Giúp học sinh nâng cao kỹ năng giải một số bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số

Tên sáng kiến: GIÚP HỌC SINH NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI TỐT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.. Mô tả bản chất của sáng kiến 3.1.Tình trạng giải pháp đã biết Như c

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

Mã số:………

1 Tên sáng kiến:

GIÚP HỌC SINH NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI TỐT MỘT SỐ

BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

(Nguyễn Hữu Thi, Nguyễn Hữu Thái, Nguyễn Thị Hồng Châu, Trịnh Thị Bé

Hai,Nguyễn Văn Tâm, @THPT Ngô Văn Cấn)

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chương trình Toán THPT khối 12

3 Mô tả bản chất của sáng kiến

3.1.Tình trạng giải pháp đã biết

Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một trongnhững bài toán không thể thiếu trong các kì thi quan trọng của học sinh khối12: thi HKI, thi TN THPT Quốc gia Trong đó thường gặp nhiều bài toán

“Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc có cực trị trong khoảng K” Khi giải bài toán này sẽ đưa đến vấn đề “Tìm điều kiện để y < 0 (yy > 0) trên K hoặc phương trình y= 0 có nghiệm trên K” Đây thực chất là vấn đề so sánh

nghiệm của một phương trình bậc hai với số thực  Nếu theo chương trìnhsách giáo khoa cũ lớp 10 thì học sinh có thể vận dụng định lí đảo về dấu củatam thức bậc hai và các hệ quả của nó để giải bài toán Tuy nhiên có nhiều bàitoán đưa đến việc phải xét nhiều trường hợp do đó lời giải khá dài dòng vàphức tạp Hơn nữa, theo chương trình sách giáo khoa mới của Bộ giáo dụcđang phát hành thì phần kiến thức liên quan đến định lí đảo và các hệ quả của

nó đã được giảm tải Do đó chúng ta gặp phải vấn đề “Làm thế nào để giải bài toán trên một cách hiệu quả mà chỉ cần vận dụng các kiến thức được học trong chương trình sách giáo khoa hiện hành” Với suy nghĩ nhằm giúp các

em hiểu các dạng và vận dụng tốt việc giải các bài toán thuộc lĩnh vực này

cũng như tạo hứng thú hơn trong việc học tập môn toán của học sinh, đồng thờinâng cao chất lượng giảng dạy nên tôi đã tìm hiểu, tổng hợp và thực hiện nhiềunăm qua thấy có hiệu quả cao Hôm nay tôi viết đề tài này để trao đổi với đồng

nghiệp, rút thêm kinh nghiệm cho bản thân Đề tài:“GIÚP HỌC SINH NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI TỐT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ”.

3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến

3.2.1 Mục đích của giải pháp

- Sáng kiến này nhằm mục đích chia sẽ đồng nghiệp một số kinh nghiệm giúphọc sinh khối 12 vận dụng kiến thức giải tốt một số bài toán về tính đơn điệu,cực trị của hàm số

- Sáng kiến này đưa ra một số dạng toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số ởmức độ vận dụng của chương trình Toán lớp 12 để có giải pháp cũng nhưphương hướng giải quyết bài toán hiệu quả hơn, góp phần nâng cao chất lượnghọc tập của học sinh

- Vấn đề ở đây là phần kiến thức này khá nặng cho đối tượng học sinh khôngđược khá giỏi Thậm chí học sinh khá giỏi còn phải lúng túng khi gặp các bàitoán này Vì vậy cần phải có một giải pháp để giúp các em học sinh khối 12nắm vững phần kiến thức quan trọng này

3.2.2 Điểm mới trong giải pháp

Qua quá trình nghiên cứu và tìm giải pháp giúp học sinh nâng cao kỹ nănggiải tốt một số bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số có những điểm mớinhư sau:

+ Các bài toán được tổng hợp lại và được hệ thống thành các dạng được giảitheo các cách nhanh, gọn, đơn giản hóa vấn đề

+ Các bài toán về nội dung này hoàn toàn không sử dụng định lý đảo về dấucủa tam thức bậc hai (nội dung này đã giảm tải)

+ Các dạng bài tập được thực hiện từ đơn giản đến nâng cao hơn Phần lớnthực hiện giải bằng phương pháp tự luận, có kết hợp máy tính bỏ túi Lúc đầuhọc sinh sẽ thấy khó khăn, tuy nhiên khi hiểu rõ các bước giải học sinh sẽ thấy

dễ thực hiện và thích rèn luyện kỹ năng về nội dung này Khi áp dụng cácphương pháp giải trên vào bài tập tự luận cũng như trả lời các câu hỏi trắc

nghiệm khách quan thì học sinh rất phấn khởi, vui vẻ, hứng thú và làm bài rất tự tin.

+ Nếu   0 thì phương trình (1) vô nghiệm

+ Nếu   0 thì phương trình (1) có nghiệm kép 1 2

c)Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm.

+ Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x R : ax2bx c 0 1  a0

* Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  P 0

* Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu   P 00



* Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương

000

P S

* Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm

000

P S

1.2.Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

+ Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến trên K là f x'( ) 0,  x K

đồng thời f x '( ) 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K

+ Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến trên K là f x'( ) 0,   x K

đồng thời f x '( ) 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K

* Bài toán 1: Cho hàm số: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (y1) (ya0)

Tìm điều kiện để hàm số (y1):

y g t  at  ab t a  bc.a) Hàm số (1) đồng biến trong khoảng( ; )

000000

a a

S P

a a

S P

* Ví dụ 1: Cho hàm số : y = 1 1 3 2 1 2 3 2 1 1

3 m x  m x  m x (y1)

(m 1)

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:

a) Đồng biến trên khoảng (  ; 1).

b) Đồng biến trên khoảng (1;).

c) Đồng biến trên khoảng ( 1;1)

Txđ: D = R

2

y f x m x  m x  m Ta có:y' 0  f x( ) 0.

2

2 2

+

4

11 -1

Từ bảng biến thiên ta được : 4

b) Hàm số đồng biến trong khoảng

đồng biến trong khoảng (1;)

b) Hàm số đồng biến trong khoảng (1;)

-4

Từ bảng biến thiên ta được : m 0

Kết luận : m 0 thì hàm số (1) đồng biến trong khoảng (1;)

c) Hàm số đồng biến trong khoảng

+ 0

-g(x)

1

24

11

0 1

*Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (y1) (ya0)

a)Tìm điều kiện để hàm số (y1) nghịch biến trên ( ; ) b)Tìm điều kiện để hàm số (y1) nghịch biến trên ( ; ) c)Tìm điều kiện để hàm số (y1) nghịch biến trên ( ; ) 

 h m( )g x( ),   x ( ; )  h m( ) (Max g x ; ] ( )

b)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng( ; )

 h m( )g x( ), x ( ; )  h m( ) [ ;Max g x ) ( )

c) Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng( ; ) 

y g t  at  ab t a  bc

.a)Hàm số(1) nghịch biến trong khoảng( ; )

a a

S P

a a

S P

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (y1):

a) Nghịch biến trên khoảng ( ; 2).

b) Nghịch biến trên khoảng (2;)

Đặt t = x – 2 ta được :y’ = g(t) =

(m 1)t (4m 2m 6) t 4 m 4m10a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng( ; 2)

a a

S P

a a

S P

*Bài toán 3: Cho hàm số : y ax2 bx c (2), ( ,a d 0)

0( )

( ; ]

( ) ( ),

e d

g x h m x e

[ ; )

( ) ( ),

e d

g x h m x e

g x h m x e

0( ) 0

g t adt  a de t ad   ae be dca) Hàm số (2) đồng biến trong khoảng

( ; )

( ) 0, 0 (**)

e d

000

a a

S P

000

a a

S P

000( ) 0

( ) 0

00( ) 0

 g x'( ) 4 x 4a)Hàm số (2) đồng biến trên (  ; 1)

Kết luận: Vậy m 9thì hàm số (2)

đồng biến trên (  ; 1)

x  

g’(x ) -1

-g(x) 

9

Kết luận: Vậy m 9thì hàm số (2) đồngbiến trên (  ; 1)

+



3

Kết luận: Vậy m 3 thì hàm số (2) đồng biến trên (2;)

m m m

*Bài toán 4: Cho hàm số :

a)Tìm điều kiện để hàm số (y2) nghịch biến trên ( ; ) .

b)Tìm điều kiện để hàm số (y2) nghịch biến trên ( ; ).

c)Tìm điều kiện để hàm số (y2) nghịch biến trên ( ; )  .

0( )

( ; ]

( ) ( ),

e d

g x h m x e

[ ; )

( ) ( ),

e e

d d

g x h m x e

0( ) 0

000

a a

S P

000( ) 0

( ) 0

00( ) 0( ) 0

ad

ad

f S f S

000

a a

S P

00

S P

m m m

m m

Kết luận: Với m  2 3thì hàm số

(2) nghịch biến trên ( ;1)

Kết luận: Với m  2 3thì hàm số (2) nghịch biến trên ( ;1)

00

S P

m m m

*Bài toán 5: Cho hàm số : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (y1) (ya0).

Tìm điều kiện để hàm số (y1) :

( ; )( ) 0

S P

P

S P

g t

  có hai nghiệm t 1,t2

thỏa mãn : t1t2 0' 0

00

S P

S P

S P

Kết luận: Với 1 m 2thì hàm số (1) có cực trị trong khoảng ( ;1)

S P

Kết luận: Không có giá trị nào của

m thỏa mãn yêu cầu của bài toán

d) Hàm số(1) có hai cực trị x 1, x2 thỏa mãn: x1x2 1

( ) 0

g t

  có hai nghiệm t 1,t2

thỏa mãn : t1t2 0' 0

00

S P

Kết luận: Không có giá trị nào của m thỏa

mãn yêu cầu của bài toán

g t

  có hai nghiệm t 1,t2 thỏa mãn:

0 t t

S P

P

S P

00

P

S P

S P

x mx m y

có nghiệm t < 0 (*)

và g m (2 1)0(1*).

0' 0(*)

00

P

S P

có nghiệm t > 0 (**)

và g m (2 1)0(2*).

0' 0(**)

00

P

S P

thỏa mãn : t1 0 t2(***)

S P

3.3 Khả năng áp dụng của giải pháp:

Khả năng áp dụng của giải pháp này là học sinh THPT khối 12

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là học sinh lớp 12C1, 12C2, 12C3, 12C9

3.4 Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp:

Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán ở trườngTHPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học, nhiều emcảm thấy bất ngờ khi mà một số bài toán tưởng chừng như không thể giải quyếtnếu không có công cụ là định lý đảo về dấu tam thức bậc hai và các hệ quả, thìnay lại được giải quyết một cách đơn giản, dễ hiểu bằng cách ứng dụng đạohàm và một định lý quen thuộc là định lý Vi-et Chính vì các em nhận thấy vớimỗi bài toán nếu ta chịu tìm tòi sáng tạo thì sẽ phát hiện được rất nhiều điều bổích neân rất hứng thú với môn học Do đó mỗi năm học tôi nhận thấy chất lượngcủa môn toán nói riêng, và kết quả học tập của các em học sinh nói chung đượcnâng lên rõ rệt, có nhiều em đầu năm là học sinh yếu nhưng cuối năm đã vươnlên để trở thành học sinh trung bình, khá và giỏi Trong các kỳ thi quan trọng

có nhiều em đạt điểm khá cao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhàtrường Cụ thể:

Qua quá trình nghiên cứu, kết quả đạt được rất tốt Trong năm học 2017 –2018(đã áp dụng giải pháp này), kết quả lớp 12C1, 12C2, 12C3, 12C9 cao hơn,chất lượng được nâng lên rất cao, nhất là số lượng học sinh đạt khá giỏi

Cụ thể kết quả bài kiểm tra định kỳ chương 1 Giải tích 12:

Khá(%)

Tb(%)

Yếu(%)

Kém(%)

3.5 Tài liệu kèm theo gồm: không có

Bến Tre, ngày 20 tháng 3 năm 2018