Một số phương pháp giải bài toán điện trường và từ trường

Mục đích của đề tài: - Hệ thố ng lại lí thuyết một số phương pháp giải thông dụng cho các bài toán điện trường và từ trường, sắp xếp chúng theo đặc điểm và phương pháp giải.. Khóa luận t

Trang 1

Khóa luận tốt nghiệp

Một số phương pháp giải bài toán điện

trường và từ trường

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SƯ PHẠM VẬT LÝ

1

Trang 2

Khóa luận tốt nghiệp Khoa vật lý

A MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Lí thuyết và bài t ập về điện trường và từ trường là đề tài thu hút được sự quantâm và yêu thích c ủa rất nhiều sinh viên Trong chương trình đ ại học, các bạn sinhviên đã được học về điện trường và t ừ trường chủ yếu ở hai mô n “điện từ” và “điệnđộng lực” cùng với sự trợ giúp về mặt toán học của môn “phương pháp toán lí”.Những môn học này cung cấp kiến thức sâu hơn và đ ầy đủ hơn về điện trường và

từ trường, giúp cho giáo viên hiểu kĩ hơn về những kiến thức ở trường phổ thông Tuy nhiên, đây là những môn học khó vì kiến thức trừu tượng và có nhiề u phéptoán rất phức tạp

Trong khi tìm hiểu về điện trường chúng ta lần lượt tìm hiểu về hệ phương trìnhMaxwell, biểu thức thế vô hướng của trường tĩnh điện, phương trình Poisson đối vớithế vô hướng… Cũng gần tương tự như vậy, khi học về từ trường, chúng ta cũng lầnlượt đi tìm hiểu về hệ phương trình Maxwell đối với từ trường, thế vectơ của từtrường dừng, phương trình Poisson đối với thế vectơ…Lý thuyết và cách giải bàitoán trong hai trường này vừa có nhiều điểm tương đồng vừa có những điểm khácbiệt Điều đó vừa giúp sinh viên dễ nhớ kiế n thức lại cũng dễ làm cho sinh viên lẫnlộn lí thuyết cũng như các phương pháp giải bài toán trong hai trường này

Mặc dù sinh viên chúng ta rất năng động và sáng t ạo, chịu khó tìm tòi sách vở

và tài liệu, song việc giải các bài toán về điện trường và từ trường thực sự là mộtkhó khăn lớn Một bài toán lại có rất nhiều cách gi ải khác nhau, các bạn sinh viêncũng không tránh khỏi sự lúng túng khi lựa chọn cách giải nhanh gọn và hợp lí nhất

Vì vậy, thực tế cho thấy các bạn sinh viên rất cần có nhiều tài liệu tham khảo đểcác bạn có cái nhìn tổng quan về các phương pháp giải bài toán điện trường và từtrường, thấy được sự tương tự nhau trong lí thuyết và cách giải bài toán Từ đó sinhviên dễ dàng nhớ được các cách giải bài toán về hai trường này

Đó cũng chính là những lí do để em chọn đề tài “ Một số phương pháp giải bài toán điện trường và từ trường ”

2

Trang 3

II Mục đích của đề tài:

- Hệ thố ng lại lí thuyết một số phương pháp giải thông dụng cho các bài toán

điện trường và từ trường, sắp xếp chúng theo đặc điểm và phương pháp giải

- Lựa chọn các bài toán về điện trường và từ trường từ đó lựa chọn cách giải phù hợp cho từng bài

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đề tài tập trung chủ yếu vào phần bài t ập nên phần lí thuyết không đi chi tiết

Bị hạn chế về mặt thời gian nên đề tài chỉ giới hạn nghiên cứu điện trường và từtrường mà không xét các trường điện từ khác

IV Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên c ứu cơ sở lí luận các phương pháp giải bài toán điện trường và từ trường

- Giải các bài tập về điện từ trường bằng các phương pháp đã trình bày

- Nghiên cứu các kiến thức toán học bổ trợ

- Rút ra một số nhận xét

V Phương pháp nghiên cứu:

- Đọc tài liệu, thu thập bài tập, chọn phương pháp và giải

- Phân tích, tổng hợp và rút ra kết luận

- Vận dụng công cụ toán học và các kiến thức bổ trợ

VI Những đóng góp của luận văn.

Đề tài này giúp em có nhiề u kiến thức bổ ích và hiểu biết sâu hơn về điện trường và từ trường, làm hành trang để bổ sung thêm lượng kiến thức giảng dạy

ởtrường phổ thông Đề tài cũng hi vọng sẽ giúp ích cho một số bạn đọc có cùng mối quan tâm

VII Cấu trúc và nội dung của luận văn.

Chương 1: Phương pháp tổng hợp trường

Chương 2: Phương pháp sử dụng định lí Gauss để giải bài toán điệntrường và định luật Ampere về lưu số để giải bài toán từ trường

3

Trang 4

Chương 3: Phương pháp sử dụng phương trình poisson để giải bài toán điện từ

Chương 4: Phối hợp các cách khác nhau để giải các bài toán điện trường và từ trường

C Kết luận

4

Trang 5

B NỘI DUNG

CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP TRƯỜNG 1.1

Sơ lược lý thuyết về phương pháp tổng hợp trường

1.1.1 Sơ lược lý thuyết về nguyên lí chồng chất trường tĩnh điện.

đó bằng tổng vectơ của các điện trường trên

Chọn gốc tọa độ là O, điểm tính thế và trường là M ( hình 1.1):

Trang 6

- Xét vật dẫn tích điện phân bố điện tích liên tục ( hình 1.2) :

Trang 7

Cường độ điện trường do vật dẫn gây ra tại M:

 Nếu điện tích phân bố mặt liên tục: dq  .dS Với  là mật độ điện tích mặt

 Nếu điện tích phân bố liên tục theo thể tích của vật dq  .dV Với  là mật

Biểu thức này được gọi là định luật

Biot-Sarvart (còn gọi là định luật Biot Biot-

Sarvart-Laplace)

Với:

Phân bố dòng theo thể tích: Idl

Phân bố dòng theo bề mặt: Idl

Trang 9

Nếu dòng điện phân bố khối:

Nếu dòng điện phân bố mặt:

B 

ur

- Vectơ cảm ứng từ B do nhiều dòng điện gây ra tại một điểm

Vectơ cảm ứng từ tổng hợp tại một điểm nào đó gây nên bởi nhiều dòng điện

uur

B

trường hợp của thế vectơ:

do một dòng điện gây ra tại một

Nếu dòng điện phân bố mặt:

Nếu dòng điện phân bố dài:

ur

A 

ur

A

A  A1 A2  A n  A i

i1

1.2 Phương pháp giải bài tập tổng hợp trường.

Trang 10

1.2.1 Phương pháp giải bài tập tổng hợp điện trường [5].

- Trường hợp tính điện trường, điện thế tại một điểm gây bởi hệ điện tích phân

bố liên tục (chẳng hạn một vật tích điện có kích thước bất kì):

7

Trang 11

Bước 1: Chia vật dẫn thành các thành phần rất nhỏ (dl, dS, dV) sao cho điện tích

dq mang trên mỗi phần đó được coi là điện tích điểm Lập mối quan hệ giữa cácthành phần đó (dl, dS,dV) với điện tích dq của chúng

Bước 2: Xét phương chiề u và lập biể u thức tính cường độ điện trường (hoặcthế vô hướng ) do các thành phần rất nhỏ đó gây ra tại điểm đang xét

Bước 3: Tính điện trường (hoặc thế vô hướng) tổng cộng do vật dẫn gây ra tạiđiểm đang xét bằng cách l ấy tích phân trên toàn bộ vật dẫn theo công thức (1.1) và(1.2)

- Trường hợp tính điện trường, điện thế tại một điểm gây bởi nhiề u vật dẫn tích

điện.

Bước 1: Tính điện trường, điện thế

tích điện gây ra tại điểm đó

Bước 2: Tính điện trường và điện thế tổng cộng do hệ điện tích gây ra tại điểmđang xét:

1.2.2 Phương pháp giải bài tập tổng hợp từ trường

Trường hợp tính t ừ trường do một dòng điện chảy trong vật dẫn gây ra t ại một điểm

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ sao cho thích hợp

1.3 Bài tập vận dụng phương pháp tổng hợp trường.

1.3.1 Bài tập vận dụng phương pháp tổng hợp trường tĩnh điện.

Bài 1[2]: Một tấm kim loại mỏng có dạng hình vành khăn, bán kính trong r 1 và bán kính ngoài r 2 , mang điện tích q phân bố đều trên mặt tấm kim loại Xác định cường độ điện trường tại một điểm bất kì trên trục hình vành khăn cách tâm vành khăn một khoảng h Xét các trường hợp a, r 1 tiến đến 0

8

Trang 12

b, r 1 tiến đến r 2

Giải

Chọ n hệ tọa độ trụ như hình vẽ Xét một phần tử diện

tích nhỏ dS cách tâm hình vành khăn một kho ảng r, dS

= rd dr

dS mang điện tích dq   dS   r d.dr

Cường độ điện trường tại điểm A nằm trên trục

ur

của đĩa cách tâm đĩa một khoảng h là d E được phân tích

thành hai thành phần song song và vuông góc với trục

Trang 13

tiếnđếnr

Xétmộtphầ

ntửdiệntíchdscủamặtcầumangđiệntíchdq=



dS

.Điệnthế

do dq gây ra tại A cách tâm quả cầu một đoạn R là:

Trong hệ tọa độ cầu (r,





Trang 14

O a

Thay r’, dq vào 2.1, ta có :

 a 2.sin

1 0

Trang 15



Nếu A nằm bên trong quả cầu (R < a)

Nếu A nằm ngoài quả cầu

uur

d E t

Trang 16

r

O

uur

d E n Hình 1.6

11

Trang 17

2 Tính từ trường tại một điểm nằm trên trục một ống dây Xôlênôit

có chiều dài L với N vòng dây quấn sát nhau và dòng điện có cường độ I chạy qua Mở rộng cho trường hợp cuộn dây dài vô hạn.

Giải

1. Chọn hệ trục tọa độ trụ ( R,

- Xét một điểm P trên vòng dây Z

- Xét một phần tử dòng điện

- Từ trường d B của phần tử dòng điện được

biểu diễn trên hình 1.7

- Khi điểm P chạy trên vòng dây,  biến thiên từ

RO

0

2

uur

d B t

Trang 19

Trang 21

ur

B

Bài 2 [3]: Dọc theo dải vật dẫn thẳng vô hạn, bề rộng a có một dòng điện chạy

qua với mật độ dòng j phân bố đều theo bề rộng của nó Tìm từ trường do dải gây

ra tại một điểm nằm ngoài mặt phẳng dải Khảo sát trường hợp giới hạn khi bề

rộng dải tiến tới vô hạn.

độ ở giữa dải, tr ục Oz hướng dọc theo dải,

trục Ox vuông góc với dải Phân tích dải thành

những dải con song song với trục Oz Mỗi dải

được coi là một dòng điện thẳng dài vô hạn

Xét một dải có tọa độ y’, bề rộng dy’

Ta dễ dàng tính được cường độ từ trường do một dây dẫn thẳng dài vô hạn gây ra

tại một điểm cách dây dẫn một đoạn R là:

Xét một điểm nằm trên mặt phẳng Oxy có tọa độ(x,y,0)

Cường độ từ trường tại A do dy’ gây ra là:

uur

d H

có:

+ Phương vuông góc với mặt phẳng tạo bởi

+ Chiều sao cho+ Độ lớn

dH 

Trang 22

y

'')

14

Trang 23



( y



a ) 2] 2

Trang 25

Bài 3 [3]: Trên 2 dây dẫn vô

cường độ I chạy ngược chiề

nằm ngoài hai dây dẫn.

hạn, khoảng cách giữa chúng là d có các dòng điện

u nhau Tính thế vectơ và cảm ứng từ c ủa hệ tại M

Giải

Chọn hệ tọa độ Descartes như hình vẽ

Dựng mặt phẳng Oxy chứa M và vuông góc

với hai dây dẫn

Xét phần tử Iphần tử I

Trang 26

Hai phần tử này gây ra t ại M một thế

Trang 27

Trang 29

- Đây là một phương pháp cơ bản để tính cường độ điện trường và thế vô

hướng, c ảm ứng t ừ và thế vectơ Tuy nhiên trong một số trường hợp thì các

phép toán sẽ rất dài và phức tạp

Trang 30

18

Trang 31

CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ GAUSS ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN ĐIỆN TRƯỜNG VÀ ĐỊNH LUẬT AMPERE VỀ LƯU SỐ ĐỂ

GIẢI BÀI TOÁN TỪ TRƯỜNG 2.1 Sơ lược lý thuyết về định lý Gauss và định luật Ampere về lưu số.

2.1.1 Sơ lược lý thuyết về định lý Gauss trong điện trường.

-[1] Định lý Ostrograski- Gauss dạng tích phân:

Ta có thể phát biểu định lí Ostrograski- Gauss như sau:

Thông lượng c ảm ứng điện qua một mặt kín có giá trị bằng tổng đại số các điện tích có mặt trong mặt đó

- Phương trình định lý Ostrograski- Gauss dạng vi phân:

( Đây là phương trình định lí Ostrograski- Gauss dạng vi phân)

2.1.2 Sơ lược định lý Ampere về lưu số của vectơ cảm ứng từ.[2]

- Định lý Amprere về lưu số của cảm ứng từ ( còn gọi là định luật Ampere hay định

lý dòng toàn phần) được phát biểu như sau:

Lưu số của vectơ cảm ứng từ theo đường cong kín C bất kì bằng tổng đại số cường

độ dòng điện xuyên qua diện tích giới hạn bởi đường cong đó nhân với o :

Trang 32

19

Trang 33

ur r

Ñ



B.dl C

1.2.1 Phương pháp giải bài tập vận dụng định lý Gauss.[2]

Bước 1: Xác định yếu tố đối xứng của hệ điện tích từ đó có thể suy ra được

Muốn vậy nó phải chứa yếu tố đối xứng của hệ điện tích;

Bước 3: Tính điện thông qua mặt Gauss theo công thức (2.1) Từ đó suy ramối liên hệ giữa cường độ điện trường E và điện tích của hệ từ đó suy ra thế vôhướng của hệ điện tích gây ra tại một điểm

2.2.2 Phương pháp giải bài tập vận dụng định luật Ampere.[4]

Khi áp dụng định lý Ampere về lưu số của cảm ứng từ ta tiến hành theo trình

Trang 34

2.3 Bài tập vận dụng.

2.3.1 Bài tập vận dụng định lý Gauss.

Bài 1 : Xác định điện thế và cường độ điện trường bên trong và bên ngoài hình trụ rất dài, bán kính tiết diện ngang bằng a , điện tích phân bố đều bên trong hình tr ụ với mật độ điện tích khối  , hằ ng số điện môi trong và ngoài hình trụ đều bằng 

Giải

Điện tích dương phân bố đối xứng trụ nên

phương vuông góc với mặt trụ Trong tọa độ trụ trục Oz ta có:

- Tính cường độ điện trường tại điểm A nằm ngoài mặt trụ cách trục hình tr ụ một khoảng r

Chọ n mặt Gauss là hình trụ đồng trục với hình trụ đang xét, mặt Gauss đi qua điểm

A Bán kính đáy mặt Gauss là r > a, chiều dài l

Trang 35

A Bán kính đáy mặt Gauss là r< a,chiề u dài l.Theo định lý Ostrgraski- Gauss ta có:

21

Trang 36

Trang 38

Bài 2 [1]: Một mặt cầu dẫn bán kính a nằm trong một lớp cầu điện môi đồng tâm bán kính b đều có hằng số điện môi  Tìm điện dung của tụ.

Giải

Hệ điện tích có tính đối xứng cầu, vectơ cường độ điện trường có phương

trùng phương bán kính Hay trong hệ tọa độ cầu, E (r,  , ) E (r ).e r Với e r là vectơ

đơn vị theo phương r

Chọn mặt Gauss là mặt cầu tâm O bán kính r Áp

dụng định lí Gauss cho từng miền ta có:



Ñ

-q+q

Trang 40

Bài 3 [1]: Hai mặt trụ đồng trục bán kính R 1 và R 2 chiều dài b Giữa hai bản tụ

có hai lớp điện môi đồng trục 1 và 2 , bán kính mặt phân chia là R o Bỏ qua hiệu ứng bờ Hãy tìm điện dung của hệ.

Giải

Điện tích phân bố đối xứng trụ nên

góc với mặt trụ Trong tọa độ trụ trục Oz ta có: E E (r ).e r

Chọ n mặt Gauss là mặt hình tr ụ bán kính đáy là r, tr ục trùng với trục hình trụ, chiều dài b

Theo định lý Ostrograski- Gauss ta có:

Trang 42

Bài 4: Giải bài 2 phần 1.3.1 bằng phương pháp sử dụng định lí Gauss.

Một quả cầu bán kính a tích điện mặt đến mật độ đều

và điện trường tại một điểm ở bên trong và bên ngoài quả cầu.

Ta thấy rằng hệ điện tích có tính đối xứng cầu

Các vectơ cường độ điện trường có phương vuông góc với bề mặt quả cầu Giả sử

quả cầu tích điện dương Các vectơ cường độ điện trường có phương vuông góc với

bề mặt quả cầu và hướng từ trong ra ngoài Trong hệ tọa độ cầu, E (r ,  , )  E (r ).e r

Trường hợp 1: Xét điểm A2 ở bên ngoài mặt c ầu tích điện, cách tâm quả cầu

Trang 44

Trường hợp 2: Xét điểm A1 nằm bên trong mặt cầu tích điện, cách tâm quả

cầu một khoảng r Chọn mặt Gauss là mặt cầu bán kính r đi qua A1 Áp dụng định lí Ostrograski- Gauss:

Ta thấy rằng, giải bài toán này b

giản và nhanh hơn so với phương

ằng phương pháp định lí Ostrograski- Gauss đơn pháp tổng hợp điện trường

2.3.2 Bài tập vận dụng định luật Ampere về lưu số của vectơ cảm ứng từ.

2.3 Bài tập vận dụng định luật Ampere

Bài 1[1]: Xác định cảm ứng từ của các dòng điện mặt chạy trong mặt phảng r ộng

vô hạn xOy với mật độ dòng

Theo định luật Biot-Savart- Laplace về cảm ứng từ của dòng điện nguyên tố:

Trong đó

Trang 45

J 1

Xét hai dòng điện đối xứng nhau trên mặt phẳng Oxz ( hình 27), tại kho ảnggiữa hai dòng điện, vectơ cảm ứng từ do hai dòng gây ra t ại cùng một điểm nằmtrên mặt phẳng song song với mặt Oxy Trong đó thành phần c ảm ứng từ theo

urphương y bị triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn thành phần theo phương x Nên B có chiềutheo phương x

- Chọn đường cong kín (C) là hình vuông cạnh a

Áp dụng định luật Ampere về lưu số của B

Trang 46

1 Bên ngoài một dây dẫn thẳng dài vô

hạn có dòng điện cường độ I chạy qua.

2 Bên trong và bên ngoài một ống dây

hình xuyến ( Tôrôit) gồm N vòng dây.

Giải

+ C

r

Hình 2.8

urd

Trang 47

Chọn đường cong kín là đường tròn có tâm nằm trên tr ục dây dẫn, bán kính r.Theo định lí Amper:

kính r, với R1 < r < R2( R1 là bán kính trong, R2 là bán kính ngoài của ống dây)

Theo định lí Ampere về lưu số của urB:

Với n là số vòng dây trên một đơn vị độ dài của C

Lưu ý: Từ trường trong ống dây hình xuyến không đều vì vectơ cảm ứng từ

có phương biến đổi Dọc theo bán kính r, cảm ứng từ ở phía trong( ứng với r bé) cógiá trị lớn hơn ở phía ngoài ( ứng với r lớn)

Bài 3 [4]: Tính t ừ trường tại mọi điểm của cuộn dây Xôlênôit dài vô hạ n có dòng điện cường độ I chạy qua bằng định lí Ampere.

Giải

Xét từ trường bên trong ống dây

Chọn đường cong kín là A1B1C1 D1, không có

các vòng dây xuyên qua Định lý Ampere về

Định dạng
Số trang	120
Dung lượng	1,36 MB