trac nghiem vd vdc nguyen ham tich phan va ung dung dang viet dong

2 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ .... PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.. Phương pháp đổi biến dạng 1... TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN... Tích phân hàm lượng giác Một số dạng tích

MỤC LỤC

NGUYÊN HÀM 2

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊM HÀM ĐỔI BIẾN SỐ 6

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 10

NGUYÊN HÀM HÀM ẨN 14

TÍCH PHÂN 18

SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN 26

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ 31

ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 31

ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 38

TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 38

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 38

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 41

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 43

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 45

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 46

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 47

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 49

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 1: 49

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN DẠNG 2: 50

TÍCH PHÂN HÀM ẨN PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 51

TÍCH PHÂN HÀM ẨN 58

GTLN, GTNN, BĐT - TÍCH PHÂN 65

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH 70

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VỚI HÀM SỐ 83

ỨNG DỤNG THỂ TÍCH Error! Bookmark not defined BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH Error! Bookmark not defined BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ ỨNG DỤNG THỂ TÍCH Error! Bookmark not defined ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC Error! Bookmark not defined

1) Nếu F x là một nguyên hàm của  f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số   G x F x C

cũng là một nguyên hàm của f x trên K  

2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên K thì mọi nguyên hàm của   f x trên K đều có dạng F x C , với C là một hằng số.

Do đó F x C C,   là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K  

8 cosxdx  sinx C 21. cosax b dx   a1sinax b C

9 sinxdx  co sx C 22. sinax b dx   a1cosax bC

10 tan x dx ln | cos |x C 23.tanax b dx  a1ln cosax b  C

11.cot x dx ln | sin |x C 24.cotax b dx a1ln sinax b  C

12  2x dx  x C

1

tancos 25.  2ax b dx  a ax b C

tancos

13. 2x dx   x C

1

cotsin 26.  2ax b dx  a ax b C

cotsin

14. 1 tan 2x dx tanx C 27  1 tan 2ax b dx    a1tanax b C

1 4

2

x x

sin x C. tanx  2 D. cotx  2

2 2

khi 02

khi 02

2

khi 0

khi 02

Câu 14 (Chuyên Vinh Lần 3) Biết rằng xex là một nguyên hàm của f x trên khoảng  ; 

Gọi F x  là một nguyên hàm của f x ex thỏa mãn F 0 1, giá trị của F  1 bằng

A 7

5 e2

2020. D

20192020



Câu 20 (Chuyên Vinh Lần 3)Biết F x  là nguyên hàm của hàm số f x  x cos2 x

x



 Hỏi đồ thị của hàm số y F x  có bao nhiêu điểm cực trị?

2 Đổi biến dạng 2

Nếu : f x dx( ) F x( )C và với u  t là hàm số có đạo hàm thì : f u du( ) F( ( )) t C

2.1 Phương pháp chung

 Bước 1: Chọn x  t , trong đó  t là hàm số mà ta chọn thích hợp  

 Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx ' t dt

 Bước 3: Biến đổi :        

x2 a2

Đặt  a x sint.; với      

2 2 hoặc 

a x cost

ln

x x

f x dx 

5

0( ) 4



C 2 6.2



D 2 3 6.2

x

f x

x



 trên khoảng 0; Biết rằng giá trị lớn nhất của F x trên  

khoảng 0; là 3 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

' ( )( )

Vậy I lnx Q x Q x dx

x

1( )

cossin

Vậy I = x x

x

cossin

x dx H

ln 21

 với , ,a b c là các số nguyên dương và các

phân số là phân số tối giản Tính giá trị của biểu thức S a b

2

4ln4

Câu 17: (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 )Biết rằng là một nguyên hàm của

trên khoảng Gọi là một nguyên hàm của thỏa mãn , giá trị của bằng

Câu 18: (Sở Lạng Sơn 2019)Cho hàm số y f x 

Biết hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức f x sinxdx = f x cosx xcosxdx Hỏi hàm số

49

12

5 e2

2

2

NGUYÊN HÀM HÀM ẨN Câu 1: Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 1

f  

  Giá trị của biểu thức f  1 f  3 bằng

2 ln3

2 ln3

215

215

215

Câu 11: (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội)Cho hàm số y f x  liên tục và có đạo hàm trên đoạn 1;0,

đồng thời thỏa mãn điều kiện

Câu 12: (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên

nhận giá trị dương trên khoảng và thỏa mãn với mọi Mệnh đề nào sau đây là đúng?

x 

 

4 f 5 5 1 f  5 2 3 f  5 4 2 f  5 3

b là phân số tối giản Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A 9

5

Câu 27: Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa mãn  1 2 1 3

d

51

x x





34

x

C x

Câu 36: (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số f x 

f x dx( ) F x( ) F b( ) F a( )

* Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi 

b a

f x dx( ) hay 

b a

3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Phương pháp đổi biến

1.1 Phương pháp đổi biến dạng 1

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u

udv  uv b

a 

b a

vu x dx'( ) và b

uv a

* Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.

Đặt u theo thứ tự ưu tiên:

b

x a

b a

P x( )lnxdx 

b a

P x( )cosxdx 

b x a

f x dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm

3 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

( ) với P x  và Q x  là đa thức của x

Nếu bậc của P x  lớn hơn hoặc bằng bậc của Q x  thì dùng phép chia đa thức

Nếu bậc của P x  nhỏ hơn bậc của Q x  thì có thể xét các trường hợp:

Khi Q x có nghiệm bội

2 2

2

2Khi đó ta có :

2

;2

Tích phân này chúng ta đã biết cách tính

3.3 Tích phân hàm lượng giác

Một số dạng tích phân lượng giác

Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc

Nếu n 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi

Nếu 3n lẻ (n2p thì thực hiện biến đổi: 1)

a Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng

b Nếu m chẵn, n lẻ (n2p thì biến đổi:1)

c Nếu m lẻ

m2p1, n chẳn thì biến đổi:

d Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2 hoặc 1.3 cho số mũ lẻ bé hơn

Nếu m n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u, sinx

(*) Tích phân (*) tính được  1 trong 3 số là số nguyên

SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TÍCH PHÂN CƠ BẢN Câu 1 (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Biết

1

2 0

Câu 9 (Chuyên Vinh Lần 3)Cho hàm số

2

0( ) sin

x

G x   tdt Tính đạo hàm của hàm số G x( )

A. G x( ) 2 sin x x B. G x( )2 cosx x C G x( )cosx D. G x( )2 sinx x

Câu 10 (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Biết rằng

x

e e

f x  t tdt, tìm điểm cực trị của hàm số đã cho

Câu 13 (Thuận Thành 2 Bắc Ninh)Cho

4

2 1

3 2

3 2

Câu 15 (Thị Xã Quảng Trị)Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn  



(với , , ) Tính giá trị của biểu thức

f x x 

34

 Tính f  2

A. f  2  10 B. f  2 20 C. f  2 10 D. f  2  20

Câu 26 Cho hàm số y f x  có đồ thị  C , xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều

kiện f x 0   x , f x x f x   2,   và x f  0 2 Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  của đồ thị 1  C là

215

215

215

Câu 31 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1, f x  và f x đều nhận giá trị dương

trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f  0 2,        

Câu 34 Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn 0; 1, thỏa mãn    

4 4

I f x dx  g u du

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

Có f x( ) t f x( )

3 3

x dx I

e xdx I

I n

2 1

I n





Câu 3 (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Tích phân 1 2

2 0

Câu 4 (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Biết

1

2 0

Câu 7 (ĐH Vinh Lần 1)Biết rằng , với là các số hữu tỉ

2 ln1

Câu 16 (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho

3

0

ln 2 ln 33

1

d ln1

1 3cos

a

x x

Câu 25 Cho biết

4

0

cos

ln 2sin cos



2213

2ln

3 3

2 3

2ln

C

3 3

2 3

2ln

3 3

2 3

2ln

Câu 31 (THPT LÊ VĂN HƯU NĂM 2018-2019)Biết

2018

2018 2018 0

1cos2

2

6

d1

Câu 35 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho f x là hàm số chẵn  

trên đoạn a a;  và k  Giá trị tích phân 0  

d

1 e

a kx a

f x x

f x x

a a

với a, b, c là các số nguyên dương, biết a c;

b d là các phân số tối giản Tính giá trị

e

d e ln ee

x x

2 2

A. 0 B.1 C.3 D.-1

ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2

Câu 49 Biết rằng

2 4

1

d6

4 1

Câu 55 (CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho hàm số y f x  liên tục trên

đoạn 0; 4 và thỏa mãn điều kiện  2   2

2

20

10

Câu 11 Cho hàm số f x  liên tục trên  thỏa mãn 16  



  Tính tích phân

 4

d 11

Câu 16 Cho hàm số f x  liên tục trên R và    

2 1 4

0

ln 1 d1



Câu 20 Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn  1;3 thỏa mãn f 4x f x , x  1;3 và

( )

f x dx x

2d

x x

f x x

5

1d

f x x

8

4d

6

3

1d

Câu 34 Xét hàm số f x  liên tục trên  0;1 và thỏa mãn    2   1

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3

Cách giải: Lần lượt đặt t u x   và t v x   để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn f x ) để suy ra hàm số f x  (nếu u x x thì chỉ cần đặt một lần t v x  ).

Câu 40 Cho hàm số y f x  liên tục trên  và f x  2f 1 3x

1 2

1d

e

2

12018e





Câu 45 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn     2

2f 2x f 1x 12x Phươngtrình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  tại điểm có hoành độ bằng 1 là

f x x

 bằng

3 2

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4

Câu 54 Cho f x  và g x  là hai hàm số liên tục trên 1,1 và f x  là hàm số chẵn, g x  là hàm số

π 4

2

2

π14

2



Câu 56 Cho hàm số y f x  là hàm lẻ và liên tục trên 4; 4 biết  

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5

Bài toán: “ Cho     2

d1

x I

x I

x I

trong đó b , c là hai số nguyên dương và b

c là phân số tối giản Khi đó b có giá trị thuộcc

khoảng nào dưới đây?

A. 11; 22  B.  0;9 C. 7;21  D. 2017; 2020 

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6

Câu 69 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  1;4, đồng biến trên đoạn  1;4 và thỏa mãn

I f x x?

f   a

  ,

32

2 6

sin cos 2sin 2



  Tính tích phân

 4

4d

f x

x x

Câu 1 (Hậu Lộc Thanh Hóa)Biết

3 2 0

11

c x

Câu 7 (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết

2

1

1 2

1

p x

q x

x e  dxme n

 , trong đó m n p q, , , là các số nguyên dương và p

q là phân số tối giản



Câu 9 (Nguyễn Du Dak-Lak 2019)Cho tích phân

4

2 0

e+1 e+11

Câu 16 (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Nghiệm dương a của phương trình

ln s in cos

d ln 2cos

ln s in cos

d ln 2cos

Câu 2: (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f x  có đạo

hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  1 0,  

1 2

0

13

x f x dx 

1 3

Câu 9: (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên

x

I  xf   x

110

20

110

120

Câu 11: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019)Cho hàm f x có đạo hàm

liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn f  2 =0,    

2

2

1

1d45

d

f x x x

A. 11

14512

M 

  và  

1 2

f x x x

Câu 26: Cho hàm số f x  có đạo hàm cấp hai f x liên tục trên đoạn 0;1 thoả mãn f  1  f  0 1

, f  0 2018 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

d8

Câu 33: (Chuyên Vinh Lần 3)Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa mãn

0

9d2

Câu 40: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  1 0,  

1

0d

0

1( )

0

1d3

0

1d3

Câu 48: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 3 thỏa mãn

1

0d

7

7

155

0

?

f x dx 

7

3

815

5360

20360

Câu 3: (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03)Cho

0

2 d1

f x x

5ln

8ln

Câu 11: (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019)Cho hàm số f x( ) có đạo hàm, liên tục trên đoạn 1; 2 đồng thời

f x x

khoảng nào dưới đây?

2914;

A 1

2018.2020. B.

12019.2020 . C.

12020.2021. D.

12019.2021

Câu 19: (Quỳnh Lưu Lần 1)Cho hàm số f x  thỏa mãn các điều kiện f  1 2, f x 0, x 0 và

Câu 23: (Chuyên Vinh Lần 2)Giả sử hàm số có đạo hàm cấp trên thỏa mãn

Câu 25: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2)Cho hàm số f x  xác định và có đạo hàm f x liên

tục trên đoạn  1;3 , f x   0 với mọi x  1;3 , đồng thời f x 1 f x  2 f x  2x12

Câu 26: (Sở Nam Định)Cho hàm số y f x  có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên  Biết rằng các tiếp

tuyến với đồ thị y f x  tại các điểm có hoành độ x  1 , x 0 , x 1 lần lượt tạo với chiều dương của trục O x các góc 30° , 45 , 60

xf x x



A 3 3 B 2 3.

C  3 D Chưa đủ dữ kiện tính f 0

Câu 39: (Đặng Thành Nam Đề 14)Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn

2 ( )f x 3 (1f x) x 1x, với mọi x[0;1]. Tích phân

2

0

'2

Câu 41: (SGD-Nam-Định-2019)Cho hàm số y f x  có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên  Biết rằng các

tiếp tuyến với đồ thị y f x  tại các điểm có hoành độ x   , 1 x 0 , x  lần lượt tạo với chiều1

dương của trục Ox các góc 30° , 45 , 60

43

3

53

103

2 3

ln ( )x f x dx



5 2 1ln

3 33

5 2 1ln

3 33

5 2 1ln

3 3 3

3 3 3

4 1

375

f x

dx x

3

d 2 ln 2

21

Câu 48: (Đặng Thành Nam Đề 3)Cho hàm số f x( ) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [0;1] Giá trị

Câu 49: (Đặng Thành Nam Đề 10)Cho hàm số f x  có đạo hàm f x liên tục trên đoạn  1;e thỏa mãn

Câu 50: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Cho hàm số f x  thỏa mãn hai điều kiện

2017

2018

1 22

điều kiện đề bài.

2d

x

dưới đây, giá trị nào là lớn nhất?

A. F 1 . B F 2 . C. F 3 . D. F 0 .

1 2

493

2

m m

A. 31. B. 36. C. 122

1214

Câu 20: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f x  f x 1,  x và f  0 0.

Câu 25: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đồng thời thỏa mãn điều kiện với

x

định nào sau đây đúng?

A.Phương trình f x   0 có 1 nghiệm trên 0;1.

B.Phương trình f x   0 có đúng 3 nghiệm trên 0; .

C Phương trình f x   0 có 1 nghiệm trên 1; 2.

C.Phương trình f x   0 có 1 nghiệm trên 2;5.

Lời giải Chọn C

2

22

1

x f x dx



12

178

0

x f x dx

1

8

3 2 44

2 416

1max 2; min

75

35

Kết hợp giả thiết ta có y f x  liên tục trên 1; 2 và f    2 f 1 0  2 .

Từ  1 và  2 suy ra phương trình f x   0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng 1; 2 

7d375

x x

nhất bằng:

nhất bằng:

12

74

95

Câu 37: Cho hàm số nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn đồng thời ta đặt

b - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , liên tục trên đoạn

và hai đường thẳng , được xác định:

- Nếu trên đoạn , hàm số không đổi dấu thì:

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường , và hai đường thẳng , được xác định:

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ

+) Nếu (1) vô nghiệm thì

+) Nếu (1) có nghiệm thuộc giả sử thì

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn rồi dựa vào bảng xét dấu

để tính tích phân

Trường hợp 2 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới

nhất và lớn nhất của phương trình

Phương pháp giải toán

( ), ( ), ,

y f x yg x xa xb ( ) ( )

b a

b a

Câu 2: (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi

đồ thị hàm số yx33x2, trục hoành và hai đường thẳng x  , 1 x  bằng 4

Câu 3: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

hàm số yx3, yx24x và trục 4 Ox (tham khảo hình vẽ) được tính theo công thức nào

Câu 4: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019)Cho hàm số y f x  có

đồ thị gồm một phần đường thẳng và một phần đường parabol có đỉnh là gốc tọa độ O như hình