3 Năng lượng 3.1 Các mức năng lượng Giải phương trình 4 trên ñây, người ta thu ñược biểu thức cho các mức năng lượng của electron trong nguyên tử Hydro: .... Trước hết chúng ta nhận xét
Trang 11 Phổ nguyên tử Hydro
Khi bị ñốt nóng khí Hydro phát ra ánh sáng khả kiến (xem Hình 1) cũng như các tia hồng ngoại và tử ngoại Thực nghiệm cho thấy phổ bức xạ của nguyên tử Hydro không liên tục, gồm nhiều vạch tách rời nhau, có bước sóng xác ñịnh bởi:
−
1
u
n
R
trong ñó n l và n u là các số nguyên dương, n l = 1, 2, 3, 4, 5 và n u > n l , còn R là một hằng số gọi là hằng
số Rydberg, R = 1,097 × 107 m-1 Tùy theo giá trị của nl và nu, ta có các dãy bước sóng khác nhau như
trong Bảng 1
Bảng 1 Các dãy bước sóng của phổ nguyên tử Hydro
Công thức (1) trên ñây là cơ sở ñể kiểm chứng các lý thuyết về nguyên tử Hydro Các bạn lưu ý là một
số tác giả còn viết công thức tương tự cho tần số:
−
′
u
n
R
với R’ = R.c = 3,29 × 1015 s-1, và họ cũng gọi hằng số này là hằng số Rydberg Tuy nhiên, ñây không phải là hằng số Rydberg nguyên thủy
Hình 1 Phổ nguyên tử Hydro − Ba vạch rõ nét nhất trong dãy Balmer, tương ứng với các bước sóng bằng 656,1 nm, 486 nm và 433,9 nm
Trang 22 Phương trình Schrödinger cho nguyên tử Hydro
Chúng ta sẽ dùng Cơ Học Lượng Tử ñể giải thích phổ của nguyên tử Hydro, bắt ñầu từ phương trình
cơ bản của Cơ Học Lượng Tử − phương trình Schrödinger Nguyên tử Hydro gồm hạt nhân mang ñiện
tích +e và một electron có ñiện tích –e Chúng ta hãy viết phương trình Schrödinger cho electron này
Thế năng của electron khi chuyển ñộng quanh hạt nhân là thế năng tương tác tĩnh ñiện:
r
e
U
0
2
4πε
−
trong ñó r là khoảng cách từ hạt nhân ñến electron
Thế năng này không phụ thuộc thời gian, vì vậy hàm sóng dừng của electron thỏa phương trình Schrödinger dừng:
0 4
2
0
2
+
+
∆Φ
r
e E
m
πε
với m là khối lượng của electron
3 Năng lượng
3.1 Các mức năng lượng
Giải phương trình (4) trên ñây, người ta thu ñược biểu thức cho các mức năng lượng của electron trong nguyên tử Hydro:
3 , 2 , 1 1
8 2 2 2
0
4
=
⋅
−
n h
me
E n
hay:
) (
1
6
,
13 2 eV
n
n ñược gọi là số lượng tử chính Như vậy, năng lượng toàn phần của electron trong nguyên tử Hydro luôn luôn âm, thay ñổi gián ñoạn theo số lượng tử n và n càng lớn thì mức năng lượng càng cao
3.2 Giải thích phổ nguyên tử Hydro
Khi electron ở mức năng lượng có số lượng tử chính nu chuyển về mức có số lượng tử chính thấp hơn
n l thì nó phát ra một photon có năng lượng cho bởi:
−
=
−
=
0
4
1 1
n n
n n h
me E
E
hc
l
λ
Suy ra bước sóng tương ứng:
Trang 3
−
0
4
1 1 8
1
u
n c
h
me
ε
ðại lượng:
1 7 3
2
0
4
10 097
,
1
8
−
×
c
h
me
chính là hằng số Rydberg R, như vậy Cơ học lượng tử ñã giải thích thành công phổ của nguyên tử
Hydro
Các dịch chuyển của electron tương ứng với dãy Balmer, từ các mức năng lượng có n > 2 về mức có n
= 2 ñược minh họa trên Hình 2
Hình 2 Một số dịch chuyển ứng với dãy Balmer
Với kết quả trên, năng lượng của electron trong nguyên tử Hydro còn có thể viết dưới dạng:
2
n
Rch
hay:
2
n
h
R
E n =− ′
(10)
4.1 Trạng thái của electron
Trong tọa ñộ cầu hàm sóng dừng của electron trong nguyên tử Hydro có thể tách làm hai phần, một
phần chỉ phụ thuộc r và một phần chỉ phụ thuộc θ, φ:
) , ( ) ( )
,
,
( θ ϕ nl lm θ ϕ
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
n = 6
Trang 4Trước hết chúng ta nhận xét rằng mỗi trạng thái (hàm sóng) của electron trong nguyên tử Hydro ñược
xác ñịnh bởi một bộ ba chỉ số n, l và m Các chỉ số này ñược gọi là các số lượng tử chính, số lượng tử quỹ ñạo và số lượng tử từ Chúng chỉ có thể có các giá trị gián ñoạn như sau:
l m
n
l
n
±
±
±
=
−
=
=
, ,
2
,
1
,
0
1 , ,
2
,
1
,
0
3
,
2
,
1
(12)
Ở mỗi trạng thái electron có năng lượng, momen ñộng lượng (còn gọi là momen ñộng quỹ ñạo) và hình
chiếu của momen ñộng xác ñịnh:
• năng lượng: 13,6 12 (eV)
n
4.2 Quy tắc chọn lọc
Chúng ta ñã giải thích ñược phổ của nguyên tử hydro khi xét sự chuyển mức năng lượng của electron Tuy nhiên, không phải electron thay ñổi trạng thái như thế nào cũng ñược ñâu Từ ñịnh luật bảo toàn momen ñộng, người ta chứng minh ñược là electron chỉ có thể dịch chuyển giữa các trạng thái có: 1
±
=
Quy tắc này ñược gọi là quy tắc chọn lọc, các dịch chuyển trạng thái phải tuân theo quy tắc này, như
minh họa trên Hình 3
Hình 3 Electron chỉ có thể dịch chuyển giữa các trạng thái có ∆l = ±1: một số dịch chuyển trạng thái thuộc dãy Balmer
4.3 Biểu thức của hàm sóng
Bây giờ hãy trở lại với hàm sóng Chắc các bạn ñang tự hỏi không biết hai phần của hàm sóng, phần phụ thuộc khoảng cách R nl(r) và phần phụ thuộc góc Y lm(θ,φ) có biểu thức như thế nào? Dạng tổng
quát của chúng rất phức tạp nên cũng không cần phải nhớ, tôi chỉ viết ra ñây một số trường hợp:
l = 1 l = 0
l = 1 l = 0
l = 2
n = 2
n = 3
n = 4
Trang 5
−
=
0 2
0
10 2 1 exp
a
r a
−
−
=
0 0
2
0 20
2 exp 2
1 4
2
a
r a
r a
R
2 0
0
4
me
a = πε h
= 0,53 Å gọi là bán kính Bohr
π
2
1
00 =
π cos 2
3
10 =
Y
) exp(
sin
4
6
4
6 1
5 Mật ñộ xác suất
5.1 Mật ñộ xác suất
Mật ñộ xác suất hay xác suất tìm thấy electron trong một ñơn vị thể tích:
2 2
2
) , ( ) ( ,
,
Xác suất tìm thấy electron trong một thể tích dV bằng:
ϕ θ θ ϕ
Y dr r r R dV
w
dW
l
lm nl
5.2 Mật ñộ xác suất theo khoảng cách
Xác suất tìm thấy electron giữa hai mặt cầu bán kính r và r + dr là:
dr r w dr r r R
r
với w nl(r)= R nl(r)2r2 là mật ñộ xác suất theo khoảng cách (xác suất tìm thấy hạt trong một ñơn vị khoảng cách)
5.3 Mật ñộ xác suất theo góc
Xác suất tìm thấy electron trong góc khối dΩ = sinθdθdφ là:
ϕ θ θ ϕ θ ϕ
θ θ ϕ
θ ϕ
)
,
trong ñó w lm(θ,ϕ)= Y lm(θ,ϕ)2 là mật ñộ xác suất theo góc (xác suất tìm thấy hạt trong một ñơn vị góc khối)
Trang 66 Hình dạng của ñám mây electron
Dùng biểu thức (16) của mật ñộ xác suất, chúng ta có thể vẽ các bề mặt trên ñó xác suất tìm thấy electron bằng một hằng số Các bề mặt ñẳng xác suất này xác ñịnh hình dạng của ñám mây electron,
cũng giống như các mặt ñẳng thế xác ñịnh ñiện trường, hay các ñường cùng ñộ cao xác ñịnh hình dạng của một ngọn núi vậy Hình 4 sau ñây minh họa các bề mặt ñẳng xác suất (hay ñám mây electron) của một số trạng thái
n = 3, l = 0, m = 0 n = 3, l = 1, m = 0
n = 3, l = 1, m = 1 n = 3, l = 2, m = 0 Hình 4 Hình dạng các ñám mây electron trong nguyên tử hydro Lưu ý là chúng có tính ñối xứng ñối với trục ngang Khoảng cách (ño từ tâm) lớn nhất trên hình này là 30 lần bán kính Bohr
Hình dạng ñám mây electron luôn luôn ñối xứng ñối với trục z, là trục ngang trên Hình 4 Vì vậy
chúng ta chỉ cần vẽ phân bố mật ñộ xác suất trong một mặt cắt ñi qua trục z, như minh họa trên Hình 5
Trên Hình 5 màu sắc ñược dùng ñể thể hiện ñộ lớn của mật ñộ xác suất, với mật ñộ giảm dần từ màu
ñỏ ñến màu xanh dương, ñi qua các màu sắc trung gian trong dải màu của cầu vồng
n = 3, l = 0, m = 0 n = 3, l = 1, m = 0
Trang 7n = 3, l = 1, m = 1 n = 3, l = 2, m = 0 Hình 5 Phân bố mật ñộ xác suất trong một mặt cắt ñi qua trục z của ñám mây electron Màu sắc ở ñây phản ánh ñộ lớn của mật ñộ xác suất, mật ñộ giảm dần từ màu ñỏ ñến màu xanh dương
Ngoài ra, các bạn có thể xem hình dạng ñám mây electron ứng với một trạng thái bất kỳ qua applet sau ñây của Christian Wolfgang ở Davidson College:
7 Spin của electron
Electron trong nguyên tử vừa chuyển ñộng quanh nhân vừa tự quay quanh nó Momen ñộng lượng của chuyển ñộng tự quay này ñược gọi là momen spin (hay spin) ñể phân biệt với momen ñộng trong
chuyển ñộng quanh nhân (momen quỹ ñạo)
Giống như momen ñộng quỹ ñạo, ñộ lớn spin và hình chiếu của spin trên một trục z bất kỳ cũng bị
lượng tử hóa:
2 1 )
1
2 1
±
=
m s ñược gọi là số lượng tử spin
Nếu ñể ý tới spin thì trạng thái của electron trong nguyên tử Hydro ñược xác ñịnh bằng bốn số lượng
tử là n, l, m và m s