Sử dụng phần mềm toán học giải và tạo câu hỏi trắc nghiệm vận dụng cao trong các đề minh họa môn toán

Tình trạng giải pháp đã biết: Đề tài này xin đóng góp một số ứng dụng công nghệ thông tin vào việc giải toán,tạo câu hỏi trắc nghiệm tạo các câu hỏi tương tự một cách chính xác, nhanh ch

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO BẾN TRE

BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI

SỬ DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC GIẢI VÀ TẠO CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG CAO

TRONG CÁC ĐỀ MINH HỌA MÔN TOÁN

Năm học : 2017 - 2018

1.Tên sáng kiến: SỬ DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC GIẢI VÀ TẠO CÁC CÂU TRẮC

NGHIỆM VẬN DỤNG CAO TRONG CÁC ĐỀ MINH HỌA MÔN TOÁN

Trần Thanh Liêm – Trường THPT Chuyên Bến Tre

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:Giảng dạy môn Toán.

3 Mô tả bản chất của sáng kiến:

3.1 Tình trạng giải pháp đã biết:

Đề tài này xin đóng góp một số ứng dụng công nghệ thông tin vào việc giải toán,tạo câu hỏi trắc nghiệm tạo các câu hỏi tương tự một cách chính xác, nhanh chóng; vớilời giải rõ ràng và hình vẽ minh họa trực quan

Trong đề minh họa môn toán của Bộ Giáo Dục và các đề thi thử của các tỉnh trongnăm học 2017-2018 có một số thay đổi cơ bản là có khoảng 15 câu hỏi khó, vận dụngcao mà thí sinh phải giải bằng tự luận một cách nhanh chóng chính xác; học sinh khôngthể chỉ dựa vào bấm máy tính để suy luận, dự đoán ra kết quả được Một số giải pháp đưa

ra trong những năm trước là khai thác các tính năng của máy tính cầm tay để dự đoán kếtquả hoặc tìm ra chính xác kết quả một cách nhanh chóng, nhưng với đề minh họa nămnay thì ưu thế của máy tính chỉ giải được một số câu nhất định

Do vậy , để đạt kết quả bài thi với điểm số 8, 9, 10 thì học sinh phải có một nềntảng kiến thức vững chắc, có sự thông minh, nhạy bén và phải có kỹ năng giải bài toánnhanh chóng chính xác chứ không phải chỉ dựa vào trí nhớ và sự phỏng đoán hoặc nhờ

sự trợ giúp của máy tính cầm tay

Đề tài này nhằm giúp giáo viên hiểu rõ vấn đề hơn khi phải giải thích những bàitoán khó, những bài toán vận dụng cao Nhờ các phần mềm toán học giáo viên có thể tínhtoán nhanh chóng, chính xác vẽ được các hình ảnh minh họa trực quan, có những ví dụ vàchứng minh trực quan, thuyết phục

3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:

Trong SKKN nầy chúng tôi sẽ đề cập đến các vấn đề mà chúng tôi đã thực hiệnthành công và có hiệu quả trong thời gian qua

Sau đây tôi xin đóng góp một cách xây dựng các câu hỏi khó bằng cách sử dụngphối hợp các phần mềm như Mathcad, Mathematica, Cabri 3D …để lập một chương trìnhcho kết quả tự động một cách chính xác, có lời giải rõ ràng càng tốt; khi đó chỉ cần thayđổi số liệu ta có ngay kết quả khác từ đó xây dựng phương án nhiễu hoặc tạo bài toánmới nhanh chóng, chính xác

Cách sử dụng các phần mềm trên đã có nhiều sách hướng dẫn trên thị trường hoặctrên Internet hoặc đã được Sở Giáo Dục tập huấn trong thời gian trước.

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

1) Sử dụng phần mềm Mathcad, Mahematica, Cabri 3D giải một số câu vận dụng cao :

Trong đề tài này chúng tôi giới thiệu một phương pháp để giải một số câu vận dụng cao

và sử dụng các phần mềm toán học Mathcad, Cabri 3D, Mathematica để tạo các bài toántương tự hoặc bài toán mới

Bài toán 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất

của hàm số y  x 3  3x m  trên đoạn 0;2 bằng 3 Số phần tử của S là:

Max f x m 2 Max f x 2 m

   

0;2 0;2

Vì ứng với giá trị lớn nhất nguyên nên m phải là số nguyên , do đó m 1;0;1

Ở trên chỉ là điều kiện cần, ta phải thử lại chỉ có m =-1 , m =1 là thỏa mãn đề bài

Nhận xét : Mỗi cách giải đều có ưu điểm riêng, cách giải 1 sẽ phức tạp hơn nhiều nếu

đạo hàm có nhiều nghiệm hơn ; cách giải 2 quen thuộc , dễ hiểu hơn đối với học sinh vì ítphải biện luận các trường hợp hơn Dựa vào cách giải 2, ta phân tích giải bài toán bằngMathematica và tạo bài toán mới

ax( 3x 3) min ( 3x+3) 1 m 1 1;0;1

x x

Vậy   1 m 1  suy ra có 3 giá trị nguyên của m là m= -1;0;1

Học sinh có thể thử lại bằng chức năng Table của máy tính cầm tay khi thay lần lượt

m = -1; m = 0 ; m =1 (Thực ra muốn chính xác hơn học sinh phải thế m vào hàm số khảosát nhanh )

Trong Mathematica ta cũng có lệnh Table tương tự trong máy tính cầm tay :

Lệnh này cho giá trị của hàm số trên đoạn 0; 2  với bước nhảy là ¼ , theo kết quả hiện

ra thì giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 Tương tự :

Trong giảng dạy, giáo viên muốn minh họa trực quan hơn để học sinh thấy thuyết phụchơn, có thể vẽ đồ thị hàm số bằng Mathematica như sau :

Theo đồ thị, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] bằng 2 nên loại

Vậy ta có bài toán mới :

Bài toán 1 1 : Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn

nhất của hàm số y  2x3 6x m 1   trên đoạn 2;1 bằng 5 Số phần tử của S là:

Vậy m =2 nhận vì giá trị lớn nhất bằng 5.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa bài toán

Không phải lúc nào bài toán dạng trên cũng có nghiệm, Mathematica sẽ cho ta kết quảtức thì, giáo viên không phải mất công sức để giải bài toán :

Bài toán 1 2 : Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn

nhất của hàm số y  x 3  3x m  trên đoạn 1;3 bằng 4 Số phần tử của S là:

Vậy bài toán trên vô nghiệm Chọn C

Ta có thể điều chỉnh đoạn cần xét, giá trị lớn nhất để có số giá trị m như ý muốn

Bài toán 1 2 : Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn

nhất của hàm số y  x 3  3x m  trên đoạn 0;2 bằng 2 Số phần tử của S là:

Thử lại :

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 nên nhận m =0 Chọn A

Tương tự cách làm trên ta tạo được một số bài toán tương tự như sau :

Bài toán 1 3 : Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn

nhất của hàm số y  x 4  3x 2  m trên đoạn 1; 2 bằng 4 Tổng các phần tử của S là:

Thử lại chỉ nhận 2 giá trị m= -2; m =0

Bài toán 1.4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn

nhất của hàm số y  x4 3x2 m trên đoạn 1; 2 bằng 4 Số phần tử của S là:

Chọn m = -1

Nếu chỉnh lại giá trị lớn nhất là 4, ta có ngay kết quả

Không có m thỏa đề

số y f 2 x    đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Ta có nhận xét đồ thị hàm số y f x   và đồ thị hàm số y f x đối xứng nhau quatrục tung nên ta có bảng biến thiên của đồ thị hàm số y f x như sau :

Từ đó suy ra bảng biến thiên của y f 2 x   và chọn kết quả

Cách giải trên khá phức tạp đòi hỏi học sinh phải nắm vững các phép biến đổi đồ thị, dễ nhầm lẫn, thao tác chậm.

Vậy hàm số đồng biến trên 2;1  Chọn C

Nhận xét : Cách giải 2 so với cách 1 có nhiều ưu điểm, cách giải đơn giản dễ hiểu Tuy

nhiên có nhiều học sinh sẽ thắc mắc tại sao dựa vào đồ thị của f’(x) lại suy ra kết quảcho f’(x-2) ; điều này đối với học sinh giỏi các em có thể hiểu được, đối với học sinh khá

có thể dùng phần mềm Mathematica minh họa bằng đồ thị cho học sinh như sau :

* Ta chọn 1 hàm số thỏa mãn đồ thị y =f ’(x) bằng lệnh :

Đây là hàm số bậc 3, ta vẽ đồ thị bằng lệnh :

Đồ thị này thỏa hình vẽ đề bài

Ta lấy nguyên hàm của hàm số trên để tìm

f(x)

Bây giờ thay biến x bởi 2 – x ta có :

Ta vẽ đồ thị hàm số f(2-x) để suy ra các khoảng đồng biến của nó :

Theo đồ thị, rõ ràng hàm số đồng biến trên 2 khoảng (-2 ;1) và (3;  )

Như vậy cách giải 2 là hoàn toàn chính xác, ngắn gọn được thể hiện qua đồ thị, điều nàygiải tỏa được thắc mắc của nhiều học sinh cho ràng kết quả phải khác

Dựa trên ý tưởng này, ta có thể ra nhiều bài toán cho học sinh rèn luyện

Bài toán 2.1 : Cho hàm số y f x    Hàm số y f ' x   có đồ thị như hình bên Hỏi hàm

số y f 3 x    đồng biến, nghịch biến trên những khoảng nào?

Vậy kết quả trên chính xác.

Ta có thể tạo bài toán phức tạp hơn như sau :

số y f x   2  2 đồng biến, những khoảng nào?

Tương tự, ta tạo các bài toán mới :

như hình bên Hỏi hàm số y f 1

f ' x  12x  12x  24x 12x(x   x 2) 

Đồ thị hàm số y3x4 4x312x2m được vẽ bằng cách :

+) Lấy đối xúng phần đồ thị hàm số nằm phía dưới trục Ox qua trục Ox

+) Xóa đi phần đồ thị bên dưới trục Ox.Do đó để đồ thị hàm số y3x4 4x312x2m

Mà f ' x 0 có 3 nghiệm phân biệt x = -1, x = 0, x=2

Nên f x  mphải có 4 nghiệm phân biệt khác x = -1, x = 0, x=2

Lập bảng biến thiên của hàm số f x  

Theo bảng biên thiên (*) có 4 nghiệm phân biệt    5 m 0  m0;5 

Kết hợp với m   suy ra có tất cả 4 nghiệm nguyên m 1; 2; 3; 4

Có thể kiểm tra kết quả trên bằng cách cho Mathematica vẽ đồ thị :

Với m =1 : đồ thị hàm số như sau Với m =2 : đồ thị hàm số như sau

Với m =0 : đồ thị hàm số như sau Với m =5 : đồ thị hàm số như sau

Nhận xét : hai cách giải trên đều có những lợi thế riêng, ở đây ta chọn cách 2 để sáng

tạo bài toán mới như sau :

Bước 1 : Tạo 1 hàm số fp(x) có 3 điểm cực trị, chẳng hạn

Bước 2 : Tìm 1 nguyên hàm của hàm số fp(x) đặt là hàm f

Mà f ' x 0 có 3 nghiệm phân biệt x = -1, x = 1, x=2

Nên f x  mphải có 4 nghiệm phân biệt khác x = -1, x = 1, x=2

nhanh đồ thị của f(x)

Theo bảng biên thiên (*) có 4 nghiệm phân biệt  8 m 13  m  13; 8  

Kết hợp với m   suy ra có tất cả 4 nghiệm nguyên m  12; 11; 10; 9    

Có thể kiểm tra kết quả trên bằng cách cho Mathematica vẽ đồ thị để xác nhận kết quảđúng, chẳng hạn :

Có 7 điểm cực trị Trong khi với m =-13 chỉ có 5 điểm cực trị

Tương tự cách làm trên, ta có thể tạo ra bài toán khó hơn :

Bài toán 3 2 : Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

thời gian hơn rất nhiều

Với cách giải 2 ta có kết quả : phương trình f’(x) =0 có 4 nghiệm nên phương trình f(x) = - m phải có 5 nghiệm, lập bảng biến thiên ( trong bài này sẽ dễ hơn ), ở đây vẽnhanh đồ thị bằng Mathematica để dễ thấy ảnh, minh họa trực quan hơn.

1, 2, ,19  1, 2, , 19

Chẳng hạn :

Tương tự ta sẽ tạo được vô số bài toán mới.

Bài toán 4 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 1;1;2   Hỏi có bao nhiêumặt phẳng  P đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A, B, Csao cho OA OB OC 0   ?

 mà a b c không thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bằng Mathcad ta có thể lập một chương trình giải tự động như sau :

Vô nghiệm

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa đề như trên

Bài toán 4.1 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 1; 1; 2     Hỏi có baonhiêu mặt phẳng  P đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A,

Mở rộng hơn, phương pháp giải tương tự :

Bài toán 4.3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 1;1;2   Hỏi có baonhiêu mặt phẳng  P đi qua M và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại các điểm A,

B, C sao cho OA 2OB 3OC 0   ?

3.3 Khả năng áp dụng của giải pháp:

- Giáo viên có thể áp dụng phương pháp nầy để giải và sáng tạo các bài toán mới cho học sinh rèn luyện trước các kì thi.

- Điểm sáng tạo của giải pháp này là kết hợp được một số lệnh trong Mathmatica, Mathcad để giải bài toán thi tốt nghiệp với kết quả nhanh chóng, chính xác Khi thay đổi

dữ liệu ban đầu của bài toán thì kết quả sẽ lập tức được cập nhật một cách chính xác và nhanh chóng

- Sử dụng các giải pháp trong đề tài trên giáo viên có thể giảng dạy cho lớp 12 để ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia.

- Đề tài dùng làm tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi ở các trường trung học phổ thông về ứng dụng công nghệ thông tin trong giải toán.

3.4 Hiệu quả thu được do áp dụng sáng kiến:

- Việc ứng dụng phần mềm trong giảng dạy bộ môn Toán bước đầu đạt được một số kết quả như sau:

+ Tiết kiệm được rất nhiều thời gian, công sức trong biên soạn tài liệu.

+ Tạo được nhiều bài toán với kết quả nhanh chóng, chính xác

- Góp phần ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy, là việc làm cần thiết và cần được nhân rộng.

+ Kết quả thu được khi áp dụng giải pháp : giáo viên soạn được nhiều bài tập mới cho học sinh thực hành, học sinh đạt được nhiều kết quả tốt hơn.

3.5 Các tài liệu kèm theo :

- 1 file “ Bảng mô tả sáng kiến kinh nghiệm”.

Bến Tre, ngày 19 tháng 3 năm 2018