Phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --- ---NGUYỄN THỊ HIỂN PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG, BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-

-NGUYỄN THỊ HIỂN

PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG,

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-

-NGUYỄN THỊ HIỂN

PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG,

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2019

Möc löc

B£ng ký hi»u và các chú vi¸t tt 1

Mð đ¦u 2

Chương 1 Bài toán điºm b§t đëng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán cân b¬ng 5

1.1 Bài toán điºm b§t đëng 5

1.1.1 Ánh x¤ không giãn 6

1.1.2 Toán tû chi¸u trong không gian Hilbert 6

1.1.3 Bài toán điºm b§t đëng (FP) 8

1.2 Bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân 9

1.2.1 Toán tû đơn đi»u 9

1.2.2 Bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân (VI) 10

1.3 Bài toán cân b¬ng 16

1.3.1 Song hàm đơn đi»u 16

1.3.2 Bài toán cân b¬ng (EP) 16

Chương 2 Phương pháp lai ghép tìm nghi»m chung cõa bài toán điºm b§t đëng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán cân b¬ng 19

2.1 Phương pháp lai ghép trong không gian Hilbert 19

2.1.1 Nûa nhóm ánh x¤ không giãn 19

2.1.2 Phương pháp lai ghép 23

2.2 Sü hëi tö 24

2.2.1 Đành lý hëi tö m¤nh 25

2.2.2 Mët sè h» qu£ 33K¸t luªn 36Tài li»u tham kh£o 37

D(A) Mi·n xác đành cõa toán tû A

R(A) Mi·n £nh cõa toán tû A

A−1 Toán tû ngưñc cõa toán tû A

I Toán tû đçng nh§t

C[a, b] Không gian các hàm liên töc trên đo¤n [a, b]lim supn→∞ xn Giîi h¤n trên cõa dãy sè {xn}

lim infn→∞ xn Giîi h¤n dưîi cõa dãy sè {xn}

xn → x0 Dãy {xn} hëi tö m¤nh tîi x0

xn * x0 Dãy {xn} hëi tö y¸u tîi x0

arg min{f(x) : x ∈ C} Ph¦n tû cüc tiºu hàm f trên C

Fix(T ) Tªp điºm b§t đëng cõa ánh x¤ T

EP Bài toán cân b¬ng (Equilibrium Problem)

VI Bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân

(Variational Inequality Problem)

FP Bài toán điºm b§t đëng

(Fixed Point Problem)

Mð đ¦u

Cho C là mët tªp con lçi, đóng, khác réng cõa không gian Hilbert thüc

H, G : C × C → R là song hàm thäa mãn tính ch§t cân b¬ng G(x, x) = 0vîi måi x ∈ C Xét bài toán

Tìm ph¦n tû x∗ ∈ C sao cho G(x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C, (1)

ký hi»u là EP(G, C) Bài toán (1) đưñc Nikaido và Isoda đ· xu§t l¦n đ¦utiên vào năm 1955 nh¬m têng quát hóa bài toán cân b¬ng Nash (xem [14]).Năm 1972 nó đưñc Ky Fan nghiên cùu dưîi d¤ng b§t đ¯ng thùc minimax(xem [8]) Tên gåi bài toán cân b¬ng đưñc các tác gi£ Muu và Oettli đưa ravào năm 1992 (xem [13]) Điºm lý thú cõa bài toán cân b¬ng EP(G, C) là

nó bao hàm nhi·u bài toán riêng l´ khác nhau, ch¯ng h¤n bài toán b§t đ¯ngthùc bi¸n phân, bài toán điºm b§t đëng v.v Ch¯ng h¤n, n¸u ta chån

G(x, y) := hA(x), y − xi, A : C → C là mët ánh x¤ (2)thì bài toán cân b¬ng (1) s³ trð thành bài toán

Tìm ph¦n tû x∗ ∈ C sao cho hA(x∗), y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C (3) Đây là bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân, vîi ánh x¤ giá A và tªp ràng buëc

C, ký hi»u là VI(A, C) N¸u ánh x¤ A : C → C đưñc xác đành bði

A(x) := x − T (x), (4)

ð đây T : C → C là mët ánh x¤ thì bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phânVI(A, C) đưñc đưa v· bài toán điºm b§t đëng FP(T, C):

Tìm ph¦n tû x∗ ∈ C sao cho x∗ = T (x∗) (5)

Các phương pháp gi£i và các k¸t qu£ nghiên cùu cõa bài toán điºm b§t đëng,bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân v.v có thº đưñc mð rëng và têng quáthóa đº áp döng trð l¤i gi£i bài toán cân b¬ng

Các nghiên cùu chính v· bài toán cân b¬ng EP(G, C) đưñc chia làm haihưîng

(a) Các nghiên cùu đành tính: nghiên cùu sü tçn t¤i nghi»m, c§u trúc tªpnghi»m, sü ên đành nghi»m;

(b) Các nghiên cùu đành lưñng: các phương pháp, thuªt toán gi£i, tèc đë hëi

tö, áp döng vào thüc t¸

Ngoài ra, vi»c k¸t hñp bài toán cân b¬ng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân,bài toán điºm b§t đëng luôn là mët đ· tài lý thú B¬ng vi»c k¸t hñp các bàitoán này, ta tªn döng đưñc các kÿ thuªt đã có trong lý thuy¸t điºm b§t đëng

đº đ· xu§t và chùng minh sü hëi tö cõa các thuªt toán mîi cho bài toán cânb¬ng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân Mët trong nhúng chõ đ· nhªn đưñc

sü quan tâm cõa nhi·u nhà toán håc là bài toán tìm nghi»m chung cõa bàitoán cân b¬ng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán điºm b§t đëng.Möc tiêu cõa đ· tài luªn văn là trình bày mët sè phương pháp lai ghép tìmnghi»m (nghi»m chung) cõa bài toán cân b¬ng (EP - Equilibrium Problem),bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân (VI - Variational Inequality Problem) vàbài toán điºm b§t đëng (FP - Fixed Point Problem) trong không gian Hilbertthüc H trong bài báo [17] công bè năm 2015

Nëi dung cõa đ· tài đưñc trình bày trong hai chương

Chương 1 vîi tiêu đ· "Bài toán điºm b§t đëng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸nphân và bài toán cân b¬ng", giîi thi»u v· bài toán điºm b§t đëng, bài toánb§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán cân b¬ng cùng mèi liên h» giúa các bàitoán này

Chương 2 "Phương pháp lai ghép tìm nghi»m chung cõa các bài toán EP,

VI, FP" trình bày mët sè phương pháp k¸t hñp tìm nghi»m chung cõa cácbài toán EP, VI, FP Nëi dung cõa chương này đưñc vi¸t trên cơ sð bài báo

[17] công bè năm 2015

Luªn văn đưñc hoàn thành t¤i Trưíng Фi håc Khoa håc – Фi håc TháiNguyên Trong quá trình håc tªp và thüc hi»n luªn văn này, Trưíng Фihåc Khoa håc đã t¤o måi đi·u ki»n tèt nh§t đº tác gi£ håc tªp, nghiêncùu và làm luªn văn Tác gi£ xin đưñc bày tä lòng bi¸t ơn chân thành đ¸ncác th¦y, cô trong khoa Toán – Tin, trong Trưíng Фi håc Khoa håc – Фihåc Thái Nguyên Đ°c bi»t, em xin bày tä lòng bi¸t ơn sâu sc tîi Phó Giáo

sư, Ti¸n sĩ Nguy¹n Thà Thu Thõy đã giúp đï và ch¿ b£o em tªn tình Côkhông ch¿ truy·n đ¤t tri thùc, kĩ năng c¦n thi¸t mà còn d¤y em phươngpháp làm vi»c khoa håc đçng thíi cô cũng là ngưíi truy·n lûa đam mê,nhi»t huy¸t và sü tªn töy trong công vi»c

Tác gi£ cũng xin đưñc gûi líi c£m ơn tîi Ban giám hi»u trưíng Trung HåcPhê Thông Gia Bình sè 1 - Bc Ninh đã đëng viên, khích l» và t¤o måi đi·uki»n đº em hoàn thành vi»c håc chương trình th¤c sĩ

M°c dù đã r§t cè gng xong b£n luªn văn này không thº tránh khäi nhúngthi¸u sót và h¤n ch¸, em r§t mong nhªn đưñc sü góp ý cõa các th¦y cô vàcác b¤n håc viên

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

Tác gi£ luªn văn

Nguy¹n Thà Hiºn

Chương 1

Bài toán điºm b§t đëng, bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán cân b¬ng

Chương này giîi thi»u v· bài toán điºm b§t đëng, bài toán b§t đ¯ng thùcbi¸n phân và bài toán cân b¬ng trong không gian Hilbert thüc H và trìnhbày mèi liên h» giúa chúng Nëi dung cõa chương gçm ba ph¦n Ph¦n đ¦utiên trình bày v· khái ni»m ánh x¤ không giãn, toán tû chi¸u trong khônggian Hilbert và bài toán điºm b§t đëng cõa ánh x¤ không giãn Ph¦n thù haigiîi thi»u v· bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân vîi toán tû đơn đi»u trongkhông gian Hilbert Ph¦n cuèi cõa chương giîi thi»u v· bài toán cân b¬ng vîisong hàm đơn đi»u và trình bày mèi liên h» giúa bài toán cân b¬ng, bài toánb§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán điºm b§t đëng Nëi dung cõa chươngđưñc vi¸t trên cơ sð têng hñp ki¸n thùc tø các tài li»u [2], [3], [10] và [12]

1.1 Bài toán điºm b§t đëng

Cho H là mët không gian Hilbert thüc vîi tích vô hưîng h., i vàchu©n k.k, tương ùng Cho {xn} là mët dãy trong không gian H Ta ký hi»u

xn * x nghĩa là dãy {xn} hëi tö y¸u đ¸n x và xn → x nghĩa là dãy {xn} hëi

tö m¤nh đ¸n x

(ii) Trong (1.1), n¸u L ∈ [0, 1) thì T đưñc gåi là ánh x¤ co; n¸u L = 1 thì Tđưñc gåi là ánh x¤ không giãn.

(iii) Ánh x¤ T đưñc gåi là không giãn vúng trên C n¸u vîi måi x, y ∈ C,

kT (x) − T (y)k ≤ hT (x) − T (y), x − yi

Ta th§y n¸u T là ánh x¤ không giãn vúng trên C thì T là ánh x¤ không giãntrên C

1.1.2 Toán tû chi¸u trong không gian

Hilbert

Ta xét hình chi¸u cõa mët ph¦n tû x ∈ H lên C

Đành lý 1.1.2 (xem [2]) Cho C là mët tªp con lçi đóng khác réng trongkhông gian Hilbert thüc H Khi đó vîi måi x ∈ H, tçn t¤i duy nh§t ph¦n tû

Sau đây là mët vài ví dö v· toán tû chi¸u

Ví dö 1.1.4 Gi£ sû a, b ∈ Rn, a = 0 Xét nûa không gian C ⊂ Rn và m°tph¯ng Q ⊂ Rn cho bði

C = {x ∈ Rn : ha, x − bi ≤ 0},

Q = {x ∈ Rn : ha, x − bi = 0}

Khi đó toán tû chi¸u lên C và Q l¦n lưñt cho bði

kak2 , n¸u ha, x − bi = 0

Ví dö 1.1.5 Gi£ sû a ∈ Rn, R > 0 và hình c¦u D đưñc xác đành bði

Bê đ· 1.1.6 (xem [11]) Cho H không gian Hilbert thüc Khi đó:

(i) kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2hx, yi vîi måi x, y ∈ H;

(ii) kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2hx, yi vîi måi x, y ∈ H;

(iii) ktx + (1 − t)yk2 = tkxk2 + (1 − t)kyk2 − t(1 − t)kx − yk2 vîi måi t ∈ [0, 1]

và måi x, y ∈ H;

(iv) kx − yk2 ≥ kx − PC (x) 2+ ky − PC (x)k2vîi x ∈ H và måi y ∈ C, vîi

C là mët tªp con lçi đóng khác réng cõa H

Bê đ· 1.1.7 Cho C là mët tªp con lçi đóng khác réng cõa không gian Hilbertthüc H Cho toán tû chi¸u PC : H → C vîi x ∈ H và y ∈ C, khi đó:

(i) y = PC (x) khi và ch¿ khi

trong đó PC là phép chi¸u mêtric chi¸u H lên C

1.1.3 Bài toán điºm b§t đëng (FP)

Trong möc này ta xét bài toán trong không gian Hilbert thüc H

Đành nghĩa 1.1.8 (xem [3]) Cho C là tªp con khác réng cõa H và ánh x¤

T : C → C Điºm x ∈ C đưñc gåi là điºm b§t đëng cõa ánh x¤ T n¸u

T (x) = x

Ký hi»u tªp điºm b§t đëng cõa ánh x¤ T là Fix(T ), nghĩa là

Fix(T ) := x ∈ C : T (x) = x .Đành nghĩa 1.1.9 (xem [3]) Cho C là mët tªp con lçi đóng khác réng cõakhông gian Hilbert thüc H, ánh x¤ T : C → C đưñc gåi là

(i) Ánh x¤ tüa không giãn trên C n¸u Fix(T ) = ∅

1.2 Bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân

1.2.1 Toán tû đơn đi»u

Đành nghĩa 1.2.1 (xem [4]) Cho C là mët tªp con lçi đóng khác réng trongkhông gian Hilbert thüc H Toán tû A : C → H đưñc gåi là

(i) đơn đi»u trên C n¸u hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C;

đơn đi»u ch°t trên C n¸u d§u "=" cõa b§t đ¯ng thùc trên ch¿ x£y ra khi

Toán tû A : H → 2H đưñc gåi là đơn đi»u cüc đ¤i n¸u đç thà Gr(A) cõa

A không bà chùa thüc sü trong đç thà cõa b§t kỳ mët toán tû đơn đi»u nàokhác

Chú ý 1.2.3 Toán tû A là đơn đi»u cüc đ¤i n¸u và ch¿ n¸u vîi (x, f ) ∈ H×H,

hf − g, x − yi ≥ 0 vîi (y, g) ∈ Gr(A) suy ra f ∈ A(x)

1.2.2 Bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân (VI)

Cho C là mët tªp con lçi đóng khác réng cõa không gian Hilbert thüc H,

A : C → H là mët ánh x¤ đi tø C vào H Bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phânvîi ánh x¤ giá A và tªp ràng buëc C, ký hi»u là VI(A, C), đưñc phát biºunhư sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hA(x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C (1.3)

Tªp nghi»m cõa bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân VI(A, C) vîi ánh x¤ giá

A đưñc ký hi»u là ΩA

Trong trưíng hñp ánh x¤ giá A có d¤ng A(x) = x − x+ vîi måi x ∈ C,

x+ ∈ H cho trưîc, theo Bê đ· 1.1.7

hA(x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C

⇔ hx∗ − x+, x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C

⇔ hx+ − x∗, x − x∗i ≤ 0, ∀x ∈ C

∗ ∗ ∗ 2

Bài toán gi£i h» phương trình

Xét H = Rn, C = Ω = Rn và ánh x¤ A : Rn → Rn Khi đó, x∗ ∈ Rn

là nghi»m cõa bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân VI(A, C) khi và ch¿ khi x∗

là nghi»m cõa h» phương trình A(x∗) = 0

Thªt vªy, n¸u A(x∗) = 0 thì b§t đ¯ng thùc (1.3) x£y ra d§u b¬ng Do đó,

ta có x∗ ∈ ΩA

Ngưñc l¤i, n¸u x∗ ∈ ΩA thì

hA(x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ Rn.Chån x = x∗ − A(x∗), ta đưñc

hA(x ), x − x i ≥ 0 hay − kA(x )k

Xét ánh x¤ T : C → H đưñc cho bði

A(x∗) = 0 và b§t đ¯ng thùc (1.3) x£y ra d§u b¬ng Do đó x∗ ∈ ΩA

Ngưñc l¤i, n¸u x∗ ∈ ΩA khi đó

x∗ ∈ Fix(T ).

Mèi liên h» giúa bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân và bài toán điºm b§tđëng đưñc nêu trong bê đ· dưîi đây.

Bê đ· 1.2.4 (xem [5]) Cho x∗ ∈ C và λ > 0, ánh x¤ T (x) = PC (x −

λA(x)):

C → C Khi đó, x∗ ∈ ΩA khi và ch¿ khi x∗ ∈ Fix(T )

Chùng minh Theo Bê đ· 1.1.7, ta có

Đành lý 1.2.5 (xem [10]) N¸u A : C → H là β-đơn đi»u m¤nh trên C vàL-liên töc Lipschitz trên C thì bài toán VI(A, C) có nghi»m duy nh§t

2βChùng minh Chån 0 < µ < L2 và xét ánh x¤ T : C → C cho bði

T (x) = PC (x − µA(x)) vîi måi x ∈ C Khi đó, vîi måi x, y ∈ C ta có

kT (x) − T (y)k2 = kPC (x − µA(x)) − PC (y − µA(y))k2

≤ kx − µA(x) − (y − µA(y))k2

= kx − yk2 − 2µhA(x) − A(y), x − yi + µ2kA(x) − A(y)k2

Sû döng tính β-đơn đi»u m¤nh trên C và L-liên töc Lipschitz trên C cõa A,

2

k

2 2

Trong đó

ρ = p1 − µ(2β − µL2) ∈ [0, 1)

Vªy T : C → C là ánh x¤ co Theo nguyên lí ánh x¤ co, tçn t¤i duy nh§t

x∗ ∈ C sao cho T (x∗) = x∗ Do đó theo Bê đ· 1.2.4 ta có x∗ ∈ ΩA

Bê đ· 1.2.6 (xem [5]) Cho ánh x¤ A : C → H là η-đơn đi»u m¤nh ngưñc trên C và µ ∈ (0, 2η] Xét ánh x¤ T : C → C đưñc cho bði

T (x) = PC (x − µA(x)), ∀x ∈ C

Khi đó ánh x¤ T không giãn và Fix(T ) = ΩA

Chùng minh Tø tính ch§t η-đơn đi»u m¤nh ngưñc trên C cõa A và

µ ∈ (0, 2η], vîi måi x, y ∈ C ta có

kT (x) − T (y)k = kPC (x − µA(x)) − PC (y − µA(y))k2

≤ kx − µA(x) − (y − µA(y))k

= kx − y − µ(A(x) − A(y)) 2

= kx − yk2 − 2µhA(x) − A(y), x − yi + µ2kA(x) − A(y)k2

≤ kx − yk2 − 2µηkA(x) − A(y)k2 + µ2kA(x) − A(y)k2

Do đó

≤ kx − yk

≤ kx − yk

+ µ(µ − 2η)kA(x) − A(y)k2

kT (x) − T (y)k ≤ kx − yk

Vªy T là ánh x¤ không giãn Tø Bê đ· 1.2.4 ta suy ra Fix(T ) = ΩA

Tính ch§t lçi đóng cõa tªp nghi»m bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân đưñc trình bày trong bê đ· dưîi đây

Bê đ· 1.2.7 (xem [5]) Gi£ sû C là mët tªp lçi đóng khác réng trong khônggian Hilbert thüc H và D là mët tªp trong H chùa C Cho ánh x¤ A : D → Hgi£ đơn đi»u trên C và mët trong hai đi·u ki»n sau đưñc thäa mãn:

(ii) A liên töc Lipschitz trên C vîi h» sè L > 0.

Gi£ sû tªp nghi»m ΩA cõa bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân VI(C, A) khácréng, khi đó ΩA là tªp lçi đóng

hA(y), y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈

CTùc là x ∈ Sd(C, A) Do đó ΩA ⊂ Sd(C, A)

Ta chùng minh Sd(C, A) ⊂ ΩA

Trưíng hñp 1 A thäa mãn đi·u ki»n (i)

Gi£ sû ngưñc l¤i tçn t¤i x∗ ∈ Sd(C, A) sao cho x∗ ∈/ ΩA, tùc là tçn t¤i y∗ ∈C

Tø x∗ ∈ Sd(C, A), ta suy ra hA(y), y − x∗i ≥ 0 vîi måi y ∈ C Đ°c bi»t khi

y = xk, ta có

hA(xk), xk − x∗i ≥ 0

1.3 Bài toán cân b¬ng

1.3.1 Song hàm đơn đi»u

Đành nghĩa 1.3.1 (xem [12]) Cho C là mët tªp con lçi đóng khác réng cõakhông gian Hilbert thüc H Song hàm G : C × C → R ∪ {+∞} đưñc gåi là:(i) đơn đi»u trên C n¸u G(x, y) + G(y, x) ≤ 0 vîi ∀x, y ∈ C;

(ii) gi£ đơn đi»u trên C n¸u G(x, y) ≤ 0, ta suy ra G(y, x) ≥ 0 vîi ∀x, y ∈ C;(iii) liên töc kiºu Lipschitz trên C vîi h¬ng sè c1 > 0 và c2 > 0 n¸u

G(x, y) + G(y, z) ≥ G(x, z) − c1kx − yk2 − c2ky − zk2, ∀x, y, z ∈ C;(iv) liên töc y¸u đçng thíi trên C × C n¸u vîi hai dãy {xk}, {yk} ⊂ C hëi

tö y¸u l¦n lưñt đ¸n x, y ∈ C thì G(xk, yk) → G(x, y) khi k → ∞

Nhªn xét 1.3.2 N¸u đ°t G(x, y) := hA(x), y − xi thì song hàm G đơn đi»u(đơn đi»u m¤nh) khi và ch¿ khi toán tû A đơn đi»u (đơn đi»u m¤nh)

1.3.2 Bài toán cân b¬ng (EP)

Cho C là mët tªp con lçi đóng khác réng trong không gian Hilbert thüc

H, G : C × C → R ∪ {+∞} là mët song hàm sao cho G(x, x) = 0 vîimåi x ∈ C Bài toán cân b¬ng EP(G, C) cho song hàm G trên C đưñc phátbiºu như sau:

Tìm ph¦n tû x∗ ∈ C sao cho G(x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C (1.4)

Ký hi»u tªp nghi»m cõa bài toán cân b¬ng (1.4) là SG

Bài toán cân b¬ng bao hàm nhi·u bài toán quan trång trong tèi ưu ch¯ng h¤n hai bài toán dưîi đây:

Bài toán b§t đ¯ng thùc bi¸n phân

Đ°t G(x, y) := hA(x), y − xi, ta nhªn đưñc bài toán VI(A, C) là trưíng hñpđ°c bi»t cõa bài toán EP(G, C)

Ta có đi·u ph£i chùng minh.

Bài toán điºm b§t đëng

N¸u đ°t G(x, y) := hA(x), y − xi, thì

Φ(x) = arg min nλG(x, y) + 1 ky − xk2 : y ∈

Co,

ð đây Φ : H → C là ánh x¤ xác đành bði Φ(x) = PC (x − λA(x)), x ∈ H Thªt vªy, gi£ sû x∗ = arg min nλG(x, y) + 1 ky − xk2 : y ∈ Co, theo Bê đ·

1.2.4, đi·u này tương đương vîi

0 = λA(x) + x∗ − x +

q,vîi q ∈ NC (x∗) Áp döng đành nghĩa cõa NC (x∗) ta nhªn

đưñc

hx − x∗ − λA(x), y − x∗i ≤ 0 ∀y ∈

C,hay x∗ = PC (x − λA(x)) Nhªn xét này là gñi ý ta mð rëng Bê đ· 1.2.4cho trưíng hñp bài toán cân b¬ng

Đành lý 1.3.3 (xem [12]) Cho C là mët tªp con lçi đóng khác réng cõa khônggian Hilbert thüc H, G : C × C → R là song hàm cân b¬ng trên C thäamãn đi·u ki»n: vîi måi x ∈ C, hàm sè G(x, ) lçi, kh£ dưîi vi phân trên C.Gi£ sû λ > 0 Khi đó, x∗ là nghi»m cõa bài toán cân b¬ng EP(G, C) khi

và ch¿ khi nó là điºm b§t đëng cõa ánh x¤ Uλ : C → C xác đành bði

1

Uλ(x) = arg min nλG(x, y) + ky − xk2 : y ∈ Co, x ∈ C

Chú ý 1.3.4 Gi£i bài toán cân b¬ng cho song hàm G : C × C → R, gi£ thi¸t

G các đi·u ki»n chu©n sau đưñc thäa mãn:(A1) G(u, u) = 0 vîi måi u ∈ C;