Một số phương pháp đồng luân giải gần đúng phương trình vi phân thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN TRẦN THỊ HẢI YẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG LUÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TRẦN THỊ HẢI YẾN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG LUÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN THƯỜNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TRẦN THỊ HẢI YẾN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG LUÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN THƯỜNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa họcPGS.TS KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội – Năm 2018

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng vì thời gian và kinh nghiệm bảnthân còn nhiều hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót,

em rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của các thầy cô giáo, cácbạn sinh viên và bạn đọc

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ

và tạo điệu kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2018

Sinh viên

Trần Thị Hải Yến

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướngdẫn và chỉ bảo tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh.Trong khi thực hiện đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một sốtài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kếtquả của đề tài “Một số phương pháp đồng luân giải gần đúngphương trình vi phân thường” là kết quả của việc nghiên cứu, họctập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các

đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2018

Sinh Viên

Trần Thị Hải Yến

Mục lục

1.1 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa 3

1.1.1 Định nghĩa chuỗi hàm 3

1.1.2 Khái quát về chuỗi lũy thừa 4

1.1.3 Định nghĩa chuỗi Taylor 4

1.2 Đồng luân 5

1.3 Khái quát về phương trình vi phân 6

1.3.1 Một số khái niệm 6

1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n 9

2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN 11 2.1 Khái niệm cơ bản về phương pháp giải tích đồng luân và phương pháp giải 11

2.2 Ví dụ 16

3.1 Phương pháp nhiễu đồng luân (HPM) 233.1.1 Khái niệm cơ bản về phương pháp nhiễu đồng luân

và ứng dụng 233.1.2 Ví dụ 253.2 Phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu (OHAM) 303.2.1 Khái niệm cơ bản về phương pháp tiệm cận đồng

luân tối ưu và phương pháp giải 303.2.2 Ví dụ 34

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong toán học, phương trình vi phân không ngừng được phát triển

và đóng một vai trò quan trọng trong việc mô hình hóa nhiều quy trìnhvật lý, kỹ thuật, công nghệ và sinh học Chúng ta biết rằng, chỉ có một số

ít các phương trình vi phân có thể tìm được nghiệm chính xác, phần lớncác phương trình vi phân nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều khôngtìm được nghiệm chính xác Do đó, vấn đề đặt ra là tìm cách để xác địnhnghiệm gần đúng của phương trình vi phân Xuất phát từ nhu cầu đó,các nhà toán học đã tìm ra các phương pháp để giải gần đúng phươngtrình vi phân, một số phương pháp đã được phát triển để đáp ứng nhucầu và nhằm đạt được các giải pháp tốt hơn và tốt hơn nữa Phươngpháp giải tích đồng luân, Phương pháp nhiễu đồng luân, Phương pháptiệm cận đồng luân tối ưu là những phương pháp được ứng dụng nhiềutrong việc giải phương trình vi phân phi tuyến

Vì lí lẽ đó, em chọn đề tài nghiên cứu: “Một số phương pháp đồngluân giải gần đúng phương trình vi phân thường”

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày và giải thích các phương pháp đồng luân để giải gần đúngphương trình vi phân thường Các phương pháp này là phương pháp giảitích đồng luân, phương pháp nhiễu đồng luân và phương pháp tiệm cậnđồng luân tối ưu

3 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận

+ Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu

4 Cấu trúc khóa luận

Nội dung khóa luận gồm ba chương:

Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số kiến thức về chuỗihàm, chuỗi lũy thừa, đồng luân và khái quát về phương trình vi phân.Chương 2 "Phương pháp giải tích đồng luân giải phương trình vi phânphi tuyến" Mục đích của chương này là giới thiệu về phương pháp giảitích đồng luân giải phương trình vi phân phi tuyến và môt một số ví dụ

áp dụng

Chương 3 "Phương pháp nhiễu đồng luân và Phương pháp tiệm cậnđồng luân tối ưu" Mục đích của chương này là giới thiệu về phương phápnhiễu đồng luân, phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu giải phươngtrình vi phân thường và một số ví dụ áp dụng

Khóa luận được trình bày trên cơ sở các tài liệu tham khảo được liệt

kê trong phần tài liệu tham khảo Em rất biết ơn các tác giả của tất cảcác tài liệu được trích dẫn

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi hàm, chuỗi lũythừa, đồng luân và khái quát về phương trình vi phân Nội dung củachương này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3]

∞

P

n=1

un(x0) phân kìthì ta nói x0 là điểm phân kì của chuỗi hàm (1.1)

Tập hợp tất cả các điểm x mà chuỗi hàm hội tụ được gọi là miền hội

tụ của chuỗi hàm đó

Kí hiệu Sn(x) =

n

P

k=1

uk(x) là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm

Nếu tồn tại lim

n→∞Sn(x) = S(x) thì S(x) gọi là tổng của chuỗi hàm.1.1.2 Khái quát về chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1.2 Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng

ta đưa chuỗi đó về dạng trên

Định nghĩa 1.3 (Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa)

Số r > 0 được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

∞

P

n=0

anxn nếuchuỗi hội tụ (tuyệt đối) với mọi |x| < r và phân kì với mọi |x| > r Nếu

Định nghĩa 1.4 (Chuỗi Taylor)

Giả sử hàm f khả vi đến cấp n trong một lân cận nào đó của x0 ∈ U

và f(n)(x) liên tục tại x0 Khi đó với x ở trong lân cận nói trên của x0

n

hay

T (x) = f (x0) + f

0(x0)1! (x − x0) + +

f(n)(x0)n! (x − x0)

n + o((x − x0)n)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến

Công thức trên được gọi là chuỗi Taylor của hàm f (x) tại điểm x0.Nếu x0 = 0 thì chuỗi

T (x) = f (0) + f

0(0)1! x + +

f(n)(0)n! x

n+

được gọi là chuỗi khai triển Mac – Laurin của hàm f (x)

Khai triển Mac – Laurin một số hàm sơ cấp cơ bản

1 ex = 1 + x + x

2

2! +

x33! +

x44! + =

∞

P

n=0

xnn!;

∞

P

n=0

(−1)n2n! x

∞

P

n=0

(−1)n(2n + 1)!x

Định nghĩa 1.5 Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục f và

g từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y được định nghĩa là ánh

xạ liên tục

H : X × [0, 1] → Ysao cho với mọi điểm x ∈ X ta có

H(x, 0) = f (x) và H(x, 1) = g(x)

1.3 Khái quát về phương trình vi phân

1.3.1 Một số khái niệm

Khái niệm phương trình vi phân thường

Phương trình vi phân thường là một phương trình trong đó có chứabiến số độc lập, hàm phải tìm (ẩn hàm) là hàm một biến và đạo hàm(hoặc vi phân) các cấp của ẩn hàm Trong một phương trình vi phânthường, có thể vắng mặt ẩn hàm và biến số độc lập nhưng bắt buộc phải

có mặt đạo hàm (hoặc vi phân) của ẩn hàm Nếu ẩn hàm là hàm nhiềubiến (từ hai biến trở lên), phương trình được gọi là phương trình đạohàm riêng Một phương trình vi phân thường có dạng tổng quát

(x, ϕ(x), ϕ0(x), , ϕn(x)) ∈ G, ∀x ∈ (a, b)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến

F (x, ϕ(x), ϕ0(x), , ϕn(x)) = 0 trên (a, b)

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thường cấp n có dạng

y = y(x, c1, c2, , cn) trong đó c1, c2, , cn là các hằng số tùy ý, mỗi giátrị của hằng số đều cho một nghiệm

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp nBài toán tìm nghiệm của phương trình (1.2) hoặc (1.3) thỏa mãnđiều kiện ban đầu y(x0) = y0, y0(x0) = y00, y(n−1)(x0) = y0(n−1) được gọi

là bài toán Cauchy

Nghiệm của phương trình mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhấtnghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kì dị

Điều kiện Lipchitz

Xét phương trình

y0 = f (x, y)

f xác định trong miền G ⊂ R2 Ta nói rằng, trong miền G hàm f (x, y)thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y nếu tồn tại hằng số L sao chođối với hai điểm (x, y1) ∈ G, (x, y2) ∈ G bất kì, ta có bất đẳng thức

|f (x, y1) − f (x, y2)| ≤ L |y1 − y2| Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Giả sử hàm f (x, y) thỏa mãn điều kiện sau đây:

+ f (x, y) liên tục trong miền G;

+ f (x, y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y trong G

Khi đó ứng với mỗi điểm trong (x0, y0) ∈ G tồn tại duy nhất mộtnghiệm y = y(x) của phương trình y0 = f (x, y) thỏa mãn điều kiện ban

đầu y(x0) = y0 Nghiệm này xác định trên đoạn [x0 − h, x0 + h], trong

đó h được xác định trong phần xây dựng dãy xấp xỉ Picar

Một số phương trình vi phân đã biết cách giải

a Phương trình biến số phân ly

N1(y)dy = 0 với N1(y).M2(x) 6= 0.

b Phương trình vi phân cấp một thuần nhất

Phương trình dy

dx = f (x, y) gọi là phương trình thuần nhất nếu

f (tx, ty) = tkf (x, y) (t > 0)

Để giải phương trình này ta đặt u = y

x sau đó đưa về giải phương trình

vi phân có biến số phân ly

c Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Dạng tổng quát là

y0 + p(x)y = q(x)nghiệm tổng quát của phương trình trên là

y = e−R p(x)dx

Zq(x).eR p(x)dxdx + C

, với C là hằng số

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến

+ Nếu α = 1 thì phương trình được gọi là phương trình thuần nhấtcấp một

+ Nếu α = 0 thì phương trình được gọi là phương trình không thuầnnhất cấp một

+ Nếu α 6= 0, α 6= 1 chia cả hai vế của phương trình cho yα sau đóđặt z = y1−α và đưa về phương trình tuyến tính không thuần nhất.1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng tổng quát là

a0(x)y(n)+ a1(x)y(n−1)+ + an(x)y = g(x) (1.4)

Như vậy ở đây hàm F trong định nghĩa dạng tổng quát của phươngtrình vi phân cấp cao phụ thuộc một cách tuyến tính theo y, y0, , y(n)

Ta giả thiết các hàm a0(x), a1(x), , an(x), g(x) liên tục trên khoảng(a, b) và a0(x) 6= 0 trên (a, b) khi đó chia hai vế của (1.4) cho a0(x) tađược phương trình

Để đơn giản cách viết, ta kí hiệu

L[y] = y(n)+ p1(x)y(n−1)+ + pn(x)ytrong đó L[y] được gọi là toán tử vi phân tuyến tính

Toán tử L[y] có các tính chất sau:

+ Đối với y1(x) , y2(x) khả vi n lần liên tục ta có

L[y1 + y2] = L[y1] + L[y2]+ Đối với hàm khả vi liên tục n lần, y(x) và hằng số C bất kỳ ta có

L[Cy] = CL[y]

Nếu trong phương trình (1.5) hàm f (x) = 0 ta có phương trình

L[y] = 0được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n

Hàm f (x) 6= 0 ta gọi phương trình (1.5) là phương trình tuyến tínhkhông thuần nhất cấp n

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH

ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN

Chương này trình bày về phương pháp giải tích đồng luân (HomotopyAnalysis Method - HAM) và một số ví dụ áp dụng giải phương trình viphân Nội dung của chương được tham khảo trong các tài liệu [3], [5]

luân và phương pháp giải

Xét phương trình vi phân phi tuyến sau:

L(f ) = 0 ⇒ f = 0 (2.2)Giả sử X, Y là các không gian tôpô, ta xây dựng một đồng luân

H(φ(x; q); q) : X × [0, 1] → Ythỏa mãn

H(φ(x; q); q) = (1 − q)L(φ(x; q) − u0(x)) − hH(x)qN (φ(x; q)) (2.3)

ở đó H(x) là một hàm phụ, h là một tham số phụ được gọi là tham sốđiều khiển hội tụ, q ∈ [0, 1] gọi là tham số nhúng, φ(x; q) là một nghiệmxấp xỉ của phương trình (2.1)

Phương trình H(φ(x; q); q) = 0 gọi là phương trình đồng luân

Lưu ý: từ phương trình (2.3) nghiệm tìm được từ phương pháp nàyphụ thuộc vào bốn yếu tố chính: phép xấp xỉ ban đầu u0(x); toán tửtuyến tính L; hàm phụ H(x) và tham số phụ h

Khi q = 0 phương trình đồng luân trở thành phương trình biến dạngbậc không

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến

Xác định đạo hàm cấp m sau:

u(m)0 (x) = ∂

m

∂qm(φ(x; q))|q=0Khai triển hàm φ(x; q) thành chuỗi Taylor theo q ta có chuỗi sau:

Đặt um(x) = u

(m)

0 (x)m! và sử dụng đẳng thức (2.4), đẳng thức (2.6) trởthành

Lấy đạo hàm m lần phương trình biến dạng bậc không theo biến q,chia hai vế cho m! và thay q = 0, sử dụng các kí hiệu um(x) = u

(m)

0 (x)m!

ta được phương trình

L(um(x) − χmum−1(x)) = hH(x)Rm(−→u

m−1(x)) (2.7)Phương trình (2.7) được gọi là phương trình biến dạng bậc m trong đó

lí của đối tượng hoặc điều kiện biên hoặc điều kiện ban đầu của bài toán.Khi các hàm cơ bản được xác định, ta giả sử nghiệm của bài toán là

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến

trong đó cm là các hệ số chưa biết cần được xác định

Hơn nữa, nghiệm xấp xỉ ban đầu được lấy như sau:

Ví dụ xét bài toán:

u00 + ε(u − u3) = 0; u(0) = u(π) = 0

Từ điều kiện ban đầu ta chọn hệ các hàm tuần hoàn là các hàm lượnggiác, cụ thể là các hàm cơ bản sau:

biểu thức nghiệm và mỗi hệ số có thể được điểu chỉnh Sử dụng nguyêntắc này và các nguyên tắc trước đó, hàm phụ có thể được xác định duynhất.

Từ phương trình (2.7) cho thấy phương trình biến dạng bậc caochuyển đổi bài toán phi tuyến thành vô số các bài toán con tuyến tính

“Nguyên tắc tồn tại nghiệm” thu hẹp phạm vi lựa chọn nghiệm xấp xỉban đầu, toán tử tuyến tính phụ và hàm phụ Nguyên tắc này chỉ rõrằng hàm phụ và toán tử tuyến tính phụ được lựa chọn sao cho tất cảcác phương trình biến dạng bậc cao có nghiệm, để bài toán ban đầu cómột nghiệm

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến

Từ điều kiện ban đầu chọn u0(x) = e−x, khi đó ta có φ(x; 0) = e−x.Xét phương trình biến dạng bậc một sau:

u01 + u1 = −εhH(x)e−2x; u1(0) = 0

Chọn H(x) = 1, thay vào và giải bài toán trên thu được

u1(x) = εh(e−2x− e−x)Tương tự, xét phương trình biến dạng bậc hai tìm được

u(x) = u0(x) + u1(x) + u2(x) +

Chú ý: trong Ví dụ (2.1) nghiệm có chứa tham số h nhà toán họcShiJun Liao đã chứng minh rằng tham số h ảnh hưởng tới miền hội tụ

và tốc độ hội tụ của chuỗi nghiệm Do đó, h được xác định theo cách

mà chuỗi nghiệm hội tụ nhanh hơn và có một miền hội tụ rộng hơn Đểđạt được điều này S.J Liao đã đề xuất một lớp đường cong nhất địnhđược gọi là đường cong h Đường cong h: ta biết rằng hầu hết các bàitoán chứa một vài thông số vật lí quan trọng, chẳng hạn như: ma sátngoài, tần số của một dao động phi tuyến, các đường cong thu đượcbằng cách vẽ các thông số vật lý (đánh giá tại x = 0) như là một hàmcủa h, được gọi là đường cong h Nhà toán học ShiJun Liao đã chứngminh rằng nếu nghiệm của bài toán là duy nhất thì tất cả các đườngcong này đều hội tụ với cùng một giá trị Do đó, tồn tại một đoạn thẳngnằm ngang chỉ ra phạm vi của h mà tại đó chuỗi nghiệm hội tụ Bâygiờ, với bất kì giá trị nào của h trong phạm vi này, được gọi là miền hội

tụ thì chuỗi nghiệm tương ứng hội tụ

Tìm miền hội tụ của h trong Ví dụ 2.1: để tìm miền hội tụ của h, ta

vẽ đường cong h của u00(0)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến

Hình 2.1: Đồ thị của u00(0) đối với h với ε = 0.4 (đường nét đứt),

ε = 0.8 (đường nét liền)

Nhận xét: từ Hình 2.1 ta thấy miền hội tụ là khoảng −0.7 < h < −0.3

Ví dụ 2.2 Sử dụng phương pháp giải tích đồng luân giải bài toán sau:

Xây dựng phương trình đồng luân sau:

0(x)) = 1

0!N (φ(x; 0)) vào ta đượcL(u1(x)) = h1

0!(N (φ(x, q)))q=0Kết hợp φ(x; q)q=0 = u0(x) và đặt điều kiện ban đầu ta có bài toán sau:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến

Lời giải

Chọn

L(u) = u00;

N (u) = u00 − εu2;H(x) = 1

Xây dựng phương trình đồng luân sau:

0(x)) = 1

0!N (φ(x; 0)) phương trình biến dạng bậcmột trở thành

L(u1(x)) = h1

0!(N (φ(x, q)))q=0Kết hợp φ(x; q)q=0 = u0(x) và đặt điều kiện ban đầu ta có bài toán sau:

Tương tự xét phương trình biến dạng bậc hai và đặt điều kiện ban đầu

ta có bài toán sau

Chương 3

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP TIỆM CẬN ĐỒNG LUÂN TỐI ƯU

Chương này trình bày về phương pháp nhiễu đồng luân (HomotopyPerturbation Method - HPM), phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu(Optimal Homotopy Asymptotic Method - OHAM) và một số ví dụ ápdụng Nội dung của chương được tham khảo trong các tài liệu [3],[4],[5]

3.1.1 Khái niệm cơ bản về phương pháp nhiễu đồng luân và

ứng dụng

Xét phương trình vi phân phi tuyến sau:

L(u(x)) + N (u(x)) − g(x) = 0 (3.1)với điều kiện biên có dạng