Kinh nghiệm xử lý một số dạng tích phân “lạ” trong các đề thi THPT quốc gia 2017

Để lĩnh hội kiến thức của chuyên đề này được dễ dàng thì đòi hỏi người học phải tư duy tốt và biết kết hợp giữa tính toán đại số và các tính chất hình học thuần túy trong không gian.. Vì

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

Mã số : ( do Thường trực Hội đồng ghi)

1 Tên sáng kiến :

"Kinh nghiệm xử lý một số dạng tích phân “lạ” trong các đề thi THPT quốc gia 2017"

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Toán học bậc Trung học phổ thông.

3 Mô tả bản chất của sáng kiến

3.1 Tình trạng giải pháp đã biết

Toán học là một môn học đòi hỏi tư duy và logic, phải biết vận dụng và kết hợp nhiều kiến thức lại với nhau Do đó, việc hình thành phương pháp giải từng dạng toán cho các em học sinh là rất cần cần thiết, đặc biệt là trong việc thi trắc nghiệm cần sự nhanh lẹ và chính xác

Tích phân và ứng dụng là một phần quan trọng của môn Toán học và nó luôn xuất hiện trong các kì thi THPT Quốc gia và tuyển sinh Cao đẳng – Đại học Để lĩnh hội kiến thức của chuyên đề này được dễ dàng thì đòi hỏi người học phải tư duy tốt và biết kết hợp giữa tính toán đại số và các tính chất hình học thuần túy trong không gian Đối với các bài toán lạ thì thường gây khó khăn cho học sinh, dễ sai sót trong quá trình tính toán Tuy nhiên, nếu chúng ta để ý đến một vài tính chất đặc trưng thì việc giải quyết bài toán này sẽ dễ dàng hơn, giảm nhẹ đi việc tính toán

Vì vậy, trong đề tài này tôi muốn trình bày hệ thống một số kinh nghiệm về cách giải bài toán tích phân dạng “lạ” trong các đề thi thử và thi THPT quốc gia và có thể làm tài liệu tham khảo

 Do thời lượng hạn chế nên trong SGK ít đề cập đến các bài toán về dạng đồ thị hình hoặc các hàm số không có công thức nên các em học sinh ít được tiếp xúc và luyện tập các dạng này Vì thế khi gặp các bài toán “lạ” các em thường hay lúng túng và gặp không ít khó khăn

 Tuy nhiên, những bài toán “lạ” này lại là những bài toán hay và có phương pháp giải rất lý thú và thường mang lại những cảm giác hưng phấn cho học sinh, từ đó khích lệ được khả năng tìm tòi học hỏi cho các em

3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến

3.2.1 Mục đích của giải pháp

- Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng toán tích phân và ứng dụng, góp phần giúp các em giải quyết tốt các bài toán thực tế

- Giúp các em học sinh nâng cao được tư duy cùng kĩ năng tính toán và qua đây tôi cũng hy vọng sẽ cung cấp cho học sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức giúp các em bước vào các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT Quốc gia

- Qua đề tài này giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh

- Kết hợp giữa định tính và định lượng nhằm giúp các em hệ thống tốt hơn kiến thức đã học và giúp các em hứng thú hơn trong học toán

3.2.2 Một số giải pháp thực hiện

- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên

- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán cụ thể

- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh

- Trong mỗi bài toán tích phân đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích nhận dạng cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán

- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện

3.2.3 Các biện pháp thực hiện

Cho học sinh nhận xét và chứng minh một số bài toán tích phân Từ đó áp dụng vào bài toán thực tế

Một số kết quả thường dùng :

1 f x dx( ) f x( )C

2 f x dx F x( )  ( )C  F x( ) f x( )

3 Hàm số yf x( ) là hàm số chẳn trên tập xác định D khi và chỉ khi

( ) ( )







4 Hàm số yf x( ) là hàm số lẻ trên tập xác định D khi và chỉ khi





 



3.2.3 Nội dung giải pháp

Dạng 1 Bài toán tích phân xuất hiện ( )f x ở giả thiết yêu cầu tính tích phân chứa

[ ( )]

f k x

Phương pháp : có thể sử dụng phương pháp đổi biến số

Ví dụ 1 Cho hàm số ( )f x liên tục trên ¡ thỏa mãn

f x  f x   x x ¡ Tính

3 2

3 2

( )







 

(Trích đề thi minh họa THPT quốc gia 2017 lần 3)

Bài giải

Đổi biến t x ta có



Suy ra

3

3





Vậy I  Chọn đáp án D.6

Chú ý : Ta để ý

3 2

3 2

2 2cos xdx2









 có hàm dưới dấu tích phân chỉ nhận giá trị

dương, chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm x thuộc 3 3

2 ; 2



  Do đó ta có thể chọn

nhanh được đáp án D

Hoặc ta có thể dùng Casio để tính tích phân mà không cần phải giải cụ thể như trên

Ví dụ 2 Cho

4 0

16 ( )

f x dx 

2 0 2 ( )

I f x dx.

(Trích đề thi THPT quốc gia 2017)

Giải

Đổi biến t 2x ta có

2 4 4

I f x dx  f t dt  f x dx  Chọn đáp án B.

Ví dụ 3 Biết hàm số

2

yf x  

  là hàm số chẳn trên

2 2;

 



  và

2

f x f x    x x

0

( )



(trích đề thi thử THPT quốc gia Bigschool 2017)

Phân tích : nếu ta đổi biến

2

t x  thì bài toán rơi vào bế tắc - đây là cái bẫy hay

của bài toán Để ý

2

yf x  

  là hàm số chẳn trên

2 2;

 



  nên

f x   fx  

2 2;

x   

  Do đó đổi biến đúng phải là

2

t x

Giải

Đặt

2

t x ta có 2 2

0 ( ) 0 2



Do đó

2 2 2

2

2 0 0

2

(sin cos ) (sin cos )







Suy ra I 1 Chọn B.

Ví dụ 4 Biết rằng ( )F x là một nguyên hàm của ( ) f x thỏa mãn

2017

1



2018 0

( )

I   xf x dx.

A I 2018 B I 2017 C I 2019 D I 2016

Phân tích : sự xuất hiện của F x  gợi ý cho ta đổi biến ( 1) t  x 1

Giải

Đổi biến t  x 1 Ta có

1 F x( 1)dx F t dt( ) F x dx( )



Vì ( )F x f x( ) nên ta đặt u x v F x ( )  u v 1f x( )



Do đó

2018 2018 2018 2018 2018 2018

2018 2018 1 2017

F

Chọn B.

Chú ý : Khi ta thấy

2018 2018

I   xf x dx   xF x dx thì đây là dấu hiệu ta sử dụng tích phân từng phần để tính I

Dạng 2 Bài toán xuất hiện ( )f x dưới dấu tích phân

Phương pháp sử dụng kết quả f x dx( ) f x( )C

Với I g x f x dx( ) ( ) Ta đặt  u g x dv f x dx( )( )





Ví dụ 5: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên 1 2[ ; ], ( )f 1 1 và 2f( ) 2 Tính

2

1

( )

I f x dx .

2

I 

(Trích đề thi THPT quốc gia 2017)

Phân tích : sự xuất hiện của ( ) f x dưới dấu tích phân nhắc ta nghĩ đến tích phân từng phần và đặt dvf x dx( ) phần còn lại dưới dấu tích phân là u.

Giải

Đặt dv u 1f x dx( )  du v f x( )0dx



Ta có

1 1

I f x dx f x ff   Chọn A.

Ví dụ 6 Cho hàm số ( )f x thỏa mãn 1

0

(x ) ( )f x dx 

 và 2 1ff ( ) ( )0 2 Tính

1

0

( )

I f x dx.

(Trích đề thi THPT quốc gia 2017)

Giải

Đặt dv u x f x dx( )1  du dx v f x( )



Ta có

0

8

(x ) ( )f x dx (x ) ( )f x f x dx( ) ff( ) I( ) I

I



Chọn D.

Dạng 3 Cho hàm số yf x( ) biết đồ thị của hàm số yf x( ) So sánh các giá trị của hàm số

Phương pháp

Có thể dùng công thức tính diện tích hình phẳng để đưa bài toán so sánh các giá trị

về bài toán so sánh diện tích hình phẳng

Ví dụ 7 Cho hàm số yf x( ) Đồ thị của hàm số yf x( ) như hình bên Đặt

2 2

( ) ( )

h x  f x  x Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A 4h( )h( )2 h( )2

B 4h( )h( )2 h( )2

C 2h( )h( )4 h( )2

D 2h( )h( )2 h( )4

(Trích đề thi THPT quốc gia 2017)

Giải

Gọi S S lần lượt là diện tích các hình phẳng1, 2

như hình vẽ bên

Ta có

2 2

2

2

2

2

2

( ) ( )

( ) ( ) ,( )

f x x

  









Tương tự

2

2

2

( )

( ) ( ) ,( )

x f x





Dựa vào đồ thị ta có S1 S2  h( )2  h( )2 h( )2  h( )4  h( )4 h( ),( )2 3

Từ 1 2 3( ),( ),( ) h( )2 h( )4 h( )2 Chọn C.

Thủ thuật bác bỏ nhanh

Một mệnh đề đúng với mọi trường hợp thì phải đúng với bất kì trường hợp riêng nào

Ví dụ 8 Cho hàm số ( )f x thỏa mãn 2

0

sin ( )x f x dx f( )



2

0

cos ( )







Giải

Lấy hàm số y f x( )1 với mọi x thỏa mãn điều kiện của bài toán

2 0

1 sin ( ) sin cos



Do đó 2 2

cos ( )



   Chọn đáp án C.

Chú ý: bài toán này ta có thể giải theo dấu hiệu của dạng 2

3.3 Khả năng áp dụng của giải pháp

Có thể mở rộng SKKN ở các trường học khác trên địa bàn nhằm tăng cường hiệu quả chất lượng giáo dục theo tinh thần đổi mới phương pháp dạy học và đánh giá học sinh của Bộ Giáo dục và đào tạo

Khi áp dụng giải pháp giúp học sinh định hướng tốt hơn, chính xác hơn hướng giải một bài toán tích phân dạng lạ, đặc biệt khi ôn luyện thi tốt nghiệp THPT quốc gia

3.4 Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp

- Sau khi áp dụng vào giảng dạy cho các em học sinh, đa số các em đều thích thú học tập, hiểu và vận dụng tốt

- Qua đó nhận thấy các em tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán về tích phân

Năm học 2017 – 2018 tôi áp dụng giải pháp tại lớp 125 trường THPT Nguyễn

Đình Chiểu và lớp đối chứng 127 Lớp thực nghiệm và lớp đối chứng đều có năng lực học tập trong đợt khảo sát đầu năm là tương đương nhau

Một trong những thuận lợi của chúng tôi trong việc thực hiện giải pháp là các lớp mà tôi tiến hành thực nghiệm là các lớp đều có thực hiện tăng tiết so với chuẩn

về quỹ thời gian tôi cũng đủ để tiến hành thực nghiệm

Học sinh đa số biết vận dụng kiến thức để giải bài tích phân và ứng dụng, tương đối thành thạo khi phát hiện phương pháp giải

+ Đối với lớp thực nghiệm:

Chúng tôi có những buổi học trao đổi rất nhiều về lý thuyết chương tích phân và ứng dụng của tích phân cũng như đưa ra phương pháp giải các dạng bài tương ứng

+ Đối với lớp đối chứng:

Chúng tôi tiến hành ôn tập bình thường, sau khi tiến hành bài kiểm tra với đề như nhau ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng

Kết quả làm bài kiểm tra chuyên đề của học sinh lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp đối chứng (ĐC) được thể hiện thông qua Bảng thống kê sau:

Bảng trên cho thấy: điểm trung bình cộng; tỷ lệ đạt yêu cầu; tỷ lệ đạt điểm khá, giỏi

ở lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng

PHẦN KẾT LUẬN

 Đề tài này giúp bản thân tôi có thêm một tư liệu để giảng dạy và cũng là một tài liệu nhỏ để các em học sinh tham khảo

 Các bài toán trên tôi chỉ đề xuất cách giải theo quan điểm cá nhân Tuy nhiên, các bài toán này còn có thể giải theo các cách khác

Bài học kinh nghiệm và hướng phát triển

 Qua bài viết này, tôi hy vọng sẽ hệ thống được cho các em một số bài toán nhỏ về chuyên đề tích phân để giúp các em học sinh thuận tiện hơn khi gặp phải

 Thông qua các tiết dạy theo chuyên đề, tôi mong muốn được triển khai rộng rãi cho toàn khối 12

Những kiến nghị, đề xuất

 Bài viết của tôi chỉ trình bày theo chủ ý của cá nhân, do đó chắc chắn sẽ còn nhiều thiếu xót và chưa thật hoàn chỉnh, vì vậy tôi rất mong được sự góp ý của đồng nghiệp và các em học sinh

Việc tìm lời giải cho một bài toán khó là việc làm đòi hỏi sự kiên trì và có những công cụ thích hợp khi phân tích bài toán Kiến thức về nguyên hàm, tích phân chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, và trong quá trình giải loại toán này thì học sinh có thể gặp khó khăn trong nhiều tình huống

Do đó những giải pháp của sáng kiến giúp cho các em học sinh có cách nhìn tổng quát hơn khi giải một bài toán phức tạp

Bến Tre, ngày 18 tháng 03 năm 2018

ĐƠN VỊ CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

PHIẾU NHẬN XÉT, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên đề tài :

Tác giả :

Chức vụ :

Bộ phận công tác :

TỔ CHUYÊN MÔN

Nhận xét :

Xếp loại :

Ngày tháng năm

TỔ TRƯỞNG HỘI ĐỒNG KHOA HỌC ĐƠN VỊ Nhận xét :

Xếp loại :

.

Ngày tháng năm

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Ký ghi rõ họ tên, đóng dấu)