Toán tử tích phân loại hardy và các giao hoán tử của chúng trên một số không gian hàm

Chu©n cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh p-adic Hardy-Ces ro tr¶n t½ch c¡c khæng gian Lebesgue v t½ch c¡c khæng gian kiºu Morrey.. T½nh bà ch°n cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces ro tr¶n t½ch c¡c

BË GI•O DÖC V€ €O T„OTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI

*

NGUY™N THÀ HÇNG

TO•N TÛ T•CH PH…N LO„I HARDY

V€ C•C GIAO HO•N TÛ CÕA CHÓNG TR–N

MËT SÈ KHÆNG GIAN H€M

LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC

H Nëi - 2019

BË GI•O DÖC V€ €O T„OTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI

*

NGUY™N THÀ HÇNG

TO•N TÛ T•CH PH…N LO„I HARDY

V€ C•C GIAO HO•N TÛ CÕA CHÓNG TR–N

LÍI CAM OAN

Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi d÷îi sü h÷îngd¨n cõa GS.TSKH Nguy¹n Minh Ch÷ìng v TS H Duy H÷ng C¡c k¸t qu£

÷ñc ph¡t biºu trong luªn ¡n l trung thüc v ch÷a tøng ÷ñc ai cæng bè trongb§t cù luªn v«n, luªn ¡n n o kh¡c

Nghi¶n cùu sinh

Nguy¹n Thà Hçng

LÍI CƒM ÌN

Luªn ¡n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n nghi¶m kh-c, tªn t¼nh, chu ¡ocõa GS.TSKH Nguy¹n Minh Ch÷ìng v TS H Duy H÷ng T¡c gi£ xin

b y tä láng k½nh trång v bi¸t ìn s¥u s-c GS.TSKH Nguy¹n Minh Ch÷ìng

v TS H Duy H÷ng, nhúng ng÷íi ¢ d¨n d-t t¡c gi£ l m quen vîi nghi¶n cùukhoa håc tø nhúng ng y sau khi tèt nghi»p th¤c s¾ Ngo i nhúngch¿ d¨n v· m°t khoa håc, sü ëng vi¶n v láng tin t÷ðng cõa c¡c th¦y d nhcho t¡c gi£ luæn l ëng lüc lîn gióp t¡c gi£ say m¶ trong nghi¶n cùu

T¡c gi£ xin tr¥n trång gûi líi c£m ìn ¸n Ban Gi¡m hi»u, Pháng Sau ¤ihåc, Ban Chõ nhi»m khoa To¡n-Tin, tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi, °cbi»t l c¡c th¦y, cæ gi¡o trong Bë mæn Gi£i t½ch, khoa To¡n-Tin, tr÷íng ¤ihåc S÷ ph¤m H nëi ¢ luæn gióp ï, ëng vi»n, t¤o mæi tr÷íng håc tªpnghi¶n cùu thuªn lñi cho t¡c gi£

T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ¸n Ban Gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc Thõ

æ H nëi, c¡c th¦y, cæ v c¡c anh chà çng nghi»p cæng t¡c t¤i Bë mænTo¡n, khoa Khoa håc Tü nhi¶n, tr÷íng ¤i håc Thõ æ H nëi ¢ luæn t¤o i·uki»n thuªn lñi, gióp ï v ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp vnghi¶n cùu

Líi c£m ìn sau còng, t¡c gi£ xin d nh cho gia ¼nh, nhúng ng÷íi luæny¶u th÷ìng, chia s´, ëng vi¶n t¡c gi£ v÷ñt qua khâ kh«n º ho n th nh luªn

¡n

T¡c gi£

Möc löc

Líi cam oan 1

Líi c£m ìn 2

Möc löc 3

MÐ †U 6

Ch÷ìng 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ 17

1.1 Tr÷íng c¡c sè p-adic 17

1.1.1 Chu©n p-adic 17

1.1.2 Sè p-adic 17

1.1.3 Khæng gian Qpd 18

1.2 ë o v t½ch ph¥n trong Qpd 19

1.3 C¡c khæng gian h m 22

1.3.1 Khæng gian Lebesgue 22

1.3.2 Khæng gian Herz 24

1.3.3 Khæng gian Morrey-Herz 25

1.3.4 Khæng gian BMO 26

1.3.5 Khæng gian Morrey tr¶n tr÷íng p-adic 27

1.3.6 Khæng gian t¥m Morrey tr¶n tr÷íng p-adic 28

Ch÷ìng 2 TO•N TÛ P -ADIC HARDY-CES€RO V€ GIAO HO•N TÛ TR–N C•C KHÆNG GIAN KIšU MOREY 30

2.1 °t v§n · 30

2.2 Chu©n cõa to¡n tû U p;s tr¶n c¡c khæng gian kiºu Morrey 32

2.3 Giao ho¡n tû cõa to¡n tû p-adic Hardy-Ces ro 37

2.3.1 C¡c giao ho¡n tû v bê · bê trñ 37

3

2.3.2 C¡c k¸t qu£ ch½nh 38

2.3.3 Chùng minh k¸t qu£ ch½nh 40

Ch÷ìng 3 TO•N TÛ A TUY˜N T•NH P -ADIC HARDY-CES€RO V€ GIAO HO•N TÛ TR–N MËT SÈ KHÆNG GIAN H€M P -ADIC 45

3.1 °t b i to¡n 45

3.2 Chu©n cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh p-adic Hardy-Ces ro tr¶n t½ch c¡c khæng gian Lebesgue v t½ch c¡c khæng gian kiºu Morrey 47

3.2.1 Mët sè kh¡i ni»m v bê · 47

3.2.2 C¡c k¸t qu£ ch½nh 49

3.3 T½nh bà ch°n cõa giao ho¡n tû cõa to¡n tû song tuy¸n t½nh Hardy- Ces ro câ trång 54

3.3.1 C¡c giao ho¡n tû 54

3.3.2 C¡c k¸t qu£ ch½nh 56

3.3.3 Chùng minh k¸t qu£ ch½nh 57

Ch÷ìng 4 TO•N TÛ A TUY˜N T•NH HARDY-CES€RO V€ GIAO HO•N TÛ TR–N T•CH C•C KHÆNG GIAN LO„I HERZ 67

4.1 °t v§n · 67

4.2 T½nh bà ch°n cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces ro tr¶n t½ch c¡c khæng gian Herz v Morrey-Herz 69

4.2.1 Mët sè kh¡i ni»m v bê · 70

4.2.2 C¡c k¸t qu£ ch½nh 71

4.2.3 Chùng minh k¸t qu£ ch½nh 73

4.3 Giao ho¡n tû cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces ro 78

4.3.1 C¡c k¸t qu£ ch½nh 78

4.3.2 Chùng minh k¸t qu£ ch½nh 79

DANH MÖC CÆNG TRœNH KHOA HÅC CÕA T•C GIƒ LI–N QUAN ˜N LUŠN •N 87

T€I LI›U THAM KHƒO 88

MËT SÈ K• HI›U TH×ÍNG DÒNG TRONG LUŠN •N

jxjp chu©n p-adic cõa sè p-adic x

Q

Qpd khæng gian v²c tì d chi·u tr¶n tr÷íng c¡c sè p-adic

U

U m;n To¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces ro câ trång

MÐ †U

Mët trong nhúng v§n · cèt lãi cõa gi£i t½ch i·u háa l nghi¶n cùu t½nh bà

h m ri¶ng Ch¯ng h¤n, ta x²t th¸ và Riesz J cho bði cæng thùc

Z

j j

Mët trong nhúng èi t÷ñng nghi¶n cùu ch½nh cõa luªn ¡n n y l ¡nhgi¡ (1) cho mët lîp to¡n tû t½ch ph¥n v giao ho¡n tû cõa chóng Lîp to¡n

tû n y chùa üng ho°c câ mèi li¶n h» mªt thi¸t vîi nhi·u to¡n tû cê iºn quantrång nh÷ to¡n tû Hardy, to¡n tû cüc ¤i Calderân, to¡n tû Riemann-Lioville

trong cæng thùc (2), bi¸n êi Abel C¡c ÷îc l÷ñng d¤ng

bi¸t ¸n nh÷ l mët cæng cö húu ½ch trong nghi¶n cùu lþ thuy¸t v· c¡c to¡n

tû elliptic V· làch sû, b§t ¯ng thùc t½ch ph¥n Hardy v d¤ng ríi r¤c cõa

nâ ra íi kho£ng n«m 1920, li¶n quan ¸n t½nh li¶n töc cõa to¡n tû trung

d¨n tîi c¡c k¸t qu£ â ÷ñc xu§t ph¡t tø b§t ¯ng thùc Hilbert (xem [16, 43])

Nh to¡n håc Hilbert, khi nghi¶n cùu nghi»m cõa mët sè ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n, d¨n tîi b i to¡n nghi¶n cùu t½nh hëi tö cõa chuéi k²p d¤ng

6

ch½nh l n¸u mët h m f thuëc Lp(R+), vîi 1 < p < 1, th¼ Hf công thuëc

H ;A(f)(x) = Z

d

R

aij(u) l h m o ÷ñc theo bi¸n u: °c bi»t, khi (u) = [0;1](u), A(u) = u th¼ H ;A

trð th nh to¡n tû Hardy cê iºn nh÷ ¢ · cªp ð tr¶n

hót sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc tr¶n th¸ giîi v câ thº ch¿ ra mët sèk¸t qu£ g¦n ¥y cõa K Andersen, E Liflyand, F Moricz, D.S Fan [3, 8,

45, 46] Tuy nhi¶n c¡c i·u ki»n c¦n v· t½nh bà ch°n ÷ñc ÷a ra ch÷a h¯n li·u ki»n õ v c¥u häi v· h¬ng sè tèt nh§t trong méi tr÷íng hñp â ·u khængd¹ tr£ líi Vîi c¥u häi thù hai v· vi»c x¡c ành h¬ng sè tèt nh§t

trong c¡c ÷îc l÷ñng d¤ng (1) cho c¡c lîp to¡n tû trung b¼nh câ hai h÷îng:Thù nh§t l cho lîp to¡n tû trung b¼nh tr¶n h¼nh c¦u câ d¤ng

Grafakos v Lacey chùng minh ÷ñc r¬ng chu©n Lp cõa H b¬ng p 1 Mët

sè cæng tr¼nh nghi¶n cùu ti¸p theo li¶n quan nh÷ [7, 8, 9, 19, 21, 22,

J Xiao [58] cæng bè mët k¸t qu£ mang t½nh ët ph¡: U bà ch°n tr¶n

q d) khi v ch¿ khi R 1t d (t)dt húu 1 d

trong luªn ¡n n y: nghi¶n cùu c¡c ÷îc l÷ñng chu©n cho to¡n tû a tuy¸n t½nh câ d¤ng sau

tû Riesz J Kenig v Stein [37] ch¿ ra ÷ñc t½nh li¶n töc cõa to¡n tû

ch¸ v r < 1 M°t kh¡c, trong mët tr÷íng hñp °c

vîi h¤n m;n 0 < < d

qu£ t÷ìng ùng cho to¡n tû Riemann-Liouville i·u n y công ¢ ÷ñc ch¿ ratrong c¡c cæng tr¼nh [29, 35]

thu¦n nh§t Chu©n cõa to¡n tû t÷ìng ùng công ÷ñc t¼m ra Mët i·u ki»n

Trong tr÷íng hñp khæng gian Herz, n«m 2016, Chuong, Hung v Duong [12] ÷a ra mët i·u ki»n c¦n cho t½nh bà ch°n cõa giao ho¡n tû

giao ho¡n tû cõa nâ tr¶n c¡c khæng gian lo¤i Herz ch÷a ÷ñc nghi¶n cùutr÷îc â C¡c khæng gian lo¤i Herz b¶n c¤nh l nhúng mð rëng tü nhi¶ncõa c¡c khæng gian Lebesgue, cán câ vai trá quan trång trong ph¡t triºn

lþ thuy¸t h m Ch¯ng h¤n, c¡c h m ph¥n tû Taibleson-Weiss, âng vai tráquan trång trong lþ thuy¸t c¡c khæng gian Hardy, thuëc khæng gian lo¤iHerz (xem [5, 30]) Vi»c thi¸t lªp c¡c t½nh ch§t bà ch°n v ÷îc l÷ñngchu©n tr¶n khæng gian lo¤i Herz ái häi ph£i thay êi ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn

so vîi c¡c k¸t qu£ ¢ bi¸t tr¶n c¡c khæng gian Lebesgue hay t¥m Morrey.C¡c ph¥n t½ch têng quan tr¶n ¥y d¨n chóng tæi ¸n vi»c nghi¶n cùu c¥u häi v· t½nh bà ch°n v chu©n cõa to¡n tû trong (10) tø t½ch c¡c khæng gian

9

lo¤i Herz v Morrey-Herz vîi trång luÿ thøa Nhúng k¸t qu£ nghi¶n cùu ¤t

÷ñc, ÷ñc chóng tæi cæng bè trong b i b¡o sè 3., trong danh möc cængtr¼nh li¶n quan ¸n luªn ¡n, v ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng 4 cõa Luªn ¡n ny

Mët h÷îng nghi¶n cùu kh¡c m chóng tæi lüa chån trong luªn ¡n n y â lnghi¶n cùu chu©n cõa c¡c to¡n tû trung b¼nh p-adic Tø nhúng n«m 1960cõa th¸ k¿ tr÷îc, do nhu c¦u ph¡t triºn cõa gi£i t½ch Fourier, ng÷íi ta th§yc¦n x¥y düng mët sè k¸t qu£ cõa gi£i t½ch cho nhúng khæng gian tæ-pæ

÷ñc trang bà ë o Borel m ð â ta khæng câ bi¸n êi Fourier ho°c c¡c c§u tróc

¤o h m hé trñ V¼ lþ do â v sü c¦n thi¸t ph£i ph¡t triºn lþ thuy¸t khæng gian

h m, Coifman, Rochberg v Weiss [14] ÷a ra lîp khæng gian lo¤i thu¦n nh§t,trong â cho ph²p ta câ thº thi¸t lªp ÷ñc lþ thuy¸t Calderân-Zygmund choto¡n tû t½ch ph¥n k¼ dà Tø ¥y ta câ thº x¥y düng nhúng khæng gian h mquan trång nh÷ khæng gian Hardy, tr¡nh ÷ñc vi»c ph£i i t¼m ki¸m mët h»ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng mð rëng cho ph÷ìng tr¼nh Cauchy-Riemann.M°t kh¡c, trong nhúng nhâm compact àa ph÷ìng, ÷ñc chia ra hai lo¤i: lo¤ili¶n thæng gçm câ tr÷íng thüc v phùc Lo¤i cán l¤i gçm tr÷íng c¡c sè p-adic, c¡c mð rëng bªc húu h¤n cõa tr÷íng sè p-adic

v tr÷íng chuéi sè Laurent tr¶n tr÷íng húu h¤n L÷u þ r¬ng lo¤i thù haicông l nhúng khæng gian thu¦n nh§t theo ngh¾a cõa Coifmann-Rochberg-Weiss Nhu c¦u ph¡t triºn song song mët lþ thuy¸t v· gi£i t½ch,khæng ch¿ xu§t ph¡t tø nhu c¦u cõa sü ph¡t triºn khoa håc cæng ngh»,

ph¡t tø ch½nh nhúng lþ thuy¸t tr¶n tr÷íng thüc v sau â l ùng döng ng÷ñcl¤i [39, 53, 54]

cho th§y þ ngh¾a cõa vi»c nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cõa to¡n tû Hardy

tr¶n Z p th¼ to¡n tû U p x¡c ành bði

U pf(x) = ZZ p?

câ thº xem nh÷ d¤ng t÷ìng tü to¡n tû trung b¼nh Hardy câ trång (7) tr¶n

tr¶n Lq(Qdp), vîi 1 q 1, khi v ch¿ khi

Z

Ap = jtjp d=q (t)dt < 1

Zp

ngay, khi d = 1, Sp khæng bà ch°n trong L1(Qp) v i·u n y công t÷ìng tü

èi vîi to¡n tû Hardy cê iºn tr¶n tr÷íng thüc Rim v Lee công çng thíi

gian vîi trång luÿ thøa, trong â

p-adic Lebesgue v BMO câ trång, t¡c gi£ ch¿ ra ÷ñc mët h» qu£ v· sü hëi tö cõa chuéi k²p tr¶n tr÷íng thüc thæng qua ¡nh gi¡

vîi (xj)j2Z v (yk)k 0 l hai d¢y sè khæng ¥m, l sè nguy¶n khæng ¥m tòy þ v

khæng gian Morrey-Herz p-adic công nh÷ ÷a ra mët i·u ki»n c¦n cho trång

v h m tham sè s(t) º [U ;s; Mb] bà ch°n giúa c¡c khæng gian Morrey-Herz.Song song vîi â mët sè cæng tr¼nh nh÷ [28, 55, 57] nghi¶n cùu chu©ncõa to¡n tû p-adic câ d¤ng

j x p

jB(0;jxjp) 11

M°c dò câ kh¡ nhi·u k¸t qu£ kh¡c nhau v· to¡n tû trung b¼nh Hardy p

o °t v§n · nghi¶n cùu v· chu©n cõa c¡c to¡n tû v giao ho¡n tû tr¶n c¡c

hñp khæng câ trång i·u n y d¨n tîi h¤n ch¸ trong ¡p döng, ch¯ng h¤ntrong t½nh ch½nh quy v· nghi»m cõa b i to¡n Cauchy trong ph÷ìng

V¼ c¡c lþ do â, chóng tæi °t b i to¡n ph¡t triºn c¡c k¸t qu£ cõa Wu

v Fu [56] cho lîp to¡n tû U p;s vîi c¡c khæng gian t÷ìng ùng câ trång luÿthøa Düa tr¶n cæng tr¼nh cõa Fu v cëng sü [29], Hung, Ky [35], Chuong

2 MÖC •CH, ÈI T×ÑNG V€ PH„M VI NGHI–N CÙU

2.1 Möc ½ch nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu t½nh bà ch°n, chu©n to¡n tû mët sè lîp to¡n tû t½ch ph¥n

c¡c ÷îc l÷ñng chu©n cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces ro tr¶n t½ch c¡ckhæng gian Herz v khæng gian Morrey-Herz; ÷a ra mët i·u ki»n õ chot½nh bà ch°n cõa giao ho¡n tû trong t½ch c¡c khæng gian Morrey-Herz

ki»n c¦n v õ cho t½nh bà ch°n cõa giao ho¡n tû trong khæng gian

Chóng tæi công nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n c¦n v õ cho t½nh bà ch°n cõa

c¡c khæng gian t¥m Morrey

2.2 èi t÷ñng nghi¶n cùu

èi t÷ñng nghi¶n cùu cõa Luªn ¡n l lîp to¡n tû t½ch ph¥n lo¤i Hardy v

12

chùa nhi·u lîp to¡n tû cê iºn nh÷ to¡n tû Hardy, to¡n tû Ces ro, to¡n tû

theo ngh¾a cõa Coifmann-Weiss tr¶n t½ch c¡c khæng gian Morrey-Herz vîi

Morrey v khæng gian BMO t¥m Chóng tæi ph¡t triºn nghi¶n cùu n y choto¡n tû a tuy¸n t½nh p-adic U p;m;n;~s

2.3 Ph¤m vi nghi¶n cùu

!q2 ; Qdp

vîi b 2 CBM O!q2 Qdp :

tr¶n t½ch c¡c khæng gian Lebesgue câ trång

tr¶n t½ch c¡c khæng gian t¥m Morrey câ trång

a tuy¸n t½nh tr¶n t½ch cõa c¡c khæng gian t¥m Morrey

Nëi dung 3: ×îc l÷ñng chu©n cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces ro

v giao ho¡n tû tr¶n t½ch c¡c khæng gian Herz thu¦n nh§t câ trång, Morrey-Herz câ trång thu¦n nh§t

×îc l÷ñng chu©n cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces ro tr¶n

t½ch c¡c khæng gian Herz thu¦n nh§t câ trång

×îc l÷ñng chu©n cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces ro tr¶n

t½ch c¡c khæng gian Morrey-Herz thu¦n nh§t câ trång

T½nh bà ch°n cõa giao ho¡n tû cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh Ces ro tr¶n t½ch c¡c khæng gian Morrey-Herz thu¦n nh§t câ trång

Hardy-3 PH×ÌNG PH•P NGHI–N CÙU

º nghi¶n cùu t½nh bà ch°n cõa to¡n tû Hardy-Ces ro tr¶n tr÷íng thüc

v p-adic chóng tæi vªn döng c¡c ph÷ìng ph¡p bi¸n thüc ÷ñc Rochberg-Weiss [14] x¥y düng tr¶n c¡c khæng gian thu¦n nh§t Chóngtæi vªn döng c¡c c¡ch ¡nh gi¡ ¢ ÷ñc sû döng tr÷îc â º chùng minht½nh li¶n töc cõa to¡n tû Hardy tr¶n c¡c khæng gian Morrey, t¥mMorrey, c¡c khæng gian lo¤i Herz C¡c ¤i l÷ñng ÷ñc ¡nh gi¡ b¬ngc¡ch chia nhä, nh÷ trong ph÷ìng ph¡p bi¸n thüc, k¸t hñp vîi c¡c b§t

Coifman-¯ng thùc t½ch ph¥n Holder v Minkowski Chi·u £o l¤i, º thu ÷ñc c¡c

÷îc l÷ñng chu©n to¡n tû, chóng tæi theo l÷ñc ç m Xiao [58] ¢ sûdöng v ÷ñc ph¡t triºn trong c¡c cæng tr¼nh ti¸p theo: x¥y düngnhúng h m thû trong c¡c khæng gian h m t÷ìng ùng º ÷a ra c¡c ÷îc

düng ph÷ìng ph¡p t÷ìng ùng k¸t hñp vîi c§u tróc tæ-pæ, ë o t½ch

èi vîi c¡c nghi¶n cùu v· giao ho¡n tû, ph÷ìng ph¡p chõ ¤o l düa tr¶n ph÷ìng ph¡p kinh iºn cõa Coifman-Rochberg-Weiss [14] trong â m§uchèt l ÷a v· ÷îc l÷ñng dao ëng cõa c¡c trung b¼nh, k¸t hñp vîi mët sèk¾ thuªt °c tr÷ng khi ti¸p cªn to¡n tû Hardy ÷ñc x¥y düng bði Fu, Lu, Tang v c¡c cëng sü kh¡c [19, 22, 23, 25, 29, 52, 61] tr¶n c¡c khæng gian Lebesgue, t¥m Morrey, khæng gian lo¤i Herz

4 C‡U TRÓC V€ C•C K˜T QUƒ CÕA LUŠN •N

Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn, danh möc cæng tr¼nh ¢ cæng bè v t i li»u tham kh£o, luªn ¡n ÷ñc chia l m bèn ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nh-c l¤i c¡c

thùc Holder, b§t ¯ng thùc Minkowski C¡c khæng gian h m kiºu Morrey, Lebueges, BMO, khæng gian t¥m BMO câ trång, khæng gian kiºu Herz,

khæng gian kiºu Morrey

Hardy-Ces ro câ trång tr¶n c¡c khæng gian Morrey câ trång, khæng

14

gian t¥m Morrey câ trång, khæng gian t¥m BMO câ trång Hìn núachóng tæi công t¼m ÷ñc chu©n cõa to¡n tû t÷ìng ùng Th¶m v o â

gian t¥m Morrey vîi biºu tr÷ng trong khæng gian t¥m BMO

ro câ trång tr¶n t½ch c¡c khæng gian Lebesgue v t½ch c¡c khæng gian kiºu Morrey, çng thíi chu©n cõa to¡n tû công ÷ñc t¼m ra Hìn núa chóng tæi t¼m ÷ñc i·u ki»n c¦n v õ cõa h m trång º giao ho¡n tû

t½ch c¡c khæng gian t¥m Morrey vîi biºu tr÷ng trong t½ch c¡c

5 Þ NGHžA CÕA C•C K˜T QUƒ TRONG LUŠN •N

C¡c k¸t qu£ thu ÷ñc gâp ph¦n v o vi»c ph¡t triºn lþ thuy¸t to¡n tû

Hardy, gi£i t½ch i·u háa, ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng, c¡c b§t ¯ng

C¡c k¸t qu£ thu ÷ñc l mð rëng v têng qu¡t hâa cõa mët sè k¸t qu£ li¶n quan tr÷îc â

C¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n ¢ ÷ñc b¡o c¡o t¤i

Seminar "ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v t½ch ph¥n" Bë mæn Gi£i t½ch, Khoa To¡n - Tin, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi

Hëi th£o cho Nghi¶n cùu sinh, Khoa To¡n - Tin, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi, 2017

Seminar "To¡n tû gi£ vi ph¥n, sâng nhä, gi£i t½ch i·u háa tr¶n c¡c

ngh» Vi»t Nam

¤i hëi To¡n håc To n quèc l¦n thù IX, Nha Trang, 08/2018

16

Ch÷ìng 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

1.1 Tr÷íng c¡c sè p-adic

công nh÷ ùng döng câ thº t¼m ÷ñc trong mët sè gi¡o tr¼nh chuy¶n kh£onh÷ [1, 38, 53, 54] Ð ¥y chóng tæi ch¿ tâm l÷ñc mët sè k¸t qu£ ch½nh c¦n

1.1.1 Chu©n p-adic

i·u ki»n sau:

i) '(x) 0; '(x) = 0 khi x = 0:

ii) '(xy) = '(x)'(y); x; y 2 Q

iii) '(x + y) '(x) + '(y); x; y 2 Q:

°t jxjp = 0 n¸u x = 0 ho°c jxjp = p (x) n¸u x = p (x):mn ; ð â (x); m; n

l c¡c sè nguy¶n, m; n khæng chia h¸t cho p: Khi â, j jp l mët chu©n tr¶n

ch§t (i), (ii), (iii) m nâ cán thäa m¢n t½nh ch§t m¤nh hìn (iii) sau:

iv) jx + yjp maxfjxjp; jyjpg, d§u b¬ng x£y ra khi jxjp 6= jyjp:

tè v²t h¸t t§t c£ c¡c chu©n khæng t÷ìng ÷ìng tr¶n tr÷íng sè húu t¿ Q, ð

1.1.2 Sè p-adic

Ta x²t h m dp(x; y) = jx yjp vîi x; y 2 Q D¹ th§y dp l mët metric tr¶n Q

di¹n ÷ñc duy nh§t d÷îi d¤ng

17

x = p (x)(x0 + x1p + x2p2 + ); (1.1)

trong â (x) l sè nguy¶n, xi 2 f0; 1; :::; p 1g vîi måi i 2 N v x0 > 0

vîi 0 ci p 1; c0 > 0: Ð ¥y (x + y); c0; ci l c¡c sè nguy¶n ÷ñc x¡c ành b¬ng

Ta k½ hi»u Zp l tªp c¡c sè x 2 Qp sao cho jxjp 1 v Z?p = fx 2 Zp :jxjp 6= 0g

(b) Méi x 2 Qp; x 6= 0, ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng (1.1) th¼ jxjp = p

pæ compact àa ph÷ìng, ho n to n khæng li¶n thæng

(a) jxjp 0 vîi måi x 2 Qpd, d§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi x = 0

(b) ja xjp = jajp jxjp vîi vîi måi a 2 Qp v x 2 Qdp

(c) jx + yjp maxfjxjp; jyjpg vîi x; y 2 Qdp

(d) dp l metric tr¶n Qdp, trong â dp(x; y) = jx yjp

K½ hi»u

B (a) = fx 2 Qdp : jx ajp p g;

S (a) = fx 2 Qdp : jx ajp = p g;

thay cho B (0); S (0); Zdp thay cho B0

ho°c chùa nhau

÷ñc c¡c h¼nh c¦u æi mët ríi nhau

(d) Tªp K Qdp l compact trong Qdp khi v ch¿ khi K âng v bà ch°n.(e) B (a); S (a) l c¡c tªp vøa âng vøa mð v compact trong Qdp:

dx tr¶n Qdp dx l mët ë o Borel ch½nh quy d÷ìng, b§t bi¸n vîi ph²p tànhti¸n ë o dx ÷ñc chu©n hâa bði

Z

dx = 1:

Zdp

Gi£ sû A l tªp mð kh¡c réng trong Qdp: Kþ hi»u Lr(A) (vîi 0 < r < 1) l

l mët tªp mð cõa Qdp Ta kþ hi»u l tªp c¡c h m

f : O ! C thäa m¢n t½nh ch§t: Vîi måi tªp compact K O th¼ h m

f 2 Lr[K] H m f câ t½nh ch§t nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l kh£ t½ch àa ph÷ìng

bªc r(r 1): º cho ti»n, ta vi¸t Lrloc = Lrloc(Qdp) l tªp c¡c h m f 2 C(O) câ

det @x(y) = det @x6= 0; y 2 K1:

1

K f(x)dx = K 1 det @x(y) f(x(y))dy: (1.5)

20

thº th§y !(x) = jxj

Lr(X)

Lr(X) thuëc W

hi»u Lr! (Rd) (ho°c Lr! Qdp ) thay cho Lr(X)

Hai h m thû sau ¥y s³ ÷ñc th÷íng xuy¶n sû döng trong ph¦n sau cõaluªn ¡n

22

V½ dö 1.3 [58, tr.662 ] Vîi " > 0 tòy þ, °t

(

f(x; y)

mët h m g 2 L1(X) sao cho jfk(x)j g(x), h¦u kh-p nìi

23

ành l½ 1.8 ( ành lþ Fubini ) Gi£ sû (X; M; ) v (Y; N ; ) l c¡c khæng

N¸u f(x; y) khæng ¥m ho°c kh£ t½ch tr¶n tªp A B 2 M N th¼ ta câZ

f(x; y)d = Z 0 Z f(x; y)d 1 d = Z 0 Z f(x; y)d 1 d : (1.10)

1.3.2 Khæng gian Herz

Um;n;~s

Trong khi nghi¶n cùu v· ¤i sè t½ch chªp, Beurling [6] ph£i xem x²t mët sèlîp h m câ t½nh ch§t °c bi»t, nhúng lîp h m â sau n y ÷ñc bi¸t ¸n nh÷ nhúngkhæng gian lo¤i Herz v l nhúng mð rëng tü nhi¶n cõa khæng gianLebesgue Vi»c mð rëng khæng gian Lebesgue sang Herz, Morrey,Morrey-Herz do nhu c¦u cõa vi»c nghi¶n cùu to¡n lþ thuy¸t nh÷ nghi¶n cùut½nh ch½nh quy cõa nghi»m hay nëi t¤i tø vi»c ph¡t triºn lþ thuy¸t h m nh÷

lþ thuy¸t khæng gian Hardy (xem [5, 30]) C¡c lîp khæng gian n y r§t phòhñp vîi c¡c to¡n tû Hardy cê iºn V¼ vªy vi»c °t v§n · nghi¶n cùu

Theo [50], chóng tæi x²t khæng gian Morrey-Herz câ trång nh÷ sau: Cho

k = C k ; Ck = Bk n Bk 1 v Bk = fx 2 Rd : jxj 2kg vîi k 2 Z v E

Herz thu¦n nh§t câ trång K_;p (!) ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:

ii) N¸u 0 < p 1 th¼ K_

p0;p(Rd) = Lp(Rd) nh÷ vªy ta câ thº coi khæng gian Herz l mët mð rëng cõa khæng gian Lebesgue

iii) Kpp (Rd) = Lp(jxj dx)(Rd) vîi måi 0 < p 1 v 2 R:

V½ dö 1.5 Cè ành 0 < " < 1 Ta x²t h m f cho bði cæng thùc sau

q _ ;

n«m 1961 [36] Ti¸p â C L Fefferman 1971 [18] ¢ chùng minh ÷ñc mët

trång BM O!(Rn) l¦n ¦u ti¶n ÷ñc giîi thi»u bði B Muckenhoupt v R.Wheeden, xu§t ph¡t tø vi»c nghi¶n cùu sü tçn t¤i bi¸n êi Hilbert cõa h m

O ¢ ÷ñc sû döng trong khi nghi¶n cùu chu©n cõa to¡n tû trung b¼nhHardy-Littlewood p-adic [1, 41, 51, 55, 57]

¥m, kh£ t½ch àa ph÷ìng tr¶n X Khæng gian BM O câ trång BM O(!) l

B f(x)!(x):

Bê · 1.2 ([34], Bê · 6.1) N¸u ! thuëc lîp h m trång Wp = S Wp

> d

th¼ log jxjp 2 BM O! Qdp .

1.3.5 Khæng gian Morrey tr¶n tr÷íng p-adic

Khæng gian Morrey ÷ñc ÷a ra bði C.B Morrey khi nghi¶n cùu v· h» c¡cph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p 2, ÷ñc ùng döng trong nghi¶ncùu t½nh ch½nh quy cõa nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng, °cbi»t vîi h» elliptic phi tuy¸n, sû döng º nghi¶n cùu t½nh bà ch°n cõa mët

sè to¡n tû cê iºn trong gi£i t½ch i·u háa nh÷ to¡n tû Hardy-Littlewood cüc

¤i, to¡n tû t½ch ph¥n k¼ dà Calderân-Zygmund (xem [42])

2 2 Q ZNhªn x²t 1.3 i) L!q; (Qpd) l khæng gian Banach vîi chu©n k kL! q; (Q p d):

Mët v½ dö húu ½ch cõa c¡c h m thuëc khæng gian p-adic Morrey câ trång ÷ñc giîi thi»u trong bê · sau.

I

a;

Ta ch¿ c¦n chùng minh Ia; C vîi C l thuëc

jf0(x)jq!(x)dx:

mët h¬ng sè d÷ìng khæng phö

Tr÷íng hñp 1: jajp = p 0 > p Vîi x 2 B (a) th¼ jxjp = maxfjajp; jx

j ga p = a j j p Tø â suy ra B (a) S 0 Vªy Ia; b¬ng

ð ¥y ¤i l÷ñng cuèi còng húu h¤n do 1 + q > 0 v ¤i l÷ñng â khæng

phö thuëc v o a; Vªy C vîi C l h¬ng sè khæng phö thuëc

(a; ) 2 Qdp Z Do â f0 thuëc Lq;! (Qdp)

1.3.6 Khæng gian t¥m Morrey tr¶n tr÷íng p-adic

Trong [4], J Alvarez v c¡c cëng sü nghi¶n cùu mèi quan h» giúa khænggian t¥m BMO v khæng gian Morrey çng thíi hå công giîi thi»u khænggian -t¥m dao ëng trung b¼nh bà ch°n v khæng gian t¥m Morrey

28

ành ngh¾a 1.5 Cho ; q l c¡c sè thüc sao cho 1 q < 1 Khæng gian

Trong luªn ¡n n y, chóng tæi nghi¶n cùu t½nh bà ch°n, ÷îc l÷ñng

f 2 L loc Q p sao cho

p-adicq t¥m BMO, câ k½ hi»u l CBM O!q; Q pd l tªp t§t c£ c¡c h m

iii) N¸u 1 q1 q2 < 1, th¼ ta câ CBM O!q2 ; (Qdp) ,! CBM O!q1 ; (Qdp):

Bê · 1.4 Gi£ sû r¬ng ! 2 Wp, > d Vîi b§t k¼ 1 q < 1, tçn t¤i mët h¬ng

Ch֓ng 2

TO•N TÛ P -ADIC HARDY-CES€RO V€ GIAO HO•N TÛ TR–N

C•C KHÆNG GIAN KIšU MOREY

Hardy-Ces ro tr¶n c¡c khæng gian kiºu Morrey ¦u ti¶n chóng tæi °t v§n ·nghi¶n cùu b i to¡n º gi£i quy¸t b i to¡n, chóng tæi vªn döng þ t÷ðng cõaph÷ìng ph¡p bi¸n thüc èi vîi c¡c to¡n tû t½ch ph¥n Hardy, mët sè k¸t qu£

41, 51, 57]: k¸t hñp ¡nh gi¡ thæng qua c¡c b§t ¯ng thùc Minkowski,Holder v vi»c x¥y düng h m thû º câ b§t ¯ng thùc ng÷ñc Cuèi còng düatheo ph÷ìng ph¡p cõa Coifman-Rochberg-Weiss [14] chóng tæi ÷a ra

Nëi dung cõa ch÷ìng n y düa tr¶n b i b¡o 1 trong danh möc cængtr¼nh ¢ cæng bè

p, xem cæng thùc (11), câ thº coi l mët d¤ng mð rëng cõa to¡n tû Sp vîitrång Rim v Lee [51] ÷a ra ÷ñc i·u ki»n c¦n v õ cho h m º U p bà ch°n tr¶n

Lq(Qdp) v tr¶n BMO N«m 2014, c¡c k¸t qu£ n y ph¡t triºn cho

to¡n tû Hardy-Ces ro bði Hung [34], hìn núa [34] ÷a ra ÷ñc mët i·u ki»n

Lu [24] ÷a ra i·u ki»n c¦n v õ cho h m cho t½nh bà ch°n cõa to¡n