thức cho HS lớp 10 Chương 3: Thực nghiệm sư phạm tại trường THPT Văn Giang - Hưng Yên

Theo Tâm lý học đại cương cho rằng:“ Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [14, tr.149]

Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: “ Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [32, tr 426]

Theo cách hiểu của chúng tôi, kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở bạn

để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ thói quen nhất định, kỹ năng là làm việc có phương pháp

Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế

Trong toán học kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được

Như vậy dù phát biểu dưới góc độ nào, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp ) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra Nói đến

kỹ năng là nói đến cách thức thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động

để đạt được mục đích đã định Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động

Trong thực tế, người học thường gặp phải khó khăn khi vận dụng kiến thức vào giải quyết bài tập một cách cụ thể Người học thường khó tách ra những chi tiết, không bản chất ra khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối

quan hệ vốn có giữa nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn

có giữa kiến thức và đối tượng Sở dĩ là vì do kiến thức không chắc chắn

Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính có bản chất khác nhau, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành động, đề hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu( tất nhiên mục tiêu đặt ra thu được thông tin mới) Tri thức về các sự vật rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những thuộc tính khác nhau của các sự vật, những thuộc tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động và mục đích nhất định Để minh họa ta xét ví dụ sau

Bài toán 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 3 3 2014

A a b ab a b

Có thể thấy rằng tri thức được phản ánh trong sự vật được thể hiện qua bài toán này có rất nhiều: tổng của hai căn bậc hai, các tam thức bậc hai,… Để tiến hành hoạt động giải toán ta phải lựa chọn các tri thức phù hợp với mục tiêu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta nhận thấy biểu thức A sẽ được tách thành các tổng bình phương, khi đó bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có thể giải quyết( mục tiêu) và do đó ta có thể biến đổi bài toán như sau:

11

b b

Giá trị nhỏ nhất của A = 2011 khi:

12

1 0

b a

a b b

dụ, xét bài toán sau:

Bài toán 2 Cho các số thực a, b, c Chứng minh rằng nếu a 0 và a a b c(   ) 0

thì phương trình bậc hai ax2bx c   có hai nghiệm thực phân biệt 0

Phương pháp giải là không quá khó, tuy nhiên bằng sự che đậy quan hệ bản chất bằng những phép biến đổi tương đương nên sẽ gây cho học sinh khó khăn trong việc phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa trong bài toán

Nhân tố quan trọng để nhìn thấy mối quan hệ bản chất đối với bài toán- đó là thâu tóm được toàn bộ tình huống chứ không phải những yếu tố riêng biệt của nó

Để làm xuất hiện các thuộc tính bản chất của sự vật phù hợp với mục tiêu hoạt động, các nhà Tâm lí học sư phạm đã đưa ra một số thủ thuật làm dễ dàng cho

sự suy xét, đó là:

- Những nguyên tắc giải

- Tách ra một cách rõ rệt hay nhấn mạnh những vấn đề và những quan hệ bản chất đối với bài toán

- Phân tích bài toán

1.1.1.2 Kỹ năng giải toán

Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ thể giải toán còn phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau Trong giải toán, theo tôi quan niệm về kỹ năng giải toán của học sinh

như sau: “Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã

có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải bài toán một cách khoa học”

Truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của môn Toán Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn

mà trước tiên là kỹ năng giải toán nhằm đạt được những yêu cầu cần thiết sau:

- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình

- Giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ

1.1.3 Đặc điểm của kỹ năng

Trong vận dụng, ta thường chú ý đến những đặc điểm của kỹ năng: Bất kỳ kỹ năng nào được chọn phải dựa trên cơ sở lý thuyết và cơ sở thực tiễn, cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức để dẫn đến kết quả - hiểu những điều kiện của nó để triển khai các cách thức đó

Kiến thức là cơ sở hình thành của các kỹ năng khi các kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của mục tiêu và của các đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức của từng đối tượng

Vậy kỹ năng có những đặc điểm như:

- Mức độ tham gia của ý chí cao

- Hành động luôn có sự kiểm tra của thị giác

- Chưa bao quát toàn bộ hành động, thường chú ý ở phạm vi hẹp hay động tác đang làm

- Tốn nhiều năng lượng thần kinh và cơ bắp

Theo các nhà Tâm lý học, sự hình thành kỹ năng trong Toán học chịu ảnh hưởng của các yếu tố sau:

- Nội dung của bài toán đặt ra, được tách ra một cách rõ ràng hay che đậy quan

hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch hướng tư duy

- Để phát hiện những điều ẩn chứa trong bài toán, học sinh chỉ nhìn thấy và phân tích những điều sẵn có của bài toán mà chưa nhìn rõ kiến thức ẩn chứa trong dó

- Khả năng khái quát, mở rộng ảnh hưởng không nhỏ đến việc hình thành kỹ năng Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành

kỹ năng Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp họ dễ dàng hình thành kỹ năng còn ngược lại cản trở việc học tập Thói quen tâm lý là một trở ngại thường gặp trong học tập Nguyên nhân chủ yếu hình thành thói quen tâm lý đó là

tư duy của con người có tính phương hướng Một loại kiến thức hoặc phương pháp

cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tượng sâu làm cho học sinh không bứt ra khỏi sự rằng buộc của thói quen tư duy cũ để mở ra một hướng suy nghĩ mới

- Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhận thức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bài toán cụ thể

Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua hoạt động trí tuệ, thông qua quá trình

tư duy để giải quyết nhiệm vụ được đặt ra Khi tiến hành tư duy sự vật thì chủ thể thường biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới Tất cả những điều này được ghi lại trong tri thức của chủ thể tư duy và được biểu hiện bằng các từ Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích - tổng hợp, trừu tượng hóa - khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt nào đó của đối tượng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho Ở đây trong mỗi bước, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng, thúc đẩy

tư duy phát triển, đồng thời quyết định bước tiếp sau của tư duy Vì các khía cạnh mới của đối tượng được phản ánh trong khái niệm mới, tư duy diễn ra như là một sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần Ví dụ, xét bài toán:

Bài toán 3 Cho hai số thực x y, .Chứng minh rằng

    

      

Để chứng minh tam thức bậc hai ẩn x( y là tham số) ở vế trái luôn không âm với mọi ,x y ta cần chứng minh R

Tuy nhiên, học sinh phải nhận thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đối tượng,

để có thể tiến hành hoạt động giải toán Điều này không phải mọi học sinh có thể thực hiện tốt

Quá trình tư duy của con người diễn ra một cách liên tục và có tính kế thừa Với mỗi cách diễn đạt mới là kết quả của sự phân tích và tổng hợp những kết quả được thể hiện trong khái niệm Khi hoàn thành việc nghiên cứu đối tượng thì trong tri thức của chủ thể, tư duy sẽ ghi lại những thuộc tính bản chất của đối tượng và nó

ít nhiều sẽ giúp ích cho hoạt động sau này Chính quá trình này sẽ thúc đẩy tư duy tiến lên nhằm chinh phục đỉnh cao mới và nó làm cho con người không tìm ra giới

hạn của tri thức nhân loại Chẳng hạn, như S.L Rubinstein đã chứng minh: “Trong quá trình tư duy nhờ phân tích và tổng hợp, đối tượng tham gia vào những mối liên

hệ ngày càng mới và do đó, thể hiện qua các phẩm chất này được ghi lại trong những khái niệm mới Như vậy, từ đối tượng dường như khai thác được nội dung ngày càng mới, nó dường như mỗi lần quay lại một khác và trong nó xuất hiện những thuộc tính mới” [11, tr.155]

Theo quan niệm này, sự hình thành kỹ năng xuất hiện trước hết như những sản phẩm của tri thức ngày càng được đào sâu Các kỹ năng được hình thành trên cơ

sở lĩnh hội các tri thức về các mặt và các thuộc tính khác nhau về đối tượng được nghiên cứu Các con đường chính của sự hình thành kỹ năng - đó là học sinh phải tự nhìn nhận thấy những mặt khác nhau của đối tượng, vận dụng vào đối tượng Những tri thức khác nhau diễn đạt mối quan hệ đa dạng giữa đối tượng và tri thức

Có thể dạy cho người học các kỹ năng bằng những con đường khác nhau Một trong những con đường đó là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán về vận dụng tri thức đó Và bản thân người học tìm tòi ra cách giải, bằng con đường thử nghiệm và sai lầm( thử các phương pháp rồi tìm ra phương pháp tối ưu) qua đó phát hiện ra các mốc định

hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động Đôi khi người ta gọi con đường dạy học này là dạy học nêu vấn đề Cũng có thể dạy học kỹ năng bằng con đường: dạy cho học sinh biết những dấu hiệu mà theo

đó có thể nhận được một cách dứt khoát kiểu bài toán và những thao tác cần thiết để giải bài toán đó Người ta gọi con đường này là dạy học angorit hóa hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ

Cuối cùng con đường thứ ba là như sau: người ta dạy học sinh chính hoạt động tâm lý cần thiết đối với vận dụng tri thức Trong trường hợp này giáo dục không chỉ cho người học những mốc định hướng để chọn lọc các dấu hiệu và sự nhận biết mà còn tổ chức hoạt động cho người học trong việc cải biến, sử dụng thông tin đã thu được để giải bài toán đặt ra Con đường này đã được nhà tâm lý học

Xô viết nghiên cứu, chẳng hạn như: P Ja Galperin, N F Talyzyna và những người khác [11, tr 156] Họ cho rằng, để dạy được những điều nêu trên giáo viên phải dẫn dắt học sinh có hệ thống qua tất cả các giai đoạn hoạt động đòi hỏi phải định hướng vào các dấu hiệu đã được ghi lại trong khái niệm đang được nghiên cứu

Bài toán 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 4

y x  x

Ở giai đoạn này, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x22x4bằng ngôn ngữ

và kí hiệu Ở giai đoạn thứ ba, các hành động ngôn ngữ rơi rụng dần đi và thay thế chúng là những thao tác diễn ra theo sơ đồ gọn hơn

“Hàm số y x 22x4có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x 1”

Người ta gọi ý đồ dạy học trên là phương pháp hình thành các hành động trí tuệ qua từng giai đoạn

Trong thực tế khi xây dựng những kiến thức mới ai cũng phải trải qua các bước như thế này này Tuy nhiên, trong dạy học thông thường trong những phần không được tổ chức không được biểu hiện một cách có ý thức Vì thế người học phải chủ động phát hiện tìm tòi ra những dấu hiệu logic những dấu hiệu phù hợp để chọn những công việc phù hợp để làm Do vậy không thể tránh khỏi sai lầm và các tri thức không phải bao giờ cũng được hình thành đầy đủ và đúng đắn Để cho khái niệm được hình thành đầy đủ và đúng đắn, hoạt động tương ứng của học sinh phải được xây dựng trên một cơ sở định hướng đầy đủ Nói một cách khác, giáo viên phải truyền thụ cho học sinh tất cả những dấu hiệu bản chất của các đối tượng dưới dạng có sẵn và dạy cho họ những thao tác cần thiết để phát hiện hay tái tạo những dấu hiệu

Những nguyên tắc kể trên cho phép cải tiến một cách căn bản việc dạy các khái niệm, đặc biệt tăng nhanh tốc độ lĩnh hội các tri thức, đảm bảo được tính mềm dẻo và đầy đủ của chúng, vận dụng chúng đúng đắn còn cho phép hình thành những tri thức trừu tượng phức tạp ở lứa tuổi sớm hơn nhiều

1.1.2 Vấn đề và giải quyết vấn đề

1.1.2.1 Vấn đề

Theo từ điển của Hoàng Phê thì: “Vấn đề là điều cần được xem xét, nghiên cứu, giải quyết” Tác giả Nguyễn Bá Kim đã định nghĩa vấn đề từ khái niệm “hệ thống” và “tình huống” Để hiểu đúng thế nào là một vấn đề và đồng thời làm rõ

một vài khái niệm hệ thống

Hệ thống được hiểu là một tập hợp những phần tử cùng với những quan hệ

giữa những phần tử của tập hợp đó

Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách thể, trong đó chủ thể có nghĩa là người, còn khách thể lại là một hệ thống nào đó

Nếu trong một tình huống, chủ thể còn chưa biết ít nhất một phần tử của khách thể

thì tình huống này được gọi là một tình huống bài toán đối với chủ thể Trong một

tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần tử chưa biết nào đó

dựa vào một số những phần tử cho trước ở trong khách thể thì ta có một bài toán Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giải nào đó

có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán

Lưu ý: Thứ nhất, hiểu như trên thì vấn đề không đồng nghĩa với bài toán

Những bài toán nếu chỉ yêu cầu học sinh đơn thuần tiếp áp dụng một thuật giải, chẳng hạn giải một phương trình bậc hai dựa vào các công thức đã học, thì không phải là những vấn đề

Thứ hai, khái niệm vấn đề như trên thường được dùng trong giáo dục Ta cần

phân biệt vấn đề trong giáo dục với vấn đề nghiên cứu khoa học Sự khác nhau là ở

chỗ đối với vấn đề trong nghiên cứu khoa học, việc “chưa biết một số phần tử” và

“chưa biết thuật giải có thể áp dụng để tìm một phần tử chưa biết” là mang tính

khách quan chứ không phụ thuộc chủ thể, tức là nhân loại chưa biết chứ không phải chỉ là một học sinh nào đó chưa biết

Thứ ba, hiểu theo nghĩa được dùng trong giáo dục thì các khái niệm vấn đề

mang tính tương đối Bài toán yêu cầu giải phương trình bậc hai không phải là một vấn đề khi học sinh đã học các công thức tính nghiệm, nhưng lại là một vấn đề khi

họ chưa học công thức này

Theo một số ý kiến cho rằng, vấn đề là một tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc một nhóm được giải quyết, khi đối mặt với tình huống này họ không thấy được ngay các phương pháp hoặc các con đường để giải

Học sinh phải hiểu khi học toán tích cực xây dựng mới từ kinh nghiệm và kiến thức toán đã có của chính mình Khi học sinh hiểu toán, các em có khả năng sử dụng các kiến thức của mình một cách linh hoạt và có hiệu quả

Một vấn đề được xem như là một bài toán đối với một người nào đó, nếu khi đối mặt với nó có mong muốn cần tìm một lời giải và không có một quy trình khả dĩ dùng được để tìm ra lời giải Giải quyết vấn đề là một phần chính trong mọi quá trình toán học

1.1.2.2 Giải quyết vấn đề

Theo Stephen Krulic and Jesse A Rudnick (1980), giải quyết vấn đề là quá trình một cá nhân sử dụng kiến thức, kỹ năng và hiểu biết đã học trước đây để đáp ứng đòi hỏi những tình huống không quen thuộc

Là một quá trình, giải quyết vấn đề gắn liền với một tập các kỹ năng cần phải được dạy Những hướng dẫn tìm tòi mà chúng ta dùng trong giải quyết vấn đề khác một cách đáng kể với những thuật toán chúng ta dạy trong lớp học toán của chúng

ta Một thuật toán luôn đảm bảo thành công nếu được áp dụng đúng đắn và nếu thuật toán đúng được lựa chọn Những hướng dẫn được trình bày tiếp cận 5 bước đến giải quyết vấn đề mà chúng ta thấy cần thiết phải phát triển và nhấn mạnh cho học sinh

- Phát hiện qui luật

- Phân tích đi lên

- Suy luận logic

d Giải bài toán

Gồm các bước:

- Khả năng tính toán

- Kỹ năng đại số

1.1.2.3 Kỹ năng giải quyết vấn đề toán học

Kỹ năng giải quyết vấn đề ( Problem solving skills) là một trong những kỹ năng rất cần thiết trong học tập và làm việc bởi cuộc sống là một chuỗi những vấn

đề đòi hỏi chúng ta phải giải quyết mà không vấn đề nào giống vấn đề nào và cũng không có một công thức chung nào để giải quyết mọi vấn đề Điều quan trong là chúng ta phải trang bị cho mình những hành trang cần thiết đển khi vấn đề nảy sinh thì chúng ta có thể vận dụng những kỹ năng có sẵn để giải quyết vấn đề đó một cách hiệu quả nhất

Kỹ năng giải quyết vấn đề gồm:

- Nhận ra vấn đề:

Trước khi bạn tìm ra phương hướng giải quyết vấn đề, bạn nên xem xét vấn

đề đó có thực sự là vấn đề theo nghĩa nào? Để nhận ra vấn đề bạn phải lập được kế hoạch và thực hiện nó Một mình không giải quyết được vấn đề thì bạn có thể cùng làm vấn đề đó với nhóm để thực hiện một cách dễ dàng hơn

Sau khi tìm hiểu rõ được các vấn đề đó thì chúng ta cần chọn ra một trong các

giải pháp đã được đề ra để thực hiện và xem giải pháp đó mà được chọn đã hợp lí chưa?

đề, về cơ bản gồm các bước sau:

Ví dụ giải quyết vấn đề khi dạy học về bài tập bất đẳng thức lớp 10 ban nâng cao:

Ví dụ Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

- Phân tích bài toán:

Các dữ kiện bài toán cho: a, b, c là các số thực dương

Trước hết, chúng ta phân tích cho học sinh sử dụng giả thiết bài toán là cho a,

b, c là số thực dương, thông thường với dữ kiện này nên sử dụng bất đẳng thức

Cauchy Vậy chúng ta dự đoán cho học sinh thử làm theo hướng áp dụng Cauchy

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số như sau:

Phân tích cho học sinh rằng: Tại sao lại sử dụng ba số trên vì: chúng ta sử

dụng Cau chy cho số

b c a c a b  và chọn các số còn lại sao cho đánh giá

về tích của chúng triệt tiêu được và mẫu số còn số b và c

Tương đương với bất đẳng thức vừa đánh giá ta có:

2 3

2 3

2 3

2 3

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

1.1.3 Dạy học giải bài tập toán học

Ở trường phổ thông, dạy toán là hoạt động Toán học cho học sinh, trong đó

giải Toán là hình thức chủ yếu Do vậy, dạy học giải bài tập toán có tầm quan trọng

đặc biệt và từ lâu đã là một vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy học toán ở

trường phổ thông Đối với học sinh có thể coi việc giải bài tập toán là một hình

thức chủ yếu của việc học Toán, vì bài tập Toán có những chức năng:

- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, những

vấn đề về lý thuyết đã học Có khi bài tập lại là một định lý, mà một lý do nào đó

không đưa vào lý thuyết Cho nên qua việc giải bài tập mà người học phát triển

được các kỹ năng và sự hiểu biết của mình

- Chức năng giáo dục: Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh

thế giới quan duy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất của người lao động mới Qua những bài tập có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn về tính chất thực tiễn của Toán học, giáo dục lòng yêu nước thông qua các bài toán từ cuộc sống chiến đấu và xây dựng của dân tộc Đồng thời, học sinh phải thể hiện một số phẩm chất đạo đức của người lao động mới qua hoạt động Toán mà rèn luyện được: đức tính cẩn thận, chu đáo, làm việc có kế hoạch, kỷ luật, năng suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làm trung thực khiêm tốn, tiết kiệm biết được đúng sai trong Toán học và trong thực tiễn

- Chức năng phát triển: Giải Toán nhằm phát triển năng lực tư duy và các năng

lực cần thiết cho người học

- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán đưa ra nhằm đánh giá và kiểm tra kết quả học

tập của học sinh xem đạt được ở mức độ nào Trong việc lựa chọn bài toán và hướng dẫn học sinh giải toán, giáo viên cần phải chú ý đến đầy đủ các mặt của bài toán

Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý đến phát huy tác dụng của giáo dục, tác dụng giáo dục của bài toán mà thường chú trọng cho học sinh làm nhiều bài toán Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài tập toán là chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán Lời giải của bài tập toán cần đảm bảo những yêu cầu sau:

- Lời giải không có sai lầm

Người học thường gặp những lỗi cơ bản trong giải toán do những nguyên nhân sau:

+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai về định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý, …

+ Sai sót về phương pháp suy luận

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt chưa thực sự chuẩn, hình vẽ không đúng

- Lời giải phải có cơ sở lý luận

- Lời giải phải đầy đủ

- Lời giải phải đơn giản nhất

1.1.3.1 Mục đích và ý nghĩa của việc giải bài tập toán học trong trường phổ thông

Mục đích của việc giải bài tập toán học trong trường phổ thông:

Toán học là một môn đóng vai trò lớn trong các mặt của đời sống khoa học và công nghệ, cụ thể là nếu học tốt môn toán thì học sinh có khả năng học tốt hầu hết

các môn còn lại và cũng nắm một lượng kiến thức khá lớn Các- Mác nói: “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu có thể sử dụng được phương pháp của toán học” [5, tr.5]

Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa Rèn luyện những phẩm chất, đức tính người lao động mới như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật khoa học, sáng tạo…

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động Toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán học được sử dụng với dụng ý khác nhau, có thể để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra

Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng những chức năng cụ thể khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra) những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học

Giải bài tập toán ở phổ thông là một công việc đòi hỏi học sinh phải thực sự cẩn thận và kiên trì Để giải được một bài toán học sinh phải tập trung cao độ, phải chuẩn bị được kiến thức sâu rộng để có thể thực hiện được quy trình của mình Ở phổ thông các bài tập toán đóng vai trò khá quan trọng, các bài tập giúp đánh giá được khả năng nắm bắt, khả năng nhìn nhận và hiểu được các kiến thức cần đạt của mình Ở mỗi bài tập, học sinh thường phải vận dụng được những kiến thức đã học

để có thể làm bài tập một cách dễ dàng hơn Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của việc giải bài tập toán học được thể hiện trên cả ba bình diện này

Ở trường phổ thông bài tập toán có khả năng hình thành những kiến thức sâu rộng giúp học sinh hình thành những kỹ năng nhằm phát triển trí tuệ và phát triển tư duy Ở mỗi phần toán học chúng ta vận dụng những phương pháp kỹ năng những

phương pháp để phù hợp với mỗi phần với mỗi bài toán Học sinh làm bài tập thường xuyên để hình thành những kỹ năng phản xạ đối với mỗi bài tập

- Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn

- Phát triển năng lực trí tuệ năng lực tư duy của học sinh

- Bồi dưỡng các kỹ năng để học sinh có thể phát triển được toàn bộ, học sinh sẽ đạt được những kiến thức mới

Bài tập toán trong trường phổ thông có ý nghĩa:

Ở trường trung học phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng

cố, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học của học sinh

Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong lý thuyết Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động

để nguồi học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được đưa ra cho học sinh để học sinh luyện tập được những kỹ năng, những phẩm chất những bước để người học nắm vững được kiến thức Đảm bảo được sự gợi động cơ, xuất phát từ những kiến thức đã có giúp học sinh nắm vững được khả năng làm bài khả năng luyện tập được thành thạo

từ những tri thức đã có Về mặt kiểm tra, bài tập toán có ý nghĩa hết sức to lớn giúp học sinh đánh giá được khả năng trình độ nhận thức của mình

1.1.3.2 Vị trí và chức năng của bài tập toán

 Vị trí của bài tập toán học:

Quá trình giải bài tập toán giúp học sinh vận dụng thành thạo kiến thức đã học và phát huy tính tích cực, sáng tạo Do vậy, bài tập toán học có vai trò hết sức quan trọng trong chương trình toán

“Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức phát huy hình thành kĩ năng kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán” [8,

tr.206]

Trong thực tế dạy học, bài tập toán học được dùng với những mục đích khác nhau Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề để xuất phát để tạo động cơ học tập, để làm việc với nội dung mới, để củng cố để kiểm tra kiến thức Tất nhiên, việc dạy và học để giải một bài toán cụ thể nhằm mục đích để cho học sinh hiểu và nắm bắt một cách cụ thể và thực hiện một cách dễ dàng hơn Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu tập dược cho học sinh vận dụng kiến thức và kỹ năng toán học vào đời sống và lao động sản xuất Đồng thời việc giải bài tập giúp giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra mình về mực độ nắm vững kiến thức đã học, về khả năng vận dụng chúng vào giải quyết các vấn đề cụ thể Giải bài tập toán có tác dụng giáo dục cho học sinh tự kiểm tra mình về mức độ nắm vững kiến thức đã học, về khả năng vận dụng chúng vào giải quyết các vấn đề cụ thể Giải bài tập toán có tác dụng giáo dục cho học sinh đức tính của người lao động mới, bồi dưỡng các phương pháp suy luận, phương pháp suy nghĩ tìm tòi sáng tạo

 Chức năng của bài tập toán:

Dạy học toán là dạng hoạt động toán học, đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là một hoạt động để giúp học sinh thực hiện tốt các bước các sự chọn lựa của học sinh đối với các bài

tập đó, điều kiện để thực hiện tốt các mục đích trong trường học phổ thông Vì vậy,

tổ chức việc học có hiệu quả quyết định đối với việc dạy học có chất lượng hơn Trong thực tế dạy học, bài tập toán trong trường được sử dụng với những vai trò khác nhau Mỗi bài tập đưa ra cho học sinh có thể là mục đích để đánh giá năng lực cho học sinh để thể hiện năng lực của bản thân Tất nhiên, việc giải một bài tập với một nội dung nào đó có những mặt với mục đích phần này và mục đích có những vai trò khác nhau, có những bài tập có mặt này có những bài tập có nhiều ý nghĩa nhất định

Mỗi bài toán cụ thể được đưa ra ở một số các thời điểm cụ thể nào đó, ở mỗi thời gian nhất định có thể đưa ra những cách giải khác nhau, nó bao hàm chứa đựng với nội dung khác nhau Những chức năng này đều đưa đến việc thực hiện các kiến thức dạy và học Trong môn toán, các bài tập mang những chức năng sau:

d Chức năng kiểm tra

Bài tập toán nhằm đánh giá khả năng học và khả năng nhận thức của từng người học Kiểm tra khả năng nắm vững nhận thức của học sinh và đánh giá mức độ

về kết quả dạy và học, đánh giá khả năng làm toán

Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý nói việc thực hiện các chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh và công khai Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông chính là phụ thuộc vào cách dạy và học của học sinh thông qua khả năng nắm kiến thức của học sinh, mức

độ nhận thức cho học sinh

1.1.3.3 Dạy học phương pháp giải bài toán

Trong chương trình toán phổ thông, như ta đã biết, một bài toán có rất nhiều các cách giải khác nhau, mỗi cách giải mang lại cho chúng ta những kiến thức riêng Tùy từng bài, tùy từng đối tượng thì chúng ta sẽ sử dụng cách nào cho phù hợp Đối với một số học sinh, việc giải bài toán khiến cho một số các em mệt mỏi và căng thẳng, nhưng ngược lại có một số các em thì cảm thấy hứng thú trong việc giải toán Vậy lý do chủ yếu chính là do các em đã bị hổng kiến thức, một phần là các

em chưa biết vận dụng các kiến thức sao cho phù hợp vào giải các bài toán Và chúng tôi đưa ra một số các phương pháp dạy và học toán cho học sinh:

- Huy động kiến thức có liên quan:

+ Đã gặp dạng bài toán này ở đâu chưa? Với bài tập toán như thế này, chúng ta nên sử dụng kiến thức ở đâu? Vận dụng định lí hay định nghĩa như thế nào?

+ Nhớ lại dạng bài toán quen thuộc có cùng dạng?

+ Chúng ta sử dụng bài toán quen thuộc để áp dụng vào bài tập này như thế nào? Vận dụng kết quả bài toán đó ra sao?

- Dự đoán kết quả cần tìm:

+ Có thể tìm ra một bài toán liên quan mà có kiến thức nhẹ hơn không? Một bài toán tổng quát? Một trường hợp riêng của bài toán? Và chúng ta

có thể giải một trường hợp riêng của bài toán đó trước?

+ Đã sử dụng mọi dữ kiện, dữ liệu của bài toán hay chưa?

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học, nếu giáo viên khai thác triệt để những gợi ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài toán Tuy nhiên

để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất cả các giờ dạy Toán đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào hoạt động giải Toán của mình

Một số thao tác tƣ duy phổ biến của học sinh THPT trong giải toán

Hình 1.1 Sơ đồ một số thao tác tư duy phổ biến của học sinh

Nội dung và hình

thức của bài toán

Vốn kiến thức Toán học, kỹ năng và kinh nghiệm

Định hướng tìm tòi lời giải bài tập

Hướng

Hướng 1

Nhận thức để →

Phân tích 1 → chọn

lựa hoặc bỏ

Nhận thức để → Phân tích 2 →chọn lựa hoặc bỏ

Nhận thức để → Phân tích 3 → chọn lựa hoặc bỏ

Chọn lựa được hướng giải thích hợp

Tiến hành phân tích, tổng hợp để đưa ra lời giải bài tập

1.2 Cơ sở thực tiễn

1.2.1 Mục tiêu giáo dục phổ thông

Theo Điều 2 Mục 27 Chương 2 Luật Giáo dục quy định: “Mục tiêu của giáo dục THPT là nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của THCS, hoàn thiện học vấn phổ thông, có hiểu biết thông thường về kỷ luật và hướng nghiệp, có điều kiện lựa chọn hướng phát triển và phát huy năng lực cá nhân, tiếp tục học CĐ - ĐH, trung học chuyên nghiệp hoặc học nghề đi vào cuộc sống lao động”

Căn cứ vào mục tiêu chung của luật định, mục tiêu cụ thể của cấp THPT được xác định: yêu cầu học sinh sau khi học xong THPT phải đạt được các mặt về tư tưởng đạo đức, lối sống học vấn kiến thức phổ thông, hiểu biết kỷ luật và hướng nghiệp, kỹ năng học tập và vận dụng kiến thức cũng như các yêu cầu về thể chất và xúc cảm thẩm mỹ, tất cả các yêu cầu này đảm bảo thực hiện được mục tiêu chung là giáo dục - đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có một số đổi mới cần lưu ý như sau:

- Giáo dục cho học sinh có lối sống lành mạnh, tự tin, tự tôn dân tộc, có chí lập nghiệp không cam chịu nghèo hèn

- Có khả năng sử dụng ngôn ngữ trong giao tiếp thông thường, các ngôn ngữ được phát triển đồng bộ như nhau, mỗi một ngôn ngữ có những đặc điểm riêng, đặc tính riêng

- Phát triển và nâng cao các kỹ năng học tập, kỹ năng vận dụng kiến thức vào các tình huống mới, vào thực tiễn sản xuất, vào cuộc sống của mỗi cá nhân, gia đình và cộng đồng

- Tăng cường bồi dưỡng cho thế hệ trẻ lòng yêu nước, quê hương và gia đình, lý tưởng XHCN, lòng nhân ái, thái độ quý trọng và nhiệt tình lao động, ý thức trách nhiệm và các kỹ năng cơ bản

- Giúp học sinh có tư duy, khả năng sáng tạo, năng lực tổng hợp chuyển đổi và ứng dụng thông tin vào hoàn cảnh mới để giải quyết các vấn đề đặt ra, Mặt khác giúp học sinh có khả năng thích ứng với những thay đổi trong cuộc sống, có năng lực hợp tác và chuyển đổi năng lực gián tiếp có hiệu quả

1.2.2 Đổi mới phương pháp dạy học toán

Theo nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện

giáo dục và đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức,

kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”

Việc đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực thể hiện qua bốn đặc trưng cơ bản

Một, dạy học thông qua tổ chức liên tiếp các hoạt động học tập, giúp học sinh

tự khám phá những điều chưa biết chứ không thụ động tiếp thu những tri thức được sắp đặt sẵn Giáo viên là người tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến hành các hoạt động học tập phát hiện kiến thức mới, vận dụng sáng tạo kiến thức đã biết vào các tình huống học tập hoặc tình huống thực tiễn

Hai, chú trọng rèn luyện cho học sinh biết khai thác sách giáo khoa và các tài

liệu học tập, biết cách tự tìm lại những kiến thức đã có, suy luận để tìm tòi và phát hiện kiến thức mới Định hướng cho học sinh cách tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen… để dần hình thành và phát triển tiềm năng sáng tạo

Ba, tăng cường phối hợp học tập cá thể với học tập hợp tác, lớp học trở thành

môi trường giao tiếp GV - HS và HS - HS nhằm vận dụng sự hiểu biết và kinh nghiệm của từng cá nhân, của tập thể trong giải quyết các nhiệm vụ học tập chung

Bốn, chú trọng đánh giá kết quả học tập theo mục tiêu bài học trong suốt tiến

trình dạy học thông qua hệ thống câu hỏi, bài tập (đánh giá lớp học) Chú trọng phát triển kỹ năng tự đánh giá và đánh giá lẫn nhau của học sinh với nhiều hình thức như theo lời giải/đáp án mẫu, theo hướng dẫn, hoặc tự xác định tiêu chí để có thể phê phán, tìm được nguyên nhân và nêu cách sửa chữa các sai sót

1.2.3 Nội dung dạy học chủ đề bất đẳng thức trong trung học phổ thông

Chủ đề bất đẳng thức trong trung học phổ thông được nghiên cứu và giảng dạy trong chương IV sách giáo khoa lớp 10 - ban nâng cao

Nội dung của chủ đề bất đẳng thức nói về các bất đẳng thức cổ điển, các định lý

để giáo viên và học sinh cùng nghiên cứu trong quá trình học tập

Chủ đề bất đẳng thức là một trong những chủ đề đa dạng và phong phú Có thể nhận định rằng, chủ đề này là một chủ đề khá khó trong chương trình toán học phổ thông

1.2.4 Thực tiễn dạy học chủ đề bất đẳng thức

Bản thân tôi là một giáo viên trẻ chưa có nhiều năm kinh nghiệm dạy về chủ đề bất đẳng thức, nhưng qua một số giờ dạy về chủ đề này và từ những năm còn ngồi

trên ghế nhà trường học về chủ đề này thì tôi thấy rằng:

- Đối với học sinh việc giải một bài tập về bất đẳng thức cần nhiều thời gian suy nghĩ đưa ra phương pháp, cách giải Cần các em có những kiến thức sâu về bất đẳng thức, nắm vững những thao tác kỹ thuật để áp dụng vào bài toán một cách hợp lí Bản thân học sinh khi học về chủ đề bất đẳng thức, các em đã ấn định trong đầu rằng phần này rất khó khăn để có thể tìm ra phương pháp giải nên thời gian suy nghĩ dành cho chủ đề này của mỗi học sinh khá ít, có những em thấy phần chủ đề này có thể bỏ qua mà không làm hoặc không suy nghĩ

- Đối với giáo viên đa số trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn và bao trùm

Do đó để thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững và sâu thì rất khó,

có lẽ mọi người cùng một suy nghĩ rằng- cố gắng hoàn thành nhiệm vụ là được còn việc nghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học

- Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên cứu tìm lời giải cho các bài toán là những người phải có trí tuệ, phải là bậc vĩ nhân Suy nghĩ này

chỉ đúng một phần vì: “Ngọc không mài thì không sáng được

Do đó đòi hỏi người giáo viên phải có thời gian, tâm huyết và tinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng được chuyên môn, công việc giảng dạy của mình Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh và khoa học với bài toán trên song không vận dụng được vào cấp học phổ thông, hoặc chưa tìm được phương pháp khoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với chương trình học, và nội dung sách giáo khoa hiện hành

Luận văn đã thực hiện khảo sát qua 10 thầy cô trong tổ Toán - tin và qua 158 học sinh của trường THPT Văn Giang - Hưng Yên Trong đó có 77 học sinh học lực khá giỏi và 81 học sinh học lực khá

Nội dung khảo sát là một số câu hỏi về thực trạng dạy và học về chủ đề bất đẳng thức đang được dạy và học: về phương pháp dạy đang được sử dụng, mức độ nắm vững kiến thức và vận dụng vào làm bài tập, khả năng hứng thú đối với chủ đề này qua việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh

Kết quả khảo sát như sau:

Bảng 1.1 Kết quả khảo sát việc dạy và học chủ đề bất đẳng thức

STT Phương pháp Tần số Phần trăm

(trên tổng số lựa chọn)

Phần trăm (trên tổng số học sinh)

Các phương pháp khác như hoạt động làm việc theo nhóm cũng được học sinh

lựa chọn nhưng vẫn chưa được học sinh lưu ý và quan tâm tới

Bên cạnh những yêu cầu của mục tiêu giáo dục phổ thông và những phương pháp đổi mới trong việc giảng dạy cho từng đối tương học sinh, thực trạng dạy và học Toán đang đòi hỏi sự cấp thiết của sự thay đổi Đưa ra các phương pháp đổi mới phù hợp với từng đối tượng học sinh sẽ giúp học sinh đam mê và có hứng thú trong việc học các môn nói chung và môn Toán nói riêng

Chương 2 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO

HỌC SINH LỚP 10 2.1 Mục tiêu và nội dung dạy học Bất đẳng thức

2.1.1 Mục tiêu

Dạy học với chủ đề bất đẳng thức nhằm để luyện cho học sinh về các phương pháp làm bài tập, cách nhận biết nên và cần sử dụng bất đẳng thức nào cho phù hợp với bài toán Việc dạy học bất đẳng thức để học sinh có thể hiểu sâu các kiến thức, vận dụng linh hoạt để làm bài tập về các dạng chủ đề bất đẳng thức, ứng dụng của bất đẳng thức vào một số chủ đề khác, nhằm cho học sinh hiểu sâu, vận dụng được vào làm và giải các bài tập

2.1.2 Nội dung dạy học

Nội dung dạy học chủ đề bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 theo SGK ban nâng cao sẽ được giảng dạy trong 2 tiết 47, 48 theo phân phối chương trình lớp 10 Ban nâng cao

- Ký hiệu a b có nghĩa là a nhỏ hơn b và

- Ký hiệu a có nghĩa là a lớn hơn b b

Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt, ngoài ra còn

có bất đẳng thức không nghiêm ngặt:

- a b, có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b

- ab, có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b

Ký hiệu abcó nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều

Các bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là:

1 Chứng minh bất đẳng thức đúng với giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức

2 Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng Đó là bài toán giải bất phương trình

3 Tìm GTNN và GTLN của một biểu thức một hay nhiều biến

Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Ta nói bất đẳng thức a c là hệ quả của bất đẳng thức abvà bc Vì:

Nếu a b b c ;  thì a c (theo tính chất bắc cầu)

Ta nói bất đẳng thức a c b c   là hệ quả của bất đẳng thức a b với c tùy ý Vì: nếu a b thì a c b c   với c tùy ý (tính chất cộng hai vế của bất đẳng thức với một số)

Tổng quát ta có định nghĩa:

Nếu mệnh đề " a b  c d"đúng thì ta nói bất đẳng thức c d  là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a b

Nếu bất đẳng thức a b  là hệ quả của bất đẳng thức c d và ngược lại thì

ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết a b  c d

2.2.2 Một số tính chất

Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức được phát biểu như sau:

Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia được phát biểu như sau:

Phép nhân (hoặc chia) với một số thực dương bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập

số thực, phép nhân (hoặc chia) với một số thực âm đảo ngược quan hệ thứ tự trên tập số thực

Áp dụng một hàm đơn điệu vào hai vế của một bất đẳng thức

Từ định nghĩa của các hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm) ta có thể đưa hai vế của một bất đẳng thức trở thành biến của một hàm đơn điệu tăng nghiêm ngặt mà bất đẳng thức kết quả vẫn đúng Ngược lại nếu ta áp vào hai vế đảo chiều bất đẳng thức ban đầu để được bất đẳng thức đúng

Điều đó có nghĩa là:

Nếu có bất đẳng thức không nghiêm ngặt a b  hoặc a b và