Phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh và ứng dụngb

Nevanlinna ¢ mðrºng ành lþ Picard nhä b‹ng c¡ch chøng minh hai ành lþ quan trång m th÷íng ÷æc gåi l ành lþ cì b£n thø nh§t v ành lþ cì b£n thø hai.. Cartan ¢ mð rºng lþ thuy‚t Nevanlinna

B¸GI ODÖCV OT O TR×˝NG I H¯C S× PH M H N¸I

B¸GI ODÖCV OT O TR×˝NG I H¯C S× PH M H N¸I

L˝I CAM OAN

Tæi xin cam oan c¡c k‚t qu£ ÷æc tr…nh b y trong lu“n ¡n l mîi, ¢ ÷æc cæng

bŁ tr¶n c¡c t⁄p ch‰ To¡n håc câ uy t‰n tr¶n th‚ giîi C¡c k‚t qu£ n¶u trong lu“n

¡n l trung thüc, ÷æc c¡c çng t¡c gi£ cho ph†p sß döng v ch÷a tłng ÷æc cæng

bŁ trong b§t ký cæng tr…nh n o kh¡c

Nghi¶n cøu sinh

Nguy„n Thà Nhung

ii

Tæi xin ÷æc gßi líi c£m ìn ‚n Tr÷íng ⁄i håc S÷ Ph⁄m H Nºi, PhÆng Sau ⁄ihåc, Ban Chı nhi»m Khoa To¡n-Tin v• sü gióp ï công nh÷ t⁄o i•u ki»n thu“n læi

d nh cho tæi Tæi xin ÷æc gßi líi c£m ìn ‚n c¡c thƒy cæ v anh chà em trongseminar H…nh håc phøc cıa Bº mæn H…nh håc v Tæ pæ, °c bi»t

l TS Ph⁄m øc Thoan v TS L¶ Ngåc Quýnh, v• sü ºng vi¶n, træ gióp v nhœng trao Œi khoa håc hœu ‰ch trong qu¡ tr…nh tæi håc t“p v nghi¶n cøu

Tæi xin ÷æc gßi líi c£m ìn s¥u s›c ‚n Tr÷íng ⁄i håc Th«ng Long, Ban Chınhi»m Khoa To¡n-Tin, anh chà em çng nghi»p trong Bº mæn To¡n ¢ gióp

ï, quan t¥m v chia s· ” tæi luæn câ nhœng i•u ki»n thu“n læi nh§t trong suŁtqu¡ tr…nh håc nghi¶n cøu sinh

CuŁi còng, tæi xin ÷æc b y tä lÆng bi‚t ìn tł t“n ¡y lÆng ‚n gia …nh v ng÷íith¥n ¢ luæn b¶n tæi, kh‰ch l» v ºng vi¶n tæi, chia s· khâ kh«n ” tæi câ th”

ho n th nh ÷æc lu“n ¡n cıa m…nh

T¡c gi£

iii

2 QUAN H S¨ KHUY T KH˘NG L Y T CH PH N CHO NH

X PH N H NH GIAO V˛I H¯ SI U M T DײI T˚NG QU T 18

K‚t lu“n v ki‚n nghà

Danh möc c¡c cæng tr…nh ¢ cæng bŁ li¶n quan ‚n lu“n ¡n 94

T ILI UTHAMKH O

v

O(r): væ còng lîn còng b“c vîi r khi r ! +1.

o(r): væ còng b† b“c cao hìn r khi r ! +1

I(x): sŁ nguy¶n lîn nh§t khæng v÷æt qu¡ x

BCNNfd1; : : : ; dqg: bºi sŁ chung nhä nh§t cıa c¡c sŁ nguy¶n d÷ìng d1; : : : ; dq.Zero(h) : t“p c¡c khæng i”m cıa h m h

supp( ) : gi¡ cıa divisor

vi

M— U

1 Lþ do chån • t i

Lþ thuy‚t Nevanlinna b›t ƒu b‹ng nhœng nghi¶n cøu v• ph¥n bŁ gi¡ trà cıac¡c h m ph¥n h…nh tr¶n m°t phflng phøc N«m 1926, R Nevanlinna ¢ mðrºng ành lþ Picard nhä b‹ng c¡ch chøng minh hai ành lþ quan trång m th÷íng

÷æc gåi l ành lþ cì b£n thø nh§t v ành lþ cì b£n thø hai Cæng tr…nh cıa R.Nevanlinna ngay l“p tøc ÷æc quan t¥m m⁄nh m‡ v ¢ câ nhi•u k‚t qu£ quantrång ÷æc cæng bŁ bði c¡c t¡c gi£ nh÷ A Bloch [2], H Cartan [4],[5], H Weyl

v F J Weyl [42] °c bi»t, H Cartan ¢ mð rºng lþ thuy‚t Nevanlinna cho ÷íngcong ch¿nh h…nh trong khæng gian x⁄ £nh phøc v sau â L Ahlfors [1] ÷a rac¡ch ti‚p c“n h…nh håc cho c¡c k‚t qu£ cıa H.Cartan v Weyls V o nhœngn«m ti‚p theo, W Stoll [35] v mºt sŁ nh to¡n håc kh¡c nh÷ P Griffiths, B.Shiffman ¢ tŒng qu¡t c¡c k‚t qu£ tr¶n cho tr÷íng hæp nhi•u bi‚n phøc v çngthíi ph¡t tri”n l¶n cho tr÷íng hæp ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł a t⁄p parabolic v o a t⁄px⁄ £nh

Trong nhœng th“p k¿ vła qua, nhi•u nh to¡n håc ¢ quan t¥m ‚n b i to¡ntŒng qu¡t lþ thuy‚t Nevanlinna l¶n cho tr÷íng hæp ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł a t⁄pKahler v o a t⁄p x⁄ £nh N«m 1985, H Fujimoto [14] ¢ x¥y düng lþ thuy‚t ph¥n

bŁ gi¡ trà cho tr÷íng hæp a t⁄p Kahler M ƒy v câ phı song ch¿nh h…nh vîi mºth…nh cƒu B(R0) trong khæng gian phøc nhi•u chi•u Cm i”m kh¡c bi»t

th” x¥y düng ÷æc c¡c kh¡i ni»m thæng th÷íng cho h m ‚m cıa divisor, h m

°c tr÷ng công nh÷ h m x§p x¿ cıa c¡c ¡nh x⁄ ” v÷æt qua khâ kh«n n y, düa v

o t‰nh gi£m kho£ng c¡ch cıa khæng gian cì sð so vîi khæng gian phı,Fujimoto chuy”n c¡c b i to¡n cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh f tł M th nh b i to¡n cho

f tł B(R0) v o khæng gian x⁄ £nh Pn(C) çng thíi, H Fujimoto công ÷a ra c¡ckh¡i ni»m mîi v ph÷ìng ph¡p mîi ” gi£i quy‚t nhœng tr÷íng hæp kh¡c

1

bi»t khi ¡p döng lþ thuy‚t Nevanlinna tr¶n h…nh cƒu B(R0) so vîi tr¶n Cm Cö th”

l , æng ¢ ÷a ra kh¡i ni»m sŁ khuy‚t khæng l§y t‰ch ph¥n v thi‚t l“p ÷æc quan h»

sŁ khuy‚t n y cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł M v o khæng gian x⁄ £nh Pn(C) giao vîi håc¡c si¶u phflng Sau k‚t qu£ n y cıa H Fujimoto, T V T§n v V

V Tr÷íng [38] ¢ chøng minh ÷æc ành lþ v• sŁ khuy‚t khæng l§y t‰ch ph¥n cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł M giao vîi hå si¶u m°t ð và tr‰ d÷îi tŒng qu¡t Tuy nhi¶n, kh¡i ni»m d÷îi tŒng qu¡t cıa c¡c t¡c gi£ kh¡ °c bi»t khi cƒn th¶m mºt i•uki»n so vîi ành ngh¾a thæng th÷íng B‹ng mºt c¡ch kh¡c, M Ru v S

Sogome [32] ¢ mð rºng k‚t qu£ cıa H Fujimoto cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh v o khæng gian x⁄ £nh vîi c¡c si¶u m°t ð và tr‰ tŒng qu¡t Theo ngh¾a tü nhi¶ncıa kh¡i ni»m d÷îi tŒng qu¡t , mºt sŁ t¡c gi£ sau â ¢ thi‚t l“p quan h» sŁ khuy‚tcho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh v c¡c si¶u m°t ð và tr‰ d÷îi tŒng qu¡t nh÷ Q Yan [43], Th¡i v S Quang [40] Tuy nhi¶n, c¡c k‚t qu£ cıa c¡c t¡c gi£ tr¶n v¤n ch÷a ph£i l nhœng mð rºng thüc sü cho k‚t qu£ cıa M Ru v S Sogome khi quay v• hå si¶u m°t ð và tr‰ tŒng qu¡t Do â, mºt c¥u häi tü nhi¶n ÷æc °t ra

l : Li»u câ th” thi‚t l“p ÷æc quan h» sŁ khuy‚t khæng l§y t‰ch ph¥n tŁt hìncho tr÷íng hæp hå si¶u m°t ð và tr‰ d÷îi tŒng qu¡t khæng? Trong lu“n ¡n n

y, chóng tæi s‡ ÷a ra mºt ph÷ìng ph¡p mîi ” tr£ líi cho c¥u häi tr¶n

Sau khi R Nevanlinna ÷a ra ành lþ n«m i”m hay cÆn gåi l ành lþ duynh§t, nhi•u t¡c gi£ ¢ mð rºng ành lþ n y l¶n cho tr÷íng hæp ¡nh x⁄ ph¥n

h…nh tł Cm v o Pn(C) Nhœng k‚t qu£ ƒu ti¶n thuºc v• H Fujimoto [11] v L Smiley [34], trong â L Smiley ¢ chøng minh r‹ng hai ¡nh x⁄ ph¥n h…nh s‡ tròng nhau n‚u chóng b‹ng nhau tr¶n £nh ng÷æc cıa 3n + 2 si¶u phflng vgiao cıa £nh ng÷æc cıa hai si¶u phflng tòy þ câ Łi chi•u ‰t nh§t l hai Vi»c

câ th¶m i•u ki»n Łi chi•u cıa giao £nh ng÷æc cıa hai si¶u phflng ¢ gióp thüchi»n ÷æc nhi•u bi‚n Œi hìn tr¶n h m ‚m v cho ‚n nay ¢ câ nhi•u k‚t qu£ c£i ti‚nành lþ cıa L Smiley ÷æc ÷a ra Nhœng k‚t qu£ tŁt nh§t theo h÷îng

n y thuºc v• Z Chen v Q Yan [6], H H Giang, L N Quýnh v S Quang [16].N«m 1986, sau khi thi‚t l“p th nh cæng quan h» sŁ khuy‚t khæng l§y t‰chph¥n, H Fujimoto [15] ¢ ÷a ra ÷æc ành lþ duy nh§t cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł

M v o Pn(C) vîi hå c¡c si¶u phflng Tuy nhi¶n, ành lþ cıa H Fujimoto khængthuºc h÷îng câ th¶m i•u ki»n v• Łi chi•u n¶n khæng kh¡i qu¡t ÷æc nhœng k‚tqu£ ÷æc • c“p ð tr¶n khi quay v• tr÷íng hæp Cm Do v“y, möc ‰ch ti‚p

2

theo cıa chóng tæi trong lu“n ¡n l mð rºng ành lþ duy nh§t cıa H Fujimoto vçng thíi tŒng qu¡t c¡c k‚t qu£ ¢ ⁄t ÷æc tr¶n Cm.

Khi sŁ si¶u phflng khæng ı lîn th… ta khæng th” suy ra k‚t lu“n trong b ito¡n duy nh§t Tuy nhi¶n, vîi mºt sŁ i•u ki»n nh§t ành, ta câ th” ch¿ ra ÷æcc¡c ¡nh x⁄ ÷æc x†t câ li¶n h» ⁄i sŁ vîi nhau B i to¡n v• sü phö thuºc ⁄i sŁ cıac¡c ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł Cm v o Pn(C) ÷æc b›t ƒu nghi¶n cøu trong b i b¡o cıa

S Ji [18] v cho ‚n nay ¢ câ nhi•u k‚t qu£ ÷æc cæng bŁ Mºt sŁ k‚t qu£ tŁtnh§t gƒn ¥y thuºc v• Z Chen v Q Yan [7], S Quang [24], S Quang v L

N Quýnh [26] Tł â, mºt c¡ch tü nhi¶n, chóng tæi °t ra c¥u häi: Câ th” mðrºng c¡c k‚t qu£ v• sü phö thuºc ⁄i sŁ cıa c¡c ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł Cm th nh ¡nhx⁄ tł M v o Pn(C) ÷æc khæng? Chóng tæi l÷u þ l cho ‚n nay, ch÷a câ k‚t qu£ n

o ÷æc ÷a ra cho sü phö thuºc ⁄i sŁ cıa c¡c ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tr¶n M, m°c dò

b i to¡n duy nh§t cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł M ¢ ÷æc mºt sŁ t¡c gi£ nghi¶n cøusau b i b¡o cıa H Fujimoto n«m 1986 Nguy¶n nh¥n l nhœng kÿ thu“t nh÷s›p x‚p h m ‚m ho°c s›p x‚p l⁄i hå si¶u phflng ÷æc dòng trong nhœng b i to¡ntr¶n Cm hay trong ành lþ duy nh§t tr¶n M, •u khæng sß döng ÷æc khi l m b ito¡n suy bi‚n tr¶n M Do â, trong ch÷ìng cuŁi cıa lu“n ¡n, chóng tæi ¢ • xu§tnhœng kÿ thu“t mîi kh›c phöc khâ kh«n

n y, ” x¥y düng ÷æc mŁi li¶n h» ⁄i sŁ cıa ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł a t⁄p Kahler Tłnhœng lþ do nh÷ tr¶n, chóng tæi lüa chån • t i Ph¥n bŁ gi¡ trà cıa

¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł a t⁄p Kahler v o a t⁄p x⁄ £nh v øng döng , ” i s¥u v onghi¶n cøu vi»c thi‚t l“p quan h» sŁ khuy‚t khæng l§y t‰ch ph¥n cho tr÷ínghæp ¡nh x⁄ ph¥n h…nh v c¡c si¶u m°t ð và tr‰ d÷îi tŒng qu¡t, çng thíinghi¶n cøu b i to¡n duy nh§t công nh÷ b i to¡n v• sü phö thuºc ⁄i sŁ chonhœng ¡nh x⁄ ph¥n h…nh giao vîi hå c¡c si¶u phflng

3

3 Łi t÷æng v ph⁄m vi nghi¶n cøu

Łi t÷æng nghi¶n cøu cıa lu“n ¡n l quan h» sŁ khuy‚t khæng l§y t‰chph¥n, v§n • duy nh§t v v§n • phö thuºc ⁄i sŁ cıa c¡c ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł a t⁄pKahler v o a t⁄p x⁄ £nh

• t i ÷æc nghi¶n cøu trong ph⁄m vi cıa lþ thuy‚t Nevanlinna cho ¡nh x⁄ph¥n h…nh tr¶n a t⁄p Kahler

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu

” gi£i quy‚t c¡c v§n • °t ra trong lu“n ¡n, chóng tæi sß döng nhœngph÷ìng ph¡p cıa lþ thuy‚t ph¥n bŁ gi¡ trà v h…nh håc phøc B¶n c⁄nh vi»c sßdöng c¡c kÿ thu“t truy•n thŁng, chóng tæi ÷a ra nhœng kÿ thu“t mîi nh‹m ⁄t

÷æc nhœng möc ‰ch ¢ °t ra trong • t i

5 Þ ngh¾a khoa håc v thüc ti„n

Lu“n ¡n gâp phƒn l m s¥u s›c hìn c¡c k‚t qu£ v• quan h» sŁ khuy‚t khængl§y t‰ch ph¥n cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł a t⁄p Kahler v o a t⁄p x⁄ £nh vîi hå si¶um°t ð và tr‰ d÷îi tŒng qu¡t B¶n c⁄nh l m phong phó th¶m c¡c b i to¡n v• süduy nh§t, lu“n ¡n công ÷a ra ÷æc nhœng k‚t qu£ mîi cho sü phö thuºc ⁄i sŁcıa nhœng ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł a t⁄p Kahler v o khæng gian x⁄ £nh vîi hå si¶uphflng

Lu“n ¡n câ th” l t i li»u tham kh£o cho sinh vi¶n, håc vi¶n cao håc v

nghi¶n cøu sinh theo h÷îng nghi¶n cøu n y

6 C§u tróc lu“n ¡n

C§u tróc cıa lu“n ¡n bao gçm bŁn ch÷ìng ch‰nh Ch÷ìng TŒng quan d

nh ” ph¥n t‰ch mºt sŁ k‚t qu£ nghi¶n cøu cıa nhœng t¡c gi£ trong v ngo in÷îc li¶n quan ‚n nºi dung cıa • t i Ba ch÷ìng cÆn l⁄i tr…nh b y c¡c ki‚n thøcchu'n bà công nh÷ nhœng chøng minh chi ti‚t cho c¡c k‚t qu£ mîi cıa • t i.Ch÷ìng I TŒng quan

Ch÷ìng II Quan h» sŁ khuy‚t khæng l§y t‰ch ph¥n cho ¡nh x⁄ ph¥n h…

nh giao vîi hå si¶u m°t d÷îi tŒng qu¡t

Ch÷ìng III V§n • duy nh§t cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh câ còng £nh ng÷æc cıamºt sŁ si¶u phflng

Ch÷ìng IV Sü phö thuºc ⁄i sŁ cıa ba ¡nh x⁄ ph¥n h…nh câ còng £nhng÷æc cıa mºt sŁ si¶u phflng

4

Lu“n ¡n ÷æc vi‚t düa tr¶n bŁn b i b¡o, trong â câ ba b i ¢ ÷æc «ng v mºt b

i ang gßi i cæng bŁ

7 Nìi thüc hi»n lu“n ¡n

5

Ch֓ng 1

T˚NG QUAN

Nh÷ ¢ tr…nh b y trong phƒn Mð ƒu, lu“n ¡n t“p trung nghi¶n cøu nhœng b ito¡n v• thi‚t l“p quan h» sŁ khuy‚t khæng l§y t‰ch ph¥n, t‰nh duy nh§t côngnh÷ sü phö thuºc ⁄i sŁ cıa c¡c ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł a t⁄p Kahler M v o khænggian x⁄ £nh Pn(C), ð ¥y M câ phı song ch¿nh h…nh vîi mºt h…nh cƒu B(R0)trong Cm Chóng tæi s‡ i s¥u ph¥n t‰ch làch sß, k‚t qu£ cıa nhœng t¡c gi£ itr÷îc, công nh÷ c¡c k‚t qu£ mîi m chóng tæi ⁄t ÷æc trong tłng b i to¡n

L÷u þ r‹ng, c¡c b i to¡n cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh x†t tr¶n M ÷æc mð rºng tłnhœng b i to¡n t÷ìng øng x†t tr¶n Cm Trong phƒn Mð ƒu, ta th§y r‹ng nhí t

‰nh gi£m kho£ng c¡ch cıa khæng gian cì sð so vîi khæng gian phı, c¡c b ito¡n cho f tł M ÷æc chuy”n th nh b i to¡n tr¶n h…nh cƒu B(R0) Nh÷ ¢ bi‚t, mºttrong nhœng k‚t qu£ ch‰nh cıa lþ thuy‚t Nevanlinna l ành lþ cì b£n thø hai,cho b§t flng thøc ¡nh gi¡ ch°n tr¶n h m °c tr÷ng bði tŒng mºt sŁ h m ‚m cºngvîi mºt ⁄i l÷æng nhi„u Sf (r) Łi vîi tr÷íng hæp ¡nh x⁄ tł Cm, Sf (r) câ th” ÷îcl÷æng l væ còng b† b“c cao hìn so vîi h m °c tr÷ng Tf (r) Tuy nhi¶n, khi x†t b

i to¡n cho f tł B(R0) vîi b¡n k‰nh R0 < 1, i•u n y nâi chung khæng cÆn óng,d¤n ‚n vi»c ¡nh gi¡ qua h m ‚m v h m °c tr÷ng khæng cÆn câ

þ ngh¾a Sü kh¡c bi»t công nh÷ khâ kh«n khi gi£i quy‚t b i to¡n tr¶n M xu§t ph¡t tł °c i”m n y cıa a t⁄p

Trong suŁt lu“n ¡n n y, c¡c a t⁄p Kahler luæn ÷æc gi£ thi‚t l câ phı song

6

I Quan h» sŁ khuy‚t khæng l§y t‰ch ph¥n cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh giao vîi hå si¶u m°t d÷îi tŒng qu¡t

lu“n ¡n l thi‚t l“p quan h» sŁ khuy‚t khæng l§y t‰ch ph¥n cho ¡nh x⁄ ph¥nh…nh tł a t⁄p Kahler v o a t⁄p x⁄ £nh Nh÷ ¢ tr…nh b y ð tr¶n, khi b¡n k‰nh

R0 < 1, c¡c kÿ thu“t truy•n thŁng ¡nh gi¡ qua h m ‚m v h m °c tr÷ng lkhæng thüc hi»n ÷æc, do â khæng x¥y düng ÷æc quan h» sŁ khuy‚t cŒ i”ncıa Nevanlinna N«m 1983, H Fujimoto [13] ÷a ra kh¡i ni»m sŁ khuy‚t khængl§y t‰ch ph¥n cho ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh tł m°t Riemann mð v o khæng gian x⁄ £nh

Pn(C) v ⁄t ÷æc nhœng k‚t qu£ t÷ìng tü nh÷ quan h» sŁ khuy‚t cŒ i”n N«m

1985, H Fujimoto trong [14] ¢ mð rºng nhœng k‚t qu£ n y l¶n cho tr÷íng hæp

ành ngh¾a 1.0.2 Vîi mØi sŁ nguy¶n d÷ìng 0 v si¶u m°t Q b“c d trong

Pn(C) thäa m¢n f(M) 6 Q, kþ hi»u f (Q)(p) l bºi giao cıa £nh cıa f v Q t⁄i f(p) SŁkhuy‚t khæng l§y t‰ch ph¥n cıa f Łi vîi si¶u m°t Q ch°n bºi bði 0, kþ hi»u l f[ 0]

(Q), ÷æc ành ngh¾a nh÷ sau:

f[ 0](Q) := 1 inff 0 : thäa m¢n i•u ki»n ( )g:

7

— ¥y, i•u ki»n (*) câ ngh¾a l tçn t⁄i h m khæng ¥m h li¶n töc, bà ch°n tr¶n

M v câ bºi khæng i”m khæng nhä hìn minf f(Q); 0 g, sao cho

Khi N = n th… ta nâi Q1; : : : ; Qq ð và tr‰ tŒng qu¡t Łi vîi V

Khi V = Pn(C) th… ìn gi£n ta nâi Q1; : : : ; Qq ð và tr‰ N-d÷îi tŒng qu¡t

N«m 1985, H Fujimoto [14] thi‚t l“p mºt quan h» sŁ khuy‚t khæng l§y t‰chph¥n cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh v hå si¶u phflng ð và tr‰ tŒng qu¡t qua ành lþ sau

ành lþ A Cho M l a t⁄p Kahler ƒy câ chi•u m Gi£ sß r‹ng phı phŒ döng cıa

M song ch¿nh h…nh vîi mºt h…nh cƒu trong Cm: Gi£ sß f : M ! Pn(C) l ¡nh x⁄ph¥n h…nh khæng suy bi‚n tuy‚n t‰nh v thäa m¢n i•u ki»n (C ) vîi

0 Khi â, n‚u H1; : : : ; Hq l c¡c si¶u phflng cıa Pn(C) ð và tr‰ tŒng qu¡t th…

¡nh x⁄ ph¥n h…nh giao vîi hå si¶u m°t ð và tr‰ tŒng qu¡t nh÷ sau

ch¿nh h…nh vîi mºt h…nh cƒu trong Cm Gi£ sß f : M ! Pn(C) l ¡nh x⁄ ph¥n h…nh

khæng suy bi‚n ⁄i sŁ v thäa m¢n i•u ki»n (C ) vîi 0 Cho Q1; : : : ; Qq lc¡csi¶u m°t trong Pn(C) câ b“c di; ð và tr‰ tŒng qu¡t, v°t d = BCN Nfd1; : : : ; dqg.Khi â, vîi mØi > 0; ta câ

q [u

X j

f

=1

8

ð ¥y u 2n2 +4n

end2n(nI("1))n v I(x) := minfk 2 N : k > xg vîi x l sŁ thüc d÷ìng

Sau â, Q Yan [43] ¢ mð rºng ành lþ B b‹ng c¡ch xem x†t hå si¶u m°t ð vàtr‰ d÷îi tŒng qu¡t v ÷a ra k‚t qu£ sau v o n«m 2013

ành lþ C Gi£ sß M v f thäa m¢n c¡c gi£ thi‚t nh÷ trong ành lþ B Cho

Q1; : : : ; Qql c¡c si¶u m°t trongPn(C) câ b“c di; ð và tr‰ N-d÷îi tŒng qu¡t, v

°t d = BCN Nfd1; : : : ; dqg

Khi â, vîi mØi > 0; ta câ

q [u

l n(n + 1), lîn hìn n + 1 nh÷ thæng th÷íng Nh÷ ¢ nâi trong phƒn Mð ƒu, n«m

2012, T V T§n v V V Tr÷íng trong [38] ÷a ra mºt quan h» sŁ khuy‚t khængl§y t‰ch ph¥n cho hå si¶u m°t ð và tr‰ d÷îi tŒng qu¡t v cho sŁ h⁄ng n yb‹ng n + 1 Tuy nhi¶n, ành ngh¾a d÷îi tŒng qu¡t cıa c¡c t¡c gi£ kh¡ °c bi»t,khi cƒn th¶m mºt i•u ki»n v• giao cıa th nh phƒn b§t kh£ quy cıa q si¶u m°t n

y (xem ành ngh¾a 1.1(ii) trong [38])

Thæng th÷íng, khi gi£i quy‚t tr÷íng hæp hå si¶u m°t ð và tr‰ d÷îi tŒngqu¡t, ta ph£i tŒng qu¡t kh¡i ni»m trång Nochka Tuy nhi¶n, Łi vîi tr÷íng hæpsi¶u m°t, trång Nochka ch÷a ÷æc x¥y düng ƒy ı ” v÷æt qua khâ kh«n n y,chóng tæi sß döng kÿ thu“t thay th‚ si¶u m°t cıa S Quang ÷a ra trong

[28]. Þ t÷ðng cıa kÿ thu“t n y l tr¡nh dòng trång Nochka b‹ng c¡ch sau: MØilƒn thüc hi»n c¡c ¡nh gi¡ trong c¡c h m phö træ, N + 1 si¶u m°t trong hå ÷æc

÷îc l÷æng B‹ng c¡ch sß döng kÿ thu“t thay th‚ si¶u m°t , chóng tæi thi‚t l“p

Kahler

ƒy v o Pn(C) giao vîi hå si¶u m°t ð và tr‰ d÷îi tŒng qu¡t, trong â k‚t qu£ ⁄t

÷æc ¢ tŒng qu¡t ành lþ B v çng thíi c£i ti‚n k‚t qu£ cıa Q Yan Cö th”,

9

ành lþ 2.2.4 Cho M l a t⁄p Kahler ƒy chi•u m v câ phı phŒ döng songch¿nh h…nh vîi mºt h…nh cƒu trong Cm Gi£ sß f : M ! Pn(C) l ¡nh x⁄ ph¥nh…nh khæng suy bi‚n ⁄i sŁ v thäa m¢n i•u ki»n (C ) vîi 0 Cho Q1; : : : ; Qq

l c¡c si¶u m°t trong Pn(C) câ b“c l di; ð và tr‰ N

d = BCN Nfd1; : : : ; dqg

Khi â, vîi mØi > 0; ta câ

q [u

X j f

gi¡ bºi ch°n cıa sŁ khuy‚t trong ành lþ cıa chóng tæi nhä hìn nhi•u so vîi c¡c ÷îcl÷æng ⁄t ÷æc trong c£ ành lþ B v ành lþ C

Trong c¡c ành lþ tr¶n, f luæn ÷æc gi£ thi‚t l ¡nh x⁄ ph¥n h…nh khæng suybi‚n ⁄i sŁ ” gi£i quy‚t tr÷íng hæp f câ th” suy bi‚n ⁄i sŁ, ta ph£i x¥y düng ÷æcquan h» sŁ khuy‚t cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł M v o a t⁄p x⁄ £nh V cıa Pn(C) giaovîi hå si¶u m°t ð và tr‰ d÷îi tŒng qu¡t Łi vîi V

Ti‚p töc sß döng kÿ thu“t thay th‚ si¶u m°t , chóng tæi mð rºng ành lþ 2.2.4cho tr÷íng hæp hå si¶u m°t ð và tr‰ d÷îi tŒng qu¡t Łi vîi a t⁄p x⁄ £nh nh÷sau

[x] l phƒn nguy¶n cıa sŁ thüc x.

10

Tł ành lþ tr¶n, chóng tæi nh“n ÷æc h» qu£ sau cho tr÷íng hæp ¡nh x⁄

ph¥n h…nh câ th” suy bi‚n ⁄i sŁ

H» qu£ 2.2.12 Gi£ sß f : M ! Pn(C) l ¡nh x⁄ ph¥n h…nh v fQigqi=1 l c¡c

si¶u m°t trong Pn(C) câ b“c di, ð và tr‰ tŒng qu¡t °t d = BCN Nfd1; : : : ; dqg

Khi â, tçn t⁄i sŁ nguy¶n d÷ìng M0 sao cho

q

j=1 f [M 0 1]

X

Chóng tæi l÷u þ r‹ng, b‹ng mºt ph÷ìng ph¡p kh¡c (sß döng d⁄ng mð rºng

khæng ƒy ı cıa trång Nochka cho si¶u m°t), Th¡i v S Quang [40] ¢ ¡nh

gi¡ ÷æc tŒng sŁ khuy‚t nh÷ sau vîi nhœng gi£ thi‚t giŁng ành lþ 2.2.10

nhi¶n, bºi ch°n cıa sŁ khuy‚t trong [40] cıa hai t¡c gi£ Th¡i-Quang nhä hìn ¡nh

gi¡ cıa chóng tæi trong ành lþ 2.2.10

AI. V§n • duy nh§t cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh câ còng £nh ng÷æc cıa

mºt sŁ si¶u phflng

N«m 1926, R Nevanlinna [20] ch¿ ra r‹ng hai ¡nh x⁄ ph¥n h…nh kh¡c h‹ng

tr¶n m°t phflng phøc câ còng £nh ng÷æc cıa n«m i”m ph¥n bi»t th… tròng

nhau N«m 1975, H Fujimoto [11] tŒng qu¡t k‚t qu£ cıa R Nevalinna cho tr÷íng

hæp ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł Cm v o khæng gian x⁄ £nh Pn(C) ˘ng ¢ ch¿ ra r‹ng hai

¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł Cm v o Pn(C) tròng nhau n‚u câ còng £nh ng÷æc cıa 3n+2

si¶u phflng t‰nh c£ bºi N«m 1983, b‹ng c¡ch th¶m i•u ki»n Łi chi•u cıa giao

£nh ng÷æc cıa hai si¶u phflng b§t ký trong hå ‰t nh§t l hai, L Smiley [34]

chøng minh sü duy nh§t cıa hå ¡nh x⁄ ph¥n h…nh câ còng £nh ng÷æc cıa 3n +

2 si¶u phflng khæng t‰nh bºi N«m 2006, Th¡i v S Quang [39] ÷a ra

þ t÷ðng sß döng c¡c h m phö træ mîi ” chøng minh l⁄i k‚t qu£ cıa S Smiley

cho 3n + 1 si¶u phflng vîi n 2

11

Trong nhœng th“p k gƒn ¥y, nhi•u t¡c gi£ c£i ti‚n c¡c k‚t qu£ tr¶n b‹ng c¡chgi£m sŁ si¶u phflng tham gia K‚t qu£ tŁt nh§t theo h÷îng n y ÷æc ÷a ra bði

Z Chen v Q Yan [6] v o n«m 2009, khi hå chøng minh ÷æc ành lþ duy nh§tvîi sŁ si¶u phflng tham gia l q = 2n + 3

Trong t§t c£ c¡c k‚t qu£ • c“p ð tr¶n, c¡c t¡c gi£ luæn x†t cŁ ành gi£ thi‚tcıa L Smiley l Łi chi•u giao cıa £nh ng÷æc cıa hai si¶u phflng b§t ký ‰t nh§t

l hai N«m 2012, H H Giang, L N Quýnh v S Quang [16] ¢ tŒng qu¡t k‚tqu£ cıa Z Chen v Q Yan b‹ng c¡ch x†t i•u ki»n tŒng qu¡t hìn l Łi

chi•u giao cıa £nh ng÷æc cıa k si¶u phflng b§t ký ‰t nh§t l hai, vîi 1 k n

Khi â, n‚u q = (n + 1)k + n + 2 th… f g:

Möc ‰ch ti‚p theo cıa lu“n ¡n l xem x†t b i to¡n duy nh§t trong tr÷íng hæptŒng qu¡t hìn vîi ¡nh x⁄ ph¥n h…nh f : M ! Pn(C), trong â M l a t⁄p Kahler li¶nthæng ƒy chi•u m, câ phı song ch¿nh h…nh vîi mºt h…nh cƒu B(R0) trong

Hql q si¶u phflng trongPn(C) ð và tr‰ tŒng qu¡t thäa m¢n:

f = g tr¶n [qj=1f 1(Hj) [ g 1(Hj):

Khi â, n‚u q > n2+ 2n + 1 + n(n + 1) th… f g

Nh÷ ¢ tr…nh b y trong phƒn Mð ƒu, ành lþ E khæng thuºc h÷îng câ i•uki»n v• chi•u cıa Smiley n¶n khæng mð rºng ÷æc c¡c k‚t qu£ tr¶n khi quay v•

12

tr÷íng hæp M = Cm L§y þ t÷ðng trong b i cıa H H Giang, L N Quýnh v S .

Quang [16], b‹ng c¡ch chuy”n th nh mºt i•u ki»n tŒng qu¡t hìn, chóng tæi

chøng ành lþ duy nh§t sau ¥y Vîi k‚t qu£ n y, chóng tæi khæng nhœng mð

rºng ÷æc ành lþ E m cÆn tŒng qu¡t ÷æc k‚t qu£ trong ành lþ cıa H H

Giang, L N Quýnh v S Quang v công l cıa Z Chen v Q Yan

ch¿nh h…nh vîi mºt h…nh cƒu trong Cm Gi£ sß f; g : M ! Pn(C) l c¡c ¡nh x⁄

ph¥n h…nh khæng suy bi‚n tuy‚n t‰nh v thäa m¢n i•u ki»n (C ) vîi 0 Gi£ sß

H1; : : : ; Hq l q si¶u phflng trong Pn(C) ð và tr‰ tŒng qu¡t thäa m¢n

Nh÷ ¢ tr…nh b y trong phƒn Mð ƒu, khi sŁ si¶u phflng khæng ı lîn ” hå

¡nh x⁄ ang nghi¶n cøu l duy nh§t, ta câ th” xem x†t v• sü phö thuºc ⁄i sŁ cıa

c¡c ¡nh x⁄ trong hå Trong ch÷ìng cuŁi cıa lu“n ¡n, chóng tæi t“p trung v o

chøng minh c¡c ành lþ v• sü phö thuºc ⁄i sŁ cıa ba ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł a t⁄p

Kahler M v o Pn(C) ” ti»n cho vi»c tr…nh b y, chóng tæi ÷a ra mºt sŁ kþ hi»u

v ành ngh¾a sau

X†t f l ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł Cm v o Pn(C) khæng suy bi‚n tuy‚n t‰nh Vîi

mØi sŁ nguy¶n d÷ìng d v q si¶u phflng H1; : : : ; Hq trong Pn(C) ð và tr‰ tŒng

qu¡t thäa m¢n

dim(f 1(Hi) \ f 1(Hj)) 6 m 2 (1 6 i < j 6 q);

ta x†t F(f; fHigqi=1; d) l hå c¡c ¡nh x⁄ ph¥n h…nh khæng suy bi‚n tuy‚n t‰nh g :

Cm ! Pn(C) thäa m¢n hai i•u ki»n sau:

(a) min( (Hj ;f) ; d) = min( (Hj ;g) ; d) (1 6 j 6 q),

(b) f(z) = g(z) tr¶n

Khi d = 1, ta nâi f v

13

si¶u phflng khæng t‰nh bºi Sau â, n«m 1989, W Stoll [36] ¢ tŒng qu¡t k‚tqu£ cıa S Ji cho tr÷íng hæp a t⁄p câ phı parabolic B i to¡n v• sü phö thuºc ⁄i

sŁ công ÷æc M Ru [30] nghi¶n cøu cho tr÷íng hæp ÷íng cong ch¿nh h…nhvîi möc ti¶u di ºng v o n«m 2001 v sau â ÷æc mð rºng bði nhi•u t¡c gi£ nh÷ P Thoan, P V øc v S Quang [41], S Quang [25], H Cao [3],

Công câ th” ch¿ ra sü phö thuºc ⁄i sŁ cıa ba ¡nh x⁄ ph¥n h…nh n‚u chøngminh ÷æc ¡nh x⁄ t‰ch f1f2f3 l suy bi‚n ⁄i sŁ Nhœng k‚t qu£ tŁt theo

h÷îng n y gƒn ¥y thuºc v• T.V T§n v V V Tr÷íng [37], Z Chen v Q Yan [7],

S Quang [27], Trong b i to¡n phö thuºc ⁄i sŁ, câ hai Łi t÷æng ch‰nh

÷æc quan t¥m l sŁ si¶u phflng tham gia q v gi¡ trà bºi ch°n d C¡c sŁ n y c ngnhä th… k‚t qu£ c ng câ gi¡ trà Trong k‚t qu£ cıa c¡c t¡c gi£ n¶u tr¶n, sŁ si¶u

kÿ thu“t mîi, S Quang v L N Quýnh [26] ¢ chøng minh ành lþ v• sü phöthuºc ⁄i sŁ cıa ba ¡nh x⁄ câ còng £nh ng÷æc cıa ‰t hìn 2n + 2 si¶u phflng ð

và tr‰ tŒng qu¡t nh÷ sau

ành lþ F Gi£ sß f1; f2; f3 l ba ¡nh x⁄ ph¥n h…nh khæng suy bi‚n tuy‚n t‰nh

tł Cm v o Pn(C) Gi£ sß fHigqi=1 l hå gçm q si¶u phflng trong Pn(C) ð và tr‰tŒng qu¡t thäa m¢n

dim f 1(Hi) \ f 1(Hj) 6 m 2 (1 6 i < j 6 q):

(a) minf (f1 ;H i ); ng = minf (f2 ;H i ); ng = minf (f3 ;H i ); ng, (1 6 i 6 q),

Khi â, n‚u q >

sau:

14

(i) Tçn t⁄i 3q + 1 si¶u phflng Hi1 ; : : : ; Hi[3q ] +1 sao cho

(fu; Hi 1 )

(ii) f1 ^ f2 ^ f3 0:

ành lþ F ch¿ ra sü phö thuºc ⁄i sŁ cıa ba ¡nh x⁄ vîi sŁ si¶u phflng q ‰thìn 2n + 2, nh÷ng v¤n cƒn i•u ki»n bºi ch°n l d = n Trong [27], S Quang

si¶u phflng ÷æc gi£m xuŁng l q = 2n + 1 v bºi ch°n p 6 n, ho°c l q = 2n + 2

v bºi ch°n l 1

ành lþ G Cho f l ¡nh x⁄ ph¥n h…nh khæng suy bi‚n tuy‚n t‰nh tł Cm v o

Pn(C) Gi£ sß n 5 v p n l sŁ nguy¶n d÷ìng Gi£ sß H1; : : : ; H2n+1 l 2n + 1si¶u phflng cıa Pn(C) ð và tr‰ tŒng qu¡t, sao cho

dim f 1(Hi) \ f 1(Hj) 6 m 2 (1 6 i < j 6 2n + 2):

Khi â, vîi måi bº ba ¡nh x⁄ f1; f2; f3 2 F(f; fHig2i=1n+1; p), ¡nh x⁄ f1 f2 f3 tł Cm v o

Pn(C) Pn(C) Pn(C) l suy bi‚n tuy‚n t‰nh

ành lþ H Gi£ sß ba ¡nh x⁄ f1; f2; f32 F(f; fHig2i=1n+2; 1) Khi â, ta câ f1^ f2 ^ f3

0 tr¶nCm Nâi ri¶ng, c¡c ¡nh x⁄ f1; f2v f3l phö thuºc ⁄i sŁ tr¶nCm

Nh÷ ¢ nh›c trong ch÷ìng tr÷îc, H Fujimoto [15] ¢ ÷a ra ành lþ duy nh§tcho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł M v o Pn(C) Sau â, nhi•u t¡c gi£ ¢ mð rºng ành lþduy nh§t cıa Fujimoto Tuy nhi¶n, chóng tæi muŁn l÷u þ r‹ng, cho ‚n nay v¤nch÷a câ ành lþ v• sü phö thuºc ⁄i sŁ n o ÷æc thi‚t l“p cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł

M v o Pn(C) Nh÷ ¢ tr…nh b y trong c¡c phƒn tr÷îc, khâ kh«n khi l m cho ¡nhx⁄ tł M l khæng sß döng ÷æc h m ‚m Do â, c¡c kÿ thu“t

B‹ng c¡ch ÷a ra h m bŒ træ mîi v s›p x‚p c¡c si¶u phflng th nh c¡c nhâm,chóng tæi s‡ mð rºng c¡c ành lþ F, G v H cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł M v o

Pn(C) Hìn nœa, chóng tæi cÆn mð rºng k‚t qu£ cho hå si¶u phflng tham gia

tł i•u ki»n ð và tr‰ tŒng qu¡t sang i•u ki»n ð và tr‰ d÷îi tŒng qu¡t Cö th”,chóng tæi chøng minh ÷æc c¡c k‚t qu£ sau

15

ành lþ 4.2.3 Cho M l a t⁄p Kahler li¶n thæng ƒy câ phı song ch¿nh h…nhvîi B(R0) Cm, ð ¥y 0 < R0 6 1: Gi£ sß f1; f2; f3: M ! Pn(C) l c¡c ¡nh x⁄

ph¥n h…nh khæng suy bi‚n tuy‚n t‰nh v thäa m¢n i•u ki»n (C ) vîi 0 v q si¶u phflng H1; : : : ; Hq cıa Pn(C) ð và tr‰ N d÷îi tŒng qu¡t thäa m¢n

dim f 1(Hi) \ f 1(Hj) 6 m 2 (1 6 i < j 6 q):

Gi£ sß ta câ c¡c i•u ki»n sau:

(a) minf (f1 ;H i ); ng = minf (f2 ;H i ); ng = minf (f3 ;H i ); ng (1 6 i 6 q),

ành lþ 4.2.5 Gi£ sß M, f1; f2; f3 v H1; : : : ; Hq ÷æc cho nh÷ trong ành lþ4.2.3 Cho n > 5 v p 6 n l sŁ nguy¶n d÷ìng Gi£ sß r‹ng c¡c khflng ành sauthäa m¢n:

(a) minf (f 1 ;H i ); pg = minf (f 2 ;H i ); pg = minf (f 3 ;H i ); pg (1 6 i 6 q),

(b) f1 = f2 = f3tr¶nSq

i=1 (f1) 1(H i )

N‚u q > 2N n + 1 + n(n + 1) +

Pn(C) Pn(C) Pn(C) l suy bi‚n tuy‚n t‰nh

ành lþ 4.2.6 Cho M, f1; f2; f3 v H1; : : : ; Hq thäa m¢n c¡c gi£ thi‚t giŁng nh÷trong ành lþ 4.2.3 Gi£ sß c¡c i•u ki»n sau thäa m¢n:

(a) minf (f 1 ;H i ); 1g = minf (f 2 ;H i ); 1g = minf (f 3 ;H i ); 1g (1 6 i 6 q),

(b) f1 = f2 = f3 tr¶n

Khi â, n‚u

Nâi ri¶ng, c¡c ¡nh x⁄ f1; f2 v f3 l phö thuºc ⁄i sŁ tr¶n M

Khi M = Cm, ta câ th” chån metric phflng m

måi ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł Cm v o Pn(C) •u thäa m¢n i•u ki»n (C0) ( = 0) v khi â,

tł c¡c ành lþ 4.2.3, ành lþ 4.2.5 v ành lþ 4.2.6 suy ra c¡c k‚t qu£

16

trong c¡c ành lþ F, ành lþ G v ành lþ H t÷ìng øng Chóng tæi muŁn nh§nm⁄nh r‹ng, ngo i vi»c mð rºng ÷æc nhœng ành lþ v• sü phö thuºc ⁄i sŁ cho

¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł Cm th nh ¡nh x⁄ tł M v o Pn(C), chóng tæi cÆn ⁄t ÷æcnhœng k‚t qu£ theo mºt c¡ch kh¡c Hìn nœa, ¥y cÆn l nhœng k‚t qu£ ƒu ti¶n

Łi vîi b i to¡n v• sü phö thuºc ⁄i sŁ cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tr¶n a t⁄p Kahler

M

17

ð và tr‰ d÷îi tŒng qu¡t, v çng thíi mð rºng k‚t qu£ cıa c¡c t¡c gi£ i tr÷îc.Ch÷ìng 2 gçm hai möc Möc thø nh§t d nh ” tr…nh b y nhœng ki‚n thøcchu'n bà cƒn thi‚t v mºt sŁ bŒ • bŒ træ cho c¡c ành lþ ch‰nh trong phƒnsau Möc thø hai tr…nh b y nhœng chøng minh chi ti‚t cho hai ành lþ v• sŁkhuy‚t khæng l§y t‰ch ph¥n cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh v o khæng gian x⁄ £nh v

a t⁄p x⁄ £nh

Ch÷ìng 2 ÷æc vi‚t düa tr¶n hai b i b¡o [1] v [4] (trong möc C¡c cæng tr…

nh ¢ cæng bŁ li¶n quan ‚n lu“n ¡n)

18

2.1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà

Trong möc n y, phƒn ƒu chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ kh¡i ni»m v k‚t qu£ quantrång cıa lþ thuy‚t Nevanlinna tr¶n h…nh cƒu li¶n quan ‚n c¡c phƒn sau cıalu“n ¡n nh÷: c¡c h m cì b£n, sŁ khuy‚t cŒ i”n cıa Nevanlinna, Wronskian, ành

lþ cì b£n thø nh§t v bŒ • ⁄o h m logarit Phƒn ti‚p theo ÷a ra ành ngh¾acông nh÷ nhœng °c i”m cıa sŁ khuy‚t khæng l§y t‰ch ph¥n v phƒn cuŁicòng giîi thi»u v• trång Chow, trång Hilbert v c¡c t‰nh ch§t s‡ ÷æc sß döng

Lþ thuy‚t Nevalinna cho ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł h…nh cƒu trong Cm v o khæng gian x⁄ £nh

C¡c ành ngh¾a v k‚t qu£ trong möc n y ÷æc vi‚t düa theo [14], [17] v [23] v

÷æc sß döng trong t§t c£ c¡c ch÷ìng cıa lu“n ¡n

Cho F l h m ch¿nh h…nh kh¡c h‹ng tr¶n mi•n trong Cm Vîi mØi bº = ( 1; : : : ;

m ) gçm c¡c sŁ nguy¶n khæng ¥m, ta °t j j = 1 + : : : + mv D F =

@ j jF

F : !Zbði

F (z) := max fl : D F (z) = 0 vîi måithäa m¢n j j < lg; (z 2 ):

sao cho, vîi mØi a 2 , tçn t⁄i c¡c h m ch¿nh h…nh kh¡c khæng F v G tr¶n mºt

l¥n c“n li¶n thæng U

ngo i mºt t“p con gi£i t‰ch câ Łi chi•u m 2

Hai divisor ־c xem l

gi£i t‰ch câ Łi chi•u m

¥y l t“p con gi£i t‰ch cıa

Cm H m ‚m cıa tr¶n B(R0) ÷æc ành ngh¾a nh÷ sau.

20

Theo cæng thøc Jensen, ta câ

Câ th” ch¿ ra ành ngh¾a tr¶n khæng phö thuºc v o bi”u di„n rót gån cıa f

Ta ành ngh¾a divisor f (Q) := Q0(f)(z); (z 2 B(R0)) l bºi giao cıa £nh cıa f v

ành lþ 2.1.6 ( ành lþ cì b£n thø nh§t) Cho f : Bm(R0) ! Pn(C) l ¡nh x⁄ ph¥n h…nh v gi£ sß Q l si¶u m°t trong Pn(C) câ b“c d N‚u f(Bm(R0)) 6 Q th…

vîi mØi sŁ thüc r thäa m¢n 0 < r 0 < r < R , ta câ

dTf (r; r0) = mf (r; r0; Q) + N(r; r0; f (Q)) + O(1);

ð ¥y O(1) l h‹ng sŁ khæng phö thuºc v o r

ành ngh¾a 2.1.7 SŁ khuy‚t cŒ i”n Nevanlinna cıa f Łi vîi si¶u m°t Q ch°n bºi bði 0 ÷æc ành ngh¾a bði

[ 0 ](Q) = 1 lim supr!RN[0](r; r0;

f (Q)):f;0dTf (r; r0)

T÷ìng øng vîi kþ hi»u cıa h m ‚m, trong tr÷íng hæp 0 = +1, ta kþ hi»u f; (Q)

thay chof;[+1](Q) Tł ành ngh¾a sŁ khuy‚t v ành lþ cì b£n thø nh§t,ta câ

0 f; (Q) f;[ 0 +1]

(Q) f;[ 0 ]

(Q) 1:

Cho F l ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł B(R0) v o P l(C) Gi£ sß F = (F0; : : : ; Fl) l mºt bi”u di„n rót gån cıa F

ành ngh¾a 2.1.8 Cho V l a t⁄p x⁄ £nh con cıa Pl(C) nh x⁄ ph¥n h…nh F :

B(R0) ! V ÷æc gåi l khæng suy bi‚n ⁄i sŁ n‚u F (B(R0)) 6 W , vîi måi W l a t⁄p x⁄ £nhcon thüc sü cıa V

Khi V = Pl(C) th… F : B(R0) ! Pl(C) khæng suy bi‚n ⁄i sŁ n‚u F (B(R0)) 6 Q, vîimåi si¶u m°t Q trong Pl(C) Trong tr÷íng hæp F (B(R0)) 6 H, vîi måi si¶uphflng H trong Pl(C) th… ta nâi F khæng suy bi‚n tuy‚n t‰nh

Ta th§y r‹ng F : B(R0) ! P l(C) khæng suy bi‚n tuy‚n t‰nh t÷ìng ÷ìng vîi

F0; : : : ; Fl ºc l“p tuy‚n t‰nh tr¶n C

Theo cæng thøc Jensen, ta câ k‚t qu£ sau

ành lþ 2.1.9 Gi£ sß fLigui=1 l hå si¶u m°t trong Pn(C) câ còng b“c d v f l ¡nhx⁄ ph¥n h…nh tł B(R0) Cm v o Pn(C), vîi u = n+nd Gi£ sß fLigui=1 ºc l“p tuy‚n t

‰nh Khi â, vîi måi 0 < r0< r < R0, ta câ

TF (r; r0) = dTf (r; r0) + O(1);

ð ¥y F l ¡nh x⁄ ph¥n h…nh tł B(R0) v o Pu1(C) x¡c ành bði ⁄i di»n F = (L1(f) : :

Lu(f))

22

f

i

=(

i 1

;:::

;

i m

)g

x⁄ ph¥n h…nh khæng suy bi‚n tuy‚n t‰nh Khi â, tçn t⁄i bº ch¿ sŁ ch§p nh“n

־c

vîi j i j =

l i=0

sŁ khuy‚t khæng l§y t‰ch ph¥n d÷îi ¥y ÷æc vi‚tdüa theo [14] v [32]

Cho M l a t⁄p Kahler chi•u m v f l ¡nh x⁄

ph¥n h…nh tł M v o Pn(C)

23

ành ngh¾a 2.1.12 Cho 0 l sŁ nguy¶n d÷ìng v si¶u m°t Q câ b“c d trong

Pn(C) thäa m¢n f(M) 6 Q SŁ khuy‚t khæng l§y t‰ch ph¥n cıa f Łi vîi si¶u m°t

Q ch°n bºi bði 0, kþ hi»u l f[ 0](Q), ÷æc ành ngh¾a nh÷ sau:

f[ 0](Q) := 1 inff 0 : thäa m¢n i•u ki»n ( )g:

— ¥y, i•u ki»n (*) câ ngh¾a l tçn t⁄i h m khæng ¥m h li¶n töc, bà ch°n tr¶n

M v câ bºi khæng i”m khæng nhä hìn minf f(Q); 0 g sao cho

p

d f +

vîi [ ] l kþ hi»u cıa dÆng ki”u (1; 1) li¶n k‚t vîi divisor

Ta chó þ r‹ng i•u ki»n ( ) công câ ngh¾a l : vîi mØi h m ch¿nh h…nh ’ khængçng nh§t b‹ng khæng tr¶n mºt t“p con mð U cıa M vîi ’ = minf f (Q); 0g ngo imºt t“p con gi£i t‰ch câ Łi chi•u 2, h m u := log(h2jjfjj2d =j’j2) l li¶n töc v a i•uhÆa d÷îi tr¶n U Trong tr÷íng hæp tçn t⁄i h m ch¿nh h…nh ’ khæng çng nh§tb‹ng khæng tr¶n to n bº M thäa m¢n ’ = minf f (Q); 0g, chflng h⁄n nh÷ khi M lh…nh cƒu trong Cm, i•u ki»n ( ) ÷æc thäa m¢n khi v ch¿ khi câ h m u (6 ) li¶ntöc, a i•u hÆa d÷îi sao cho euj’j jjfjjd

T÷ìng tü nh÷ sŁ khuy‚t cŒ i”n cıa Nevanlinna, sŁ khuy‚t khæng l§y t‰chph¥n câ c¡c t‰nh ch§t sau