Phương pháp sáng tác một số bài toán trắc nghiệm số phức mức độ vận dụng cao

Mô tả bản chất sáng kiến: 3.1 Tình trạng giải pháp đã biết: - Từ năm 2017, theo phương án của Bộ GD – ĐT, đề thi THPT QG môn toán tiến hành theo hình thức trắc nghiệm khách quan, nội d

1

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

MÔ TẢ GIẢI PHÁP

Mã số:………

1 Tên sáng kiến:

“Phương pháp sáng tác một số bài toán trắc nghiệm số phức

mức độ vận dụng cao”

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Phương pháp dạy học toán ở trường THPT

3 Mô tả bản chất sáng kiến:

3.1 Tình trạng giải pháp đã biết:

- Từ năm 2017, theo phương án của Bộ GD – ĐT, đề thi THPT QG môn toán tiến hành theo hình thức trắc nghiệm khách quan, nội dung thi nằm trong chương trình lớp 12 cấp THPT Năm học này (2017-2018), nội dung thi nằm trong chương trình lớp 11 và lớp 12 Từ năm 2019 nội dung thi nằm trong chương trình cấp THPT Hơn nữa, đề thi bao gồm các câu hỏi ở cấp độ cơ bản, phục vụ mục đích xét công nhận tốt nghiệp THPT và các câu hỏi phân hóa phục vụ mục đích xét tuyển ĐH-CĐ

- Trong bài Dạy và học thế nào để thi trắc nghiệm Toán (đăng trên Báo Người Lao Động – Tháng 10/ 2016), TS Trần Nam Dũng ( ĐH Khoa học Tự nhiên – ĐH Quốc gia TP HCM) có viết: “Sẽ là sai lầm nếu nói rằng cách thi không ảnh hưởng cách học ” Theo đó, để làm tốt đề thi trắc nghiệm Toán, thí sinh cần phải chú ý nắm chắc kiến thức lí thuyết, các công thức, phải học đều hơn toàn bộ chương trình và rèn kĩ năng đáp ứng tốt các hình thức kiểm tra (trắc nghiệm, tự luận và vấn đáp) Về phía Thầy Cô, trong quá trình hình thành kiến thức cho học sinh, cần phải có những bài giảng lí thuyết kĩ càng giúp cho học sinh ghi nhớ cốt lõi của vấn đề Bên cạnh đó, việc xây dựng ngân hàng đề trắc nghiệm có chất lượng chuẩn bị cho lộ trình dạy và học lâu dài là điều thiết yếu và cực kì quan trọng Tuy nhiên, việc xây dựng một đề thi trắc nghiệm có chất lượng thực sự không đơn giản, phải tránh sa đà vào những định hướng mang tính chủ quan của người ra đề, gây bất lợi cho học sinh Việc ra đề kiểm tra bằng những hình thức khác nhau cũng giúp cho người Thầy đánh giá được học sinh có hiểu được bản chất vấn đề hay không Đồng thời phải lưu ý cho học sinh việc sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) một cách thông minh và tỉnh táo nhưng không lạm dụng và tuyệt đối hóa năng lực của nó, bởi lẽ MTCT khó làm việc với tham số và sẽ không hỗ trợ nhiều cho những bài toán định tính Nếu học sinh không nắm chắc bản chất vấn đề mà chỉ lệ thuộc vào MTCT thì đôi khi việc giải quyết bài toán trở nên nặng nề, phức tạp và cũng không phù hợp thời gian cho phép

- Với những lí do trên, bộ môn toán nói chung và nội dung Số phức nói riêng phải có lộ trình chuẩn bị chu đáo và cẩn thận Riêng nội dung Số phức, học sinh THPT được học ở cuối chương trình Giải tích lớp 12 Tuy nhiên, trong một số trường hợp, bài toán cần sử dụng một số kiến thức cơ bản về Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở chương trình Hình học lớp 10 và kiến thức lượng giác của các lớp 10; 11 Vì thế, nếu không hướng dẫn học sinh nắm chắc kiến thức căn bản từ khi mới tiếp cận thì các em không thể nào đủ sức giải thành công những câu số phức ở mức

độ vận dụng cao trong thời gian tương đối ngắn (trung bình 1,8 phút/ câu) Do vậy, việc ra đề trắc nghiệm liên quan đến Số phức cho các em học sinh ôn thi THPT QG

là một việc làm tất yếu và thường xuyên Có như thế, người Thầy mới tích lũy được

hệ thống câu hỏi ở mức độ vận dụng cao nhằm mục đích vừa kiểm tra được các kĩ năng của học sinh vừa đáp ứng yêu cầu thời gian làm bài trắc nghiệm cùng với sự hỗ trợ hợp lí của MTCT

3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:

* Mục đích của giải pháp:

Việc định hướng xây dựng một bài toán trắc nghiệm số phức mức độ vận dụng cao cần phải có sự đầu tư đúng mức về nội dung và sự gia công tương xứng về hình thức (các câu hỏi cần phải kiểm tra được một định nghĩa hoặc một tính chất nào

đó thực sự gây ấn tượng cho học sinh trong quá trình tích lũy kiến thức) Vì thế, SKKN này giúp cho giáo viên dạy toán không ngừng nghiên cứu sâu về chuyên môn

và phương pháp giảng dạy, làm cho công việc soạn giảng trở nên nhẹ nhàng và thú vị qua từng năm học, nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán cấp THPT

Cụ thể:

- Chứng tỏ sự đam mê nghiên cứu chuyên môn của người thầy, đồng thời giúp cho học sinh thêm yêu thích bộ môn mình giảng dạy

- Học sinh được trang bị kiến thức nền vững vàng, được rèn kĩ năng làm bài với nhiều hình thức kiểm tra và dễ dàng giải quyết thành công các bài toán nâng cao

- Quá trình dạy học là bao gồm quá trình tự học và quá trình tương tác tích cực với người học Dạy và học đều phải không ngừng tích lũy kinh nghiệm, khám phá kiến thức và phương pháp mới, đặc biệt đối với bộ môn toán

- Nhiệm vụ của người Thầy không chỉ là sưu tầm những bài toán có sẵn cho học sinh tham khảo mà còn phải không ngừng nghiên cứu sáng tác các bài toán mới vừa phát triển năng lực đọc hiểu, năng lực tư duy vừa phát huy năng lực sử dụng MTCT cho học sinh Như thế mới góp phần cho việc dạy và học thật sự hiệu quả

- SKKN này không chỉ vận dụng những định nghĩa, tính chất của số phức mà còn chú ý khai thác những tính chất toán học đặc trưng có liên quan thuộc các lĩnh vực hình học, lượng giác

* Tính mới của giải pháp:

- SKKN này giới thiệu một số bài toán trắc nghiệm số phức mức độ vận dụng cao qua việc ứng dụng một số định nghĩa, tính chất của số phức, đồng thời kết

3

hợp một số kiến thức căn bản khác ở các nội dung có liên quan các lĩnh vực (đại số, hình học, lượng giác…) Cụ thể là:

+ Định nghĩa và các tính chất của số phức

+ Biểu diễn hình học của số phức

+ Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các số phức

+ Căn bậc hai của số phức

+ Giải phương trình, hệ phương trình trong tập số phức

+ Dạng lượng giác của số phức

+ Cực trị trong số phức

+ Các bài toán tổng hợp

+

- SKKN này giúp người dạy và người học có cái nhìn bao quát và hệ thống các

kiến thức chuyên sâu về số phức, giúp cho học sinh cảm nhận thêm vẻ đẹp của toán học Từ đó khơi dậy lòng đam mê học tập của học sinh đối với bộ môn toán

- SKKN này đã trình bày đầy đủ và chặt chẽ các lời giải chi tiết tương ứng cho từng câu trắc nghiệm mà không nặng nề về tính toán Hơn nữa, SKKN còn giới thiệu một số cách giải đặc biệt qua việc vận dụng các kĩ thuật, tính chất của số phức, giúp cho việc giải quyết vấn đề một cách nhẹ nhàng và thú vị

- SKKN này còn hướng đẫn học sinh sử dụng máy tính CASIO một cách hợp

lí ở một vài công đoạn, chứ không hoàn toàn lệ thuộc vào MTCT, không lạm dụng

và tuyệt đối hóa năng lực của MTCT Điều này giúp cho người dạy và người học vừa phát huy tư duy toán học vừa ứng dụng MTCT một cách thông minh và khéo léo

- SKKN này có sự ứng dụng các phần mềm toán GeoGebra và Geometer’s Sketchpad minh họa các hình vẽ tương đối chính xác nhằm hỗ trợ giải quyết một cách khoa học các vấn đề trọng tâm được đặt ra, qua việc trình bày lời giải trực quan

và gây được ấn tượng sâu sắc cho học sinh Từ đó học sinh dễ dàng ghi nhớ và tái hiện lại kiến thức khi cần thiết

- SKKN này có sự ứng dụng phần mềm SnagIt hỗ trợ cho công việc soạn giảng được nhẹ nhàng và bài soạn mang tính thẩm mỹ cao

- Thực tế, SKKN này đã áp dụng tính năng mạnh mẽ của phần mềm Maple

2017 minh họa việc sáng tác một số dạng câu trắc nghiệm số phức mức độ vận dụng cao, đặc biệt với các bài trong chương trình toán THPT hiện hành (THPT và THPT Chuyên) Từ đó người dạy có thể ra hàng loạt đề bài với mức độ tương đồng hoặc nâng cao nhằm kiểm tra toàn diện năng lực học toán của học sinh THPT

Vì khuôn khổ bài viết nên chúng tôi mạn phép giới thiệu hai nội dung cụ thể của SKKN này như sau:

Phần 1: Giới thiệu một số câu trắc nghiệm số phức mức độ vận dụng cao

Câu 1 Gọi z ,1 z là các nghiệm của phương trình 2 z22z100 Gọi M, N, P lần lượt là

các điểm biểu diễn của z ,1 z và số phức  2 k x yi ;x,y trên mặt phẳng phức Để tam giác MNP đều thì số phức k phải là:

A.   



  



1 27

1 27

k

k

B   



  



1 27

1 27

C   



  



1 18

1 18

D   



  



1 12

1 12

GỢI Ý GIẢI

HÌNH VẼ MINH HỌA

 Ta có z22z100z 1 3i, suy ra M(1;3), (1; 3), ( ; )N  P x y

 Tam giác MNP đều

 









  





0

1 27

1 27

y

x

Vậy chọn A

Chú ý: Dùng máy tính CASIO hỗ trợ giải phương trình và hệ phương trình

Câu 2 Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện z   i z 2 3i Gọi a là

môđun nhỏ nhất của z với mọi z T Khi đó, giá trị của a là?

A. 3 5

13

3

3 5



GỢI Ý GIẢI

5

 Đặt z   với a bi a b , , ta có a (b 1)i  (a  2) (b 3)i

2 ( 1)2 ( 2)2 ( 3)2

2 2 2 1 2 4 4 2 6 9

 Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng ( ) : d x2y 3 0

 Do đó z min OM min hay M là hình chiếu của O trên ( ) d và tìm được 3; 6

M  



 

 Môđun nhỏ nhất cần tìm là

   

     

   

   

Câu 3 Cho các số phức ,z w thỏa mãn z  2 2i  z 4 ,i w iz 1. Giá trị nhỏ

nhất của w là:

A. 2

2

B 3

3 2

2 3

GỢI Ý GIẢI

 Đặt z  a bi;a b  , , khi đó z 2 2i    a 2 (b 2)i và z 4i   a (b 4) i

 Ta có   2 2 2  2

a   b a  b      a b b a

 Khi đó w iz  1 ( a bi i )    1 1 b ai w  a2 b12  a2a12

 Dễ thấy  

2 2

a  a  a     a



2

w  Vậy min 2

2

w 

Chú ý: Bài toán trên là một dạng cực trị trong số phức Lời giải đã chuyển YCBT về tìm GTNN của hàm số biến số a (Có nhiều cách giải quyết công đoạn này)

Câu 4. Cho các số phức z thỏa mãn z 4 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w(3 4 i z i )  là một đường tròn Tính bán kính r của đường tròn đó

GỢI Ý GIẢI

 Cách 1: Phương pháp đồng nhất thức

 Đặt zabi với a b  , thì từ z 4 suy ra 2 2 2 2

a b  a b 

 Ta có w (3 4 )(  i a bi )  i 3a 4b (3b 4a 1)i

 Vì tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn nên tồn tại các hằng số x y r0 , 0 , sao cho

(3 4 ) (3 4 1 )

(3 4 ) 2 (3 4 ) (3 4 ) 2(1 )(3 4 ) (1 )

(3 4 ) (3 4 ) 2 (3 4 ) 2(1 )(3 4 ) (1 )

400 ( 6 8 8 ) (8 6 6) (1 )

      

Đẳng thức trên luôn đúng với mọi a b, thỏa mãn 2 2

16

a b  nên ta cần phải có



 Thay vào ta được 2

r   r Chọn câu C

Cách 2: Dùng định nghĩa và tính chất môđun của số phức

 Theo giả thiết ta có hệ phương trình:

 

 

4 1

3 4

z

w i

i

 









 Thay (2) vào (1) ta được: 4 4 20 * 

w i

w i

w i i







 Gọi wx yi; ,x y ,  *  xyi i 20 x2 y12 20

 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I(0;1), bán kính R 20.Vậy chọn C

Bình luận:

Học sinh cần nắm được ưu, khuyết điểm trong mỗi cách giải trên Cụ thể là:

- Cách 1 là cách giải trực tiếp, mang tính chất hàn lâm, biến đổi phức tạp

- Cách 2 là cách giải gián tiếp, phù hợp với đặc trưng hình thức kiểm tra trắc nghiệm khách quan

7

HÌNH VẼ MINH HỌA

Câu 5. Cho các số phức z thỏa mãn: z 1 2i  5 Tìm số phức w cĩ mơđun lớn nhất

biết w z  1 i

A. w4 2  i B w4 2  i C w  4 2 i D w  4 2 i

GỢI Ý GIẢI

HÌNH VẼ MINH HỌA

 Cách 1: Tìm số phức z suy ra số phức w



Gọi điểm biểu diễn số phức

thuộc đường tròn tâm 1 2 bán kính 5





; ( ; 1) ( ) C

lớn nhất lớn nhất là đường kính của đtròn

đối xứng qua

Tìm được 3 3 suy ra 3 3 Vậy 4 2 là số phức cần tìm







( )

Cách 2: Từ điều kiện z suy ra điều kiện w , tìm w

Gọi điểm ( ; ) biểu diễn số phức , ; 1 1

thuộc đường tròn ( ) tâm (2; 1), bán kính 5



Nhận xét: Đường tròn ( ) qua gốc tọa độ , nên lớn nhất khi và chỉ khi

đối xứng với qua Ta được (4; 2) Vậy số phức cần tìm là 4 2



Cách 3: Lượng giác hĩa tọa độ điểm biểu diễn số phức z

Gọi điểm biểu diễn số phức

thuộc đường tròn tâm 1 2 bán kính 5



Xét 2 Điều kiện tồn tại là 5 5 (Bđt BCS)

M



sin cos

2

3 5

Do đó 20 Tìm được: Vậy số phức cần tìm là 4 2

5

max

sin

cos

x

y



 



 



   





Chú ý:

Cách 2 là cách giải gián tiếp (quy lạ thành quen) , kết hợp khéo léo định nghĩa mơđun số phức và tính chất đường kính là dây cung lớn nhất của đường trịn

Câu 6 Gọi  H là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức

z  a bi;a b  , thỏa mãn a2 b2    Tính diện tích hình  1 a b H

A 3 1

 

B

4



 

D 1 2

9

GỢI Ý GIẢI

HÌNH VẼ MINH HỌA

 Gọi M a b biểu diễn số phức z ;  a bi;a b  ,

 Ta có

2 2

1

1

a b



 Suy ra diện tích của hình ( )H là 1 2 1 1



Chú ý: Cách 2 là cách giải gián tiếp (quy lạ thành quen) , kết hợp khéo léo định nghĩa môđun số phức và tính chất đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn

Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn: 2  3 1

4.

i z i

z i



 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức 1

1

w

iz



 trên mặt tọa độ là một đường tròn Tìm bán kính R của đường tròn đó

GỢI Ý GIẢI

1

2 4 2 4 2 4

1

i





 Đặt wxyi x y , ,   có x 2 y1i 4 x2 2 y12 16. Vậy R  4.

Câu 8 Cho 3 số phức z z1, , 2 z phân biệt thỏa mãn 3 | | | | | | 3z1  z2  z3  và  

1 2 3

z z z

Biết z z1, , 2 z lần lượt được biểu diễn bởi các điểm , ,3 A B C trên mặt phẳng phức Tính số

đo góc ACB ?

GỢI Ý GIẢI

HÌNH VẼ MINH HỌA

 Ta có OA z ,OB1  z ,OC2  z3 3 (với O là gốc tọa độ) (1)

2 3

2 2 3

1

2 2 2

1 2 3 1 1 3 1 2 3

z z  z  z z  z z  z z  z  z  z   

  

1

 (1), (2) suy ra tứ giác OACB là hình thoi, đồng thời tam giác OAC đều Vậy  ACB 120 0

Chú ý:

- Cách giải trên rất thú vị khi kết hợp việc biểu diễn hình học và các tính chất của số phức

- Lời giải đã sử dụng quy tắc Hình bình hành trong phép cộng hai vectơ

- Bài toán có thể phát biểu tổng quát với giả thiết | | | | | |z1  z2  z3 a a; 0

11

Câu 9 Cho các số phức z và 1 z2 thỏa mãn z1  z2  z1z2 1.Tính z1z 2

GỢI Ý GIẢI

Cách 1: Dùng định nghĩa môđun số phức

 Đặt z1  a1 b i z1 , 2  a2 b i a b a b2 ; , , ,1 1 2 2  

 Ta có

2 2

1 1 1

2 2

1 2

1 2 1 2

1 1

z





2 2 2 2

1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

a a b b



z z  a a  b b  a b  a b  a a b b 

 Cách 2: Áp dụng tính chất:  z , z2  z.z

2 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2







 Từ đó suy ra 2 2  2 2

z z  z z  z  z  z z  .

 Cách 3: Biểu diễn hình học của số phức

HÌNH VẼ MINH HỌA

 Đặt OA z ,OB1  z2 ( với O là gốc tọa độ; A, B lần lượt là các điểm biểu diễn z ,z1 2)

 Dựng hình bình hành OACB tâm M, khi đó OA z1 1, OB z2 1, AB z1z2  1

 Suy ra tam giác OAB đều có độ dài cạnh bằng 1, OM là đường cao nên có

1 2

3

2

OC  z z  .OM  .  Vậy z1z2  3.

Câu 10 Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1z2  8 6i và z1z2 2.Tìm giá trị lớn nhất của P z1  z 2

GỢI Ý GIẢI

HÌNH VẼ MINH HỌA

 Đặt OA z ,OB1  z2 ( với O là gốc tọa độ; A, B lần lượt là các điểm biểu diễn z ,z1 2)

 Dựng hình bình hành OACB, khi đó ta có AB z1z2 2, OC z1z2 10, OM 5

 Theo định lí đường trung tuyến trong tam giác OAB ta có:

1 2

4

 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

z1  z2  2z12  z22 2 26 maxP 2 26

Chú ý: Bài toán trên là một dạng toán khá thú vị về cực trị trong số phức