Phương pháp sáng tác một số bài toán phép biến hình trong tọa độ phẳng hình thức trắc nghiệm vận dụng cao

Theo đó, để làm tốt đề thi trắc nghiệm Toán, thí sinh cần phải chú ý nắm chắc kiến thức lí thuyết, các công thức, phải học đều hơn toàn bộ chương trình và rèn kĩ năng đáp ứng tốt các hìn

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

MÔ TẢ GIẢI PHÁP

Mã số:………

1 Tên sáng kiến:

“Phương pháp sáng tác một số bài toán phép biến hình trong

tọa độ phẳng hình thức trắc nghiệm vận dụng cao”

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Phương pháp dạy học toán ở trường THPT

3 Mô tả bản chất sáng kiến:

3.1 Tình trạng giải pháp đã biết:

- Từ năm 2017, theo phương án của Bộ GD – ĐT, đề thi THPT QG môn toán tiến hành theo hình thức trắc nghiệm khách quan, nội dung thi nằm trong chương trình lớp 12 cấp THPT Năm học này (2017-2018), nội dung thi nằm trong chương trình lớp 11 và lớp 12 Từ năm học 2018-2019, nội dung thi nằm trong chương trình cấp THPT Hơn nữa, đề thi bao gồm các câu hỏi ở cấp độ cơ bản, phục vụ mục đích xét công nhận tốt nghiệp THPT và các câu hỏi phân loại phục vụ mục đích xét tuyển ĐH-CĐ

- Trong bài Dạy và học thế nào để thi trắc nghiệm Toán (đăng trên Báo

Người Lao Động – Tháng 10/ 2016), TS Trần Nam Dũng (ĐH Khoa học Tự nhiên –

ĐH Quốc gia TP HCM) có viết: “Sẽ là sai lầm nếu nói rằng cách thi không ảnh hưởng cách học ” Theo đó, để làm tốt đề thi trắc nghiệm Toán, thí sinh cần phải chú ý nắm chắc kiến thức lí thuyết, các công thức, phải học đều hơn toàn bộ chương trình và rèn kĩ năng đáp ứng tốt các hình thức kiểm tra (trắc nghiệm, tự luận và vấn đáp) Về phía Thầy Cô, trong quá trình hình thành kiến thức cho học sinh, cần phải có những bài giảng lí thuyết kĩ càng giúp cho học sinh ghi nhớ cốt lõi của vấn đề Bên cạnh đó, việc xây dựng ngân hàng đề trắc nghiệm có chất lượng chuẩn bị cho lộ trình dạy và học lâu dài là điều thiết yếu và cực kì quan trọng Tuy nhiên, việc xây dựng một đề thi trắc nghiệm có chất lượng thực sự không đơn giản, phải tránh sa đà vào những định hướng mang tính chủ quan của người ra đề, gây bất lợi cho học sinh Việc ra đề kiểm tra bằng những hình thức khác nhau cũng giúp cho người Thầy đánh giá được học sinh có hiểu được bản chất vấn đề hay không Đồng thời phải lưu ý cho học sinh việc sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) một cách thông minh và tỉnh táo nhưng không lạm dụng và tuyệt đối hóa năng lực của nó, bởi lẽ MTCT khó làm việc với tham số và sẽ không hỗ trợ nhiều cho những bài toán định tính Nếu học sinh không nắm chắc bản chất vấn đề mà chỉ lệ thuộc vào MTCT thì đôi khi việc giải quyết bài toán trở nên nặng nề, phức tạp và cũng không phù hợp thời gian cho phép

- Với những lí do trên, bộ môn toán nói chung và phân môn hình học nói riêng phải có lộ trình chuẩn bị chu đáo và cẩn thận Riêng nội dung Phép biến hình trong mặt phẳng, học sinh THPT được học ở đầu chương trình Hình học lớp

11, trên nền tảng đã học Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở chương trình Hình

học lớp 10 Vì thế, nếu không hướng dẫn học sinh nắm chắc kiến thức căn bản từ khi mới tiếp cận thì các em không thể nào đủ sức giải thành công những câu ở mức độ vận dụng cao trong thời gian tương đối ngắn (trung bình 1,8 phút/ câu) Do vậy, việc

ra đề trắc nghiệm liên quan đến Phép biến hình trong tọa độ phẳng cho các em học

sinh ôn thi THPT QG là một việc làm tất yếu và thường xuyên Có như thế, người Thầy mới tích lũy được hệ thống câu hỏi ở mức độ vận dụng cao nhằm mục đích vừa kiểm tra được kĩ năng tư duy hình học của học sinh vừa đáp ứng yêu cầu thời gian làm bài trắc nghiệm cùng với sự hỗ trợ hợp lí của MTCT

3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:

* Mục đích của giải pháp:

Việc định hướng xây dựng một đề thi trắc nghiệm có liên quan phép biến hình trong tọa độ phẳng hình thức trắc nghiệm vận dụng cao cần phải có sự đầu

tư đúng mức về nội dung và sự gia công tương xứng về hình thức (các câu hỏi cần phải kiểm tra được một định nghĩa hoặc một tính chất hình học đặc trưng của phép biến hình nào đó ứng một hình ảnh thực sự gây ấn tượng cho học sinh trong quá trình tích lũy kiến thức) Vì thế, SKKN này giúp cho giáo viên dạy toán không ngừng nghiên cứu sâu về chuyên môn và phương pháp giảng dạy, làm cho công việc soạn giảng trở nên nhẹ nhàng và thú vị qua từng năm học, nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán cấp THPT Cụ thể:

- Chứng tỏ sự đam mê nghiên cứu chuyên môn của người thầy, đồng thời giúp cho học sinh thêm yêu thích bộ môn mình giảng dạy

- Học sinh được trang bị kiến thức nền vững vàng, được rèn kĩ năng làm bài với nhiều hình thức kiểm tra và dễ dàng giải quyết thành công các bài toán nâng cao

- Quá trình dạy học là bao gồm quá trình tự học và quá trình tương tác tích cực với người học Dạy và học đều phải không ngừng tích lũy kinh nghiệm, khám phá kiến thức và phương pháp mới, đặc biệt đối với bộ môn toán

- Nhiệm vụ của người Thầy không chỉ là sưu tầm những bài toán có sẵn cho học sinh tham khảo mà còn phải không ngừng nghiên cứu sáng tác các bài toán mới vừa phát triển năng lực đọc hiểu, năng lực tư duy vừa phát huy năng lực sử dụng MTCT cho học sinh Như thế mới góp phần cho việc dạy và học thật sự hiệu quả

- SKKN này không chỉ vận dụng những định nghĩa, tính chất hình học thuần túy mà học sinh được học ở bậc THPT mà còn chú ý khai thác những tính chất hình học đặc trưng mà các em được lĩnh hội từ cấp THCS

* Tính mới của giải pháp:

- SKKN này giới thiệu một số câu hỏi phép biến hình trong tọa độ phẳng hình thức trắc nghiệm khách quan mức độ vận dụng cao qua việc ứng dụng một

số định nghĩa, tính chất của phép biến hình, đồng thời kết hợp một số tính chất hình học phẳng thuần túy đặc trưng mà học sinh được học từ cấp THCS đến bậc THPT

Cụ thể là:

+ Định nghĩa và các tính chất của phép biến hình: Phép tịnh tiến; Phép đối xứng trục; Phép đối xứng tâm; Phép quay, Phép vị tự…

+ Phối hợp các phép biến hình (Tích các phép biến hình)

+ Biểu thức tọa độ của các phép biến hình

+ Các tính chất của hình học phẳng thuần túy: song song, vuông góc, đối xứng…

+ Phương trình của các đường trong tọa độ phẳng: Đường thẳng; Đường tròn; Các đường Conic (phương trình chính tắc)

- SKKN này giúp người dạy và người học có cái nhìn bao quát và hệ thống các

kiến thức chuyên sâu của phép biến hình trong tọa độ phẳng, giúp cho học sinh

cảm nhận thêm vẻ đẹp của hình học trong toán học Từ đó khơi dậy lòng đam mê học tập của học sinh đối với bộ môn toán

- SKKN này đã trình bày đầy đủ và chặt chẽ các lời giải chi tiết tương ứng

cho từng câu trắc nghiệm mà không nặng nề về tính toán Hơn nữa, SKKN còn

giới thiệu một số cách giải đặc biệt qua việc vận dụng các kĩ thuật, tính chất của hình học thuần túy, giúp cho việc giải quyết vấn đề một cách nhẹ nhàng và thú vị

- SKKN này còn hướng đẫn học sinh sử dụng máy tính CASIO một cách hợp

lí ở một vài công đoạn, chứ không hoàn toàn lệ thuộc vào MTCT, không lạm dụng

và tuyệt đối hóa năng lực của MTCT Điều này giúp cho người dạy và người học vừa phát huy tư duy hình học vừa ứng dụng MTCT một cách thông minh và khéo léo

- SKKN này có sự ứng dụng các phần mềm toán GeoGebra và Geometer’s Sketchpad minh họa các hình vẽ tương đối chính xác nhằm hỗ trợ giải quyết một cách khoa học các vấn đề trọng tâm được đặt ra, qua việc trình bày lời giải trực quan

và gây được ấn tượng sâu sắc cho học sinh Từ đó học sinh dễ dàng ghi nhớ và tái hiện lại kiến thức khi cần thiết

- SKKN này có sự ứng dụng phần mềm SnagIt hỗ trợ cho công việc soạn giảng

được nhẹ nhàng và bài soạn mang tính thẩm mỹ cao

- Thực tế, SKKN này đã áp dụng tính năng mạnh mẽ của phần mềm Maple 2017 minh họa việc sáng tác một số dạng câu trắc nghiệm phép biến hình trong tọa độ phẳng mức độ vận dụng cao, đặc biệt với các bài trong chương trình toán THPT hiện hành (THPT và THPT Chuyên) Từ đó người dạy có thể ra hàng loạt đề bài với mức độ tương đồng hoặc nâng cao nhằm kiểm tra toàn diện năng lực học toán của học sinh THPT

Vì khuôn khổ bài viết nên chúng tôi mạn phép giới thiệu hai nội dung cụ thể của SKKN này như sau:

Phần 1: Giới thiệu một số câu phép biến hình trong tọa độ phẳng hình thức trắc nghiệm vận dụng cao

Câu 1 Biết rằng phép tịnh tiến

u

T biến đường tròn ( ) : (C x m )2 (y2)2 5 thành đường tròn  C' :x2 y2 6x2(m2)y m 2120 Xác định u

A u   2; 1

B u2; 1 

C u 2;1 

D u 2;1

GỢI Ý GIẢI

( )C có tâm  I( m;2), bán kính R 5;( ')C có tâm I'(3;m2), bán kính R' 1 4 , m

u

C T C nên R'R  5 1 4 m m  (thỏa 1 1

4

m  ) Vậy u 2;1



Câu 2 Cho parabol ( ) :P yx2 3x5.Tịnh tiến ( )P qua phải hai đơn vị rồi tịnh tiến

xuống dưới một đơn vị được ảnh là ( ')P Tìm phương trình của ( ') P

A y x2 x8 B y x2 7x14 C y x2 7x14 D y x27x13

GỢI Ý GIẢI

HÌNH VẼ MINH HỌA

 Ta có vectơ tịnh tiến là u2; 1 

 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là      



y y y y Thay vào pt ( )P ta được

 2 

' ' 7 ' 14

y x x Vậy  P' :y x2 7x14

CÁCH KHÁC:

Áp dụng Định lí trang 43, sách GK Đại số 10 nâng cao, ta có pt ( ')P cần tìm là:

y x  x   y x  x

Nhận xét:

Bài toán trên thực chất là: Tìm ảnh của một parabol qua hợp của hai phép tịnh tiến bằng phương pháp tọa độ Cách giải thứ hai ưu thế hơn

Câu 3 Cho hai đường thẳng ( ) : 2d x3y 3 0,( ') : 2d x3y 5 0 Tìm tọa độ của u

có giá vuông góc với đường thẳng ( )d để ( ') d là ảnh của ( ) d qua

u

T



16 24

;

13 13

u

B



16 24

;

13 13

16 24

;

13 13

16 24

;

13 13

u

GỢI Ý GIẢI

HÌNH VẼ MINH HỌA

 Gọi ua b; 



; u( )d 3;2



là vectơ chỉ phương của ( ).d

 Vì u



có giá vuông góc với đường thẳng ( )d nên  u u( )d u u  ( )d 03a2b0

(1)

 Ta có  '   

u

d T d Gọi        

 



'

'

u





 

   



' ( ') 2 ' 3 ' 5 0

 Giải hệ gồm (1) và (2) được









  



16 13 24 13

a b



16 24

;

13 13

u



Câu 4 Cho hai đường thẳng ( ) : 3d x5y 3 0,( ') : 3d x5y240 Tìm tọa độ của u

 biết u  13



và ( ) ( ').

u

T d d

A

 









  



29 54

;

17 17

2;3

u

u

B.

 

 



  



29 54

;

17 17 2;3

u u



 





 



 



29 54

;

17 17 2;3

u u

D

 









 



29 54

;

17 17 2;3

u u

GỢI Ý GIẢI

 Gọi ua b; 

Theo đề u  13a2 b2 13 (1)

 M x y( ; ) ( ) d 3x5y 3 03x5y 3 (*);

  

 



'

'

u



 M' ( ') d 3 ' 5 ' 24x  y  03(x a ) 5( y b ) 24 0 (2)

 Thay (*) vào (2) ta được 

 5 21

(3) 2

b a

 Giải hệ (1), (3), được







   



Chú ý: Dùng máy tính CASIO hỗ trợ giải hệ phương trình trên

Nhận xét:

Lời giải trên kết hợp khéo léo giữa biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến và độ dài của vectơ tịnh tiến.

Câu 5 Cho hai đường thẳng ( ) :d x2y20,( ') :d x2y 8 0. Phép đối xứng tâm I

biến  d thành  d và biến trục Ox thành chính nó Tìm I '

A. I(3; 0) B I( 3;0) C I(0;3) D I(0; 3)

GỢI Ý GIẢI

 Gọi I a b  ;  M x y( ; ) ( ) d  x2y  2 (1);   



' 2

' 2

I

 M' ( ') d  x' 2 ' 8 0 y    (x2 ) 2y  a4b 8 0 (2).Từ (1), (2) được: a 2b3

 Để trục Ox biến thành chính nó thì tâm đối xứng phải thuộc trục Ox, suy ra b0

 Từ đó có hệ     



b b Vậy I(3; 0)

Nhận xét:

Lời giải trên kết hợp giữa biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm và chú ý tâm đối xứng cần tìm phải thuộc trục Ox

Câu 6 Cho hai đường thẳng ( ) : 2d x y  1 0,( ) : 3l x y 90 và hai điểm A(2; 4), (1;1)

B Biết rằng M( ),d N( )l thỏa tứ giác ABMN là hình bình hành Tìm tọa độ M

A M(1;3) B M( 1; 1)  C. M(2;5) D M(3; 7)

GỢI Ý GIẢI

HÌNH VẼ MINH HỌA

 Ta có  '   

BA

d T d ;  d' : 2x y  6 0

 ABMN là hình bình hành  BA MN

Suy ra   

BA

N T M Do đó N là giao điểm của

 l và  d '

 Tọa độ N là nghiệm của hệ:     



x y y Suy ra N(3;0), M(2;5).

Chú ý: Dùng máy tính CASIO hỗ trợ giải hệ phương trình trên

Nhận xét:

Trong lời giải trên đã sử dụng một dấu hiệu nhận biết hình bình hành (Một

cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau) thông qua ngôn ngữ vectơ.

Câu 7 Tìm phương trình đường thẳng ( ')d là ảnh của đường thẳng ( ) : 2d x y  3 0 qua việc thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo u(1;2)

và phép đối xứng tâm I(2;1)

A 2x y  5 0 B. 2x y  5 0 C 2x y  5 0 D 2x y  3 0

GỢI Ý GIẢI

 Gọi  1     ; '  I 1 , ( ; ) ( ), 1( ; ) ( ),1 1  1 '( '; ') ( ')

u

 Ta có   



 



1

1

1 (1) 2

  





  



1

1

' 4

(2) ' 2

y y Từ (1) và (2) có

  



  



3 '

4 '

 Thay vào pt ( )d ta được 2 'x y' 5 0.  Vậy ( ') : 2d x y  5 0

Nhận xét:

Bài toán trên thực chất là: Tìm ảnh của một đường thẳng qua hợp của hai phép biến hình bằng phương pháp tọa độ

Câu 8 Cho hai parabol  P :yax2, P' :ybx a2, b Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến  P

thành  P Tìm k '

A  a

k

b k

b k

a k b

GỢI Ý GIẢI

HÌNH VẼ MINH HỌA

 Gọi  P' V( , )O k  P ; ( ; ) ( ),M x y  P M x y'( '; ') ( ') P

 Ta có  







'

'

x kx

y ky Suy ra b kx 2 kax2 k a

b

Nhận xét:

Bài toán trên thực chất là: Tìm tỉ số vị tự của hai dạng parabol cho trước dựa vào công thức tọa độ của phép vị tự

Câu 9. Phép biến hình F biến M x y thành ( ; ) M x y xác định bởi biểu thức tọa độ sau: '( '; ')





' 3 4

' 3 2

y y Hỏi F là phép biến hình nào sau đây?

A Phép tịnh tiến B Phép quay C Phép vị tự D.Phép đối xứng tâm

GỢI Ý GIẢI

 Gọi  J F J M x y ; ( ; )M x y'( '; ') Ta có       

 Vậy J(2;1) là tâm vị tự

 Ta có JM x( 2;y1),JM x'( ' 2; ' 1) hay  y  JM' 3 x6;3y3 

Suy ra JM' 3 JM

 

 Vậy F là phép vị tự tâm J tỉ số  3 k

Nhận xét:

Bài toán trên thực chất là: Nhận dạng phép biến hình theo công thức tọa độ

Câu 10 Cho đường tròn   C' : x4 2 y12 9 Tìm phương trình đường tròn  C

sao cho  C là ảnh của '  C qua phép biến hình ở Câu 9

A x2y12 9 B x2 y12 9 C x2 y12 1 D. x2y12 1

GỢI Ý GIẢI

HÌNH VẼ MINH HỌA

 Ta có   C' : x' 4  2 y' 1 2 9 Thay   





' 3 4 ' 3 2

y y vào phương trình  C ta được: '

3x 4 4 2  3y 2 12 9x2y12 1

 Vậy ( ) :C x2 y12 1

Phần 2: Dùng phần mềm Maple 2017 sáng tác một số bài toán phép biến hình trong tọa độ phẳng

2.1 Giới thiệu một phần giao diện Maple 2017 và chọn chương trình làm việc