Tuyển chọn 120 đề thi học sinh giỏi đặc sắc lớp 101112 môn toán của các tỉnh có lời giải chi tiết

Tuyển chọn 120 đề thi học sinh giỏi đặc sắc lớp 101112 của các tỉnh có lời giải chi tiết Tuyển chọn 120 đề thi học sinh giỏi đặc sắc lớp 101112 của các tỉnh có lời giải chi tiết Tuyển chọn 120 đề thi học sinh giỏi đặc sắc lớp 101112 của các tỉnh có lời giải chi tiết Tuyển chọn 120 đề thi học sinh giỏi đặc sắc lớp 101112 của các tỉnh có lời giải chi tiết

Trang 1

Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 1 Mã đề X

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HSG TỈNH NĂM 2018

TỈNH QUẢNG NINH TIME: 180 PHÚT

Bài 1 (4 điểm)

1 Cho hàm số 4   2 2

yx  m x m  m , với m là tham số Tìm các giá trị của m để đồ

thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều

2 Một hộ gia đình cần xây dựng một bể chứa nước, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích  3

2ac Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân

2 Có hai chuồng nhốt thỏ, chuồng thứ nhất nhốt 19 con thỏ lông màu đen và 1 con thỏ lông

màu trắng Chuồng thứ hai nhốt 13 con thỏ lông màu đen và 2 con thỏ lông màu trắng Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng 1 con thỏ Tính xác suất để bắt được hai con thỏ có màu lông khác nhau

Bài 3 (3 điểm) Cho x y, là các số thực dương Giải hệ phương trình sau

AN AB, M là trung điểm của DC Gọi I là giao điểm của MN và BD Viết

phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN Biết điểm A 2;1 , đường thẳng BD có

phương trình 11x2y 5 0, điểm B có hoành độ là số nguyên

Bài 5 (4 điểm) Cho lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác vuông tại A AB, a BC, 2 a Mặt bên

BCC B  là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy Góc giữa hai mặt phẳng BCC B  và ABB A  bằng , với tan 5 2,

4

  hãy tính theo :a

a) Thể tích khối lăng trụ ABC A B C   

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng A C  và B C

Bài 6 (2 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 2

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HSG TỈNH NĂM 2018

TỈNH QUẢNG NINH TIME: 180 PHÚT

Mar.nang@gmail.com

Bài 1 (4 điểm)

1 Cho hàm số 4   2 2

yx  m x m  m , với m là tham số Tìm các giá trị của m để đồ

thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều

2 Một hộ gia đình cần xây dựng một bể chứa nước, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích  3

1

x y

 Tam giác ABC cân tại đỉnh A với   m 1

Do đó để tam giác ABC đều thì AB BC  4  

2 Gọi chiều cao, chiều rộng, chiều dài của bể lần lượt là h , x , y  m (Điều kiện: h x y, , 0)

Theo đề bài ta có 4

24

h x xyh

y x

Trang 3

Vậy khi chiều dài của bể bẳng 8

3 m thì ta xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất

Tác giả: Trần Hải;Fb: Trần Minh Hải

Bình phương hai vế ta có phương trình:

      2 cosa Bc 4 sin cosR A B2 sinR C

2.sin cosA B sinC

  sinA B sinA B sinC

0sin(180 C) sin(A B) sinC

     sin(AB)0  A B do 0 A B,  

Vậy tam giác ABC cân tại C

2 Có hai chuồng nhốt thỏ, chuồng thứ nhất nhốt 19 con thỏ lông màu đen và 1 con thỏ lông

màu trắng Chuồng thứ hai nhốt 13 con thỏ lông màu đen và 2 con thỏ lông màu trắng Bắt

Trang 4

ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng 1 con thỏ Tính xác suất để bắt được hai con thỏ có màu lông khác nhau

Lời giải:

Chuồng thứ nhất bắt ra 1 con thỏ có 20 cách

Chuồng thứ hai bắt ra 1 con thỏ có 15 cách

Số cách bắt ra mỗi chuồng 1 con thỏ là: n  15.20300

Gọi A là biến cố: "bắt được hai con thỏ cùng màu"

+ TH1: Hai con thỏ cùng màu đen có 13 19 = 247 (cách)

+ TH2: Hai con thỏ cùng màu trắng có 1 2 = 2 (cách)

( ) 247 2 249

n A    (cách)

 

( ) 249( )

Trang 5

x y x y

(thỏa mãn điều kiện x y, 0)

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm S     1;7 ; 3;3 

chtruong19@gmail.com

Bài 4 (3 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , AB2AD Điểm N

thuộc cạnh AB sao cho 1

4



AN AB, M là trung điểm của DC Gọi I là giao điểm của MN

và BD Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN Biết điểm A 2;1 , đường thẳng BD có phương trình 11x2y 5 0, điểm B có hoành độ là số nguyên

Lời giải

Tác giả: Cao Hữu Trường; Fb: Cao Hữu Trường

Gọi P là trung điểm của AB , J là giao điểm của PM và BD

Ta có P, M là trung điểm của AB và DC nên AP PM MD AD  

APMD

 là hình vuông

Trang 6

Xét hai tam giác vuông MNP và DJM có DM DM

Bài 5 (4 điểm) Cho lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác vuông tại A AB, a BC, 2 a Mặt bên

BCC B  là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy Góc giữa hai mặt phẳng BCC B  và ABB A  bằng , với tan 5 2,

4

  hãy tính theo :a

a) Thể tích khối lăng trụ ABC A B C   

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng A C  và B C

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Như Hưng; Fb: Nguyen Hung

* Nhận xét: Đề nên cho B BC là góc nhọn, nếu không phải xét thêm trường hợp B BC 900 và

0

90

B BC 

Trang 7

5:

a a

Trang 8

Suy ra

'2 2

4 6 4

11

t

t t

122

55

Trang 9

TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 1

KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 HÀ NAM

NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN LỚP 10 TIME: 180 PHÚT

BC CA AB sao cho BM 5,CM 10, AP4 Chứng minh rằng AM PN

2 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c và R r, lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC thoả mãn

24

Chứng mình tam giác ABC là tam giác đều

3 Cho tứ giác lồi ABCD có ACBD và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R 1 Đặt diện tích

Trang 10

PHẦN ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Thực hiện lời giải và sưu tầm bởi tập thể tổ 16 Strong team Toán VD-VDC

Câu 1.1 Trong mặt phẳng Oxy cho parabol  P :y x2 mx3m2, đường thằng  d :x  y m 0 (

m là tham số thực) và hai điểm A 1; 1, B 2; 2 Tìm m để đường thẳng  d cắt parabol

 P tại hai điểm phân biệt M N, sao cho A B M N, , , là bốn đỉnh của hình bình hành

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Khoa ; Fb: Khoa Nguyen

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  P và  d :

 Bốn điểm A B M N, , , là bốn đỉnh của hình bình hành xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Bốn điểm lập thành hình bình hành ABNM

2 13

4

23

m x

Trang 11

Câu 1.2 Cho các số thực x y, thỏa mãn:  2 2

2 x y  1 xy Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức  4 4 2 2

Trang 12

Ta có

2 2

7332033

34 2

33 112

34 2

33 112

34 2

33 112

x y x y

Trang 13

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 1; 8; 5 2 7

Câu 2.2 Giải hệ phương trình

Dễ thấy vế trái của phương trình (**) luôn âm với mọi x 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y (2;3)

Trang 14

Bổ sung: Để đánh giá (*) vô nghiệm cũng có thể xét riêng

Tác giả: Dương Nguyễn, Hạnh Bích; Fb: Dương Nguyễn, Hạnh Bích

Gọi F là trung điểm của BC

Gọi E là giao điểm của CD với đường thẳng qua A và song song với BC

AEBF

 là hình chữ nhật AEBFnội tiếp đường tròn ( )T có đường kính là ABvà EF

Ta có MF là đường trung bình của tam giác BHCMFsong song với BH

Trang 15

Câu 4.1 Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 15 Lấy các điểm M N P, , lần lượt trên các cạnh

Câu 4.2 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c và R r, lần lượt là bán kính đường tròn ngoại

tiếp, nội tiếp tam giác ABC thoả mãn

24

Trang 16

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c

Ta có: (*)    a b c ABC là tam giác đều (Đpcm)

Câu 4.3 Cho tứ giác lồi ABCD có ACBD và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R 1 Đặt diện tích

B

C D

c d

Trang 17

Cách 1: Tác giả: Trương Văn Tâm; Fb: Văn Tâm Trương

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

Dấu bằng xảy ra khi t 3, suy ra a  b c 1

Cách 2: Tác giả: Thành Đức Trung; Fb: Thành Đức Trung

Trang 18

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta có

Trang 19

TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 THPT Thuậ n Thành 2 – Bắ c Ninh năm 2018-2019

ĐỀ THI HSG LỚP 10 THPT THUẬN THÀNH 2

NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN TIME: 150 PHÚT

ĐỀ BÀI Câu 1 (3.0 điểm) Cho hàm số yx2 4x4m;  P m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m1

b) Tìm m để  P cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn m 1;4

Câu 2 (3.0 điểm) Cho x và 1 x là hai nghiệm của phương trình 2 x23xa0; x và 3 x là hai 4

nghiệm của phương trình x2 12xb0 Biết rằng

3 4 2 3 1

2

x

x x

x

y y x

x x

147164

24

OB OD

AB

AC

3

1,

2

1,

 Hãy biểu thị các vectơ OC,CD,DE theo các vectơ a, Từ đó b

chứng minh C, D, E thẳng hàng

b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A Chứng minh EC ED

Câu 5 (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A   1;1;B2;4

a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B

b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A

Câu 6 (2.0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y2019 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

y

y x

x P

-Hết -

Trang 20

b) Tìm m để  P m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn 1; 4

Trang 21

( )

12

Khi đó 1 2

3 4

1.2 2 4.8 32

a b

Tác giả:Nguyễn Đông ; Fb: Nguyễn Đông

Điều kiện phương trình có nghĩa:x1

2 2

Trang 22

Tác giả: Quốc Vương; Fb: Quốc Vương

Vậy hệ phương trình có nghiệm: x y;    2;3

Câu 4 a Cho tam giác OAB Đặt OAa, OBb Gọi C, D, E là các điểm sao cho AC2AB,

12

Từ (1) và (2) ta được CD3DE Vậy 3 điểm C, D, E thẳng hàng

Câu 4 b Cho tam giác ABC vuông cân tại A , có trọng tâm G Gọi E H, lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB BC D, ; là điểm đối xứng với H qua A Chứng minh ECED

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hương ; Fb: NT Hương

Cách 1:

D O

E

Trang 23

Trang 24

Câu 5 Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A1;1và B 2; 4

a) Tìm điểm C trên trục Oxsao cho tam giác ABC vuông tại B.

Tác giả: Nguyễn Công Thiện , Fb: Nguyễn Công Thiện

Gọi D x y là điểm cần tìm Để tam giác  ; ABD vuông cân tại A thì: AB AD. 0

Vậy có hai điểm D thỏa điều kiện bài toán là: D2; 2  hoặc D4; 4

Câu 6 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y 2019 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Tác giả: Nguyễn Thị Xuân Trinh ; Fb: Tắc Kè Bông, thế mạnh

Trang 25

40382019

40382

Trang 26

Trang 27

Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG lớ p 10 KVDH @ĐB Bắ c Bộ 2019 – Tổ 20

ĐỀ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

LẦN THỨ XII, NĂM 2019 MÔN: TOÁN 10 TIME: 180 PHÚT

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF luôn đi qua hai điểm cố định

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ luôn đi qua một điểm cố định

nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, còn hình chữ nhật có các cạnh song song với

cạnh hoặc nằm trên cạnh của bảng và bốn ô vuông đơn vị ở bốn góc của nó được điền đủ bốn ký tự

, , ,

A B C D là “bảng tốt”

a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông 1 4, 4 1  và

2 2 đều có chứa đủ các ký tự A B C D, , , ?

Trang 28

b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho:

i) Luôn có 2 cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được 76 cặp tốt

ii) Luôn có một bảng tốt

 HẾT 

Trang 29

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG

THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

LẦN THỨ XII, NĂM 2019 MÔN: TOÁN 10 TIME: 180 PHÚT

Trang 30

Câu 2 Cho tam giác ABC có ABAC, các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC , CA ,

AB sao cho DE//AB, DF//AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại

tiếp tam giác AEF tại các điểm A, G Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

AEF tại điểm H H E Đường thẳng qua G vuông góc với GH cắt đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC tại điểm K K G  , đường thẳng qua G vuông góc với GC cắt đường tròn

ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm L L G   Gọi P, Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác GDK , GDL Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên cạnh BC thì:

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF luôn đi qua hai điểm cố định

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Nhung; Fb: Nguyễn Thị Hồng Nhung

a) Gọi O , Olần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC , AEF Gọi E là điểm đối

xứng vớiE qua đường thẳng AO Khi đó EE//BC vì cùng vuông góc với AO suy ra tứ giác

BDEE là hình bình hành suy ra DEBE, kết hợp với DEAF ta được BFAE

(Có thể không cần dựng điểmE, dễ thấy tam giác BFDcân tại Fvà có tứ giác AEDF là hình

E

C B

A

Trang 31

b) Tam giác FBDcân tại F suy ra FB FD , 1 1

GBF GOA GFA nên tam giác FGB cân

tại F suy ra FB FG Từ đó suy ra F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DGB

Chứng minh tương tự ta được E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DGC

Từ đó EF là trung trực của DG , kết hợp với AG vuông góc với DG suy ra EF//AG

FHD EAF EDFFHD cân tại F suy ra FHFD H GBD

P là giao điểm của đường thẳng qua O song song với GH và EF, Q là giao điểm của đường thẳng qua O song song với GC và EF

E là tâm đường tròn GDC và  O là tâm đường tròn ngoại tiếp GAC suy ra  OEGC, kết hợp với GC vuông góc với GL suy ra GL song song OE Do đó OEO Q QE QO  1 Tương tự ta được PO PF  2

Mặt khác OE OF , kết hợp với  1 và  2 ta được QOEPOFOP OQ OO là trung trực của PQ, kết hợp với OO là trung trực của GA nên tứ giác AQPG là hình thang cân hay

nó nội tiếp suy ra GPQ luôn đi qua điểm  A cố định

Câu 3 Tìm tất cả các số nguyên dương m n, và số nguyên tố p thỏa mãn 3 2  

4m m 40m2 11p n5

Lời giải

Tác giả: Trịnh Quang Hoàng; Fb: Hoàng DeMon

Phương trình đã cho tương đương với    2 

4m1 m 10 22p n TH1: n1, thử trực tiếp với m1, 2,3, 4,5 đều không thỏa mãn

Với m 5 4m 1 22,m21022 Do đó 2

(4m1) p m, ( 10) pvô lí do n1 TH2: n1, thử trực tiếp với m1, 2,3, 4,5 đều không thỏa mãn

Trang 32

Thử lại đều không thỏa mãn

+ Nếu p7 thì do 22.7b 7a227a b   a b 1

Khi đó ta có:

1 2

Trang 33

Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh

Dấu “” xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh

Dấu “” xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Câu 5 Cho bảng ô vuông kích thước 100 100 mà mỗi ô được điền một trong các ký tự A B C D, , , sao

cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng 25.Ta gọi hai ô

thuộc cùng hàng (không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, còn hình

chữ nhật có các cạnh song song với cạnh hoặc nằm trên cạnh của bảng và bốn ô vuông đơn vị ở bốn góc của nó được điền đủ bốn ký tự A B C D, , , là “bảng tốt”

Trang 34

a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông 1 4, 4 1  và

2 2 đều có chứa đủ các ký tự A B C D, , , ?

b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho:

i) Luôn có 2 cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được 76 cặp tốt

ii) Luôn có một bảng tốt

Lời giải

Tác giả: Vũ Hoàng Anh; FB: Vũ Hoàng Anh.

a) Không mất tính tổng quát, giả sử rằng 4 ô đầu tiên của cột 1 được điền A,B,C , D Khi đó, ô thứ hai của cột 2 phải điền D vì nó thuộc hai hình vuông 2x2 đã chứa sẵn A,B,C Do đó, ta điền tiếp được cột 2 theo thứ tự C , D,A,B Cứ như thế ta điền tiếp cho cột 3, 4

Giả sử phản chứng rằng mỗi cặp cột tùy ý đều có ít nhất 25 cặp ô cùng ký tự Cố định cột 1, xét

99 cột còn lại Gọi T là số bộ  a b trong đó cột ; a2 có ô thứ b từ trên xuống là cùng ký tự

Theo giả sử trên thì T 99.25

Mặt khác theo giả thiết thì T100.24 (tính theo hàng)

Suy ra 100.2499.25, điều vô lý này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai, tức là luôn chọn được hai cột thỏa mãn đề bài

- Nếu có B C thì không có ;  A D; , khi đó trên 76 cặp sẽ có 76.2 152 số lần xuất hiện của

ký tự A,B , C , trong đó số lần xuất hiện ký tự A,B , C tối đa trong 76 cặp trên là 150, cũng vô

lý

Từ đây ta có đpcm

 HẾT 

Trang 35

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU

ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 Năm học: 2016-2017

trình y   x m Tìm tất cả các giá trị m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B nằm về hai phía

của đường thẳng có phương trình y  1.

t 2

0.5 Với t  2 suy ra x 2    0 x 0 (thỏa điều kiện) 0.5

Trang 36

3 (VN)1

x y y

y y

Bài 3 (4,0 điểm)

1 Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho 4 MA  3 MB ,

2 NA NC = Gọi I là giao điểm của BN và CM Chứng minh rằng: 4 AI  3 IB  2 IC

2 Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Gọi A 1 , B 1 , C 1 lần lượt là chân đường cao hạ từ

A,B,C của tam giác ABC Chứng minh rằng

Trang 37

Câu 4 (2,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có M0;10là trung điểm của cạnh AB Gọi H là hình chiếu của A trên BD, E là điểm đối xứng của D qua H; K là hình chiếu của B trên đường thẳng AE Biết K9; 3  và điểm H thuộc đường thẳng d có phương trìnhx3y200 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Trang 38

4

K E H

t

A t





     hoặc A9; 3 ( loại do trùng K)

0.25

AD đi qua A và vuông góc với AB nên có phương trình 3x y 400

BD đi qua B và H nên có phương trình x y 0

0.25 0.25 Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ

10 10; 100

Trang 39

Câu 6 (2,0 điểm) Trong một buổi lễ tuyên dương học sinh giỏi, có 9 học sinh được nhận giải

thưởng Biết rằng cứ ba học sinh bất kì trong nhóm thì luôn có hai học sinh quen biết với nhau Chứng minh rằng trong số 9 học sinh này luôn có thể chọn ra 4 học sinh đôi một quen biết nhau

Giả sử không tìm được 4 học sinh nào đôi một quen nhau

Trước tiên ta thấy rằng mỗi học sinh phải quen ít nhất 5 học sinh khác Thật

vậy, nếu học sinh A chỉ quen với tối đa 4 học sinh khác thì tìm ra được 4

học sinh không quen biết A Giả sử B, C, D, E không quen A Khi đó trong

ba học sinh A, B, C do A không quen B, C nên B và C quen nhau Lập luận

tương tự ta thấy B, C, D, E đôi một quen nhau (vô lí)

Trang 40

6

đó đôi một quen nhau

- Nếu B quen với ba học sinh trong 5 học sinh C, D, E, F, G thì trong ba

học sinh đó có hai học sinh quen nhau Tính cả B thì ta tìm được 3 học

sinh đôi một quen nhau

Như vậy trong 5 học sinh B, C, D, E, F, G luôn tìm được 3 học sinh đôi

một quen nhau

Ghép A với ba học sinh đó ta có 4 học sinh đôi một quen nhau (vô lí)

0,5

Vậy mỗi học sinh quen được với đúng 5 trong số 8 học sinh còn lại 0,5

Có 9 học sinh, mỗi học sinh quen với đúng 5 học sinh khác Như vậy số

‘sự quen biết’ là 45 Điều này vô lí do mỗi ‘sự quen biết’ được tính cho

cả hai học sinh nên phải là số chẵn Vậy ta có điều phải chứng minh

0,5

………Hết………

Định dạng
Số trang	214
Dung lượng	14,35 MB