phuong phap giai bai toan rut gon bieu thuc chua can tuyet chieu on thi vao 10

Các câu hỏi phụ của bài toán rút gọn: Các câu hỏi phụ của bài toán rút gọn chỉ đ-ợc tính điểm khi câu hỏi rút gọn có kết quả chính xác.. Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị

Ph-ơng pháp giải bài toán rút gọn biểu thức chứa căn



...

I Rút gọn biểu thức:

- Một số hằng đẳng thức hay dùng:

- Nhớ khi đổi dấu: A A

B   B

 hoặc







Một số bài giải mẫu:

Bài 1 Rút gọn biểu thứcP 2 x 1 : x 2 x 1

      

Bài làm:

Đkxđ: x0 x; 4 (Dòng này để cách ra, rút gọn

xong mới ghi vào cho đầy đủ)

:

:

:

:

P

P

P

P

x 1

P

x 4

x 1

P

x 4

      

 





















Bình luận: Ta nhận thấy ở bài toán này việc phân

tích mẫu thành nhân tử là đơn giản nh-ng phải đổi dấu để đ-ợc mẫu chung hợp lí (dòng thứ 2: vừa kết hợp đổi dấu mẫu đồn thời đổi dấu phân thức và phân tích thành nhân tử, có lẽ nên tách làm 2 b-ớc)

Bài 2.Rút gọn biểu thức P x 2 x : x 4 x

1 x

         

Bài giải:

Biờn soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com

:

:

:

:

         

  





1 x

P

P

P

:

.













P

P

P

Đkxđ: x0 x; 1 x; 4

Bình luận: ở bài toán này việc phân tích mẫu

dựa vào hằng đẳng thức

x   x  x  và việc đổi dẫu ở mẫu của ngoặc thứ hai là tiến hành đổi dấu mẫu đồng thời đổi dấu tử

4

P

x



Bài giải

4

:

: 2

: 2

1 : 2

.

P

x

P

P

x

P

x

P

x

P

x

       

















2

x

P

x







Đkxđ: x0 x; 4

Bài 4 Rút gọn biểu thức P x 3 x 2 x 2 : 1 x

       

Bài giải:

:

:

:

:

       



    



    



P

P

P

P

x 3 x 2) :











1

x 1

x 3

x 1

P

x 2

ĐKxđ:x  0; x  4; x  9

Bình luận: Bài toán này đã sử dụng 2 kỹ thuật

trong việc tách mẫu thành nhân tử kèm theo đổi dấu mẫu, bên cạnh đó trong quá trình rút gọn tử cũng sử dụng những hằng đẳng thức quen thuộc Em hãy tìm xem những bình luận trên nằm ở những dòng nào?

Bài 5 Rút gọn biểu thức

P

P

P

P

P

P

x x

P

P



     



  







 1

1

x

P







 

Đkxđ: x  0; x  1

Bình luận:

ỏ bài toán này có thể nhận thấy những kỹ thuật:

- Phân tích mẫu thành nhân tử rồi rút gọn phân thức (phân thức đầu tiên)

- Sử dụng hằng đẳng thức

Biờn soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com

II Các câu hỏi phụ của bài toán rút gọn:

Các câu hỏi phụ của bài toán rút gọn chỉ đ-ợc tính điểm khi câu hỏi rút gọn có kết quả chính xác Chính vì vậy việc rút gọn đúng là điều đầu tiên phải làm Hy vọng rằng không ai làm sai câu a Bây giờ chúng ta cùng nhau tìm hiểu các câu hỏi sau câu a có thể là những dạng nào?

1 Dạng 1:Tính giá trị của P biết giá trị của x:

Nói chung câu hỏi này các bạn đều làm đúng, có thể chỉ ra một số dạng cho của x:

2

2

4 3

x

x



L-u ý: Câu hỏi này chỉ cho điểm tối đa khi kết quả của P đã đ-ợc khử mẫu hoặc trục căn thức (Túm lại là

ở mẫu không có căn)

Bài 1 Tính giá trị của  



x 1 P

x 4 biết x 4 2 3

Bài giải:

 2

x 4 2 3 3 1

Thay vào P ta có:

2

2

P

3 25

P



 



Bài 2.Tính giá trị của

1

x P x



 biết 



2 x

Bài giải:



2

2

2

2

P

P

 

  

Có thể làm đơn giản và nhanh hơn, em hãy thử xem!

Bài 3 Tính giá trị của 1

2

x P x





 biết

2



Bài giải:

2

  thay vào P ta có

5 25

P

P

P

P

P

         

       







Bình luận:

Đôi khi cách viết biểu thức cũng quan trọng không kém ở bài này ta thấy x có dạng phân thức Chính vì thế nên viết theo kiểu Tử : Mẫu để biểu thức không cồng kềnh giúp chúng ta không bị xoắn!

2 Dạng 2:Tìm x biết P = a (a là một giá trị thực)

Bản chất của câu hỏi này là giải ph-ơng trình (chứa căn) Vậy phải chú ý điều gì:

- Qui đồng và bỏ mẫu (vì đây là giải ph-ơng trình) nếu có

- Đặt xt và đừng quên đặt điều kiện cho t

- Tìm đ-ợc t thoả mãn điều kiện đã đắt

- Tìm x thông qua t

Bài 1 Cho  



x 1 P

x 2 với Đkxđ: x0 x; 1 x; 4.Tìm x biết P  x

Bài giải:





x 1

x 2

Đặt xt t0 t; 1 t; 2

   2

t 3t 1 0

=13>0, Ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt:

  







  







t

2

2

11 3 13

x

2

Bài 2 Cho  



x 1 P

x 4 Đkxđ: x0 x; 4 Tìm x biết: P x42x

Bài giải:

Biờn soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com



x 1

x 4

Đặt xt t0 t; 2Pt







    

  



2

t 1

2

Với t = 1  x   1 x 1 tmdk( )

3 Dạng 3: Tìm x biết Pa P; a P; a P; a (a là một giá trị thực)

Bản chất của câu hỏi này là giải bất ph-ơng trình (chứa căn) Vậy phải chú ý điều gì:

- Khi giải bất ph-ơng trình chỉ đ-ợc phép bỏ mẫu khi xác định đ-ợc dấu của mẫu và chiều của bất ph-ơng trình

- Nghiệm tìm đ-ợc phải đ-ợc kết hợp với những điều kiện đã đặt

Bài 1.Cho  



x 3 P

x 2, Đkxđ: x0 x; 1 x; 4.Tìm x biết P>1

Bài giải:

  



        



1

Kết hợp điều kiện xác định ta có:   

 



x 1

Bài 2.Cho  



x 1 P

x 3, Đkxđ: x0 x; 1 x; 9 Tìm x biết P P

Bài giải:

1

3

x

x





Ta có x 0 x 0 x  1 1 0

3

x

x





Kết hợp điều kiện xác định:   

 



x 1

4 Dạng 4: So sánh P với một số a

Ph-ơng pháp: Xét hiệu P - a

- Nếu P - a > 0  P >a

- Nếu P - a <0  P <a

Bài 1 Cho 2

1

x P

x



 Đkxđ: x0 x; 1 So sánh P với 2

Bài giải:

x

Ta có x 0 x 0 x  1 1 0

1

P

x



 với mọi x thoả mãn đkxđ

2

P

  với mọi x thoả mãn đkxđ

Vậy P < 2 với mọi x thoả mãn đkxđ

Bài 2 Cho P x x 1

x

 

 Đkxđ: x0 x; 1 So sánh P với 3

Bài giải:

1

x



Ta có x0 x;  1  x12 0; x 0

 2

1

x

x



1

P

x

 



 Đkxđ: x0 x; 1 So sánh P với P

Bài giải: Ta có

2

x x  x x    x    x

Mà x 0 x 0 x  1 1 0

1 0 1

P

x

 



5 Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên:

Qua 3 ví dụ sau, các em phần nào sẽ hiểu đ-ợc ph-ơng pháp giải và kiểu của dạng bài th-ờng gặp

Bài 1 Cho 3

1

P

x



 Đkxđ: x0 x; 1 Tìm xZ để PZ

Bài giải:

Ta có 3

1

P

x



 , để PZ x1 Ư(3)={-3;-1;1;3}

Ta có bảng sau:

1

Vậy x{0;4}

Bài 2 Cho 3 2

2

x P

x





 Đkxđ: x0 x; 4 x; 9 Tìm xZ để PZ

Bài giải:

Ta có 3 4

2

P

x

 

 , để PZ x2  Ư(4)={-4;-2;-1;1;2;4}

Ta có bảng sau:

2

(loại)

(loại)

16 36 Vậy x{1;16;36}

Biờn soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com

6 Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P

Bài 1 Cho 3

2

P

x



 Đkxđ: x0 x; 4 Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài giải:

Ta có

     





 

2

2

3 P 2

3

2

max

P

  khi x = 0.Vậy giá trị lớn nhất của P là 3

2 khi x = 0

Bài 2 Cho 5 13

3

x P

x





 Đkxđ: x0 x; 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài giải:

Ta có 5 2

3

P

x



 



     



 



   



 

3

3

3

13 P 3

min

13

3

P

  khi x = 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 13

3 khi x = 0

Bài 3 Cho P x x 1

x

 

 Đkxđ: x0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài giải:

Vì x > 0 nên x 0; 1 0

x

  áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x 0; 1 0

x

  :

1 1

1

2 1

1 2 1

1

x

x

x

x

P

 

min 1

P

x

   Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 1 khi x = 1

Bài 4 Cho 2

2

x P

x



 Đkxđ: x4 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài giải:

Vì x >4 nên   8

2

x

x

 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số :   8

2

x

x



8

2 8

2 16

x

x x

x P





 

min 16

P

0( )

                  

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 16 khi x = 16

7 Dạng 7: Tìm giá trị của tham số m để P thoả mãn một đẳng thức, một bất đẳng thức:

Bài 1 Cho 2

2

x P

x



 Đkxđ: 







4 x

0 x

Tìm m để có 1 giá trị x thoả mãn: P  x  2   x m   2x   x   m 1

Bài giải







 



x 1 tmdk

m 1

x

2

Để có 1 giá trị x thì:

m 1

1

m 1

2

m 1

4 2















 



Vậy m < 1 hoặc m=3; hoặc m = 9

Biờn soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com

Bài 2 Cho 4

3

x P

x



 Đkxđ: x0 :x4 ;x9

Tỡm m để phương trỡnhP m 3 x 2 cú hai nghiệm phõn biệt

Bài giải

P m x  x m 11 x  3m  6 0  1

Đặt t  x t 0;t 2;t  3 pt trở thành :

Pt  2  

t  m t m  (2)

Để pt(1) cú hai nghiệm phõn biệt thỡ phương trỡnh (2) cú hai nghiệm dương phõn biệt khỏc 2 và 3

Điều này xảy ra khi:

0 0 0 2; 3

b a c a







 





 



  





Giải ra được m>29

Bài 3 Cho 3

2





P

x Đkxđ: x 0 :x 4 ;x 9

Tìm m để với mọi x > 9 ta có:      

Bài giải (Bản chất là tìm m để x>9 là tập con của tập nghiệm BPT trên)

Để bpt đúng với mọi x>9

 



 



2m 1 0

1

x 9

 



 



1 m

m 5

m 9

Bài 4 Cho P 1 x Đkxđ: x 0 :x 4

Tìm m để có x thoả mãn  x 1  P xm

Bài giải

2

(1)

             

    

Ta có

2

         

Từ (1) và (2): 5 1 1

4   m 4 m

Rút gọn biểu thức trong đề thi

(Trớch trong cỏc đề thi mụn Toỏn vào lớp 10 TP Hà Nội

và một số đề thi vào THPT Chuyờn Ngoại Ngữ ĐHQG Hà Nội)



Bài 1 (2008) 1 :

1

P

  

a Rút gọn P b.Tính giá trị của P khi x = 4 c Tìm x để P= 13

3

Bài 2 (2007) 3 6 4

1

P

x





  a Rút gọn P b Tìm x để

1 2

P

Bài 3 (2006)

P

        

a Rút gọn P b Tìm a để 1 1 1

8

a P



Bài 4 (2005) P 1 5 x 4 : 2 x x

      

a Rút gọn P b Tính giá trị của P biết x 3 5

2





c Tìm m để có x thỏa mãn: Pmx x2mx1

Bài 5 (2004) P x 1 : x 1 1 x

       

a Rút gọn P b Tính P biết x 2





c Tìm x thỏa mãn: P x 6 x 3 x 4

Bài 6 (2003) P 4 x 8x : x 1 2

4 x

      



   

a Rút gọn P b Tính giá trị của x để P = -1

c Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m x3P x 1

Bài 7 (2002) P x x 2 : x x 4

1 x

         

a Rút gọn P b Tìm các giá trị của x thỏa mãn P < 0

c Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 8 (2001)

a Rút gọn P b Tính các giá trị của P biết x 62 5

c Tìm các giá trị của n để có x thỏa mãn:  x1P xn

Bài 9 (2000) P x 1 : 1 2

x 1

          

a Rút gọn P b Tìm x để P > 0

Biờn soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com

c Tìm các số m để có các giá trị của x thỏa mãn: P x  m x

Bài 10 (1999)

3

        



a Rút gọn P b Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên d-ơng

Bài 11 (1998) P x x 26 x 19 2 x x 3

a Rút gọn P b Tính giá trị của P khi x 7 4 3 c Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 12 (1997) 2 4 2 2

P

a Rút gọn P b Tính P khi a 3 2 2

Bài 13 (1996) Cho 21 4 1 : 5 4 1

A

a Rút gọn A để chứng minh rằng A = x 2 - x - 2 b Tìm x để A= 4

c Tìm GTNN của A

Bài 14 (1995) Cho 1 : 1

B

      

a Rút gọn B b Tìm a để B < 1

c Tìm a để B nguyên và tính B theo a vừa tìm đ-ợc

Bài 15 (1994) Cho

P

b a



a Rút gọn P b Tính P biết a =2, b= 8

Bài 16 (1993)

3

P



a Rút gọn P b Tìm x để P > 0

:

a b

P

a Rút gọn P

b Cho a b  6 Tìm a, b để P đạt GTNN và GTNN đó là bao nhiêu ?

Bài 18 (Ams 2005) Cho P x x 1 x x 1 x 1

a Rút gọn P b Tìm x để P 9

2



Bài 19 (Ams 2004) Cho

2

P

2

    

a Rút gọn P b Tìm x để 2

x P

Bài 20 (Ams 2003) Cho

2

P

a Rút gọn P b Tìm giá trị nhỏ nhất của P c Tìm x để

P

x

Q2 nhận giá trị nguyên

Bài 21 (Ams 2002) Cho P x 1 x 2 x 1

a Rút gọn P b Tìm MaxQ 2 x

P

 

Bài 22 (Ams 2001) Cho P x 2 x 3 x 2 : 2 x

       

a Rút gọn P b Tìm x để 1 5

P   2

Bài 23 (Ams 2000) Cho P 2x 2 x x 1 x x 1

a Rút gọn P b So sánh P với 5

c Với mọi giá trị x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức

P

8

chỉ nhận đúng một giá trị nguyên

Bài 24 (Ams 1999) Cho P x 3 x 2 x 2 : 1 x

       

a Rút gọn P b Tìm x để P <0 c Với giá trị nào của x thì

P

1

đạt giá trị nhỏ nhất





















































1

1 1

1 : 1 1

1

1

xy

x xy

x xy xy

x xy xy

x

a Rút gọn P b Cho 1  1 6

y

x Tìm giá trị lớn nhất của A

Bài 26 (Ams 1997) Cho  

1

2 2

3 2

3 3























x

x x

x x

x

x x

a Rút gọn P b Tìm x để

4

15



P

Bài 27 (HN 2009) Cho biểu thức: A x 1 1

   với x  0 và x  4 a) Rỳt gọn A b) Tớnh giỏ trị của A khi x = 25 c) Tỡm x để A 1

3

 

Bài 28 (HN 2010).Cho biểu thức A x 2 x 3x 9

x 9





  với x  0;x  9 a) Rỳt gọn biểu thức A b) Tỡm giỏ trị của x để A 1

3

 c) Tỡm giỏ trị lớn nhất của A

Bài 29 (CN 2010) Cho biểu thức P x 2x : x 1 2

9 x

      



a)Tỡm điều kiện của x để P cú nghĩa và rỳt gọn P b)Tỡm giỏ trị của x để P 4

3

 

Bài 30 (CN 2009)

3

3 2

3 2 3

3 3

3

3 2 3

2

4 2

2 2

2 : 2

8

x x

x x

x x

x

x x

x A

















































Với x  8; x -8; x  0 Chứng minh rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x

2

1

1 1

1 1 1

1

1

2













 



































x x

x x

x x P

Biờn soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com

a Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P b Tìm x để P 

2 2

1

2 1

1 : 1







































x x x x

x x

x

x P

a Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn biểu thức P

b Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Q = P - x nhận giá trị nguyên

Bài 33 (CN 2005) :

1 2 1 2

1 1

1

2





































x

x x

x

x x

x x x

x

x x x x M

a Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M

b Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M?

Bài 34 (CN 2004)

1

1 1

1 1

2



















x x

x

x x

x

x A

a Tìm x để A có nghĩa Hãy rút gọn A b Tính A với x = 33 - 8 2

c Chứng minh rằng A <

3 1

Bài 35 (CN 2002) :

1

1 : 2 2

1 1

1 2

3 9 3



































x x

x x

x

x x P

a Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó hãy rút gọn P

b Tìm các số tự nhiên x để

P

1

là số tự nhiên? c Tính giá trị của P với x = 4 - 2 3

Bài 36 (CN 2011) :

y x xy

y y x x y x y x y x y x

A

3 3

3 3

: 1 1 2

1 1

















































a)Rút gọn A b) Tìm x ; y biết 1

xy ; A 5 36

Bài 37 (HN 2011) : A x 10 x 5

x 25



  với x  0;x  25

a Rút gọn A b.Tớnh giỏ trị của A khi x = 9 c.Tỡm x để A 1

3



Bài 38 (HN 2012) :

a) Cho biểu thức 4

2

x A x





 Tớnh giỏ trị biểu thức A khi x = 36

b) Rỳt gọn biểu thức 4 : 16

B

  (với x0;x16) c) Với cỏc biểu thức A, B núi trờn, hóy tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để giỏ trị của biểu thức B.(A-1) là số nguyờn

Bài 39 (HN 2013) : Với x>0, cho hai biểu thức 2 x

A

x



 và x 1 2 x 1

B

 1) Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi x= 64

2) Rỳt gọn biểu thức B 3) Tỡm x để 3

2

A

B 

Bài 40 (HN 2014) :

1) Tớnh giỏ trị của biểu thức 1

1

x A x





 khi x= 9

2) Cho biểu thức 2 1 1

P

  với x x0;x1 a) Chứng minh rằng P x 1

x



 b) Tỡm x để 2P2 x5

Bài 41 (HN 2015) : Cho 3 1 5 2

4

x



1) Tớnh giỏ trị của P khi x = 9

2) Rỳt gọn Q

3) Tỡm x để biểu thức P

Q đạt giỏ trị nhỏ nhất

Bài 42 (CN 2015) :Cho  2 

x x

P

Tỡm điều kiện của x để A

cú nghĩa và rỳt gọn A

Bài 43 Cho:

1 2

1

2 1

1 2

1



































x

x x x

x

x x x x x

x x A

a Tìm điều kiện để A có nghĩa b Tính x nếu

5

6

6



A

c Chứng tỏ rằng

3

2



A là bất đẳng thức sai

Bài 44.Cho

1 1

2 2

















a a

a a a

a

a a M

Rút gọn biểu thức: P = Ma11









































xy y

xy xy

x

xy y

x

y xy x xy

1 Rút gọn A

2 Tìm m để ph-ơng trình A = m - 1 có nghiệm x, y thoả mãn x y  6

Bài 46 Cho biểu thức: 1 : 1 2

x x x x x x

x P











1 Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và hãy rút gọn P

2 Tìm các số nguyên x để giá trị của biểu thức

1

2 2







x

x P

Q cũng là số nguyên















































1 2

) 1 )(

( 1

2 1

1 2 1

x

x x

x x

x

x x x x x

x x

M

1 Tìm các giá trị của x để M có nghĩa, khi đó hãy rút gọn M

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (2000 - M) khi x  4

3 Tìm các số nguyên x để giá trị của M cũng là số nguyên