Phương pháp phổ của đồ thị trong một số bài toán tổ hợp cộng tính

Tóm t-tTrong Luªn án này, chúng tôi s³ sû döng phương pháp phê cõa đç thà đº nghiên cùu v· lüc lưñng cõa mët sè tªp hñp trên không gian vectơ trên trưíng và vành húu h¤n như: Hàm nð hai

VI›N HÀN LÂM KHOA HÅC VÀ CÔNG NGH› VI›T NAM

VI›N HÀN LÂM KHOA HÅC VÀ CÔNG NGH› VI›T NAM

VI›N TOÁN HÅC

———————————-ĐÉ DUY HI˜U PHƯƠNG PHÁP PHÊ CÕA ĐÇ THÀ TRONG MËT SÈ BÀI TOÁN TÊ HÑP CËNG TÍNH

Chuyên ngành: Cơ sð toán håc cho tin håc

Tóm t-t

Trong Luªn án này, chúng tôi s³ sû döng phương pháp phê cõa đç thà đº nghiên cùu v· lüc lưñng cõa mët sè tªp hñp trên không gian vectơ trên trưíng và vành húu h¤n như: Hàm nð hai bi¸n, tªp kho£ng cách và tªp tích, tªp têng - t¿ sè, tªp kho£ng cách trên đa t¤p chính quy

và tªp thº tích khèi Luªn án gçm 04 chương chính:

Trong Chương 1, chúng tôi nh-c l¤i ki¸n thùc cơ b£n liên quan đ¸n phương pháp đ¤i sè tuy¸n tính trong đç thà: ma trªn k·, phê cõa đç thà, (n, d, l) - đç thà, Bê đ· trën nð

Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cùu mët sè (n, d, l) - đç thà trên

không gian vectơ Fnq và Znq như đç thà têng - tích, đç thà tích - têng,

đç thà têng - bình phương, đç thà tích, đç thà Euclid húu h¤n.

Trong Chương 3, chúng tôi sû döng pháp đç thà đº nghiên cùu mët

sè bài toán tê hñp cëng tính Cö thº, chúng tôi s³ sû döng các đç thà xây düng trong Chương 2 đº đánh giá mët sè tªp hñp như tªp kho£ng cách, tªp tích, tªp thº tích khèi, tªp têng - t¿ sè, hàm nð hai bi¸n trên trưíng và vành húu h¤n.

Trong Chương 4, chúng tôi sû döng phương pháp phê cõa đç thà

mð rëng đº nghiên cùu và đưa ra k¸t qu£ têng quát cho tªp kho£ng cách cõa mët tªp trên đa t¤p chính quy.

In this thesis, we use the techniques from the spectral graph theory

to study the cardinality of some sets in vector spaces over finite fields and finite rings, such as the images of two-variable expanders, the dis- tance sets, the product sets, the sum - ratio sets, the volume set of boxes, and the distance sets in regular varieties The thesis consist of four main chapters.

In Chapter 1, we recall some basic knowledge related to linear gebraic methods in the graph: the adjacency matrix, the spectrum of

al-a gral-aph, the definition al-and properties of (n, d, l) - gral-aph, al-and the pander mixing lemma.

ex-In Chapter 2, we study some (n, d, l) - graphs in vector spacesover finite fields and finite rings, such as the sum - product graph, the prod- uct - sum graph, the sum - square graph, the product graph, and the finite Euclidean graph.

In Chapter 3, we use the expanding properties of the graphs in Chap-ter 2 to evaluate the cardinalities of distance sets, product sets, volume sets of boxes, sum - ratio sets, and images of two-variable expanders in vector spaces over finite fields and finite rings.

In Chapter 4, we use the directed version of the expander mixing lemma to study the distance set problem in general regular varieties.

Líi cam đoan

Tôi xin cam đoan Luªn án này là tªp hñp các nghiên cùu cõa tôi Nhúng k¸t qu£ trích tø các bài báo vi¸t chung đã nhªn đưñc sü cho phép sû döng cõa các đçng tác gi£ Các k¸t qu£ nêu trong Luªn án là trung thüc và chưa tøng đưñc mët ai khác công bè.

Líi c£m ơn

Tôi xin chân thành c£m ơn PGS TS Lê Anh Vinh, ngưíi đã d¨n d-t tôi vào con đưíng nghiên cùu khoa håc Không ch¿ là mët ngưíi hưîng d¨n khoa håc tªn tâm, chia s´ cõa th¦y vîi tôi v· nhúng buçn, vui đíi thưíng suèt nhi·u năm qua là mët sü đëng viên, khích l» lîn đº tôi vúng vàng hơn trong cuëc sèng.

Tôi xin chân thành c£m ơn PGS TSKH Phan Thà Hà Dương và

GS TSKH Ngô Đ-c Tân đã góp ý đº Luªn án cõa tôi hoàn thi»n hơn Nhúng líi chia s´, ch¿ d¤y cõa th¦y cô trong suèt quá trình làm vi»c, nghiên cùu cõa tôi s³ là hành trang quý báu đº tôi tü tin hơn trên nhúng ch°ng đưíng s-p tîi.

Tôi xin c£m ơn TS Ph¤m Văn Th-ng đã đçng hành cùng tôi trên con đưíng nghiên cùu trong suèt thíi gian qua.

Tôi xin c£m ơn ban lãnh đ¤o Vi»n Toán håc, Phòng cơ sð toán håc cho tin håc và Trung tâm Đào t¤o sau đ¤i håc đã cung c§p cho tôi mët nơi làm vi»c tèt, mët môi trưíng håc thuªt lành m¤nh đº håc tªp, nghiên cùu trong thíi gian tôi làm nghiên cùu sinh ð đây.

Cuèi cùng, tôi xin tä lòng bi¸t ơn vô h¤n tîi gia đình tôi, nhúng ngưíi luôn bên c¤nh và thương yêu tôi vô đi·u ki»n.

Hà Nëi, ngày 27 tháng 02 năm 2019

Đé Duy Hi¸u

là các ph¦n tû khác 0 cõa trưíng húu h¤n Fq.

2 Cho f , g là các hàm sè theo bi¸n t

Möc löc

Giîi thi»u chung 10

1 Ki¸n thùc chu©n bà 17 1.1 Ma trªn k· 17

1.2 Phê cõa đç thà 17

1.3 (n,d, l) - đç thà và Bê đ· trën nð 20

2 Mët sè (n, d, l) - đç thà 25 2.1 Đç thà têng - bình phương 26

2.1.1 Đç thà têng - bình phương trên trưíng húu h¤n 26 2.1.2 Đç thà têng - bình phương trên vành húu h¤n 27

2.2 Đç thà têng - tích 29

2.2.1 Đç thà têng - tích trên trưíng húu h¤n 29

2.2.2 Đç thà têng - tích trên vành húu h¤n 30

2.3 Đç thà tích - têng 33

2.3.1 Đç thà tích - têng trên trưíng húu h¤n 33

2.3.2 Đç thà tích - têng trên vành húu h¤n 33

2.4 Đç thà tích 35

2.4.1 Đç thà tích trên trưíng húu h¤n 35

2.4.2 Đç thà tích trên vành húu h¤n 35

2.5 Đç thà Euclid húu h¤n 36

3 Đánh giá lüc lưñng cõa mët sè tªp hñp trên trưíng và vành húu h¤n 37 3.1 Giîi thi»u v· phương pháp phê cõa đç thà 37

3.2 Tªp kho£ng cách, tªp tích 39

3.2.1 Giîi thi»u têng quan v· bài toán tªp kho£ng cách và tªp tích 39

3.2.2 Đánh giá tªp kho£ng cách trên trưíng và vành húu h¤n 41

3.2.3 Đánh giá tªp tích trên trưíng và vành húu h¤n 44

3.3 Tªp thº tích khèi 45

3.3.1 Giîi thi»u têng quan v· tªp thº tích khèi 45

3.3.2 Mët sè k¸t qu£ c¦n dùng 46

3.3.3 Đánh giá tªp thº tích khèi trên trưíng húu h¤n 49 3.3.4 Đánh giá tªp thº tích khèi trên vành húu h¤n 50

3.4 Tªp têng - t¿ sè 51

3.4.1 Giîi thi»u têng quan v· bài toán têng - t¿ sè 51

3.4.2 Đánh giá têng - t¿ sè trên trưíng húu h¤n 54

3.4.3 Đánh giá têng - t¿ sè trên vành húu h¤n 55

3.5 Hàm nð hai bi¸n 55

3.5.1 Giîi thi»u têng quan v· hàm nð hai bi¸n 55

3.5.2 Hàm nð f = x(y + 1) 57

3.5.3 Hàm nð g = x + y2 59

4 Tªp kho£ng cách trên đa t¤p chính quy 61 4.1 Giîi thi»u têng quan v· bài toán tªp kho£ng cách trên đa t¤p chính quy 61

4.2 Đánh giá cho d¤ng toàn phương không suy bi¸n 64

d 4.3 Đánh giá cho đa thùc chéo P(x) = å ajxsj 69

j = 1

Líi mð đ¦u

Trong nhúng năm g¦n đây, tê hñp đã đưñc ùng döng vào các lĩnh vüc khoahåc khác nhau như: khoa håc máy tính, vªt lý, hóa håc, Vîi sü mð rëng đó,nhi·u bài toán tê hñp mîi ra đíi cùng vîi nhi·u phương pháp vèn thuëc cácnhánh toán håc khác đã đưñc áp döng đº gi£i quy¸t như: xác su§t, gi£i tích, đ¤i

sè, hình håc; nhí đó đã thu đưñc nhi·u k¸t qu£ mîi không hiºn nhiên

Luªn án "Phương pháp phê cõa đç thà trong mët sè bài toán tê hñp cëng

tính" sû döng (n, d, l) - đç thà và Bê đ· trën nð đº nghiên cùu các bài toán tê

hñp cëng tính Nhúng k¸t qu£ mîi cõa Luªn án đưñc trình bày trong Chương

3 và Chương 4

Trong Chương 3, chúng tôi sû döng phương pháp phê cõa đç thà düavào (n, d, l) - đç thà và Bê đ· trën nð đº nghiên cùu mët sè bài toán như tªpkho£ng cách, tªp tích, tªp thº tích khèi, tªp têng - t¿ sè, hàm nð hai bi¸n

Tªp kho£ng cách, tªp tích: Mët bài toán mð cê điºn trong hình håc tê hñp là

bài toán v· kho£ng cách cõa Erdos˝ [20] Bài toán yêu c¦u chúng ta tìm sè cáckho£ng cách khác nhau tèi thiºu đưñc xác đành bði mët tªp N điºm trên m°tph¯ng Euclid Erdos˝ gåi sè kho£ng cách tèi thiºu này là g(N) và gi£ thuy¸t r¬ngg(N) & p N Ông cũng quan sát düa trên mët kh¯ng đành hình håc

LogN

đơn gi£n trên đưíng tròn, r¬ng g(N) & N1/2 Sè mũ 1/2 đã đưñc c£i thi»n mëtcách chªm ch¤p trong vòng hơn 50 năm qua bði mët lo¤t các lý luªn phùc t¤p,

sû döng công cö tø nhi·u lĩnh vüc khác nhau cõa toán håc Tháng 11 năm

2010, Guth và Katz [26] đã chùng minh đưñc kh¯ng đành g¦n tèi ưu cõa bài

toán này: trong tªp N điºm b§t kỳ trên m°t ph¯ng s³ có g(N) & LogNN kho£ngcách phân bi»t

Mët cách tương tü, phiên b£n húu h¤n cõa bài toán kho£ng cách cõaErdos˝ là vi»c đi tìm lüc lưñng tèi thiºu cõa tªp các kho£ng cách xác đành bðicác tªp

N điºm trong không gian vectơ trên trưíng/vành húu h¤n.

Không gian Euclid húu h¤n Fnq bao gçm các vectơ cët x, vîi n là sè tü nhiên

và n 2 Chúng ta nh-c l¤i đành nghĩa kho£ng cách giúa các điºm x, y 2 Fnq

Bourgain, Katz và Tao [12] đã đưa ra k¸t qu£ không hiºn nhiên đ¦u tiêncõa bài toán này Hå chùng minh r¬ng, n¸u E là tªp con cõa m°t ph¯ng húuh¤n và E không “quá lîn” thì tªp kho£ng cách xác đành bði E có ít nh§tjEj1/2+c ph¦n tû vîi h¬ng sè c > 0 nào đó Tuy nhiên, chùng minh cõa håkhông có tính đành lưñng và khó có thº áp döng đưñc trong không gianvectơ vîi chi·u cao hơn

Iosevich và Rudnev [34] sû döng phương pháp gi£i tích Fourier, đã đưa

ra mët k¸t qu£ đành lưñng cho bài toán kho£ng cách Erdos˝ trên trưíng húuh¤n Vu [54] sû döng phương pháp phê cõa đç thà có hưîng đº nghiên cùubài toán đánh giá têng – tích trên trưíng húu h¤n, đã đưa ra mët chùng minhkhác cho k¸t qu£ cõa Iosevich và Rudnev Mët cách đëc lªp, khi nghiên cùucác tính ch§t cõa đç thà Euclid và phi Euclid húu h¤n, Vinh [55] chùng minhl¤i k¸t qu£ này cùng các k¸t qu£ têng quát khác trong không gian Euclid vàkhông gian phi Euclid trên trưíng húu h¤n

Các k¸t qu£ trên đưñc Covert, Iosevich và Pakianathan [16] nghiên cùutrên vành húu h¤n tø năm 2011 vîi möc đích đº hiºu rõ hơn lîp bài toán nàytrên lưîi nguyên Nhóm tác gi£ đã sû döng gi£i tích Fourier, đưa ra k¸t qu£cho tªp kho£ng cách và tªp tích trên vành húu h¤n Cö thº, hå tìm đi·u ki»n

đº tªp kho£ng cách và tªp tích chùa toàn bë các ph¦n tû kh£ nghàch cõa

vành Zq

Trong ph¦n đ¦u cõa Chương 3, sû döng phương pháp phê cõa đç thà,chúng tôi đưa ra mët cách chùng minh khác cõa tªp kho£ng cách và tªp tíchtrên trưíng húu h¤n ng-n gån hơn chùng minh cõa Hart và Iosevich đçng thíi

tìm đi·u ki»n cõa tªp A Zq đº jD(An)j, jP(An)j & q

Tªp thº tích khèi: Trong Chương 3, chúng tôi đã nghiên cùu tªp tích

Sû döng phương pháp phê cõa đç thà, trong ph¦n ti¸p theo cõa Chương

3 chúng tôi c£i thi»n k¸t qu£ cõa Balog trên trưíng húu h¤n, đçng thíi mðrëng k¸t qu£ đó trên vành húu h¤n

jA + Aj = 2jAj 1

và

jA Aj & jAj2 e,

Erdos˝ và Szemerédi [19] chùng minh vîi A N thì

maxfjA + Aj, jA Ajg & jAj1+e,

vîi sè e > 0 Đçng thíi hå cũng đưa ra gi£ thuy¸t r¬ng

maxfjA + Aj, jA Ajg & jAj2 d,

vîi d > 0 nào đó K¸t qu£ cõa Erdos˝ và Szemerédi đã đưñc Elekes [22],

Mock-enhaupt [37], Nathanson [40] và Roche - Newton [41] c£i thi»n Hi»n nay, k¸tqu£ tèt nh§t là cõa Solymosi Cö thº, Solymosi [51] chùng minh đưñc

maxfjA + Aj, jA Ajg & jAj1411 e.Lưu ý: K¸t qu£ cõa Solymosi v¨n đúng trên trưíng sè phùc

Ngoài ra, trong [15], [21] và [42] đã đưa ra các k¸t qu£ cõa bài toán têng tích cho trưíng hñp jA + Aj ho°c jA Aj bé

-Trên trưíng húu h¤n thì bài toán dưíng như phùc t¤p hơn do công cöchính trong không gian Euclid không còn đúng núa Nhúng k¸t qu£ đ¦u tiên

trên trưíng húu h¤n đưñc đưa ra trong [12], [14] và [11] là: N¸u A Fp thäamãn jAj p1 e vîi e nào đó, khi đó tçn t¤i d > 0 sao cho

maxfjA + Aj, jA Ajg & jAj1+d

Tuy nhiên, k¸t qu£ này chưa ch¿ ra đưñc mèi liên h» giúa e và d Hart, Iosevich,

Cho tîi thíi điºm hi»n t¤i, k¸t qu£ tèt nh§t cõa bài toán này là cõa Roche

-Newton - Rudnev - Shkredov [44] Nhóm tác gi£ chùng minh r¬ng vîi A Fp

thäa mãn A p5/8 thì

maxfjA + Aj, jA Ajg & jAj1+15 Ngưíi ta hy vång r¬ng s³ thu đưñc nhúng k¸t qu£ tương tü khi thay th¸ tªptích b¬ng tªp t¿ sè Roche-Newton [43] đã thu đưñc nhúng k¸t qu£ tương tücho tªp têng - t¿ sè Trong ph¦n ti¸p theo cõa Chương 3, sû döng phươngpháp phê cõa đç thà, chúng tôi cũng thu đưñc nhúng k¸t qu£ têng quát chotªp têng - t¿ sè trên trưíng và vành húu h¤n

con cõa Fd, trong đó d là mët sè tü nhiên và d 2 Vîi måi hàm f : Fd ! Fq, q q

hàm nð d bi¸n vîi ch¿ sè e n¸u j f (E) j C e jEj1/d+e vîi måi tªp E Mët v§n đ·đang đưñc r§t nhi·u sü quan tâm là xác đành các lîp hàm nð Ví dö, bài toán

kho£ng cách cõa Erdos˝ [20], vîi hàm D : Rd Rd ! R, trong đó D(x, y) = kx yk.

Nó đưñc gi£ thuy¸t là mët hàm nð 2d bi¸n vîi ch¿ sè nð e = 1/2d Bourgain,

Kart, Tao [12] đã đưa ra k¸t qu£ đ¦u tiên cõa bài toán kho£ng cách cõaErdos˝ trên trưíng húu h¤n, hå chùng minh n¸u q là sè nguyên tè, q = 3 mod

4 thì vîi måi e > 0 và E F2q thäa mãn jEj Ceq2 e , khi đó s³ tçn t¤i d > 0 sao

cho jD(E)j CdjEj12 +d

, vîi Cd, Ce là các h¬ng sè Tø k¸t qu£ trên, chúng ta

khó xác đành đưñc mèi quan h» giúa e và d Ngoài ra, Iosevich và Rudnev

Cho A là tªp con khác réng cõa trưíng húu h¤n Fq Khi đó tªp têng và tích đưñc xác đành như sau:

A + A = fa + b : a, b 2 Ag và A A = fa b : a, b 2 Ag

Bourgain [13] đã chùng minh r¬ng n¸u A Fq và jAj & q3/4 thì A.A + A.A + A.A

= Fq Ti¸p cªn b¬ng phương pháp hình håc, Hart và Iosevich [28, 30] đãchùng minh đưñc r¬ng n¸u jAj > q1/2+1/2d thì Fq A.A + A.A + + A.A

d

Shparlinski [50] chùng minh đưñc r¬ng vîi A, B, C 3 Fq là các tªp con

đõ lîn thäa mãn jAjjBjjCj & q2 thì q jA + B.Cj jAjjBqjjCj Trong trưíngnguyên, tø k¸t qu£ cõa Glibichuk và Konyagin [24], ta có n¸u jAj < p1/2 thì jA

+ A.Aj & jAj7/6 Wigderson [9] cũng chùng minh r¬ng f = xy + z là mët hàm nð

trên trưíng húu h¤n Fq Roche-Newton, Rudnev và Shkredov [45] sû döng [46]

đº c£i thi»n k¸t qu£ trên trưíng F tùy ý Cö thº, hå thu đưñc k¸t qu£ sau: Vîi A, B,

C 2 F thäa mãn jAj= jBj= jCj = N p2/3 thì

jAB + Cj N3/2

Aksoy-Yazici và đçng nghi»p [1] chùng minh k¸t qu£ tương tü cho hàm f =x(y + z) G¦n đây, Vinh, Thang và De Zeeuw [53] thu đưñc k¸t qu£ têng quáthơn cho hàm nð ba bi¸n trên trưíng húu h¤n Cö thº, nhóm tác gi£ chùngminh r¬ng vîi f 2 F[x, y, z] là mët đa thùc bªc hai phö thuëc vào tøng bi¸n và

không có d¤ng g(h(x) + k(y) + l(z)) Khi đó, vîi A, B, C 2 F thäa mãn jAj = jBj

= jCj = Nthì

j f (A,B, C)j minfN3/2, pg

Garaev và Shen [23] chùng minh f = x(y + 1) là mët hàm nð hai bi¸n vîi x,

y 2 A và tªp A có kích thưîc lîn Sû döng b§t đ¯ng thùc tam giác Ruzsa,Timothy, Jones và Roche - Newton [52] đã thu đưñc k¸t qu£ f = x(y + 1) làmët hàm nð hai bi¸n vîi x, y 2 A và tªp A có kích thưîc bé

Trong ph¦n cuèi cõa Chương 3, chúng tôi cũng chùng minh đưñc f = x(y+ 1) và g = x + y2 là các hàm nð hai bi¸n trên trưíng và vành húu h¤n vîi x, y

2 A và jAj q1/2

Trong Chương 4, chúng tôi thay th¸ Bê đ· trën nð b¬ng Bê đ· trën nð mðrëng và Bê đ· trën nð mð rëng cho đç thà có hưîng trong phương pháp phêcõa đç thà đº nghiên cùu, têng quát k¸t qu£ cõa tªp kho£ng cách trên đa t¤pchính quy

Đ°t D(x) = x12 + + xd2 là mët đa thùc trong Fq[x1, , xd] Vîi E Fdq, khi

đó tªp kho£ng cách cõa tªp E có thº biºu di¹n qua hàm D như sau:

đa t¤p chính quy V ph£i có đë lîn như th¸ nào đº Dk, D(E) = Fq ho°c jDk,

D(E)j & q, trong đó

Dk, D(E) = D(x1 + + xk) : xi 2 E, 1 i k ?

Sû döng bi¸n đêi Fourier, Covert, Koh và Pi [18] đã c£i thi»n đưñc đi·uki»n cõa tªp E đº Dk, D(E) = Fq vîi k 3 Trong Chương 4, sû döng phươngpháp phê cõa đç thà, chúng tôi đã têng quát đưñc k¸t qu£ trên khi thay hàm

D b¬ng d¤ng toàn phương không suy bi¸n và đa thùc chéo

Đành nghĩa 1.1.1 ([10, Đành nghĩa 2.1]) Cho G = (V, E) là mët đơn đç thà,

có đành nghĩa phê cõa đç thà như sau:

Đành nghĩa 1.2.1 ([10, Chương 2]) Phê cõa đç thà G là tªp các giá trà

riêng (tính c£ bëi) cõa ma trªn k· cõa đç thà G.

Lý thuy¸t phê cõa đç thà đưñc xu§t hi»n l¦n đ¦u tiên vào nhúng năm 1950.Đèi vîi đç thà vîi sè đ¿nh nhä, cách đơn gi£n nh§t đº tìm phê là tìm nghi»m

cõa đa thùc đ°c trưng c(x) = det(A xI).

thº biºu di¹n ma trªn A như sau:

trong đó I là ma trªn đơn và, J là ma trªn có t§t c£ các ph¦n tû đ·u b¬ng mët Ta có:

Avq = (J I)vq

Avq = vq.

` + k = n và (n 1)` k = 0

Lưu ý: Hai đç thà đ¯ng c§u thì chúng có cùng phê.

Цu tiên, chúng ta nh-c l¤i đành nghĩa hai đç thà đ¯ng c§u

Đành nghĩa 1.2.2 ([25]) Cho hai đç thà G = (V, E) và G0 = (V0, E0) Hai đç thà

G và G0 đưñc gåi là đ¯ng c§u vîi nhau n¸u tçn t¤i mët song ánh f : V ! V0 sao

Gi£ sû G và G0 là hai đç thà đ¯ng c§u, chúng ta s³ chùng minh chúng cócùng phê Gåi A và A0 tương ùng là các ma trªn k· cõa các đç thà G và G0

Vì hai đç thà đ¯ng c§u ch¿ là sü s-p x¸p l¤i các đ¿nh nên ta có A0 = P 1 AP,vîi P là ma trªn hoán và Do đó, A và A0 đçng d¤ng vîi nhau Hai ma trªnđçng d¤ng thì chúng có cùng giá trà riêng kº c£ bëi nên hai đç thà G và G0

có cùng phê

Câu häi ngưñc l¤i, n¸u hai đç thà có cùng phê thì chúng có đ¯ng c§u vîinhau hay không? R§t ti¸c, câu tr£ líi là phõ đành Chúng ta xét ví dö cö thºsau:

Ví dö 1.2.3 Xét hai đç thà K1, 4 và C4 [ K1 Hai đç thà này có cùng phê là l

= 2, 0, 0, 0, 2 nhưng hai đç thà này không đ¯ng c§u vîi nhau.

1.3 (n, d, l) - đç thà và Bê đ· trën nð

Cho đç thà G, gåi l1 l2 ln là các giá trà riêng cõa ma trªn k· cõa G Фi

lưñng l(G) = maxfl2, jlnjg đưñc gåi là giá trà riêng thù hai cõa G Đç thà G =

(V, E) đưñc gåi là (n, d, l) - đç thà n¸u nó là đç thà d - chính quy, có n đ¿nh

và giá trà riêng thù hai cõa G bà ch°n trên bði l Mët k¸t qu£ quen thuëc khi

l d thì G có nhúng tính ch§t tương tü vîi đç thà ng¨u nhiên G(n, d/n), trong

đó méi c¤nh xu§t hi»n mët cách đëc lªp vîi xác su§t d/n (xem chi ti¸t ð [4,Chương 9]) Cho đç thà G vîi hai tªp đ¿nh con (không nh§t thi¸t phân bi»t)

S, T V, kí hi»u E(S, T) là sè các c°p có thù tü (s, t) sao cho

s2 S, t 2 T và (s, t) là mët c¤nh cõa G Bê đ· trën nð sau đây là mët công cör§t quan trång trong phương pháp phê cõa đç thà đº nghiên cùu các bài toán têhñp cëng tính

Bê đ· 1.3.1 (Bê đ· trën nð, [2]) Gi£ sû G = (V, E) là mët (n, d, l) - đç thà vîi

là các vectơ đ°c trưng cõa tªp S và T Các tåa đë cõa cS, cT đưñc xác đành

như sau: cX(i) = 1 n¸u đ¿nh i 2 X và b¬ng 0 trong trưíng hñp còn l¤i

Gi£ sû fv0, v1, , vn 1g là mët cơ sð trüc chu©n cõa không gian vectơ

Rn bao gçm các vectơ riêng fv0, v1, , vn 1g cõa ma trªn k· A cõa G Ta

có v0 = p1n1 vîi 1 = (1, 1, , 1)T Xét biºu di¹n tuy¸n tính cS = å aivi và

Hanson, Lund và Roche-Newton [27] đã chùng minh k¸t qu£ tương tü Bêđ· trën nð cho sè c¤nh giúa hai đa tªp đ¿nh Cö thº, ta có bê đ· sau:

Bê đ· 1.3.2 (Bê đ· trën nð mð rëng, [27]) Cho G = (V, E) là mët (n, d, l) - đç

thà Cho B và C là hai đa tªp đ¿nh cõa G, khi đó

vîi mX(x) là bëi cõa x trong X.

Cho G = (V, E) là mët đç thà có hưîng có n đ¿nh thäa mãn jN+(x)j = jN

(x)j = d vîi måi x 2 V, trong đó N+(x) là tªp đ¿nh đi ra cõa đ¿nh x, N (x) là tªpđ¿nh đi vào cõa đ¿nh x Chúng ta đành nghĩa ma trªn k· cõa G

đưñc jlijd vîi måi 1 i n Chúng ta đành nghĩa l(G) = maxjli j6= d jlij Ma trªn A là

ma trªn chu©n t-c n¸u At A = AAt, vîi At là ma trªn chuyºn

và cõa A Ta nói r¬ng đç thà có hưîng là đç thà chu©n t-c n¸u ma trªn k· cõa nó

là ma trªn chu©n t-c Cho đç thà chu©n t-c G, gåi N+(x, y) là tªp các đ¿nh

z sao cho (x, z), (y, z) là các c¤nh cõa G và N (x, y) là tªp các đ¿nh z sao cho(z, x), (z, y) là các c¤nh cõa G, chúng ta có thº chùng minh đưñc đç thà G là

đç thà chu©n t-c khi và ch¿ khi jN+(x, y)j=jN (x, y)j vîi måi c°p đ¿nh x, y

Đç thà có hưîng G đưñc gåi là mët (n, d, l) - đç thà có hưîng n¸u G là mët

đç thà chu©n t-c có n đ¿nh, d - chính quy (tùc là jN+(x)j = jN (x)j = d vîi måi

đ¿nh x) và l(G) l Cho G là mët (n, d, l) - đç thà có hưîng vîi hai tªp đ¿nh B,

C V Gåi E(B, C) là sè c°p (b, c) sao cho b 2 B, c 2 C và (b,c) 2 E(G), trong

đó E(G) là tªp c¤nh cõa đç thà G Vu [54] đã phát triºn mð rëng Bê đ· trën nðcho đç thà có hưîng như sau:

Bê đ· 1.3.3 (Bê đ· trën nð cho đç thà có hưîng, [54]) Cho G = (V, E) là mët

(n, d,l) - đç thà có hưîng Vîi hai tªp đ¿nh B,C V, ta có:

E(B, C) nd jBjjCj lq .

jBjjCj

Sû döng kĩ thuªt tương tü trong chùng minh [27, Bê đ· 16] và [54, Bê đ·3.1], chúng tôi cũng thu đưñc k¸t qu£ tương tü như trong đç thà vô hưîng vîicác đa tªp đ¿nh

Bê đ· 1.3.4 (Bê đ· trën nð mð rëng cho đç thà có hưîng) Cho G = (V, E) là mët

(n, d, l) - đç thà có hưîng Cho B và C là hai đa tªp đ¿nh cõa đç thà G, ta có:

E( B, C ) nd j B jj C j l b å

B mB(b)2 cåC m

C (c) 2

Chùng minh Gi£ sû đç thà G có hưîng có n đ¿nh là V = f1, 2, , ng Kí hi»u

MB = (mB(1), mB(2), , mB(n))T

và

MC = (mC(1), mC(2), ,mC(n))T ,

trong đó mX(i) là bëi cõa i trong tªp X

Do G chu©n t-c nên ta có thº gi£ sû fv0, v1, , vn 1g là mët cơ sð trüc

chu©n cõa không gian vectơ Rn bao gçm các vectơ riêng fv0 , v1, , vn 1g

Chương 2

(n, d, l) - đç thà là công cö chính cõa phương pháp phê cõa đç thà màchúng ta s³ sû döng trong các chương ti¸p theo Lưu ý r¬ng, chúng ta c¦n xâydüng các đç thà khác nhau phö thuëc vào méi bài toán Vì vªy, trong chươngnày, chúng tôi s³ xây düng mët sè (n, d, l) - đç thà đưñc cho bði các phương

trình đ¤i sè trên trưíng và vành húu h¤n Trong các tham sè n, d, l thì tham sè n

và d xác đành khá đơn gi£n Vì vªy, làm th¸ nào đº xác đành đưñc l chính là

v§n đ· khó khăn nh§t (n, d, l) - đç thà G trên không gian R (R = Fq ho°c Zq)thưíng đưñc đành nghĩa như sau:

Tªp đ¿nh thưíng là V = R R R ho°c R R R

Hai đ¿nh a, b cõa đç thà đưñc nèi vîi nhau bði mët c¤nh khi và ch¿ khi

f (a, b) = t, trong đó t 2 R và f : V V ! R là mët hàm sè.

Chúng ta đánh giá l qua các bưîc sau:

Bưîc 1: иm sè nghi»m cõa h» phương trình

f (a, x) = t và f (b, x) = t, vîi a, b, x 2 V(G).

thông qua A b¬ng mët phương trình đ¤i sè, gi£ sû phương trình đó là:

A2 = h(A),vîi h là mët hàm sè nào đó

Bưîc 3: Tø A2 = h(A), tính ch§t cõa ma trªn đèi xùng và tính ch§t cõa

đç thà chính quy đº tìm l.

Chúng ta sû döng phương pháp trên đº đi tìm các tham sè n, d, l cõa mët sè

(n,d,l) - đç thà

2.1 Đç thà têng - bình phương

2.1.1 Đç thà têng - bình phương trên trưíng húu h¤n

Đç thà têng - bình phương FSq trên trưíng húu h¤n Fq đưñc đành nghĩa như sau: Tªp đ¿nh cõa đç thà têng - bình phương FSq là tªp Fq Fq Hai

đ¿nh a = (a1, a2) và b = (b1, b2) 2 V(FSq) đưñc nèi vîi nhau bði mët c¤nh fa,

bg 2 E(FSq) khi và ch¿ khia1 + b1 = (a2 + b2)2 Ta có đành lí sau:

Đành lí 2.1.1 Đç thà FSq là mët

q2, q, p

đ¿nh Bây gií chúng ta đánh giá cho giá trà riêng cõa đç thà Vîi a = (a1, a2) 6=

b = (b1, b2) 2 V(FSq) ta đ¸m sè nghi»m cõa h» phương trình sau:

n¸u a2 6= b2 và không có nghi»m trong trưíng hñp khác Nói cách khác, hai

đ¿nh khác nhau a = (a1, a2) và b = (b1, b2) có duy nh§t mët đ¿nh chung n¸u

a2 6= b2 và không có đ¿nh chung trong trưíng hñp khác

Gåi M là ma trªn k· cõa FSq Khi đó ta có:

trong đó J là ma trªn có t§t c£ các ph¦n tû đ·u b¬ng mët, I là ma trªn đơn và

và E là ma trªn k· cõa đç thà SE, V(SE) = Fq Fq và hai đ¿nh a, b 2 V(SE)

đưñc nèi vîi nhau bði mët c¤nh fa, bg 2 V(SE) khi và ch¿ khi a2 = b2 Suy ra

SE là đç thà (q 1) - chính quy Do FSq là đç thà q - chính quy nên q là mët giá

trà riêng cõa M vîi vectơ riêng tương ùng là 1 Đç thà FSq liên thông, do đó giátrà riêng q có bëi mët Rõ ràng đç thà FSq có chùa tam giác nên không ph£i là

đç thà hai ph¦n Do đó, gåi q là giá trà riêng khác cõa đç thà FSq thì jqj < q Gåi

vq là vectơ riêng ùng vîi giá trà riêng q Lưu ý vq 2 1?, suy ra Jvq = 0 Do đó tø(2.1.1) ta có (q2 q + 1)vq = Evq Thêm vào đó SE là đç thà (q 1) - chính quynên t§t c£ các giá trà riêng cõa SE bà ch°n trên bði q 1 Suy ra q2 2(q 1), d¨n tîiđi·u ph£i chùng minh

2.1.2 Đç thà têng - bình phương trên vành húu h¤n

Đç thà têng - bình phương RSq trên vành húu h¤n Zq đưñc đành nghĩanhư sau: Tªp đ¿nh cõa đç thà têng - bình phương RSq là tªp Z Zq Hai

đ¿nh a = (a1, a2) và b = (b1, b2) 2 V(RSq) đưñc nèi vîi nhau bði mët c¤nh fa,

bg 2 V(RSq) khi và ch¿ khi a1 + b1 = (a2 + b2)2 Ta có đành lí sau:

trình (2.1.3) Gi£ sû 0 a r 1 thäa mãn p a = (a2 b2, pr) Ta xét hai trưíng hñp sau:

nghi»m

g = ((a1 b1) (a22 b22))/pa Khi đó x2 = g/b Thay vào (2.1.3) ta đưñc

pa nghi»m x2 thäa mãn phương trình (2.1.3) Hay nói cách khác, hai đ¿nh

đ¿nh a = (a1, a2), đ¿nh b = (b1, b2) đưñc nèi vîi đ¿nh a bði mët c¤nh khi và

(b1, b2) 2 V(RSq) đưñc nèi vîi nhau bði mët c¤nh khi và ch¿ khi pa = (a2 b2,

pr) = ((a1 b1) (a22 b22), pr) Cè đành đ¿nh a = (a1, a2), đ¿nh b = (b1, b2)

đưñc nèi vîi đ¿nh a bði mët c¤nh khi và ch¿ khi

2(a2 b2) = t1 pa vîi t1 2 Zr a và (a1 b1) (a22 b22) = t2 pa vîi t1 2 Zr a

Lªp luªn tương tü, ta cũng có Fa là mët đç thà (pr apr a 1)2 - chính quy Do

RSq là đç thà (pr pr1) - chính quy nên ma trªn A có mët giá trà riêng

l = prpr 1 vîi vectơ riêng tương ùng là 1 Gåi q là mët giá trà riêng cõa ma trªn

A và q 6= l Gi£ sû v là vectơ riêng ùng vîi giá trà riêng q, ta có v 2 1?

2.2.1 Đç thà têng - tích trên trưíng húu h¤n

Cho l 2 Fq, đç thà têng - tích FPq(l) đưñc đành nghĩa như sau: Tªp đ¿nh

cõa đç thà têng - tích FPq(l) là tªp Fq Fq Hai đ¿nh a = (a1, a2) và b = (b1,

b2) 2 V(FPq(l)) đưñc nèi vîi nhau bði mët c¤nh fa, bg 2 E(FPq(l)) khi vàch¿ khi a1 + b1+ a2b2 = l Ta có đành lí sau:

Đành lí 2.2.1 Đç thà FPq(l) là mët

q2, q, p

q2 đ¿nh Bây gií chúng ta tìm ch°n trên cho giá trà riêng thù hai cõa đç thàtêng - tích FPq(l) Vîi a = (a1, a2) 6= b = (b1, b2) 2 V(FPq(l)) ta đ¸m sè

nghi»m cõa h» phương trình

n¸u a2 6= b2 và không có nghi»m trong trưíng hñp khác Nói cách khác, hai

đ¿nh khác nhau a = (a1, a2) và b = (b1, b2) có duy nh§t mët đ¿nh chung n¸u

a2 6= b2 và không có đ¿nh chung trong trưíng hñp khác

Gåi M là ma trªn k· cõa đç thà FPq(l) Khi đó ta có:

Do đç thà FPq(l) là mët đç thà q - chính quy nên q là mët giá trà riêng

cõa M vîi vectơ riêng tương ùng là 1 Đç thà FPq(l) liên thông, do đó giá trà riêng q có bëi mët Tương tü chùng minh cõa Đành lí 2.1.1, gåi q là mët giá

trà riêng khác q cõa FPq Ta có q2 < 2q 1, suy ra đi·u c¦n chùng minh

Chúng ta cũng đành nghĩa đç thà têng - tích Fq,d như sau: Tªp đ¿nh cõa

đç thà têng - tích Fq, d là tªp Fq Fdq Hai đ¿nh U = (a, b) và V = (c, d) 2

V(Fq, d) đưñc nèi vîi nhau bði mët c¤nh fU, Vg 2 E(Fq, d) khi và ch¿ khi a +

c = b d Vinh [59] thu đưñc k¸t qu£ sau:

Đành lí 2.2.2 ([59, Bê đ· 9.1]) Cho d là mët sè tü nhiên lîn hơn 1, đç thà

2.2.2 Đç thà têng - tích trên vành húu h¤n

Đç thà têng - tích RPq trên vành húu h¤n đưñc đành nghĩa như sau: Tªpđ¿nh cõa đç thà têng - tích RPq là tªp Zq Zq Hai đ¿nh a = (a1, a2) và

b = (b1, b2) 2 V(RPq) đưñc nèi vîi nhau bði mët c¤nh fa, bg 2 E(RPq) khi và ch¿ khi a1 + b1= a2b2 Vinh [56] thu đưñc k¸t qu£ sau:

Đành lí 2.2.3 ([56, Đành lí 2.3]) Đç thà RPq là mët

q

Tương tü, đç thà têng - tích Rq,d đưñc đành nghĩa như sau: Tªp đ¿nh cõa đç thà têng - tích Rq, d là tªp V(Rq, d) = Zq Zdq Hai đ¿nh U = (a, b) và

V = (c, d) 2 V(Rq,d) đưñc nèi vîi nhau bði mët c¤nh fU,Vg 2 E(Rq,d) khi và ch¿ khi a + c = b d Ta có đành lí sau:

Đành lí 2.2.4 Cho d là mët sè tü nhiên lîn hơn 1, đç thà têng - tích Rq, d là mët

q

có qd+1 đ¿nh Bây gií chúng ta đi tìm ch°n trên cho giá trà trà riêng thù haicõa đç thà Rq, d Vîi U = (a, b) 6= V = (c, d) 2 V(Rq, d) ta đ¸m sè nghi»m cõah» phương trình

Tø đó ta có, vîi hai đ¿nh b§t kì U = (a, b) và V = (c, d) 2 V(Rq, d) Gi£ sû

pa là ưîc lîn nh§t cõa q sao cho t§t c£ các tåa đë cõa b d cũng chia h¸t

cho pa, khi đó U và V có qd 1 pa đ¿nh chung n¸u pa j a c và không có đ¿nhchung trong trưíng hñp còn l¤i.

Gi£ sû A là ma trªn k· cõa Rq,d Khi đó ta có:

A2 = qd 1 J + (qd qd 1)I qd 1 å Ea + å (qd 1 pa qd 1

)Fa, (2.2.4)

0 a<r 0<a<r

trong đó J là ma trªn có t§t c£ các ph¦n tû đ·u b¬ng mët, I là ma trªn đơn và,

Ea là ma trªn k· cõa đç thà BE, a Hai đ¿nh b§t kì U = (a, b) và V = (c, d) 2

V(Rq, d), fU, V g là mët c¤nh cõa BE, a khi và ch¿ khi pa là ưîc lîn nh§t cõa q

sao cho t§t c£ các tåa đë cõa b d chia h¸t cho pa nhưng c a không chia h¸tcho pa Fa là ma trªn k· cõa đç thà BF, a, vîi hai đ¿nh b§t kì U = (a, b) và

V = (c, d) 2 V(Rq, d), fU, Vg là mët c¤nh cõa BF, a khi và ch¿ khi pa là ưîc lîn

nh§t cõa q sao cho t§t c£ các tåa đë cõa b d chia h¸t cho pa và c a cũng chiah¸t cho pa Vîi a > 0 b§t kì, khi đó BE,a là đç thà chính quy, bªc cõa méi

đ¿nh nhä hơn p(r a)d và BF, a là đç thà chính quy, bªc cõa méi đ¿nh nhähơn p(r a)(d+1) Do đó, t§t c£ các giá trà riêng cõa Ea bà ch°n bði p(r a)d vàt§t c£ các giá trà riêng cõa Fa bà ch°n bði p(ra)(d+1) E0 là ma trªn có t§t c£các ph¦n tû đ·u b¬ng không

Do Rq, d là mët đç thà qd - chính quy nên qd là mët giá trà riêng cõa A vîi

vectơ riêng tương ùng là 1 Đç thà Rq, d là đç thà liên thông nên qd có bëi

mët Bên c¤nh đó, chån b, d 2 Zdq sao cho b d = 2a 6= 0 khi đó Rq, d có

chùa tam giác vîi ba đ¿nh là ( a, 0), (a, b) và (a, d), có nghĩa là đç thà Rq, d

không ph£i là đç thà hai ph¦n Gåi q là giá trà riêng khác qd cõa A thì jqj <

qd Gi£ sû vq là vectơ riêng ùng vîi giá trà riêng q Ta có v q 2 1?, suy ra Jvq

tø đó ta có đi·u ph£i chùng minh.

2.3 Đç thà tích - têng

2.3.1 Đç thà tích - têng trên trưíng húu h¤n

Cho l 2 Fq b§t kì, đç thà tích - têng PSq(l) đưñc đành nghĩa như sau: Tªp

đ¿nh cõa đç thà tích - têng PSq(l) là tªp Fq Fq Hai đ¿nh a = (a1, a2) và b =

(b1, b2) 2 V(PSq(l)) đưñc nèi vîi nhau bði mët c¤nh fa, bg 2 E(PSq(l)) khi vàch¿ khi a1b1(a2 + b2) = l Vinh [58] đã thu đưñc k¸t qu£ sau:

Đành lí 2.3.1 ([58, Đành lí 3.6]) Đç thà PSq(l) là mët

p

2.3.2 Đç thà tích - têng trên vành húu h¤n

Đç thà tích - têng PSRq đưñc đành nghĩa như sau: Tªp đ¿nh V(PSRq) =

Zq Zq Hai đ¿nh a = (a1, a2) và b = (b1, b2) 2 V(PSRq) đưñc nèi vîi nhau bði

mët c¤nh khi và ch¿ khi a1b1(a2 + b2) = 1 Ta có đành lí sau:

phương trình (2.3.2) Gi£ sû 0 a r 1 thäa mãn p a = (a2 b2, pr) Ta xét haitrưíng hñp sau:

Trưíng hñp 1 N¸u ( a1 1 , pr) 6= pathì phương trình (2.3.2) vô nghi»m.

1

khi đó x1 = g/b Thay vào phương trình (2.3.2) ta đưñc p a nghi»m x1 thäa

mãn phương trình (2.3.2) Suy ra hai đ¿nh a = (a1, a2) và b = (b1, b2) 2V(PSRq) b§t kì thäa mãn pa = (a2 b2, pr) = ( a11 b11 , pr) thì có pa đ¿nhchung và không có đ¿nh chung trong trưíng hñp khác

Gåi A là ma trªn k· cõa đç thà PSRq, khi đó ta có:

A2 = J + (pr pr 1 1)I å Ea + å (pa 1)Fa,

trong đó I là ma trªn đơn và, J là ma trªn có t§t c£ các ph¦n tû đ·u b¬ng mët

Đç thà Ea có tªp đ¿nh trùng vîi tªp đ¿nh cõa PSRq Hai đ¿nh a = (a1, a2)

và b = (b1, b2) 2 V(PSRq) đưñc nèi vîi nhau bði mët c¤nh khi và ch¿ khi

và b = (b1, b2) 2 V(Fa) đưñc nèi vîi nhau bði mët c¤nh khi và ch¿ khi pa =

) Cè đành đ¿nh a = (a1, a2), đ¿nh b = (b1, b2)( a2 b2, p ) = (a1 b1, p

đưñc nèi vîi đ¿nh a bði mët c¤nh khi và ch¿ khi

a2 b2 = pat1 vîi t1 2 Zr a và a = pat2 vîi t2 2 Zr a

Tø h» phương trình trên, ta suy ra Fa là mët đç thà (pra pra1)2 - chính quy

Ta có PSRq là đç thà (pr pr 1) - chính quy nên ma trªn A có mët giá trà

riêng b¬ng l = pr pr 1, vîi vectơ riêng tương ùng là 1 Gåi q là mët giá trà riêng cõa A khác l, ta có jqj < l Gi£ sû v q là vectơ riêng ùng vîi giá trà riêng

2.4.1 Đç thà tích trên trưíng húu h¤n

Cho d¤ng song tuy¸n tính không suy bi¸n B( , ) trên Fdq, vîi l 2 F b§t kì, đç

thà tích Bq, d(l) đưñc đành nghĩa như sau: Tªp đ¿nh cõa đç thà tích Bq, d(l)

là tªp V(Bq, d(l)) = Fdn(0, , 0) Hai đ¿nh a và b 2 V(Bq, d(l)) đưñc nèi vîi

nhau bði mët c¤nh fa, bg 2 E(Bq, d(l)) khi và ch¿ khi B(a, b) = l Khi l = 0, đç

thà tích trð thành đç thà Erdos˝ - Rényi, đç thà này đã đưñc tính giá trà riêng

trong [3] Vîi l 6= 0, Vinh [59] có đành lí sau:

Đành lí 2.4.1 ([59, Bê đ· 9.2]) Cho d là mët sè tü nhiên lîn hơn 1 và l 2 F ,

q

2.4.2 Đç thà tích trên vành húu h¤n

Vîi l 2 Zq tùy ý, đç thà tích Bq(d, l) đưñc đành nghĩa như sau: Tªp đ¿nh

cõa đç thà Bq(d, l) là tªp Zdpr n(Z0pr )d Hai đ¿nh a và b 2 V(Bq(d, l)) đưñc

nèi vîi nhau bði mët c¤nh fa, bg 2 E(Bq(d, l)) khi và ch¿ khi a b = l Khi

l = 0, đç thà tích Bq(d,l) cũng trð thành đç thà Erdos˝ - Rényi Vîi l 6= 0,Vinh [56] thu đưñc đành lí sau:

Đành lí 2.4.2 ([56, Đành lí 2.4]) Cho d là mët sè tü nhiên lîn hơn 1 và l 2 Zpr

q

p rd p (r 1)d , p r(d 1) , 2rp (d 1)(2r 1) đç thà.

2.5 Đç thà Euclid húu h¤n

Cho Q là mët d¤ng toàn phương không suy bi¸n trên Fdq Vîi t 2 Fq b§t

kì, đç thà Euclid húu h¤n Eq(d, Q, t) đưñc đành nghĩa như sau: Tªp đ¿nh là

tªp Fdq và tªp c¤nh là

E = fx, yg 2 Fdq Fdq j x 6= y, Q(x y) = t Bannai và đçng nghi»p [8] và Kwok [38] thu đưñc đành lí sau:

Đành lí 2.5.1 ([8, 38]) Cho Q là mët d¤ng toàn phương không suy bi¸n trên Fdq Vîi

qd, (1 + o(1))qd 1, 2q(d 1)/2 đç thà.

36

Chương 3

Đánh giá lüc lưñng cõa mët sè tªp hñp trên trưíng và vành húu h¤n

3.1 Giîi thi»u v· phương pháp phê cõa đç thà

Đèi tưñng nghiên cùu đ¦u tiên chúng tôi quan tâm là bài toán mð cê điºntrong hình håc tê hñp, bài toán v· kho£ng cách cõa Erdos˝ [20] Bài toán yêuc¦u chúng ta tìm sè các kho£ng cách khác nhau tèi thiºu đưñc xác đành bðimët tªp gçm N điºm trên m°t ph¯ng Euclid Có nghĩa là chúng ta c¦n đánhgiá lüc lưñng cho tªp kho£ng cách đưñc xác đành bði tªp điºm này Có liênquan đ¸n đánh giá lüc lưñng cõa các tªp hñp cũng đưñc nhi·u ngưíi quantâm là đánh giá lüc lưñng cõa tªp tích vô hưîng, đánh giá têng - tích, đánhgiá lüc lưñng cõa tªp thº tích khèi, đi tìm các hàm nð

Trong m°t ph¯ng, bài toán kho£ng cách cõa Erdos,˝ đánh giá têng - tích

có thº sû döng nhi·u tính ch§t hình håc đº gi£i quy¸t Tuy nhiên, trên khônggian húu h¤n nhi·u tính ch§t hình håc không còn đúng Vì th¸, không thº ápdöng phương pháp trên m°t ph¯ng cho không gian húu h¤n và d¨n đ¸n nhi·uphương pháp nghiên cùu đưñc ra đíi Điºn hình như phương pháp sû dönggi£i tích Fourier đuñc phát triºn r§t m¤nh m³ bði nhóm nghiên cùu cõaIosevich Cách ti¸p cªn b¬ng gi£i tích Fourier k¸ thøa đưñc nhúng công cöm¤nh tø gi£i tích và có lñi hơn phương pháp ti¸p cªn b¬ng đç thà là có sûdöng các c§u trúc cõa bài toán trên mët không gian vectơ Ngoài ra, g¦n đâyxu§t hi»n phương pháp sû döng liên thuëc điºm và đưíng th¯ng cõa Rudnev[46] đº nghiên cùu mët sè bài toán tê hñp cëng tính cho các tªp nhä

Năm 2008, Vũ Hà Văn và Lê Anh Vinh đã đçng thíi sû döng (n, d, l) - đç

thà và Bê đ· trën nð đº nghiên cùu v· mët sè bài toán tê hñp cëng tính Cöthº, Vu [54] nghiên cùu v· bài toán đánh giá têng - tích và Vinh [55] nghiêncùu v· bài toán kho£ng cách cõa Erdos˝ Trong Luªn án này nhóm chúng tôi

s³ ti¸p töc sû döng (n, d, l) - đç thà và Bê đ· trën nð đº nghiên cùu các bài

toán nêu trên Chúng tôi gåi phương pháp này là "phương pháp phê cõa đçthà"

Phương pháp phê cõa đç thà:

Bưîc 1: Xây düng mët (n, d, l) - đç thà trên không gian R chúng ta đang

nghiên cùu bài toán (R = Fq ho°c Zq)

– Tªp đ¿nh thưíng là V = R R R ho°c R R R

– Hai đ¿nh a, b cõa đç thà đưñc nèi vîi nhau bði mët c¤nh khi và ch¿

khi f (a, b) = t, trong đó t 2 R và f : V V ! R là mët hàm sè Trong

méi bài toán chúng ta s³ chån mët hàm f phù hñp

Bưîc 2: Tìm các tham sè (n, d, l) cõa đç thà trên.

Bưîc 3: Áp döng Bê đ· trën nð:

– иm sè nghi»m cõa phương trình f (a, b) = t vîi a 2 A, b 2 B.

– Đçng nh§t sè nghi»m cõa phương trình này vîi sè c¤nh giúa hai tªp

đ¿nh A, B cõa đç thà trên

– Sû döng Bê đ· trën nð đº đưa ra đánh giá v· sè c¤nh cõa đç thà,

tương ùng vîi nhúng đánh giá cho tªp hñp mà chúng ta quan tâm

Phương pháp phê cõa đç thà m°c dù có thº sû döng đº chùng minh l¤i vàc£i thi»n đưñc mët sè k¸t qu£ g¦n đây cõa nhi·u nhà nghiên cùu và đưa ra mët

sè k¸t qu£ khá thú và khác nhưng l¤i yêu c¦u r§t ít c§u trúc trong bài toán Tøquan điºm hình håc, sû döng phương pháp này chúng ta r§t ít khi quan tâm đ¸nlñi th¸ r¬ng bài toán cõa chúng ta có c§u trúc trên mët không gian vectơ Đi·unày gi£i thích t¤i sao phương pháp đó đưñc ùng döng vào r§t nhi·u bài toánkhác nhau nhưng nó cũng ch¿ rõ cho chúng ta th§y sü khó khăn đº c£i thi»ncác k¸t qu£ này là do sü phùc t¤p cõa hình håc trên trưíng

hay vành húu h¤n Trong chương này cõa Luªn án, chúng tôi s³ sû döngphương pháp phê cõa đç thà đº nghiên cùu mët sè bài toán đang đưñc r§tnhi·u ngưíi quan tâm: tªp kho£ng cách, tªp tích, tªp thº tích khèi, tªp têng - t¿

sè và đi tìm các hàm nð hai bi¸n

3.2 Tªp kho£ng cách, tªp tích

3.2.1 Giîi thi»u têng quan v· bài toán tªp kho£ng cách và tªp tích

Sû döng gi£i tích Fourier trên trưíng húu h¤n, Iosevich và Rudnev [34]chùng minh r¬ng n¸u jEj 2q(n+1)/2 thì D(E) = Fq Hart và Iosevich [30] đã tìmđi·u ki»n cõa tªp E đº jD(E)j & q Cö thº, hå thu đưñc đành lí sau:

Đành lí 3.2.1 ([30, Đành lí 1.1, H» qu£ 1.2]) Vîi E = E1 En, trong đó

n2

E1, , En Fq thäa mãn jEj & q2n 1 Khi đó jD(E)j & q.

Hart, Iosevich, Koh và Rudnev [28] cũng thu đưñc các k¸t qu£ tương tücho tªp tích trong không gian vectơ trên trưíng húu h¤n, đưñc cö thº trongđành lí sau:

Đành lí 3.2.3 ([31, Đành lí 2.3]) Vîi AFq thäa mãn jAj & q1/2 Khi đó, ta có:

j D ( An)j & min q, jAj2n 1 .

Đành lí 3.2.4 ([31, Đành lí 2.4]) Vîi AFq thäa mãn jAj & q1/2 Khi đó, ta có:

j P ( An)j & min q, jAj2n 1 .