Phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp kähler vào đa tạp xạ ảnh và ứng dụngb

19 2.2 Định lý về quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình 27 3.1 Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ hình cầu và họ siêu phẳng ở vị trí tổng quát.. Trường [

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Nguyễn Thị Nhung

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Nguyễn Thị Nhung

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 9.46.01.05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Sĩ Đức Quang

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận án là mới, đã được công

bố trên các tạp chí Toán học có uy tín trên thế giới Các kết quả nêu trong luận

án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng đượccông bố trong bất kỳ công trình nào khác

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Nhung

LỜI CẢM ƠN

Luận án đã được hoàn thành dưới sự quan tâm và hướng dẫn tận tình củaPGS.TS Sĩ Đức Quang Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhấtđến Thầy, cảm ơn Thầy đã luôn chỉ bảo, sẻ chia và tạo mọi điều kiện thuận lợicho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Tôi xin được gửi lời cảm ơnđến GS.TSKH Hà Huy Khoái, người đã định hướng và khuyến khích tôi trongnghiên cứu khoa học, tạo nhiều cơ hội để tôi có thể học tập và giao lưu vớinhững nhà khoa học cùng hướng nghiên cứu

Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, PhòngSau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin về sự giúp đỡ cũng như tạo điềukiện thuận lợi dành cho tôi Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô và anhchị em trong seminar Hình học phức của Bộ môn Hình học và Tô pô, đặc biệt

là TS Phạm Đức Thoan và TS Lê Ngọc Quỳnh, về sự động viên, trợ giúp vànhững trao đổi khoa học hữu ích trong quá trình tôi học tập và nghiên cứu.Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Trường Đại học Thăng Long, BanChủ nhiệm Khoa Toán-Tin, anh chị em đồng nghiệp trong Bộ môn Toán đã giúp

đỡ, quan tâm và chia sẻ để tôi luôn có những điều kiện thuận lợi nhất trong suốtquá trình học nghiên cứu sinh

Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn từ tận đáy lòng đến gia đình vàngười thân đã luôn bên tôi, khích lệ và động viên tôi, chia sẻ khó khăn để tôi cóthể hoàn thành được luận án của mình

Tác giả

MỤC LỤC

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 19

2.2 Định lý về quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình 27

3.1 Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ hình cầu và họ siêu phẳng ở vị trí tổng quát 54

3.2 Định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số siêu phẳng 57

4.1 Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ hình cầu và họ siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát 68

4.2 Định lý về sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số siêu phẳng 73

Kết luận và kiến nghị 92Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 94

DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU

Trong toàn bộ luận án, chúng ta thống nhất một số kí hiệu như sau

• Pn (C): không gian xạ ảnh phức n− chiều

• βn−1:= (ddckzk 2 )n−1, σn := dclogkzk 2 ∧ (dd clogkzk 2 )n−1: các dạng vi phân

• O(1): hàm bị chặn đối với r

• O(r): vô cùng lớn cùng bậc với r khi r → +∞

• o(r): vô cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞

• I(x): số nguyên lớn nhất không vượt quá x

• BCNN{d1, , dq}: bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên dươngd1, , dq

• Zero(h) : tập các không điểm của hàm h

• supp(ν) : giá của divisor ν

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết Nevanlinna bắt đầu bằng những nghiên cứu về phân bố giá trị củacác hàm phân hình trên mặt phẳng phức Năm 1926, R Nevanlinna đã mở rộngđịnh lý Picard nhỏ bằng cách chứng minh hai định lý quan trọng mà thườngđược gọi là định lý cơ bản thứ nhất và định lý cơ bản thứ hai Công trình của

R Nevanlinna ngay lập tức được quan tâm mạnh mẽ và đã có nhiều kết quảquan trọng được công bố bởi các tác giả như A Bloch [2], H Cartan [4],[5], H.Weyl và F J Weyl [42] Đặc biệt, H Cartan đã mở rộng lý thuyết Nevanlinnacho đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức và sau đó L Ahlfors[1] đưa ra cách tiếp cận hình học cho các kết quả của H.Cartan và Weyls Vàonhững năm tiếp theo, W Stoll [35] và một số nhà toán học khác như P Griffiths,

B Shiffman đã tổng quát các kết quả trên cho trường hợp nhiều biến phức vàđồng thời phát triển lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolicvào đa tạp xạ ảnh

Trong những thập kỉ vừa qua, nhiều nhà toán học đã quan tâm đến bài toántổng quát lý thuyết Nevanlinna lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ đa tạpK¨ahler vào đa tạp xạ ảnh Năm 1985, H Fujimoto [14] đã xây dựng lý thuyếtphân bố giá trị cho trường hợp đa tạp K¨ahler M đầy và có phủ song chỉnh hìnhvới một hình cầu B(R0) trong không gian phức nhiều chiều Cm Điểm khác biệt

là trên đa tạp K¨ahler tổng quát không có hàm vét cạn parabolic, do đó khôngthể xây dựng được các khái niệm thông thường cho hàm đếm của divisor, hàmđặc trưng cũng như hàm xấp xỉ của các ánh xạ Để vượt qua khó khăn này,dựa vào tính giảm khoảng cách của không gian cơ sở so với không gian phủ,Fujimoto chuyển các bài toán cho ánh xạ phân hình f từ M thành bài toán cho

f từ B(R0) vào không gian xạ ảnh Pn (C) Đồng thời, H Fujimoto cũng đưa ra

biệt khi áp dụng lý thuyết Nevanlinna trên hình cầu B(R0) so với trên Cm Cụthể là, ông đã đưa ra khái niệm số khuyết không lấy tích phân và thiết lập đượcquan hệ số khuyết này cho ánh xạ phân hình từM vào không gian xạ ảnh Pn (C)

giao với họ các siêu phẳng Sau kết quả này của H Fujimoto, T V Tấn và V

V Trường [38] đã chứng minh được định lý về số khuyết không lấy tích phâncho ánh xạ phân hình từ M giao với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát Tuynhiên, khái niệm “dưới tổng quát” của các tác giả khá đặc biệt khi cần thêmmột điều kiện so với định nghĩa thông thường Bằng một cách khác, M Ru và

S Sogome [32] đã mở rộng kết quả của H Fujimoto cho ánh xạ phân hình vàokhông gian xạ ảnh với các siêu mặt ở vị trí tổng quát Theo nghĩa tự nhiên củakhái niệm “dưới tổng quát”, một số tác giả sau đó đã thiết lập quan hệ số khuyếtcho ánh xạ phân hình và các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát như Q Yan [43],

Đ Đ Thái và S Đ Quang [40] Tuy nhiên, các kết quả của các tác giả trên vẫnchưa phải là những mở rộng thực sự cho kết quả của M Ru và S Sogome khiquay về họ siêu mặt ở vị trí tổng quát Do đó, một câu hỏi tự nhiên được đặt ralà: “Liệu có thể thiết lập được quan hệ số khuyết không lấy tích phân tốt hơncho trường hợp họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát không?” Trong luận án này,chúng tôi sẽ đưa ra một phương pháp mới để trả lời cho câu hỏi trên

Sau khi R Nevanlinna đưa ra định lý năm điểm hay còn gọi là định lý duynhất, nhiều tác giả đã mở rộng định lý này lên cho trường hợp ánh xạ phânhình từ Cm vào Pn (C) Những kết quả đầu tiên thuộc về H Fujimoto [11] và

L Smiley [34], trong đó L Smiley đã chứng minh rằng hai ánh xạ phân hình

sẽ trùng nhau nếu chúng bằng nhau trên ảnh ngược của 3n + 2 siêu phẳng vàgiao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai Việc cóthêm điều kiện đối chiều của giao ảnh ngược của hai siêu phẳng đã giúp thựchiện được nhiều biến đổi hơn trên hàm đếm và cho đến nay đã có nhiều kết quảcải tiến định lý của L Smiley được đưa ra Những kết quả tốt nhất theo hướngnày thuộc về Z Chen và Q Yan [6], H H Giang, L N Quỳnh và S Đ Quang[16] Năm 1986, sau khi thiết lập thành công quan hệ số khuyết không lấy tíchphân, H Fujimoto [15] đã đưa ra được định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình từ

M vào Pn (C) với họ các siêu phẳng Tuy nhiên, định lý của H Fujimoto khôngthuộc hướng có thêm điều kiện về đối chiều nên không khái quát được nhữngkết quả được đề cập ở trên khi quay về trường hợp Cm Do vậy, mục đích tiếp

theo của chúng tôi trong luận án là mở rộng định lý duy nhất của H Fujimoto

và đồng thời tổng quát các kết quả đã đạt được trên Cm

Khi số siêu phẳng không đủ lớn thì ta không thể suy ra kết luận trong bàitoán duy nhất Tuy nhiên, với một số điều kiện nhất định, ta có thể chỉ ra đượccác ánh xạ được xét có liên hệ đại số với nhau Bài toán về sự phụ thuộc đại sốcủa các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) được bắt đầu nghiên cứu trong bàibáo của S Ji [18] và cho đến nay đã có nhiều kết quả được công bố Một số kếtquả tốt nhất gần đây thuộc về Z Chen và Q Yan [7], S Đ Quang [24], S Đ.Quang và L N Quỳnh [26] Từ đó, một cách tự nhiên, chúng tôi đặt ra câu hỏi:

“Có thể mở rộng các kết quả về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình

từ Cm thành ánh xạ từ M vào Pn (C) được không?” Chúng tôi lưu ý là cho đếnnay, chưa có kết quả nào được đưa ra cho sự phụ thuộc đại số của các ánh xạphân hình trên M, mặc dù bài toán duy nhất cho ánh xạ phân hình từ M đãđược một số tác giả nghiên cứu sau bài báo của H Fujimoto năm 1986 Nguyênnhân là những kỹ thuật như sắp xếp hàm đếm hoặc sắp xếp lại họ siêu phẳngđược dùng trong những bài toán trên Cm hay trong định lý duy nhất trên M,đều không sử dụng được khi làm bài toán suy biến trênM Do đó, trong chươngcuối của luận án, chúng tôi đã đề xuất những kỹ thuật mới khắc phục khó khănnày, để xây dựng được mối liên hệ đại số của ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler

Từ những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Phân bố giá trị củaánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler vào đa tạp xạ ảnh và ứng dụng ”,

để đi sâu vào nghiên cứu việc thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phâncho trường hợp ánh xạ phân hình và các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, đồngthời nghiên cứu bài toán duy nhất cũng như bài toán về sự phụ thuộc đại sốcho những ánh xạ phân hình giao với họ các siêu phẳng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là quan hệ số khuyết không lấy tích phân,vấn đề duy nhất và vấn đề phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ đa tạpK¨ahler vào đa tạp xạ ảnh

Đề tài được nghiên cứu trong phạm vi của lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạphân hình trên đa tạp K¨ahler

4 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng nhữngphương pháp của lý thuyết phân bố giá trị và hình học phức Bên cạnh việc sửdụng các kỹ thuật truyền thống, chúng tôi đưa ra những kỹ thuật mới nhằmđạt được những mục đích đã đặt ra trong đề tài

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án góp phần làm sâu sắc hơn các kết quả về quan hệ số khuyết khônglấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler vào đa tạp xạ ảnh với họsiêu mặt ở vị trí dưới tổng quát Bên cạnh làm phong phú thêm các bài toán về

sự duy nhất, luận án cũng đưa ra được những kết quả mới cho sự phụ thuộc đại

số của những ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler vào không gian xạ ảnh với họsiêu phẳng

Luận án có thể là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học vànghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này

6 Cấu trúc luận án

Cấu trúc của luận án bao gồm bốn chương chính Chương Tổng quan dành

để phân tích một số kết quả nghiên cứu của những tác giả trong và ngoài nướcliên quan đến nội dung của đề tài Ba chương còn lại trình bày các kiến thứcchuẩn bị cũng như những chứng minh chi tiết cho các kết quả mới của đề tài.Chương I Tổng quan

Chương II Quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hìnhgiao với họ siêu mặt dưới tổng quát

Chương III Vấn đề duy nhất cho ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược củamột số siêu phẳng

Chương IV Sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình có cùng ảnhngược của một số siêu phẳng

Luận án được viết dựa trên bốn bài báo, trong đó có ba bài đã được đăng vàmột bài đang gửi đi công bố.

7 Nơi thực hiện luận án

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Chương 1

TỔNG QUAN

Như đã trình bày trong phần Mở đầu, luận án tập trung nghiên cứu những bàitoán về thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân, tính duy nhất cũngnhư sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler M vàokhông gian xạ ảnh Pn(C), ở đây M có phủ song chỉnh hình với một hình cầu

B(R0 ) trong Cm Chúng tôi sẽ đi sâu phân tích lịch sử, kết quả của những tácgiả đi trước, cũng như các kết quả mới mà chúng tôi đạt được trong từng bàitoán

Lưu ý rằng, các bài toán cho ánh xạ phân hình xét trên M được mở rộng từnhững bài toán tương ứng xét trên Cm Trong phần Mở đầu, ta thấy rằng nhờtính giảm khoảng cách của không gian cơ sở so với không gian phủ, các bài toáncho f từ M được chuyển thành bài toán trên hình cầu B(R0) Như đã biết, mộttrong những kết quả chính của lý thuyết Nevanlinna là định lý cơ bản thứ hai,cho bất đẳng thức đánh giá chặn trên hàm đặc trưng bởi tổng một số hàm đếmcộng với một đại lượng nhiễu Sf(r) Đối với trường hợp ánh xạ từ Cm, Sf(r) cóthể ước lượng là vô cùng bé bậc cao hơn so với hàm đặc trưngTf(r) Tuy nhiên,khi xét bài toán cho f từ B(R0) với bán kínhR0< ∞, điều này nói chung khôngcòn đúng, dẫn đến việc đánh giá qua hàm đếm và hàm đặc trưng không còn có

ý nghĩa Sự khác biệt cũng như khó khăn khi giải quyết bài toán trên M xuấtphát từ đặc điểm này của đa tạp

Trong suốt luận án này, các đa tạp K¨ahler luôn được giả thiết là có phủ songchỉnh hình với một hình cầu trong Cm

I Quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình giao với họ siêu mặt dưới tổng quát

Quan hệ số khuyết, định lý cơ bản thứ nhất và định lý cơ bản thứ hai là

ba kết quả quan trọng nhất của lý thuyết Nevanlinna Mục đích đầu tiên củaluận án là thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phânhình từ đa tạp K¨ahler vào đa tạp xạ ảnh Như đã trình bày ở trên, khi bán kính

R0 < ∞, các kỹ thuật truyền thống đánh giá qua hàm đếm và hàm đặc trưng làkhông thực hiện được, do đó không xây dựng được quan hệ số khuyết cổ điểncủa Nevanlinna Năm 1983, H Fujimoto [13] đưa ra khái niệm số khuyết khônglấy tích phân cho ánh xạ chỉnh hình từ mặt Riemann mở vào không gian xạ ảnh

Pn(C)và đạt được những kết quả tương tự như quan hệ số khuyết cổ điển Năm

1985, H Fujimoto trong [14] đã mở rộng những kết quả này lên cho trường hợpánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahler đầy có phủ song chỉnh hình với một hìnhcầu trong Cm vào Pn(C)

Để tiện cho việc trình bày, chúng tôi đưa ra một số ký hiệu và định nghĩasau

Cho M là đa tạp K¨ahler đầy có chiều m Giả sử f : M −→ Pn(C) là ánh xạphân hình, Ωf là kéo lùi bởi f của dạng Fubini-Study Ω trong Pn (C) Trên M

với dạng K¨ahler ω =

√

−1 2

Pn(C) thỏa mãn f (M ) 6⊂ Q, ký hiệu νf(Q)(p) là bội giao của ảnh của f và Q tại

f (p) Số khuyết không lấy tích phân của f đối với siêu mặt Q chặn bội bởi µ0,

Ở đây, điều kiện (*) có nghĩa là tồn tại hàm không âm h liên tục, bị chặn trên

M và có bội không điểm không nhỏ hơn min{νf(Q), µ0}, sao cho

dηΩf +

√

−1 2π ∂ ¯∂logh

2 ≥ [min{νf(Q), µ0}],

với [ν] là ký hiệu của dòng kiểu (1, 1) sinh bởi divisor ν

Định nghĩa 1.0.3 Cho V là đa tạp xạ ảnh của Pn (C) có chiều k > 0 Cho

N, n, q là các số nguyên dương thỏa mãn N ≥ n và q ≥ N + 1 và Q1, , Qq làcác siêu mặt trong Pn (C). Khi đó, các siêu mặt Q1, , Qq được gọi là ở vị trí

N-dưới tổng quát đối với V nếu

Q j 1 ∩ · · · ∩ Q j N +1 ∩ V = ∅ với mọi 1 ≤ j 1 < · · · < jN +1 ≤ q.

Khi N = n thì ta nói Q1, , Qq ở vị trí tổng quát đối với V

Khi V =Pn(C) thì đơn giản ta nói Q1, , Qq ở vị trí N-dưới tổng quát

Năm 1985, H Fujimoto [14] thiết lập một quan hệ số khuyết không lấy tíchphân cho ánh xạ phân hình và họ siêu phẳng ở vị trí tổng quát qua định lý sau

Định lý A Cho M là đa tạp K¨ahler đầy có chiều m Giả sử rằng phủ phổdụng của M song chỉnh hình với một hình cầu trong Cm Giả sử f : M →Pn(C)

là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính và thỏa mãn điều kiện (Cρ) với

ρ ≥ 0 Khi đó, nếu H1, , Hq là các siêu phẳng của Pn(C) ở vị trí tổng quát thì

ở đây u ≤ 2n +4nend2n(nI(ε−1))n và I(x) := min{k ∈ N : k > x} với x là số thựcdương.

Sau đó, Q Yan [43] đã mở rộng Định lý B bằng cách xem xét họ siêu mặt ở

vị trí dưới tổng quát và đưa ra kết quả sau vào năm 2013

Định lý C Giả sử M và f thỏa mãn các giả thiết như trong Định lý B Cho

Q1, , Qq là các siêu mặt trong Pn (C) có bậc di, ở vị trí N-dưới tổng quát, vàđặt d = BCN N {d1, , dq}

Khi đó, với mỗi  > 0, ta có

≤ (3eN dI(−1))n(n + 1)3n và K0 = 2N dn2(n + 1)2I(−1).

Kết quả của Yan trong Định lý C chưa là một tổng quát hóa kết quả của

H Fujimoto và M Ru-S Sogome Thật vậy, khi họ siêu mặt ở vị trí tổng quát,tức là N = n, số hạng đầu tiên trong vế phải của bất đẳng thức về quan hệ sốkhuyết là n(n + 1), lớn hơn n + 1 như thông thường Như đã nói trong phần Mởđầu, năm 2012, T V Tấn và V V Trường trong [38] đưa ra một quan hệ sốkhuyết không lấy tích phân cho họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát và cho sốhạng này bằng n + 1 Tuy nhiên, định nghĩa “dưới tổng quát” của các tác giảkhá đặc biệt, khi cần thêm một điều kiện về giao của thành phần bất khả quycủa q siêu mặt này (xem định nghĩa 1.1(ii) trong [38])

Thông thường, khi giải quyết trường hợp họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát,

ta phải tổng quát khái niệm trọng Nochka Tuy nhiên, đối với trường hợp siêumặt, trọng Nochka chưa được xây dựng đầy đủ Để vượt qua khó khăn này,chúng tôi sử dụng kỹ thuật “thay thế siêu mặt” của S Đ Quang đưa ra trong[28] Ý tưởng của kỹ thuật này là tránh dùng trọng Nochka bằng cách sau: “Mỗilần thực hiện các đánh giá trong các hàm phụ trợ,N + 1 siêu mặt trong họ đượcthay bằng n + 1 siêu mặt khác ở vị trí tổng quát mà không làm thay đổi cácước lượng” Bằng cách sử dụng kỹ thuật “thay thế siêu mặt”, chúng tôi thiết lậpquan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp K¨ahlerđầy vào Pn (C)giao với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát, trong đó kết quả đạtđược đã tổng quát Định lý B và đồng thời cải tiến kết quả của Q Yan Cụ thể,

Định lý 2.2.4 Cho M là đa tạp K¨ahler đầy chiều m và có phủ phổ dụng songchỉnh hình với một hình cầu trong Cm Giả sử f : M → Pn(C) là ánh xạ phânhình không suy biến đại số và thỏa mãn điều kiện (Cρ) với ρ ≥ 0 Cho Q1, , Qq

là các siêu mặt trong Pn (C) có bậc là di, ở vị trí N − dưới tổng quát và gọi

Trong các định lý trên, f luôn được giả thiết là ánh xạ phân hình không suybiến đại số Để giải quyết trường hợp f có thể suy biến đại số, ta phải xây dựngđược quan hệ số khuyết cho ánh xạ phân hình từ M vào đa tạp xạ ảnh V của

Pn(C) giao với họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát đối với V

Tiếp tục sử dụng kỹ thuật “thay thế siêu mặt”, chúng tôi mở rộng Định lý2.2.4 cho trường hợp họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát đối với đa tạp xạ ảnhnhư sau

Định lý 2.2.10 Cho M là đa tạp K¨ahler đầy chiều m, có phủ phổ dụng songchỉnh hình với một hình cầu trong Cm Cho V là đa tạp xạ ảnh chiều k trong

Pn(C) và f là ánh xạ phân hình không suy biến đại số từ M vào V, thỏa mãnđiều kiện (Cρ) với ρ ≥ 0 Giả sử Q1, , Qq là các siêu mặt trong Pn (C) có bậc

dj, ở vị trí N − dưới tổng quát đối với V và đặt d = BCN N {d1, , dq}

Khi đó, với mỗi ε > 0, ta có

Từ định lý trên, chúng tôi nhận được hệ quả sau cho trường hợp ánh xạ phânhình có thể suy biến đại số.

Hệ quả 2.2.12 Giả sử f : M → Pn(C) là ánh xạ phân hình và {Q i }qi=1 là cácsiêu mặt trong Pn(C) có bậc di, ở vị trí tổng quát Đặt d = BCN N {d1, , dq}.Khi đó, tồn tại số nguyên dương M0 sao cho

II Vấn đề duy nhất cho ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số siêu phẳng

Năm 1926, R Nevanlinna [20] chỉ ra rằng hai ánh xạ phân hình khác hằngtrên mặt phẳng phức có cùng ảnh ngược của năm điểm phân biệt thì trùng nhau.Năm 1975, H Fujimoto [11] tổng quát kết quả của R Nevalinna cho trường hợpánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh Pn (C) Ông đã chỉ ra rằng haiánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C)trùng nhau nếu có cùng ảnh ngược của3n + 2

siêu phẳng tính cả bội Năm 1983, bằng cách thêm điều kiện đối chiều của giaoảnh ngược của hai siêu phẳng bất kỳ trong họ ít nhất là hai, L Smiley [34]chứng minh sự duy nhất của họ ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của 3n + 2

siêu phẳng không tính bội Năm 2006, Đ Đ Thái và S Đ Quang [39] đưa ra

ý tưởng sử dụng các hàm phụ trợ mới để chứng minh lại kết quả của S Smiley

Trong những thập kỷ gần đây, nhiều tác giả cải tiến các kết quả trên bằngcách giảm số siêu phẳng tham gia Kết quả tốt nhất theo hướng này được đưa

ra bởi Z Chen và Q Yan [6] vào năm 2009, khi họ chứng minh được định lýduy nhất với số siêu phẳng tham gia là q = 2n + 3

Trong tất cả các kết quả đề cập ở trên, các tác giả luôn xét cố định giả thiếtcủa L Smiley là đối chiều giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng bất kỳ ít nhất

là hai Năm 2012, H H Giang, L N Quỳnh và S Đ Quang [16] đã tổng quátkết quả của Z Chen và Q Yan bằng cách xét điều kiện tổng quát hơn là đốichiều giao của ảnh ngược của k siêu phẳng bất kỳ ít nhất là hai, với 1 ≤ k ≤ n

Cụ thể, các tác giả đã chứng minh được định lý sau

Định lý D Cho H 1 , , H q là q siêu phẳng của Pn(C) ở vị trí tổng quát thỏamãn điều kiện

H1, , Hq là q siêu phẳng trong Pn(C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn:

f = g trên ∪qj=1f−1(H j ) ∪ g−1(H j ).

Khi đó, nếu q > n2+ 2n + 1 + ρn(n + 1) thì f ≡ g

Như đã trình bày trong phần Mở đầu, Định lý E không thuộc hướng có điềukiện về chiều của Smiley nên không mở rộng được các kết quả trên khi quay về

trường hợp M = Cm Lấy ý tưởng trong bài của H H Giang, L N Quỳnh và

S Đ Quang [16], bằng cách chuyển thành một điều kiện tổng quát hơn, chúngtôi chứng định lý duy nhất sau đây Với kết quả này, chúng tôi không những mởrộng được Định lý E mà còn tổng quát được kết quả trong Định lý của H H.Giang, L N Quỳnh và S Đ Quang và cũng là của Z Chen và Q Yan

Định lý 3.2.1 Cho M là đa tạp K¨ahler liên thông đầy có phủ phổ dụng songchỉnh hình với một hình cầu trong Cm Giả sử f, g : M → Pn(C) là các ánh xạphân hình không suy biến tuyến tính và thỏa mãn điều kiện (Cρ) với ρ ≥ 0 Giả

sử H1, , Hq là q siêu phẳng trong Pn (C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn

(i) dim f−1



Tk+1 j=1 Hij

đa tạp K¨ahler M vào Pn (C) Để tiện cho việc trình bày, chúng tôi đưa ra một số

ký hiệu và định nghĩa sau

Xét f là ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) không suy biến tuyến tính Vớimỗi số nguyên dươngd và qsiêu phẳng H 1 , , H q trong Pn(C) ở vị trí tổng quátthỏa mãn

dim(f−1(Hi) ∩ f−1(Hj))6m − 2 (16i < j 6q),

ta xét F (f, {Hi}qi=1, d) là họ các ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính

g :Cm →Pn (C) thỏa mãn hai điều kiện sau:

(a) min(ν(Hj,f ), d) = min(ν(Hj,g), d) (16j 6q),

(b) f (z) = g(z) trên Sq

j=1 f−1(H j ),

ở đây νHj(f )(z) là bội giao của ảnh của f với siêu phẳng H j tại điểm z

Sự phụ thuộc đại số của f1, f2, f3 có thể suy ra từ một điều kiện mạnh hơn

là f1∧ f2∧ f3 ≡ 0 Theo hướng này, năm 1988, S Ji [18] đã chứng minh định lý

về sự phụ thuộc đại số cho ba ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của 3n + 1

siêu phẳng không tính bội Sau đó, năm 1989, W Stoll [36] đã tổng quát kết quảcủa S Ji cho trường hợp đa tạp có phủ parabolic Bài toán về sự phụ thuộc đại

số cũng được M Ru [30] nghiên cứu cho trường hợp đường cong chỉnh hình vớimục tiêu di động vào năm 2001 và sau đó được mở rộng bởi nhiều tác giả như

P Đ Thoan, P V Đức và S Đ Quang [41], S Đ Quang [25], H Cao [3], .Cũng có thể chỉ ra sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình nếu chứngminh được ánh xạ tích f1× f2× f3 là suy biến đại số Những kết quả tốt theohướng này gần đây thuộc về T.V Tấn và V V Trường [37], Z Chen và Q Yan[7], S Đ Quang [27], Trong bài toán phụ thuộc đại số, có hai đối tượng chínhđược quan tâm là số siêu phẳng tham gia q và giá trị bội chặn d Các số nàycàng nhỏ thì kết quả càng có giá trị Trong kết quả của các tác giả nêu trên,

số siêu phẳng luôn được giả sử ít nhất là 2n + 2 Năm 2015, bằng cách đưa ranhững kỹ thuật mới, S Đ Quang và L N Quỳnh [26] đã chứng minh định lý

về sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ có cùng ảnh ngược của ít hơn 2n + 2 siêuphẳng ở vị trí tổng quát như sau

Định lý F Giả sử f1, f2, f3 là ba ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính

từ Cm vào Pn (C) Giả sử {Hi}qi=1 là họ gồm q siêu phẳng trong Pn (C) ở vị trítổng quát thỏa mãn

dim f−1(Hi) ∩ f−1(Hj)
6m − 2 (1 6i < j6 q).

Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn

(a) min{ν(f1 ,H i ) , n} = min{ν(f2 ,H i ) , n} = min{ν(f3 ,H i ) , n}, (16i6q),

(b) f1 = f2= f3 trên Sq

i=1 (f1)−1(H i ).Khi đó, nếu q > 2n + 5 +

√ 28n 2 + 20n + 1

4 thì ta có một trong các khẳng địnhsau:

(fu, Hi2) (f v , Hi2) = · · · =

(fu, H i[ q

] +1 ) (f v , H i[ q

] +1 ),(ii) f1∧ f2∧ f3 ≡ 0.

Định lý F chỉ ra sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ với số siêu phẳng q íthơn 2n + 2, nhưng vẫn cần điều kiện bội chặn là d = n Trong [27], S Đ Quang

đã chứng minh các kết quả sau về sự phụ thuộc của các ánh xạ mà trong đó sốsiêu phẳng được giảm xuống là q = 2n + 1 và bội chặn p6n, hoặc là q = 2n + 2

và bội chặn là 1

Định lý G Cho f là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ Cm vào

Pn(C) Giả sử n ≥ 5 và p ≤ n là số nguyên dương Giả sử H1, , H2n+1 là 2n + 1

siêu phẳng của Pn (C) ở vị trí tổng quát, sao cho

dim f−1(Hi) ∩ f−1(Hj)
6m − 2 (16i < j 62n + 2).

Khi đó, với mọi bộ ba ánh xạ f1, f2, f3 ∈ F (f, {H i }2n+1i=1 , p), ánh xạ f1× f2× f3

từ Cm vào Pn(C) ×Pn(C) ×Pn(C) là suy biến tuyến tính

Định lý H Giả sử ba ánh xạ f1, f2, f3 ∈ F (f, {Hi}2n+2i=1 , 1) Khi đó, ta có f1∧

f2∧ f3 ≡ 0 trên Cm Nói riêng, các ánh xạ f1, f2 và f3 là phụ thuộc đại số trên

Cm

Như đã nhắc trong chương trước, H Fujimoto [15] đã đưa ra định lý duynhất cho ánh xạ phân hình từ M vào Pn (C) Sau đó, nhiều tác giả đã mở rộngđịnh lý duy nhất của Fujimoto Tuy nhiên, chúng tôi muốn lưu ý rằng, cho đếnnay vẫn chưa có định lý về sự phụ thuộc đại số nào được thiết lập cho ánh xạphân hình từ M vào Pn(C) Như đã trình bày trong các phần trước, khó khănkhi làm cho ánh xạ từ M là không sử dụng được hàm đếm Do đó, các kỹ thuật

mà các tác giả trước sử dụng không dùng được cho trường hợp tổng quát này.Bằng cách đưa ra hàm bổ trợ mới và sắp xếp các siêu phẳng thành các nhóm,chúng tôi sẽ mở rộng các Định lý F, G và H cho ánh xạ phân hình từ M vào

Pn(C) Hơn nữa, chúng tôi còn mở rộng kết quả cho họ siêu phẳng tham gia từđiều kiện ở vị trí tổng quát sang điều kiện ở vị trí dưới tổng quát Cụ thể, chúng

Định lý 4.2.3 Cho M là đa tạp K¨ahler liên thông đầy có phủ song chỉnh hìnhvới B(R0) ⊂Cm, ở đây 0 < R0 6∞. Giả sử f1, f2, f3 : M →Pn(C) là các ánh xạphân hình không suy biến tuyến tính và thỏa mãn điều kiện (Cρ) với ρ ≥ 0 và q

siêu phẳng H1, , Hq của Pn (C) ở vị trí N − dưới tổng quát thỏa mãn

dim f−1(Hi) ∩ f−1(Hj)
6m − 2 (1 6i < j6 q).

Giả sử ta có các điều kiện sau:

(a) min{ν(f1 ,H i ) , n} = min{ν(f2 ,H i ) , n} = min{ν(f3 ,H i ) , n} (16 i6 q),

(b) f1 = f2= f3 trên Sq

i=1 (f1)−1(H i ).Nếu q > 2N − n + 1 + ρn(n + 1) + 3nq

2q + 3n − 3 thì một trong các khẳng định sauxảy ra:

(i) Tồn tại q3+ 1 siêu phẳng Hi1, , H i[ q

] +1 sao cho

(fu, Hi1) (f v , Hi1) =

(fu, Hi2) (f v , Hi2) = · · · =

(fu, H i[ q

] +1 ) (f v , H i[ q

] +1 ),(ii) f1∧ f 2 ∧ f 3 ≡ 0 trên M.

Định lý 4.2.5 Giả sử M, f1, f2, f3 và H1, , Hq được cho như trong Định lý4.2.3 Cho n >5 và p6n là số nguyên dương Giả sử rằng các khẳng định sauthỏa mãn:

(a) min{ν(f1 ,H i ) , p} = min{ν(f2 ,H i ) , p} = min{ν(f3 ,H i ) , p} (16 i6 q),

(b) f1 = f2= f3 trên Sq

i=1 (f1)−1(Hi).Nếu q > 2N − n + 1 + ρn(n + 1) + q(2n + p)

2q − 3 + 3p thì ánh xạ f1× f 2 × f 3 từ M vào

Pn(C) ×Pn(C) ×Pn(C) là suy biến tuyến tính

Định lý 4.2.6 Cho M, f1, f2, f3 và H1, , Hq thỏa mãn các giả thiết giống nhưtrong Định lý 4.2.3 Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:

(a) min{ν(f1 ,H i ) , 1} = min{ν(f2 ,H i ) , 1} = min{ν(f3 ,H i ) , 1} (16i6q),

(b) f1 = f2= f3 trên Sq

i=1 (f1)−1(Hi).Khi đó, nếu q > 2N − n + 1 + ρn(n + 1) + 3nq

2q + 2n − 2 thì f1∧ f2∧ f3 ≡ 0 trên M.Nói riêng, các ánh xạ f1, f2 và f3 là phụ thuộc đại số trên M

Khi M = Cm, ta có thể chọn metric phẳng mà dạng Ricci triệt tiêu Do đó,mọi ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) đều thỏa mãn điều kiện (C0) (ρ = 0) vàkhi đó, từ các Định lý 4.2.3, Định lý 4.2.5 và Định lý 4.2.6 suy ra các kết quả

trong các Định lý F, Định lý G và Định lý H tương ứng Chúng tôi muốn nhấnmạnh rằng, ngoài việc mở rộng được những định lý về sự phụ thuộc đại số choánh xạ phân hình từ Cm thành ánh xạ từ M vào Pn (C), chúng tôi còn đạt đượcnhững kết quả theo một cách khác Hơn nữa, đây còn là những kết quả đầu tiênđối với bài toán về sự phụ thuộc đại số cho ánh xạ phân hình trên đa tạp Kahler

M

ở vị trí dưới tổng quát, và đồng thời mở rộng kết quả của các tác giả đi trước.Chương 2 gồm hai mục Mục thứ nhất dành để trình bày những kiến thứcchuẩn bị cần thiết và một số bổ đề bổ trợ cho các định lý chính trong phần sau.Mục thứ hai trình bày những chứng minh chi tiết cho hai định lý về số khuyếtkhông lấy tích phân cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh và đa tạp xạảnh.

Chương 2 được viết dựa trên hai bài báo [1] và [4] (trong mục Các công trình

đã công bố liên quan đến luận án)

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong mục này, phần đầu chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả quantrọng của lý thuyết Nevanlinna trên hình cầu liên quan đến các phần sau củaluận án như: các hàm cơ bản, số khuyết cổ điển của Nevanlinna, Wronskian,định lý cơ bản thứ nhất và bổ đề đạo hàm logarit Phần tiếp theo đưa ra địnhnghĩa cũng như những đặc điểm của số khuyết không lấy tích phân và phần cuốicùng giới thiệu về trọng Chow, trọng Hilbert và các tính chất sẽ được sử dụng

Lý thuyết Nevalinna cho ánh xạ phân hình từ hình cầu trong

Cm vào không gian xạ ảnh

Các định nghĩa và kết quả trong mục này được viết dựa theo [14], [17] và [23]

và được sử dụng trong tất cả các chương của luận án

Cho F là hàm chỉnh hình khác hằng trên miền Ω trong Cm Với mỗi bộ α = (α 1 , , α m ) gồm các số nguyên không âm, ta đặt |α| = α 1 + + α m và DαF =

∂|α|F

∂α1 z 1 ∂αm z m

. Khi đó, ta xác định ánh xạ νF : Ω → Z bởi

νF(z) := max {l : DαF (z) = 0 với mọi α thỏa mãn |α| < l}, (z ∈ Ω).

Định nghĩa 2.1.1 Một divisor ν trên miềnΩtrong Cm là một ánh xạ ν : Ω →Z

sao cho, với mỗi a ∈ Ω, tồn tại các hàm chỉnh hình khác không F và G trên mộtlân cận liên thông U ⊂ Ω của a thỏa mãn ν(z) = νF(z) − νG(z) với mỗi z ∈ U

ngoài một tập con giải tích có đối chiều ≤ m − 2

Hai divisor được xem là tương đương nếu chúng bằng nhau ngoài một tập congiải tích có đối chiều≤ m−2 Với mỗi divisorν trênΩ, ta đặt|ν| := {z : ν(z) 6= 0},

đây là tập con giải tích củaΩcó chiều thuần túy là(m − 1)hoặc là một tập rỗng.Cho một hàm phân hình khác không ϕtrên miềnΩ trong Cm Với mỗia ∈ Ω, tachọn các hàm chỉnh hình khác khôngF và G trên lân cậnU ⊂ Ω sao choϕ = F

G

trên U và dim(F−1(0) ∩ G−1(0)) ≤ m − 2, và định nghĩa các divisor không điểm

và cực điểm νϕ0, νϕ∞ bởi νϕ0 := νF, νϕ∞ := νG Khi đó, các định nghĩa này khôngphụ thuộc vào cách chọn của F và G và do đó được định nghĩa trên toàn bộ Ω

Định nghĩa 2.1.2 Giả sử ν là divisor trên hình cầu B(R0) (0 < R0 ≤ ∞) của

Cm Hàm đếm của ν trên B(R0) được định nghĩa như sau.

Theo công thức Jensen, ta có

logkf kσm+ O(1), (khi r → R).

Giả sử Q là siêu mặt trong Pn (C) bậc d Ta đồng nhất siêu mặt với đa thứcxác định nó nếu không gây nhầm lẫn Khi đó, ta viết

Định nghĩa 2.1.4 (Hàm xấp xỉ) Hàm xấp xỉ của f đối với Q, ký hiệu là

mf(r, r0, Q), được định nghĩa bởi

Có thể chỉ ra định nghĩa trên không phụ thuộc vào biểu diễn rút gọn của f

Ta định nghĩa divisor νf(Q) := νQ(f )0 (z), (z ∈B(R0))là bội giao của ảnh của f và

Định lý 2.1.6 (Định lý cơ bản thứ nhất) Cho f : Bm(R0) →Pn(C) là ánh xạphân hình và giả sử Q là siêu mặt trong Pn (C) có bậc d Nếu f (Bm(R0)) 6⊂ Q thìvới mỗi số thực r thỏa mãn 0 < r0 < r < R, ta có

dTf(r, r0) = mf(r, r0, Q) + N (r, r0, νf(Q)) + O(1),

ở đây O(1) là hằng số không phụ thuộc vào r

Định nghĩa 2.1.7 Số khuyết cổ điển Nevanlinna của f đối với siêu mặt Q

chặn bội bởi µ0 được định nghĩa bởi

δ[µ0 ] f,∗ (Q) = 1 − lim supr→R0N

[µ 0 ] (r, r0, νf(Q))

dTf(r, r0) .

Tương ứng với ký hiệu của hàm đếm, trong trường hợp µ 0 = +∞, ta ký hiệu

δf,∗(Q) thay cho δ[+∞]f,∗ (Q) Từ định nghĩa số khuyết và định lý cơ bản thứ nhất,

Định nghĩa 2.1.8 Cho V là đa tạp xạ ảnh con của Pl (C) Ánh xạ phân hình

F :B(R0) → V được gọi là không suy biến đại số nếu F (B(R0)) 6⊂ W, với mọi W

là đa tạp xạ ảnh con thực sự của V

Khi V = Pl(C) thì F : B(R0) → Pl(C) không suy biến đại số nếu F (B(R0)) 6⊂ Q,với mọi siêu mặt Q trong Pl(C) Trong trường hợp F (B(R0)) 6⊂ H, với mọi siêuphẳng H trong Pl(C) thì ta nói F không suy biến tuyến tính

Ta thấy rằng F : B(R 0 ) → Pl(C) không suy biến tuyến tính tương đương với

TF(r, r0) = dTf(r, r0) + O(1),

ở đây F là ánh xạ phân hình từ B(R0) vào Pu−1 (C) xác định bởi đại diện F = (L1(f ) : · · · : Lu(f ))

Lấy một tập bất kì αi= (αi0, , αil), 0 ≤ i ≤ l gồm các số nguyên không âm.

Ta định nghĩa Wronskian tổng quát của F là

Wα0 , ,α l (F ) := det(Dαi F j )0≤i,j≤l=

.

Mệnh đề 2.1.10 (xem trong [14, Mệnh đề 4.5]) Cho F :B(R0) →Pl(C) là ánh

xạ phân hình không suy biến tuyến tính Khi đó, tồn tại bộ chỉ số chấp nhậnđược

zα0 +···+α N Wα0, ,αN(F0, , Fl)

L0(F ) Ll(F )

...

phân cho ánh xạ phân hình< /h3>

Trong mục này, chứng minh hai định lý quan hệ số khuyếtkhơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ M vào khơng gian xạ ảnh đatạp xạ ảnh. ..

Số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hình< /h3>

Số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hình siêu phẳng H.Fujimoto [13] đưa vào năm 1983 sau M Ru-S Sogome[32] phát... (C)

có bậc chung d f ánh xạ phân hình từ B(R0) vào Pn (C) Giả sử rằngT