CHƯƠNG 1ĐỀ BÀI “The only way to learn mathematics is to do mathematics.” —Paul Halmos 1... GỢI Ý HƯỚNG GIẢI“Each problem that I solved became a rule, which served afterwards to solve oth
Trang 1CHƯƠNG 1
ĐỀ BÀI
“The only way to learn mathematics is to do mathematics.”
—Paul Halmos
1 Cho các số dương x; y; z thỏa mãn điều kiện xC y z D 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P D x
3y3 x C yz/.y C zx/.z C xy/2:
2 Cho các số dương a; b; c thỏa mãn abc D 1: Chứng minh rằng
a3C 1
p
a4C b C c C
b3C 1 p
b4C c C aC
c3C 1 p
c4C a C b > 2
p
abC bc C ca:
3 Cho a; b; c > 0 thỏa mãn aC b C c D 1a C 1b C 1c: Chứng minh rằng
p 8abC 1 Cp8bcC 1 Cp8caC 1 6 3.a C b C c/:
4 Cho các số dương a; b; c; d thỏa mãn aC b C c C d D 4: Chứng minh rằng
a2bcC b2cd C c2daC d2ab 6 4:
5 Cho a; b; c 2 Œ 1; 1 thỏa mãn a2C b2C c2
2abc 6 1: Chứng minh rằng
a4C b4C c4 2a2b2c2 6 1:
6 Cho các số dương a; b; c thỏa mãn a2C b2C c2 D 3: Chứng minh rằng
a p
b C pb
c Cpc
a > 3:
Trang 27 Cho các số dương a; b; c; d thỏa mãn abcd D 1: Chứng minh rằng
256.a4C 1/.b4C 1/.c4C 1/.d4C 1/
>
aC b C c C d C 1
a C 1
b C 1
c C 1 d
4
:
8 Cho các số dương a; b; c: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P D aC b C c 4a2C 2b2C 1/.4c2C 3/:
9 Cho các số dương a; b; c thỏa mãn aC b C c D 1: Chứng minh rằng
a 2a2C bc C
b 2b2C ca C
c 2c2C ab > 81abc:
10 Cho các số dương a; b; c thỏa mãn aC b C c D 1: Chứng minh rằng
1
a C 1
b C 1
c > 21
1C 36abc:
11 Cho các số dương a; b; c: Chứng minh rằng
5b3 a3
abC 3b2 C 5c
3 b3
bcC 3c2 C 5a
3 c3
caC 3a2 6 a C b C c:
12 Cho các số thực a; b; c lớn hơn 2 thỏa mãn7 2a3a 6C7 2b3b 6C7 2c3c 6 D 1aCb1C1c: Chứng minh rằng
1
aC 1
b C1
c 6 1:
13 Cho các số không âm a; b; c thỏa mãn a2Cb2Cc2 D 2.ab Cbc Cca/ > 0: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P D
s ab
a2C b2 C
s bc
b2C c2 C
r ca
c2C a2:
14 Cho các số không âm a; b; c thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng 0: Chứng minh rằng
a
bC c C
b
cC a C
c
aC b C
16.abC bc C ca/
.aC b C c/2 > 6:
Trang 315 Cho 0 6 a; b; c; d 6 1: Chứng minh rằng
a
1C bcd C
b
1C cda C
c
1C dab C
d
1C abc 6 3:
16 Cho các số dương a; b; c thỏa mãn b 6 2; c 6 3 và 3a2C b2C c2 D 16: Chứng minh rằng
aC b C c 6 6:
17 Cho các số thực a > 4; b > 5 và c > 6 thỏa mãn a2C b2C c2 D 90: Tìm giá trị nhỏ nhất của aC b C c:
18 Cho các số không âm a; b; c thỏa mãn a2C b2C c2D 1: Chứng minh rằng
.a b/.b c/.c a/.aC b C c/ 6 1
4:
19 Cho các số không âm phân biệt a; b; c: Chứng minh rằng
aC b a b/2 C bC c
.b c/2 C cC a
.c a/2 > 9
aC b C c:
20 Cho các số dương a; b; c: Chứng minh rằng
a4
a2C ab C b2 C b
4
b2C bc C c2 C c
4
c2C ca C a2 > a
3
C b3C c3
aC b C c :
Trang 4GỢI Ý HƯỚNG GIẢI
“Each problem that I solved became a rule, which served afterwards to solve other problems.”
—René Descartes
1 Thay z D x C y C 1 vào biến đổi, viết được biểu thức P dưới dạng
P D x
3y3
.xC y/2.xC 1/3.yC 1/3:
Dự đoán được dấu bằng xảy ra khi x D y: Bằng cách nháp thử (đưa về một biến) sẽ đoán được x D y D 2: Từ đó, sử dụng bất đẳng thức AM-GM,
xC y > 2pxy; x
2 C x
2 C 1 > 33
r
x2
4 ;
y
2 C y
2 C 1 > 33
r
y2
4
và thu được kết quả
2 Viết lại bất đẳng thức dưới dạng
a3C 1 p.a4C b C c/.ab C bc C ca/ C
b3C 1 p.b4C c C a/.ab C bc C ca/
3
C 1 p.c4C a C b/.ab C bc C ca/ > 2:
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM,
p
.a4C b C c/.ab C bc C ca/ Dp.a3C b2cC bc2/a.abC bc C ca/
6 a
3C b2cC bc2C a.ab C bc C ca/
2
D .a
2C bc/.a C b C c/
2
D .a
3
C 1/.a C b C c/
2a
Trang 5để thu được
a3C 1 p.a4C b C c/.ab C bc C ca/ >
2a
aC b C c:
3 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM,
p 8abC 1 D
s a
8bC 1 a
6 9aC 8b C
1 a
6 : Ngoài ra, cũng có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,
p
8ab C 1 Cp8bcC 1 Cp8caC 1
2
6 38.ab C bc C ca/ C 3:
Tiếp theo, chỉ cần sử dụng bất đẳng thức 3.abC bc C ca/ 6 a C b C c/2
và chứng minh aC b C c 6 3:
4 Viết lại bất đẳng thức dưới dạng
ac.abC cd / C bd.bc C ad / 6 4:
Không mất tính tổng quát, giả sử abC cd > bc C ad: Đánh giá được
ac.abC cd / C bd.bc C ad / 6 ac C bd /.ab C cd /
6 .acC bd C ab C cd /
2
4
D .a C d/.b C c/2
4 :
5 Viết lại giả thiết dưới dạng
.a bc/2 6 1 b2/.1 c2/:
Bất đẳng thức cần chứng minh cũng được viết lại dưới dạng tương tự
.a2 b2c2/2 6 1 b4/.1 c4/:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thu được
.aC bc/2 6 a2C b2/.1C c2/ 6 1 C b2/.1C c2/:
Kết hợp với giả thiết là thu được đpcm
Trang 66 Sử dụng các bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM đánh giá được
VT > .aC b C c/
2
ap
bC bpcC cpa > 2.aC b C c/
2
a.1C b/ C b.1 C c/ C c.1 C a/: Đặt t D a C b C c: Biểu diễn ab C bc C ca theo t và sử dụng biến đổi tương đương để xử lý đoạn còn lại
7 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đánh giá được
.a4C 1/.b4C 1/.c4C 1/.d4C 1/ > a2C b2/2.1C c2d2/2> a C bcd /4:
Từ đó suy ra
4
p
.a4C 1/.b4C 1/.c4C 1/.d4C 1/ > a C bcd D a C 1
a: Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại
8 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đánh giá được
4a2C 2b2 D a
2 1 4
C b
2 1 2
> .aC b/
2 1
4 C12 D
4
3.aC b/2: Đưa bài toán về xét giá trị lớn nhất của biểu thức
QD 3.xC c/
.4x2C 3/.4c2C 3/; trong đó x D a C b: Biểu thức Q đối xứng với x và c nên có thể dự đoán được dấu bằng tại x D c: Từ đó, bằng cách nháp trực tiếp, đoạn được dấu bằng x D c D 12: Lúc này, có thể đánh giá Q bằng cách sử dụng các bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM,
.4x2C 1 C 2/.1 C 4c2C 2/ > 2p2.4x2C 1/ 2p2.1C 4c2/
D 8p.4x2C 1/.1 C 4c2/
> 8.2x C 2c/
D 16.x C c/:
9 Viết lại bất đẳng thức dưới dạng
1 2a2bcC b2c2 C 1
2b2caC c2a2 C 1
2c2abC a2b2 > 9:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu và bất đẳng thức phụ quen thuộc 3.abC bc C ca/ 6 a C b C c/2:
Trang 710 Viết lại bất đẳng thức dưới dạng
1
a C 1
b C 1
c C 36.ab C bc C ca/ > 21:
Đến đây, có hai cách tiếp cận như sau:
Cách 1.Sử dụng giả thiết để biến đổi
1
a C 1
b C 1
c D a C b C c/ 1
a C 1
b C1 c
D .aC b/
2
ab C .bC c/
2
bc C .cC a/
2
ca 3:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu,
.aC b/2
ab C .bC c/
2
bc C .cC a/
2
ca > 4.aC b C c/
2
abC bc C ca D
4
abC bc C ca:
Cách 2.Nhận xét rằng trong ba số a; b; c luôn có hai số cùng > 13 hoặc cùng
6 13: Gọi hai số đó là b và c; đánh giá được 9bc > 3.b C c/ 1D 2 3a: Tiếp theo, đánh giá 1b C 1c > bCc4 D 1 a4 ; đưa về xét bất đẳng thức một biến
1
a C 4
1 a C 36a.1 a/C 4.2 3a/ > 21:
Chứng minh bằng biến đổi tương đương
11 Sử dụng phương pháp tiếp tuyến, thiết lập được bất đẳng thức phụ
5b3 a3
abC 3b2 6 2b a:
12 Cách 1.Viết lại giả thiết dưới dạng
1
aC 1
b C1
c D 1
a 2 C 1
b 2 C 1
c 2 2:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu đánh giá
1
a 2C 1
1 C 1
1 > 9
a:
Cách 2.Sử dụng phương pháp tiếp tuyến, thiết lập bất đẳng thức phụ dạng
3
a 1 6 k 1
a
7 2a 3a 6
:
Trang 813 Dự đoán dấu bằng có một số bằng 0 và hai số còn lại bằng nhau Đánh giá
a2C b2; b2C c2; c2C a2
6 a2C b2C c2đưa về chung mẫu Chú ý đánh giá phụ xC y C z/2
> x2C y2C z2
với x; y; z > 0:
14 Đánh giá
a
bC c >
a2
abC bc C ca; sau đó thêm bớt và sử dụng bất đẳng thức AM-GM
15 Giả sử a > b > c > d: Đánh giá
VT 6 aC b C c C d
1C bcd 6
1C b C c C d
1C bcd ; đưa bài toán về chứng minh
bC c C d 6 2 C 3bcd:
Đoạn còn lại chỉ cần ghép các bất đẳng thức
.1 b/.1 c/ > 0; 1 bc/.1 d / > 0:
16 Cách 1.Sử dụng bất đẳng thức AM-GM để đánh giá (chú ý dấu bằng a D 1;
b D 2 và c D 3) để có
a 6 a
2C 1
2 ; b 6 b
2C 4
4 ; c 6 c
2C 9
6 : Đoạn còn lại chỉ cần chú ý
a2
2 C b
2
4 Cc
2
6 D 6a
2C 3b2C 2c2
12 D 2.3a
2C b2C c2/C b2
12 :
Cách 2.Nhận xét a > 1: Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng
.1 a/C 2 b/C 3 c/ > 0;
hay
A.3 3a2/C B.4 b2/C C.9 c2/ > 0;
trong đó AD 3C3a1 ; B D 2Cb1 và C D 3Cc1 : Tiếp theo, ta chỉ cần để ý ở các đánh giá B > A C > A để có
A.3 3a2/CB.4 b2/CC.9 c2/ > A.3 3a2/CA.4 b2/CA.9 c2/D 0:
Trang 917 Bài toán này có thể giải bằng cách sử dụng phương pháp tổng Abel giống như cách 2 của bài trên Ngoài ra, ta cũng có thể đánh giá bằng phương pháp tạo tích: Từ giả thiết, dễ thấy 4 6 a < 9; 5 6 b < 8 và 6 6 c 6 7: Xét các bất đẳng thức phụ
.a 4/.a 9/ 6 0; b 5/.b 8/ 6 0; c 6/.c 7/ 6 0: Cộng lại thu được kết quả
18 Giả sử cD minfa; b; cg: Nhận xét rằng chỉ cần xét b > a: Tiếp theo, đánh giá b c 6 b và a c/.aCbCc/ D b.a c/Ca2 c26 abCa2D a.aCb/: Đưa về xét bất đẳng thức với hai biến
19 Giả sử c D minfa; b; cg: Đánh giá a c/2 6 a2; b c/2 6 b2 và
aC b C c > a C b; đưa về xét bất đẳng thức với hai biến
20 Để ý a3C b3C c3D 3abc C a C b C c/.a2C b2C c2 ab bc ca/: Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại dưới dạng
a4
a2C ab C b2 C ab a2
C
b4
b2C bc C c2 C bc b2
C
c4
c2C ca C a2 C ca c2
> 3abc
aC b C c; hay
ab3
a2C ab C b2 C bc
3
b2C bc C c2 C ca
3
c2C ca C a2 > 3abc
aC b C c: Chia hai vế cho abc; viết được bất đẳng thức trên dưới dạng
b2 c.a2C ab C b2/C c
2
a.b2C bc C c2/C a
2
b.c2C ca C a2/ > 3
aC b C c: Đoạn còn lại chỉ cần sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu