Phương pháp lyapunov và phương pháp δ mở rộng giải phương trình vi phân

Với mong muốn tìm hiểu rõ hơn về các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân thường, em đã lựa chọn đề tài: “Phương pháp Lyapunov và phương pháp δ - mở rộng giải phương trình vi p

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội – Năm 2018

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học PGS TS KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội – Năm 2018

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp, em

xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Khuất Văn Ninh

người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy

cô trong Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo

em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Lệ Thúy

Em xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung

thực và chưa hề được sử dụng để bảo vệ một học vị nào Mọi thông tin

trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc một cách rõ ràng

Em hoàn toàn chịu trách nhiệm trước nhà trường về sự cam đoan này

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Lệ Thúy

Mục lục

1.1 Một số kiến thức về phương trình vi phân 3

1.1.1 Các khái niệm mở đầu 3

1.1.2 Bài toán Cauchy 4

1.2 Một số phương trình vi phân đã biết cách giải 5

1.2.1 Phương trình vi phân có biến số phân li 5

1.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một 5

1.2.3 Phương trình Bernoulli 5

1.2.4 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n với hệ số hằng 6

1.3 Tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính 7 1.4 Một số kiến thức về giải tích 8

1.4.1 Chuỗi hàm số, chuỗi lũy thừa 8

1.4.2 Công thức khai triển Taylor 9

2 Phương pháp Lyapunov và phương pháp δ - mở rộng 11 2.1 Phương pháp Lyapunov 11

2.1.1 Bài toán giá trị ban đầu 11

2.1.2 Ví dụ 12

2.1.3 Bài tập áp dụng 14

2.2 Phương pháp δ - mở rộng 32

2.2.1 Bài toán mở đầu 32

2.2.2 Ví dụ 32

2.2.3 Bài tập áp dụng 37

2.3 Mối liên hệ giữa phương pháp Lyapunov và phương pháp phân tích Adomian 44

2.3.1 Giới thiệu phương pháp phân tích Adomian 44

2.3.2 Mối liên hệ giữa phương pháp Lyapunov và phương pháp phân tích Adomian 45

3 Ứng dụng của phương pháp Lyapunov và phương pháp δ - mở rộng 49 3.1 Bài toán vật lí 49

3.2 Ứng dụng của phương pháp Lyapunov 51

3.3 Ứng dụng của phương pháp δ - mở rộng 53

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình vi phân có nhiều ứng dụng trong khoa học và công

nghệ Trong thực tế có nhiều phương trình vi phân không thể tìm được

nghiệm chính xác Chính vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải

gần đúng phương trình vi phân là một trong những hướng nghiên cứu

có ý nghĩa quan trọng

Phương pháp Lyapunov và phương pháp δ - mở rộng là những

phương pháp hữu hiệu để giải gần đúng các phương trình vi phân phi

tuyến Nhờ các phương pháp này, việc giải một phương trình vi phân

phi tuyến được đưa về giải một dãy những phương trình vi phân tuyến

tính

Với mong muốn tìm hiểu rõ hơn về các phương pháp giải gần đúng

phương trình vi phân thường, em đã lựa chọn đề tài: “Phương pháp

Lyapunov và phương pháp δ - mở rộng giải phương trình vi

phân” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp Lyapunov và phương pháp

δ - mở rộng vào giải một số phương trình vi phân thường phi tuyến

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp Lyapunov và phương pháp

δ - mở rộng

- Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp Lyapunov và phương pháp

δ - mở rộng, ứng dụng trong giải phương trình vi phân thường

phi tuyến

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu về đề tài

5 Cấu trúc khóa luận

Nội dung khóa luận gồm ba chương:

- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

- Chương 2: Phương pháp Lyapunov và phương pháp δ - mở rộng

- Chương 3: Ứng dụng của phương pháp Lyapunov và phương pháp

δ - mở rộng

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của

phương trình vi phân và một số kiến thức giải tích có được sử dụng

trong chương 2 và chương 3 Nội dung của chương này được tham

khảo trong các tài liệu [1], [2], [3]

1.1.1 Các khái niệm mở đầu

Định nghĩa

Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát

F (x, y, y0, y00, , y(n)) = 0 (1.1)

trong đó F là hàm xác định trong một miền G nào đấy của không

gian Rn+2, x là biến độc lập, y = y(x) là hàm số phải tìm

Trong phương trình (1.1) có thể vắng mặt một số trong các biến

x, y, y0, , y(n−1) nhưng y(n) nhất thiết phải có mặt

Từ phương trình (1.1) ta giải ra được đạo hàm cấp cao nhất, tức

là phương trình (1.1) có dạng

y(n) = f (x, y, y0, , y(n−1)) (1.2)

Định nghĩa

Nghiệm của phương trình (1.1) là hàm y = ϕ(x) khả vi n lần trên

khoảng (a, b) sao cho

- (x, ϕ(x), ϕ0(x), , ϕn(x)) ∈ G, ∀x ∈ (a, b)

- Nó nghiệm đúng phương trình (1.1) trên (a, b)

1.1.2 Bài toán Cauchy

Giả sử điểm ban đầu x0, y0, y00, , y0n−1
∈ D ⊂ Rn+1

được gọi là bài toán Cauchy hay bài toán giá trị ban đầu

Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy

Giả sử trong miền G ⊂ Rn+1 hàm f (x, u1, u2, , un) liên tục vàthỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u1, u2, , un

Khi đó với bất kì điểm trong (x0, y0, y00, , y0(n−1)) ∈ G tồn tại duynhất nghiệm y = y(x) của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện ban

đầu

y(x0) = y0, y0(x0) = y00, , y(n−1)(x0) = y(n−1)0nghiệm này xác định tại lân cận (x0 − h, x0 + h) của x0

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY

- Nếu Q(x) ≡ 0 thì phương trình (1.3) được gọi là phương trình

tuyến tính không thuần nhất cấp một

- Nghiệm tổng quát của phương trình (1.3) là

y = e−R P (x)dx



C +

ZQ(x).eR P (x)dxdx

- Nếu α 6= 0, α 6= 1: chia cả hai vế của phương trình (1.4) cho yα,sau đó đặt z = y1−α và đưa về phương trình tuyến tính khôngthuần nhất cấp một.

1.2.4 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n với hệ số

hằng

y(n)+ a1y(n−1)+ + any = 0 (1.5)trong đó a1, a2, , an là các hằng số thực

Nếu (1.6) có n nghiệm khác nhau λ1, λ2, , λn nhưng trong chúng

có nghiệm phức λ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ thì hệ nghiệm cơ bản của(1.5) là

eαxcos βx, eαxsin βx, eλ3 x, , eλn x

Nếu (1.6) có n nghiệm thực nhưng trong chúng có nghiệm thực bội

k là λ1 = λ2 = = λk thì hệ nghiệm cơ bản của (1.5) là

eλ1 x, xeλ2 x, x2eλ3 x, , xk−1eλk x, eλk x, , eλn x

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY

tuyến tính

Xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n

y(n)+ p1(x)y(n−1)+ + pn(x)y = 0

Để đơn giản cách viết về sau, ta ký hiệu

L(y) = y(n)+ p1(x)y(n−1)+ + pn(x)y = 0 (1.7)

L(y) được gọi là toán tử vi phân tuyến tính

Toán tử L(y) có các tính chất sau:

- Đối với y1(x), y2(x) khả vi n lần liên tục ta có

L(y1 + y2) = L(y1) + L(y2)

- Đối với hàm khả vi liên tục n lần y(x) và hằng số c bất kỳ ta có

L(cy) = cL(y)

Dựa vào tính chất của toán tử L ta suy ra các tính chất sau đây

của tập nghiệm phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n

- Nếu y(x) là nghiệm của phương trình (1.7) thì cy(x) với c là hằng

số tùy ý cũng là nghiệm của phương trình

- Nếu y1(x), y2(x) là hai nghiệm bất kỳ của phương trình (1.7) thì

y(x) = y1(x) + y2(x)

cũng là nghiệm của phương trình (1.7).

- Nếu y1(x), y2(x), , yk(x) là các nghiệm bất kỳ của phương trình(1.7) thì

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + + ckyk(x)cũng là nghiệm của phương trình (1.7)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY

+∞

P

n=0

fn(x0)n! (x − x0)

n,

∀x ∈ (x0 − R, x0 + R)

1.4.2 Công thức khai triển Taylor

Giả sử hàm f : (a, b) → R có đạo hàm đến cấp (n + 1) trong (a, b).Khi đó với mọi x0 ∈ (a, b) ta có

k

+ f

(n+1)(c)(n + 1)! (x − x0)

f (x) = f (x0) +f

0(x0)1! (x − x0) + +

f(n)(x0)n! (x − x0)

n+ o ((x − x0)n)Công thức trên được gọi là công thức khai triển Taylor của hàm f

trong lân cận của x0

Khai triển Taylor của hàm f (x) trong lân cận của điểm x0 = 0 cònđược gọi là khai triển Mac- Laurin:

f (x) = f (0) + f

0(0)1! x + +

f(n)(0)n! x

n

+ o(xn)Khai triển MacLaurin của một số hàm sơ cấp cơ bản

i) ex = 1 + x + x

2

2! +

x33! + =

+∞

P

n=0

xnn!

2n+1

Chương 2

Phương pháp Lyapunov và phương pháp δ - mở rộng

Trong chương này trình bày phương pháp Lyapunov, phương pháp δ

-mở rộng và mối liên hệ giữa phương pháp Lyapunov với phương pháp

phân tích Adomian Nội dung của chương này được tham khảo trong

các tài liệu [5], [6]

2.1.1 Bài toán giá trị ban đầu

Trong phương pháp Lyapunov, ta đưa vào một tham số giả được gọi

là tham số Lyapunov để giải quyết các bài toán Nghiệm của bài toán

được giả thiết là một chuỗi lũy thừa của tham số giả đó Tương tự như

phương pháp tìm nghiệm của chuỗi lũy thừa và phương pháp nhiễu,

ở đây ta cân bằng các hệ số của lũy thừa cùng bậc

Xét bài toán giá trị ban đầu:

dy

dx + (y(x))

cân bằng các hệ số của lũy thừa ε cùng bậc ở hai vế phương trình, ta

nhận được một hệ phương trình vi phân tuyến tính

Giải hệ phương trình trên kết hợp với điều kiện ban đầu ta tìm

được các giá trị của y0(x) , y1(x) , y2(x)

Thay y0(x) , y1(x) , y2(x) vào phương trình (2.2), ta được

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY

Cân bằng các hệ số của lũy thừa ε cùng bậc ở hai vế phương trình

(2.7), ta được một hệ phương trình vi phân tuyến tính cho bởi:

Giải các phương trình trên cùng với điều ban đầu

Từ điều kiện ban đầu: y0(0) = 0 ⇔ C = 0



θ = 1, θ(0) = 0 (2.8)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY



θ = 1, θ(0) = 0 (2.9)

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng

θ = θ0 + εθ1 + ε2θ2 + (2.10)Lấy đạo hàm hàm số θ(x) theo biến x, ta được

(θ0 + εθ1 + ε2θ2 + ) = 1 (2.12)

Cân bằng các hệ số của lũy thừa ε cùng bậc ở hai vế phương trình

(2.12), ta được một hệ phương trình vi phân tuyến tính cho bởi:



θ1 = 0, θ2(0) = 0

Giải các phương trình trên cùng với điều ban đầu

θ1 = 0 ⇔ dθ2 =



1 + 1x

  x2

2 + x

dx

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY

Thật vậy, trước tiên ta tìm nghiệm của phương trình vi phân tuyến

dx

x2

= C0 · e−x

x

+ C · −(x + 1)e−x

x2 + C(x + 1)e

−x

x2 = 1

Từ điều kiện ban đầu

Vậy θ = 1 − 1 − e

−x

x là nghiệm chính xác của bài toán.

Ví dụ 2.1.2 Sử dụng phương pháp Lyapunov giải phương trình vi

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY

Lấy đạo hàm hàm số y(x) theo biến x, ta được

trên, ta được một hệ phương trình tuyến tính cho bởi:

Giải các phương trình trên cùng với điều kiện ban đầu

dy0

dx = 4 ⇔ dy0 = 4dx

Z

dy0 =

Z4dx + C ⇔ y0 = 4x + C

Từ điều kiện ban đầu: y0(0) = 0 ⇔ C = 0

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY

Z

dx + C

Ta có phân tích:

1(2 − y)(2 + y) =

Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình, ta được

Z dy

2 − y +

14

Z dy

2 + y =

Z

dx + C

là nghiệm chính xác của bài toán.

Ví dụ 2.1.3 Sử dụng phương pháp Lyapunov giải phương trình vi

phân sau:

dy

dx = x

3y2 − 2x4y + x5 + 1, y(0) = 0Lời giải

Áp dụng phương pháp Lyapunov ta viết lại phương trình như sau:

dy

dx − ε(y2x3 − 2x4y) − x5 = 1, y(0) = 0 (2.17)Giả sử nghiệm của phương trình có dạng

y(x) = y0(x) + εy1(x) + ε2y2(x) + ε3y3(x) (2.18)Lấy đạo hàm hàm số y(x) theo biến x, ta được

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY

Từ điều kiện ban đầu

y(0) = y0(0) + εy1(0) + ε2y2(0) + = 0

Suy ra y0(0) = y1(0) = y2(0) = = 0

Cân bằng các hệ số của lũy thừa ε cùng bậc ở cả hai vế phương trình

(2.20), ta được một hệ phương trình tuyến tính cho bởi:

Giải các phương trình trên cùng các điều kiện ban đầu

⇔ dy1 =  x15

36 − x5

dx

dx

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY

Ví dụ 2.1.4 Sử dụng phương pháp Lyapunov giải hệ phương trình vi

Áp dụng phương pháp Lyapunov ta viết lại hệ phương trình như sau:

Cân bằng các hệ số của lũy thừa ε cùng bậc ở hai vế các phương trình

trên, ta được hệ phương trình vi phân tuyến tính cho bởi:

Giải các phương trình trên cùng các điều kiện ban đầu

f000 = 0 ⇔ f00 =

Z0dx = C ⇔ f0 =

ZCdx = Cx + C1

Từ điều kiện ban đầu

f0(0) = 0 ⇔ C1 = 0

f00(0) = 1 ⇔ C = 1Suy ra f0 = x

θ000 = 0 ⇔ θ00 =

Z0dx = C ⇔ f0 =

ZCdx = Cx + C1

Từ điều kiện ban đầu

θ0(0) = 1 ⇔ C1 = 1

θ00(0) = −1 ⇔ C = −1Suy ra θ0 = −x + 1

f100 = θ0 ⇔ f100 = −x + 1

⇔ f10 =

Z(−x + 1)dx + C1 = −x

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY

Ví dụ 2.1.5 Sử dụng phương pháp Lyapunov giải phương trình sau:

y00 + y3 + y = 4, y(0) = 1, y0(0) = 0Lời giải

Áp dụng phương pháp Lyapunov ta viết lại phương trình như sau:

y00+ εy3 + y = 0, y(0) = 1, y0(0) = 0 (2.25)Giả sử nghiệm của phương trình có dạng

y(x) = y0(x) + εy1(x) + ε2y2(x) + (2.26)

Từ phương trình (2.26) lấy đạo hàm y(x) theo biến x, ta được

y00(x) = y000(x) + εy100(x) + ε2y002(x) + (2.27)Thay phương trình (2.26), (2.27) vào phương trình (2.25), ta được

y000 + εy100 + ε2y200 + + ε y0 + εy1 + ε2y2 +
3

+ y0 + εy1 + ε2y2 + = 0

Cân bằng các hệ số của lũy thừa ε cùng bậc ở hai vế phương trình, ta

được hệ phương trình vi phân tuyến tính cho bởi

y000 + y0 = 0, y0(0) = 1, y00(0) = 0

y100 + y1 + y03 = 0, y1(0) = 1, y10(0) = 0

y200 + y2 + 3y02y1 = 0, y2(0) = 1, y20(0) = 0

Giải các phương trình trên cùng với điều kiện ban đầu

y000 + y0 = 0, y0(0) = 1, y00(0) = 0Phương trình đặc trưng:

λ2 + 1 = 0

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY

Ta tìm nghiệm riêng y11∗ (x) dưới dạng

y11∗ (x) = x(A cos x + B sin x)Thay vào phương trình (2.28) ta được

−2A sin x + 2B cos x = −3 cos x

4

Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình, ta được A = 0; B = −3

y001 + y1 = cos 3x

Phương trình đặc trưng: λ2 + 1 = 0 có nghiệm λ1 = i và λ2 = −i

Ta tìm nghiệm riêng y12∗ (x) dưới dạng

y∗12(x) = A cos 3x + B sin 3xThay vào phương trình (2.29) ta được

−8 (A cos 3x + B sin 3x) = cos 3x

4

Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình, ta được A = − 1

32, B = 0Suy ra

y12∗ (x) = − 1

32cos 3x

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY

y12(x) = 1

32 cos x −

1

32cos 3xTheo tính chất nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất

Phương pháp tham số giả Lyapunov có thể sử dụng để tìm nghiệm

xấp xỉ của phương trình tuyến tính hay phi tuyến tính bất kì, trong

lí thuyết chúng ta có thể đặt tham số giả bằng nhiều cách khác nhau

2.2 Phương pháp δ - mở rộng

2.2.1 Bài toán mở đầu

Ý tưởng cơ bản của phương pháp δ - mở rộng được xuất phát từ việc

giải phương trình sau:

Xét phương trình đại số

y6 + y = 1Giải phương trình này bằng phương pháp δ - mở rộng bằng cách viết

lại phương trình như sau:

y1+δ + y = 1

Giả thiết nghiệm của phương trình là một chuỗi lũy thừa của tham

số δ Biểu diễn

y1+δ = e(1+δ)lny

và khai triển y1+δ theo lũy thừa của δ

Sau đó, cân bằng các hệ số của lũy thừa δ cùng bậc ta thu được

một hệ phương trình tương đối dễ giải

Cuối cùng, đặt δ = 5 (phụ thuộc vào bậc của phương trình ban

đầu) ta tìm được nghiệm của phương trình đại số đang xét

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY

+ y0.ln2y0 + 2y0 ln y0 + y

2 1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ LỆ THÚY

(y1 + y2 + y1ln y0 + 1

2y0ln

2y0).δ2 +



= 3x

Cân bằng các hệ số của lũy thừa δ cùng bậc ở cả hai vế phương trình,

ta được một hệ phương trình vi phân tuyến tính cho bởi:

Giải các phương trình trên cùng với điều kiện ban đầu

dy0

dx +

1

xy0 = 3x, y0(1) = 1 (2.33)Phương trình (2.33) có dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp

một:

x 1

Phương trình trên có dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Do đó, nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu y0(1) = 0 là