Nghiên cứu khoa học Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập

Không gian mêtric và sự tồn tại các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ là các đối tượng nghiên cứu cơ bản của toán Giải tích. Điểm bất động là khái niệm xuất hiện từ đầu thế kỷ XX là một nhánh của Toán học. Tiền thân là nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ co Banach. Trong đó nguyên lý ánh xạ co của Banach được đánh giá là định lý điểm bất động đơn giản và được sử dụng rộng rãi nhất. Về sau, các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra nhiều lớp ánh xạ và các không gian khác nhau và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Một khía cạnh nhỏ của ứng dụng nguyên lý ánh xạ co của Banach vào giải một số dạng toán ở chương trình đại học như: Giải phương trình đại số và siêu việt, giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính, chứng minh sự hội tụ của dãy….. trừ một số trường hợp đặc biệt có công thức giải đúng, nói chung rất phức tạp. Do đó ta phải tìm cách giải gần đúng và đòi hỏi phải có sự trợ giúp của nhiều kiến thức liên quan.

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 2

1 Lý do chọn đề tài: 2

2 Mục đích nghiên cứu: 3

3 Đối tượng nghiên cứu: 3

4 Phương pháp nghiên cứu: 3

B NỘI DUNG 4

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Cơ sở lý thuyết 4

1.1.1 Không gian mêtric 4

1.1.2 Sự hội tụ trong không gian mêtric 5

1.1.3 Ánh xạ liên tục 6

1.1.4 Ánh xạ liên tục đều 7

1.1.5 Không gian mêtric đầy đủ 8

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO GIẢI BÀI TẬP 10

2.1 Ánh xạ co 10

2.2 Nguyên lý ánh xạ co của Banach 10

C KẾT LUẬN 22

E NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN 24

A.MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Không gian mêtric và sự tồn tại các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co trênkhông gian mêtric đầy đủ là các đối tượng nghiên cứu cơ bản của toán Giải tích.Điểm bất động là khái niệm xuất hiện từ đầu thế kỷ XX là một nhánh của Toán học.Tiền thân là nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ co Banach.Trong đó nguyên lý ánh xạ co của Banach được đánh giá là định lý điểm bất động đơngiản và được sử dụng rộng rãi nhất Về sau, các kết quả kinh điển này đã được mởrộng ra nhiều lớp ánh xạ và các không gian khác nhau và được ứng dụng rộng rãitrong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học Một khía cạnh nhỏ của ứng dụng nguyên

lý ánh xạ co của Banach vào giải một số dạng toán ở chương trình đại học như: Giảiphương trình đại số và siêu việt, giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính,chứng minh sự hội tụ của dãy… trừ một số trường hợp đặc biệt có công thức giảiđúng, nói chung rất phức tạp Do đó ta phải tìm cách giải gần đúng và đòi hỏi phải có

sự trợ giúp của nhiều kiến thức liên quan

Chính vì vậy em chọn đề tài nghiên cứu làm bài tiểu luận của em: “Áp dụng nguyên lý ánh xạ co vào giải bài tập” nhằm giúp sinh viên giải dễ dàng hơn các

dạng bài tập trên

2 Mục đích nghiên cứu:

Giúp sinh viên giải được bài tập dựa vào áp dụng nguyên lý ánh xạ co đối vớimột số bài tập dạng: Giải phương trình đại số và siêu việt, giải gần đúng hệ phươngtrình đại số tuyến tính, chứng minh sự hội tụ của dãy… và tăng thêm sự hiểu biết chobản thân và chia sẽ cách giải cho các bạn

3 Đối tượng nghiên cứu:

Ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co của Banach vào các dạng toán cụ thể

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Sưu tầm , tham khảo tài liệu có liên quan đến đề tài tiểu luận

- Trao đổi với giáo viên hướng dẫn

B.NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Cơ sở lý thuyết.

1.1.1 Không gian mêtric.

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X là một tập tùy ý khác rỗng cho trước, một mêtric (hay

khoảng cách) trên X là một hàm số

d :X X� � �

thỏa mãn ba tiên đề sau:

1) , với mọi thuộc X; khi và chỉ khi

2) , với mọi thuộc X (tính đối xứng)

3) , với mọi thuộc X, (bất đẳng thức tam giác)

Khi đó tập X với mêtric d đã cho gọi là không gian mêtric và kí hiệu là (X,d).Đôi khi để đơn giản và nếu mêtric d được xác định rõ ràng, ta chỉ kí hiệu X

Bằng ngôn ngữ hình học, phần tử gọi là điểm của không gian X, số thực dương

(hay bằng 0) gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y.

Ví dụ.

1 Giả sử M là tập con khác rỗng của tập số thực

Đặt d(x,y) = với x,yM Ta dễ dàng kiểm tra (M,d) là một không gian mêtric dựa

vào ba tiên đề trên:

i) Ta có d(x,y) = ≥ 0, với mọi x,y X

d(x,y) = 0 � = 0 � x = y

ii) d(x,y) === d(y,x)

iii) Với mọi x y z, , X, ta có:

=≤ +

�d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)Vậy (M,d) là một không gian mêtric

2 Kí hiệu = ,…,: , i= } là tập hợp các bộ gồm k số thực Với x=,…,, y= (,…,)thuộc , ta đặt:

d(x,y) = Khi đó các tiên đề 1), 2) rõ ràng, ta chỉ cần kiểm tra tiên đề 3) tức là chứng minh

≤ +

Từ đó lấy căn hai vế và trở lại với các kí hiệu cũ, ta có

Vậy(,d) là một không gian mêtric và ta gọi mêtric này là mêtric thông thườngtrên

1.1.2 Sự hội tụ trong không gian mêtric

Định nghĩa 1.1.2: Giả sử X là một không gian mêtric và là một dãy trong X Ta

nói dãy hội tụ đến x X nếu khoảng cách giữa và x dần đến 0 khi

 n � � Lúc đó x được gọi là giới hạn của dãy và ta kí hiệu là:

= xHay , khin � � Diễn tả lại, ta có:

Các tính chất 1.1.2.

Cho và là các dãy trong không gian mêtric X Ta có

1 Nếu dãy hội tụ đến xX thì mọi dãy con của dãy cũng hội tụ đến x

2 Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất

3 Nếu và khi n thì khi n� �

Vậy sự hội tụ của một dãy trong chính là sự hội tụ theo tọa độ của dãy Đặc biệt,với k 1  thì đây chính là sự hội tụ của một dãy số thực thông thường.

Ví dụ 1: Cho là không gian mêtric và

Chứng minh rằng liên tục tại nếu và chỉ nếu f1( ( ( )))B f x là lâncận của với mỗi

Như vậy, khi d x x( , ')

Vậy liên tục tại

Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số thực f :�2�� xác định bởi

Là không liên tục

Giải:

Ta chứng minh không liên tục tại

Cho là dãy trong với:

Định lý 1.1.4 Giả sử là không gian metric Nếu là compact,

thì tất cả các hàm liên tục đều liên tục đều

Chọn , tồn tại , sao cho và

Vì là compact, nên dãy có dãy con hội tụ đến một điểm

Vì nên dãy cũng hội tụ về

Ta có là không liên tục tại

Thật vậy, nếu liên tục tại thì hai dãy và cả hai hội tụ về

Nhưng điều này là không thể vì

Vậy liên tục đều trên

Ví dụ 1: Chứng minh rằng là liên tục đều trên 0; )�

Giải:

Cho , đặt

Nếu , thì ta có:

| x y | |2� x y|| x y| |  x y| 2

Do đó x y

Điều này chứng tỏ rằng là liên tục đều trên 0; )�

Ví dụ 2: Chứng minh rằng không liên tục đều trên ℝ.

Giải:

Chọn , với bất kỳ , chọn sao cho:

Khi đó nhưng:

Điều này chứng tỏ rằng không liên tục đều trên ℝ

1.1.5 Không gian mêtric đầy đủ

Định nghĩa 1.1.5.1 Dãy  x n trong không gian mêtric X được gọi là dãy cơ bảnhay dãy Cauchy nếu lim ( ,, n m) 0

là dãy cơ bản trong X

ii Nếu dãy cơ bản  x n

1 Không gian với mêtric thông thường là không gian đầy đủ

Thật vậy, cho là dãy cơ bản, với = Khi đó ta có:

=nên là dãy cơ bản trong ℝ, do đó với mọi i = 1,2,…,k

Nhưng từ ví dụ 3 của ví dụ 1.1.2 ta có dãy hội tụ đến , suy ra là không gian đầyđủ

2 Không gian là không gian đầy đủ

Chứng minh:

Cho là dãy cơ bản trong

Khi đó ta có:

Với mỗi , hiển nhiên ta có

Suy ra là dãy số thực cơ bản trong ℝ nên hội tụ

Đặt với mọi

Ta cần chứng minh

x(t) thuộc và trong

Lấy : ta có:

Cho được khi , với

Vậy hội tụ đều đến trên , nên liên tục trên Do đó là không gian đầy

Vì là một ánh xạ co nên có một hằng số sao cho:

Ta chứng minh (*) đúng với mọi

Cho , (*) thỏa vì là một ánh xạ co

Giả sử (*) đúng với ta chứng minh (*) đúng với mọi

Với ta có:

Vậy thì quy nạp toán học (*) thỏa với bất kỳ

Do với mọi ta có:

Nên là ánh xạ co

2.2 Nguyên lý ánh xạ co của Banach

Định lý 2.2: Giả sử X là một không gian mêtric đầy đủ và f : là một ánh xạ co.

Khi đó f là một điểm bất động duy nhất

Giải:

Đặt f x( ) 12arctanx x 3là hàm từ �vào �.

1( ) ( )

f x f y x y



 , với là điểm nằm giữa x và y

theo định lý Lagrange, nên

Cho là không gian mêtric đầy đủ và là quả cầu mở tâm , bán kính Cho là ánh xạ co

với hằng số co Nếu thì có điểm bất động

Suy ra: là ánh xạ từ vào

Do đầy đủ, và đóng là không gian đầy đủ và do , là ánh xạ co ⇒ có duynhất điểm bất động

Nhận xét: là ánh xạ co, với là không gian mêtric đầy đủ Nếu thỏamãn: với thì có điểm bất động

Ví dụ 4: Cho =) với n = 1, 2, 3… Chứng minh hội tụ.

Giải:

Ta có -1 với n = 2, 3…

Do đó 0 với n = 3,…

Dãy trên có dạng f : [0,1] [0,1] với f(x) = Cos x

Trên đoạn [0,1] ta có f’(x) = - Sin x, do đó

Nếu thì f là ánh xạ co

Vậy áp dụng định lý ánh xạ co ta có hội tụ tới = ) = Cos(x).

Ví dụ 5: Cho với = 3 Chứng minh rằng {} hội tụ.

Áp dụng nguyên lý ánh xạ co ta có hội tụ đến và khi đó f(x) = x

Suy ra = x, Giải phương trình ta được x = 2

Vậy hội tụ tới điểm x = 2

 Giải phương trình đại số và siêu việt

 Xét bài toán.

Xét phương trình:

(1)Trong đó f(x) là hàm đại số hay siêu việt

Nghiệm của phương trình (1) là số thực thỏa mãn (1)

Thay vào x ở vế trái ta được:

f() = 0 (2)Phương trình (1) trừ một số trường hợp đặc biệt có công thức giải đúng, nóichung rất phức tạp Do đó phải tìm cách giải gần đúng

Trước khi tìm cách tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1) phải kiểmtra xem nghiệm thực ấy có tồn tại hay không Ta có định lý sau đây:

Định lý: Nếu hai số thực a và b ( a< b) sao cho f a( )và f b( )trái dấu nhau :

Giả sử phương trình (1) có nghiệm trong khoảng [a,b] và ta biến đổi được vềdạng tương đương : (3)

Chọn làm giá trị xấp xỉ ban đầu rồi tính dần các nghiệm xấp xỉ theo quy tắc

(4)

Phương pháp này gọi là phương pháp lặp và hàm gọi là hàm lặp

+ Điều kiện hội tụ của phương pháp lặp:

Định lý: Giả sử phương pháp lặp (3) và (4) thỏa mãn các điều kiện sau:

1 [a,b] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình (3)

2 Mọi tính theo (4) đều thuộc [a,b]

hay =

Từ ta suy ra:

 Ví dụ:

Vậy khoảng tách nghiệm của phương trình là [1,2].

Phương trinh đã cho đưa về dạng tương đương

Đặt Ta kiểm tra các điiều kiện để là ánh xạ co:

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình đã cho là

Ví dụ 3: Bằng phương pháp lặp đơn, giải phương trình sau:

Giải:

Đặt ;

Ta có

Nên [1,2] là khoảng tách nghiệm

Phương trình đã cho đưa về dạng tương đương:

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

Ví dụ 4: Giải phương trình: bằng phương pháp lặp đơn với 6 bước lặp.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

 Giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính.

Theo nguyên lý ánh xạ co tồn tại duy nhất sao cho

và mọi dãy lặp ( hội tụ tới

+ Quy trình tính toán:

1.Cho hệ phương trình đại số tuyến tính

2.Ẩn định sai số cho phép

3.Đưa hệ Ax b về hệ tương đương có dạng x Bx g  .

4.Kiểm tra điều kiện B

0, 02.0, 08 0, 05.0,85 0,1.1, 4 0, 795 0,962 0,11.0,8 0,85.0, 03 0, 05.1, 4 0,849 0,982 0,11.0,08 0,12.0,85 0, 04.1, 4 1,398 1,532

k k k

x x x

0,978 1,002 1,56

k x x x

0,98 1,004 1,563

x x x

3 2

3 3

0,89 10 1,004 10 1,563 10

x x x

21, 21

19,81

4 2

4 3

4 4

0,7999.100,9999.101,1999.101,3999.10

x x x x

0, 24751,1145

0, 2243

x x x

Dưới sự hướng dẫn của Thầy Nguyễn Thanh Phong em đã hoàn thành bài tiểuluận Qua bài tiểu luận này em biết cách vận dụng nguyên lý ánh xạ co của Banachvào giải bài tập ở dạng toán: Chứng minh sựu hội tụ của dãy, giải phương trình đại số

và siêu việt, giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính khi không có công thức nghiệmđúng Nhưng do kiến thức còn hạn chế phải dựa vào nguồn tài liệu tham khảo trênmạng và có sẵng

Đây cũng là bài tiểu luận chuyên ngành đầu tiên không tránh khỏi sơ sài và saisót Xin được sự góp ý cảu thầy

Em xin chân thành cảm ơn!

D.TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] TS Nguyễn Hoàng – Giáo trình không gian mêtric – Nhà xuất bản Đà Nẵng 2006

[2] Bài tiểu luận của Lê Thị Kiều Trang

[3] http://d.violet.vn/uploads/resources/558/2050690/preview.swf

E NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN

F TÀI LIỆU THAM KHẢO

G NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN