Chứng minh các bất đẳng thức BĐT luôn là những bài toán hắp dẫn.. Với bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu với các bạn một số bắt đắn thức thậm chí có bài toán thi vô địch Quốc tế
Trang 1
Chứng minh các bất đẳng thức (BĐT) luôn là
những bài toán hắp dẫn Với bài viết này chúng
tôi muốn giới thiệu với các bạn một số bắt đắn
thức (thậm chí có bài toán thi vô địch Quốc tế)
được chứng minh nhờ một bất đăng thức đơn
giản của kiên thức bậc Trung học cơ sở
Bài toán xuất phát Cho a, b là hai số bắt kì
và x, y là hai số dương Chứng minh rằng
Chứng minh Bắt đăng thức cần chứng mỉnh
tương đương với
a’y(x + y) + bÌx(x + y) > (a + b)'xy
co ay +b’x 2 2abxy
<> (ay—bxy 20
BĐT sau cùng hiển nhiên đúng Dấu (=) xảy
ra khi vachi khi 2 =
x y
Sử dụng BĐT (*®) hai lần ta nhận được
x yp 2 x+y+z
với ba số bất kì a, », c và ba số đương x, y, =
Dấu (=) xây ra khi và chỉ kiú S «2 ~Ê
xy #
Bài toán 1 Cho hai sé a, b bất kì Chứng minh
4
rang a rote S0 3
Chứng minh Sit dung BDT (*) hai lan ta c6
na Co y ie By
= 1 [=> ) _ (a+b)*
ỨNG DỤNG của
MOT BAT DANG THUC
DON GIAN
VO TIEN VIET
(GV Toán - Tin hoc, Hoc vién An ninh Ha Noi )
Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi a = b =c
Bài toán 2 Cho các số dương x y, z thỏa mãn cac =4 Chứng minh rằng
x y z
2x+y+z x+2y+2Z x+y+2z
(Câu V trong để thi khối 4 vào
Đại học năm 2005)
Chứng minh Sử dụng BĐT (*) hai lần ta có
l2) ,b) ,b}
2x+y+z 2x+y+z x+y Xx+z
IY (1Ÿ (!Ÿ (!Ý
Tương tự ta có
l Ilị1 2 1
- ——— S —+—+— |, x+2y+z l6(x yp z
————ŠS |—+—+~|
x+y+2z lỐ(x y z
Cộng từng về ba bất đẳng thức trên và chú ý
tới giả thiết dẫn đến
2x+ty+z x+2y+z x+y+2z 4\x y z
Dau (=) xay ra khi va chi khix = y= z= =
Trang 2Trường THCS Mường Phăng - Huyện Điện Biên- Tỉnh Điện Biên G/v : Đặng Quang Trường
Bài tốn 3 Cho ba số dương a, b, c Chứng
mình rằng
a b C_ >
b+e c+a a+b 2
(Bắt đảng thức Nasơbit)
Chứng minh Sử dụng BĐT (**) ta cĩ
b+c c+a a+b ab+ac bc+tba ca+cb
(a+b+e) 2(ab+bc +ca) `
Vì thế ta chỉ cần chứng minh BĐT
(a+b+cy 3 2(ab+bc+ca) 2
Nhưng BĐT này tương đương với
2(a* + b*? + c*) > 2(ab + be + ca)
© (a - b} + (b — e} + (c - a)? > 0 (luơn đúng)
Từ đĩ suy ra BĐT cần chứng minh Dấu (=)
xảy ra khi và chỉ khi a = ở = c
Bài tốn 4 Cho ba số đương a, b, c thỏa mãn
abc = \ Chứng minh rằng
a(b+c) bb (c+a)
= c3(a+b) 2`
_ địch Quốc tế năm 1995 tổ chức tại Canađa)
ứng : minh Sit dung BDT (**) với lưu ý
eh sờ c?= 1 ta cĩ
l + ] 3 1
a(b+c) b(c+a) c*(a+b)
_ Fe * c?a! 4 a*b?
a(b+c) gis c(a+b)
(ab+bc+ca)ˆ2
>> ——.—>%<— 0i Ha 2 ` Gl-+ờ-rea)
Vi thé ta can chimg minh ab + be + ca 2 3,
nhung | BĐT này được suy ra từ BĐT Cauchy và
luu y ring abc = I
Dau (=) xay ra khi va chikhia=b=c=1.,
Bài tốn 5Š Cho các số dương a, b,c, p, q
Chứng minh rằng
+ + > ‘
ph*+ạc pc+ạa pa+qb p+q
(Với p = q = \ ta trở về bài tốn 3)
Chứng trinh Sử dụng BĐT (**) ta cĩ
pb+qc pc+ga pa+gb
pba+qca pcb+qab pac+gbc (a+b+e
(p+q\ab+be+ca)
2
Vì thế ta chỉ cần chứng minh (đ+6+€)ˆ „2
+ằc+ca
vả BĐT này đã được chứng minh trong lời giải bài tốn 3
Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi a = ð = c
Bài tốn 6 Cho ba số đương x, y, z Chứng
minh rdng
+
x+y y+z Zz+x
Chứng minh Sừ dụng BĐT (**) ta cĩ
: 2 2
x+y*z
x+y yr? z+x x+y y+z z+x
2(x+y+z) x+y+z_
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x= y = z
Đề kết thúc, xin mời các bạn tự giải các bài
1 Cho các số đương a, ở, c Chứng minh rằng
a+b? bt+c? cc? +a?
+
2 Cho các số dương x, y, z Chứng minh răng
xX+2y+3z y+2z+3x z+2x+3y 2
(xtyXx+z) (v+zXyv+x) (z+xXz+y) 4
3 Cho các số đương a, ở, c, đ, e Chứng minh
rằng = + 6 + = + d + : 2 > :
b+c c+d d+c e+a arb 2
4 Cho các số dương a, ở, c thỏa man
3(ab + bc + ca) = I1
Chứng minh rằng
@—be+1 b?-ca+l c?-aÈ+l a+b+c
>a+*+bt+c
Trang 3
> —_.— ;
TRUNG HOC CO SO
Ta da biết định lí Viềte: Vếu phương trình bắc
hai ax + bx +c =0 (a #0) có hai nghiệm
Xp, Xo thi x; + x2 = ——, X;x+“ —.,
Nhờ định lí này, ta đã giải được rất nhiều bài
toán đại số Trong bài viết này, chúng tôi xin
bát đầu tir mot bài toán sau đây
Bài toán mở đầu Cho phương trình
at + bx +c =0(a #0) có hai nghiệm Xj Xa
Đặt S„= xƑ + x7 (n e N`y
Chứng mình rằng aS, „+bS nel
Lời giải Ta có
ata 3
+cS„ =0(*)
ae?
+ +2
(xr + i )(x, + «5 )— 4px, (ay + x5)
b
a Suet `
Dưới đây chúng tôi xin trình bày một số bài
toán giải được nhờ ứng dụng bài toán trên
Bài toán 1 Cho x; vd x> la hai nghiém cia
phuwong trinh x? — 2x —2 = 0
Hay tinh x há - ee
Lời giải Theo bài toán mở đầu ta có
S„.¿ ~25„„ị¡ ~2S„= 0 voi S; = 2, S, = 8 Tir dé tinh duoc S; = 1136
Bài toán 2 Tìm đa thức bác 7 có hệ xố
nguyên và nhận œ = {2 + Š là nghiệm
Lời giải Đặt x -(Ệ -*=(Š e6
XK, +X, =Q, X)-X5 =x}
Do d6 x; va +> 14 hai nghiém cia phuong trinh
—ax+1=0
Theo bài toán mở đấu ta có :
“S„ Từ đó suy ra hé thức (*)
a
UNG DUNG CUA MOT BAI TOAN DAI SO
NHỜ ĐỊNH LÍ VIÈTE
HOANG NGỌC DAN
(GV THCS Lê Quỷ Đón, Hà Nội)
S„ạT—GœS,.¡ +Š„ =0 với S, =œ, $; = œ2 — 2
Từ đó tính được
Sy =x,’ + xạ? = œ? ~ 7œ` + 14œ`— 7œ
Mặt khác
7 7
¡ t#+a“ IE + a> a
Sy =x;
Suy ra a” —Ta5 +1407 ~7a ==>
hay 15a’ — 105a* + 210a* — 105a — 34 = 0
Vay đa thức cán tìm là
15x”— 105v” + 210xÌ`— 105x- 34
Bài toán 3 Giả sit x, và x› là hai nghiệm của
a >
phitong trinh x —6x + 1 = 0
Chimg minh rang S,, = x;" + x." (n e N’ ) la
xổ nguyên không chúa hét cho §
Lời giải a) Trước hết ta chứng mình ŠS„ c Z
bảng phương pháp quy nạp :
Với + = 1 :S,=6 c Z
Với m = 2: S„= 34 e Z
Giả sử S,ec Z va S,,,e Z (k e Ñ”), ta cần
ching minh S;,5 € Z
Thật vậy, theo bài toán mở đầu ta có :
Ses2— OSy,, +5, = 0
tức là S+2 = 6S,,; — Sy
Đo %, và S,,¡ € Z nên từ kết quả trên có
Si c 2
Vậy S„c Z(vớiø NÑ”)
b) Từ kết quả :
S42 = 6S, —S, = 6(6S,, “Š„n ¡ )- Sy,
= 355, -SS, ,-S,, - Suy ra S ,„ và —S,-,; chia cho 5 cé cing, s6 du.
Trang 4Trường THCS Mường Phăng - Huyện Điện Biên- Tỉnh Điện Biên G/v : Đặng Quang Trường
Ta CÓ Š„ —Š„.+ Š„„6.‹ —Š„„o chia cho Š có
cùng số đư
Ma S, = 6, S, = 34, S, = 198 déu khong chia
hết cho 5 nên S„(w 6 NŸÏ) không chia hết cho 5
Bài toán 4 Tìm số nguyên lớn nhất không
vitor qua (4 + Vis)’ :
Lời giải Đặt xị = 4 + MIS,xạ=4- v15 Ta
có Xi-X2 =], x, +X =8
Khi đó x, và x; là hai nghiệm của phương
trình xŸ— 8x + l =0
Đặt S„= +, +” @c N)
Theo bài toán mở đầu ta có: Š 2 —8S, +Š,=Ð
Ta tính được $, = 8, $; = 62, Š; = 488,
S, = 3842, S, = 30248, S, = 238142, S; = 1874888
Vay x) = 1874888 — x}
Ma 0<x; =(4~ 15)’ <l nên
1874887 < 1874888 — x;” < 1874888 Do đó
1874887 < x7 =(4+15)’ < 1874888
Vậy số nguyên lớn nhất không vượt quá
(4+ V15)” là 1874887
Bài toán 5 Chứng mini: rằng trong biểu diễn
thập phân của số (7+4V3)" (n EN), c6 it
nhất n chữ số 9 ngay sau dấu phẩy
Loi gidi Dat x, =7+4V3, x, =7-4V3 Ta
cố x, +x, =14, x, 0, =I
Khi đó x; và x; là hai nghiệm của phương
trình vˆ - 14x + 1 =0 °
Dat S„=+ƒ' +x2 =(7+44/3)”+(7—4/3)” (@cẽ N’)
Ta chứng minh được S, © Z bằng phương
pháp quy nạp và vì S„ > O nên S„ 6 N
1 "VI:
b0<7—4V3 74433 11 10
n l
0<(7-4V3 <( ⁄3) “tan `
Từ đó suy ra
(7 +43)" <S,, <(7+43)" te
Sy “TT <(1+4.⁄3) <S,,
ma S, ¢ N’ nén (7+4V3)'cé it nhat n chit sé 9
ngay sau đấu phẩy
Xin mời các bạn hãy ứng dụng bài toán mở
đầu để giải các bài tập sau đây
Bài 1 Cho phương trình
x? + SU? + lx+1=0
a) Chitng minh rang phương trình luôn có hai
nghiệm phân biệt (x, và xạ)
b) Chứng minh rắng S, =xf +43 (vn e N) là
SỐ nguyên
c) Tim số dư trong phép chia ŠS+„x„; cho 5
Bài 2 Xét phương trình
x`+a€+bc+=0(a.b«s OQ)
a) Chimg minh rang a = —S, b = 3 là cập số
hữu tỉ duy nhất làm cho phương trình đã cho có
ba nghiệm trong đó có một nghiệm là 2+x⁄5
b) Kí hiệu +, , xạ, xy là ba nghiệm của phương trình trên Đặt S„ = x," + 1" +4," (n € N),
hay tinh 5), S> 53
Ching minh rang S, « Z
c) Tìm số dư của phép chia Sx )< cho 4
Bài 3 Giả sử xị, v› là hai nghiệm của phương trình x + px- 1=O(véipe Zvap lẻ)
Chứng minh rằng với mọi ø © N thì
S, =x," + x15" và S„vị =x”?! + xạ"*! là các số
nguyên và nguyên tố cùng nhau
Bài 4 Chứng minh rằng trong biểu diễn thập
phân của số (7+43) với ø e NỈ có ít nhất ø
chữ số 9 ngay sau dấu phẩy
Bai 5 Chứng minh ràng phán thập phân của
SỐ (5+ V26)” với ne N’ bat đầu bằng ø+ chữ số
giống nhau
Bài 6 a) Chứng minh rằng
(với „ N) là số tự nhiên
b) Tìm tất cả các giá trị của ø để đ, là số
chính phương
Bài 7 Tìm chữ số đơn vị trong biểu điển thập
2
phân của số (15+-/220) '” +(L5+ v220)`”
(Các bạn có thể xem thêm bài "Ứng dụng của một
hệ thức truy hồi” của tác giá Nguyên Đức Trường
THTT sé 320, thang 2-2004)
Trang 5MF? = MO’ — OF = MP + OF -— OB’ (1)
Lại có
IO =(UH + HOY = IH +HC) + 2IH HO
= LH + HO* + AH.OH (2)
OB? = OH.OA = OH.(OH + HA)
TRUNG HOC CO SO
Bian cờ tôi gặp một bài toán trong đề cương Do đó MƑ' = MA (đpcm)
ôn tập học kì I lớp 9 của trường THCS Láng Từ kết quả của bài toán 1 xuất hiện cậu hỏi :
Thượng, Ba Đình, Hà Nội sau đây Có điểm Àƒ nào nằm ngoài đường thắng ĐE
thỏa mãn đoạn
© Bài toán 1 7ừ
một điểm 4 nằm bên
ngoài đường tròn
(O) kẻ các tiếp
tuyển AB, AC với
đường tron (O), (B,
C tà các tiếp điểm)
Gọi D, E theo thứ tự
là trung điêm của
4B, AC Trên đường
thăng DE lấy điểm
M bat kì, dựng tiếp
tuyến ME với đườn
tròn (O) (F ià tiếp
diém).Chung minh
tiép tuyén MF bang MA khéng?
© Bài toán 2
Cho đường tròn
(Q) và một điềm A
năm bên ngoài đường tròn (Q) Tìm tập hợp điềm
M sao cho khi dựng tiếp tuyến MF_ với ng
tron (O) (F ia tiếp
diém) Iludn có
MF = MA
rang MF = MA
a) Phần thuận Giả sử có điểm A⁄ thỏa man
A4F = MA Qua 4 dựng hai tiếp tuyến 48, 4C
với đường tròn (Ø)., BC cắt 4O tại H/ Gọi J la hình chiếu vuông góc của M trên đường thắng
OA (h 1) Do MF = MA nén / nam giữa A va
H (việc chứng minh xin đành cho ban đọc)
Tương tự như bài toán 1, ta có
MF* = MP + 1H*® + OH (1H - IA)
MA? = MP + IA’
Do MF* = MA? nén Hình 1 (1A — 1H).(AH + OH) = 0 © IA = 1H
Vậy À năm trên đường trung trực của AH
Gọi 7, Z7 lần lượt là giao điểm của OA voi DE : 3 2303
va BC Cha y ring PB = PT <AP (h 1) nén_ >) Phần đảo Như lời giải bài toán 1
đường thăng D£ không có điềm chung với (@), ` : c) Kết luận Vậ y tap hgp di¢m tễ 3⁄ thỏa mãn
do đó M nam ngoai (0) MA = MF (F la tiép điểm của tiếp tuyến kẻ từ
Ta cé (néu M trang véi/ thi coi M/ = 0): M dén (O)) 1A dudng trung tryc AH
TOAD hOC VA TCOI TRE 1
348 (6-2006)
Trang 6Trường THCS Mường Phăng - Huyện Điện Biên- Tỉnh Điện Biên G/v : Đặng Quang Trường
Bây giờ ta sẽ tổng quát hoá bài toán 1 bằng
cách xem điểm A như một suy biến của đường
tròn ()
© Bài toán 3 Cho hai đường tròn (Ó) va(O’)
ở ngoài nhau Dựng các tiếp tuyến chung
ngoài BB' và CC!" của hai đường tròn (B, C
thuộc (O); B, C” thuộc (O)) Gọi D, E tương
ứng là trung điểm của BB' và CC'Từ một
điêm M thuộc đường thăng DE, dựng các tiệp
tuyến MF, MG với các đường tròn (O), (O)
tương ứng (F GŒ là các tiếp điểm) Chứng
minh rdng MF = MG
M
Lời giải
Gọi bán kính các đường tròn (Ở) va (O’)
tương ứng là # và r (R > r)
e Néu R =r thi dé thay bai toán đúng
© Néu R>>r thi tia BB’ cat tia CC’ tai N (nam
trén tia OO') OO' ct BC và B“C' lần lượt tại
H va K DE cat O'O tại 7 Dựng hình chữ nhật
VTPQ thi B’S = VS < VQ = TP = PB (h.2) nén
đường thẳng DE khéng cé diém chung
voi (O) va (O°), do d6 M n&m ngoai (QO)
va (O’) Dat O'O =a, tacé
ap =2,
—
R.a
~r
Trong tam giác vuông VO*“C, ta có
OK.O'N=P = OK = J(R—) o„_RUR-r)
Tương tự tacó NO=
Dođó NK=NO'- KO'= <4 Ae)
Tuong ty ta duge NH = Ro - TT :
R-r a R y
Suyra 2IH=KH=NH-NK=a- (ST? ,
a
Ta có (nếu A/ trùng với / thì coi M7 = 0)
MF = MO’ - OF = MP +10’ - R°
= MỸ + (IH + HO} - R`
= MP + /H* + HO! + 2OH HI - R?
„ _#(R-r)[a~(R-r}] _ ca
a
iP (a+ #+rXa—-R-rX(a—R+rXa+R¬r)
4œ
(số hạng thứ hai của kết quả trên đặt là X)
Hoàn toản tương tự ta cũng biến đổi được
Tur (4) va (5) suy ra MF = MG (dpcm)
Nếu 8B' và CC' là các tiếp tuyến chung trong
thì ta có bài toán sau đây
© Bai toan 4 Cho hai đường tròn (O) và
(O') ở ngoài nhau Vẽ các tiếp tuyến chung
trong BB' và CC" (B C thuộc (Q); B', C" thuộc
(O?) Gọi D, E tương ứng là trung điêm của
BB' và CC’, M là một điểm bắt kì thuộc đường
thẳng DE Dựng các tiếp tuyến MF và MG với (O) va (O') tương ứng (F, G là các tiếp diém) Chitng minh rang MF = MG
Viéc chitng minh xin danh cho ban doc
Từ kết quả của bài toán 3 xuất hiện câu hỏi:
Có điểm M nào nằm ngoài đường thẳng DE thoả mãn hai doan tiép tuyén MF va MG bang nhau không ? Các bạn hãy làm bài toán sau
©Ô Bài toán 5 Cho hai đường tròn (O) và (O)) năm ngoài nhau Tìm tập hợp điêm M sao
cho khi dựng các tiếp tuyến MF, MG với các
đường tròn (O) va (O' ) tuong ting (F, G là
các tiếp diém) thi luén cé MF = MG
Dé kiém tra những dự đoán trong bài viết này, tôi đã sử dụng sự hỗ trợ của phần mềm hình
hoc Cabri Geometry II Plus Các bạn có thể tải từ mạng internet theo địa chỉ
http://www.cabri.com/v2/page/fr/logiciel.php#cabri2d
Trang 7
TRUNG HOC CO SO
GIAI PHUONG TRINH VO TI
BANG CACH DANH GIA
NGUYEN TAT THU
(GV THPT Lé Quy Dén, Bién Héa, Déng Nai)
Có nhiều cách giải phương trình võ tỉ, chẳng
hạn phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng
cách dùng các biểu thức liên hợp (xem THIT
s6 333 thang 3-2005) Trong bai viét nay xin
giới thiệu phương pháp giải phương trình vô tỉ
bằng cách đánh giá và thường gặp hai cách
đánh giá sau đây
Cách 1 Tìm một nghiệm và chứng mình đó
là nghiệm duy nhất
Thí dự f Giải phương trình
=6 | (<= 2—x @)
Lời giải Điều kiện x < 2
Với phương trình vô tỉ dạng nay ta thuong dự
đoán nghiệm là các giá tri cla x ma biểu thức
dưới căn nhận giá trị là một số chính phương
Nhận thay nghiệm cua (1) phai lớn hơn 1 Bang
cach thir ta thay rang (1) có một nghiệm là
x=2 Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất
của (1) That vay
* Với xu ta có ĐC” <2 và < 4
2 3-x 2-x
6
Do do eo + — < 6 Suy ra (1) không
3—x 2—x
có nghiệm trong [—= : >)
* Với Š < x<2, chứng minh tương tự ta có
bề nh 3—x 2—x
Suy ra (1) không có nghiệm trong E 2)
Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x =Š h
Ta thấy giải phương trình bằng cách đánh giá
này thì điều quan trọng là phải đoán được nghiệm của nó Để đoán nghiệm ta nên chỉ ra khoảng chứa nghiệm và xét trường hợp đặc biệt
để tìm ra nghiệm trong đó
Thí dụ 2 Ciiàt phương trình
3x(2+v9x2 +3)+(4x+2)(I+vV1+x+x2)=0 (2)
Lời giải (2)©= 3x(2+ (3x) +3|+(2x+I){2+\j(2x+IƑ +3)=0
<> 3x(2+V(GxP +3] ={2x+1)(2+/(2x+1P +3)
Nhan thay néu Ripe fixe Temas: thi cac biểu thức trong căn ở hai về bằng nhau Vậy
x “s lầ một nghiệm của (2) Hơn nữa, nghiệm
của (2) nằm trong khoảng (-s:9] Ta chứng
minh - là nghiệm duy nhất của (2)
* Với ~5<x<- = ta có 3x <~2x~ I<0
= (3x)? >(2x+l)?
=2+/(3x)? +3>2+,/ 2x+1)2 +3
Từ đó suy ra
3x(2+./(3x)2 +3)>{2x+1)(2+ \(2x +1)? +3)
eo3xf2 + f(3x)? +3) + (2x +1)(24+ (2x41)? +3)>0
z -=}
2° 5s}
* Chứng minh tương tự ta cũng di đến (2)
Vậy (2) không có nghiệm trong (-
không có nghiệm trong (- s:0) §
Vậy PT (2) có nghiệm duy nhất x = - 2
Trang 8Trường THCS Mường Phăng - Huyện Điện Biên- Tỉnh Điện Biên G/v : Đặng Quang Trường
Cách 2 Đánh giá hai về
Xét phương trình: /Ÿx) = ø(x) xác định trên 7),
H (x)= m(x)
YxeD thi
g(x)<mí(x)
I (x)=m(x)
g(x)=m(x)
Trong cách đánh giá này ta thường dùng các
bat đăng thức quen thuộc để đánh giá hai vẻ
Sau đây là một số thí dụ minh họa
/kx) = g(x) với xej2 <© |
Thi du 3 Giai phuong trinh
\i+v2x— x2 +ÚI—x/2z—x2
Lời giải Điều kién O< x <2
Dat t = (x - ð
PT (3) trở thành
vI++XI—z +vV1I—-/1—¿ =2/2(2 —1)
Nhận thấy 2:—1> 0 <= =
taco O<i<l
Bình phương hai về và rút gọn ta được
I l
1+ Vf = 224 (2 —1) ¬ +S
Vir 1 nên; +- ate
Từ đó suy ra £=Ì<» x=2
Vậy nghiệm của PT (3) là v = 2
ch “ni Tộc sia ee trinh
J3x2 -1+ Ve —x-x Vx241 +1
=2(2r — 1)
“E5
I Lời g giải Điều kiện x > 1 hoặc x < ——~ ẹ ặ J3
Gọi về trai va về phải của (4) thứ tự là 4 và Ö
Áp dụng BĐT Bunhiacovski cho hai bộ số
(1 1 —x) và (V3v2 —1 x2 — x.Vx2 +1) ta có
A< f(x? + 2)(Sx? —#)
Đầu "
Do x = | hoac x < so nên sx
3
có nghiệm trong —œo ‘= |
” xay ra khi và chỉ khi x = —Ì
—x>0
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
8= ee —x+2(x? +2)]
ae 2/(Sx2 —x)2(x2 +2) = (5x2 — x)(x2 +2)
£
Dau
“=" xảy ra khi và chỉ khi x=—I và x=
Vay nghiệm của PT (4) là x = —I
Thí dụ $ Ciiat phương trình
Vi3x2 —6x +10 + J5* -I3xy+
+X17x? -48x +36 = 5 (36x -Rv?2-2l1) (5)
Lời giải Gọi về trái và về phải cua (5) theo thitu aC va D Tacé
C =Gx+Ð2+(2x-3 + (2x-2) +(x-3) ‘
+ /x2 + (4x-—6)? >Bx+ll+lbx~Ÿ|+b4
> 3x+I+2z gs = 6x- Š |>6x~ `:
2 2 2
Đâu ”=” xảy ra khi vả chỉ khi x=—
Mat khác D = ¬[12x —3—2(4x2 —I2x +9) |=
[12x ~3—2(2x—3) l< ˆ(12x—3)=6x = a
” xảy ra khi vả chỉ khi —¬
Vậy nghiệm của PT (Š) là x=5 :
Đấu "
Cuối cùng, chúng tôi xin đưa ra một số bài đẻ
các bạn luyện tập
CŒ7idi các phương trình sau:
1 /4x—14 V4x2 -1=1:
2.4Vx+l=x?—-5x+4;
3 Vx? + 2x + J2x—1 =V3x2 44x41:
4 (x+2)VJx4+1
s.((x+22x-T)-3Vx+6
(x+6)(2xv-1)+3x+2:
6 32x” - 4v + 1 = f4x(8x +1)
! Vậy PT (2) có nghiệm duy nhat x = ——
s2x+l :
Trang 9Se TRUNG HOC COSO
LL — LLB LEE LE LL LE LL LE SG i ll uy
Thiténg tam lí của các bạn học sinh khi
gặp những bài toán bất đẳng thức (BDT)
lay bài toán cúc trị thì cảm thấy bất an
va uchoi: Liéu minh có làm được khéng? Bai
viết này muốn trao đổi với các bạn cách
giải một xố bài toán cùng dạng mà có thể
nhìn theo hướng của một BOT quen thuộc
trong chương trình phổ thông
Trong chương trình phổ thông ta biết các bất
đẳng thức cơ bản sau:
i
I
i
i
I
;
'
i
|
\
* Voi hai số đương x¿, x; luôn có
l i 4
xX, > Ky ty
* Với ba số đương x,, 15, 1, tacé
ụ +; Xx, x + x +X,
* Mo rong hon, voi x, >0 (i =1, 2 2) thi
l l l n
—+— + ¢—2
v„ 4y+zz+ *«x
Cả ba BĐT trên đếu có dấu ”=” xảy ra khi và
chi khi x, = x, voi moi i, j/ G # /) Dé dang
chứng minh được chúng bằng cách áp dung
BDT Cauchy hoac Bunhiacovski
“
Tổng quát hơn, với b, > 0 ( i =1, 2, 2) thì
luôn có
Os TH » Se > Bi Sy ts a1 82 (4)
b b7 bề b+b,+ +b,
[Dâu ”=” xảy ra khi và chỉ khi
mm
Bạn đọc có thể chứng minh BĐT (4) bảng cách áp dụng BĐT' Bunhiacovski (xem bài Àđó:
bất dẳng thức có nhiều ứng đụng THTT số
328, tháng 10-2004)
Ta có thể áp dụng các BĐT trên để giải một số
bài toán sau đây
€3 Bài toán 1 Cho a, b, c là các số duong
Chứng minh rằng
+ + aq+3Ð b+3c ccủa
a+2b+c b+2c+a c+2a+b
Đẳng thức vảy ra khi nào ?
Lời giải Áp dụng BĐT (1) ta có
l l 55 2 a+3b b+2c+a q+2b+c
l l = 2
b+3e ° c+2a+b b+2c+a
c+2a+b
c+3a a+2b+c
Công theo titng vé ba BDT trén, ta nhân được
BĐYI cán chứng minh Đấu ”=” xảy ra khi và
chỉ khi
a+3b=b+2c+a b+3c=c+2a+b <> a=be=c
C+3a=a+2b+c
Trang 10Trường THCS Mường Phăng - Huyện Điện Biên- Tỉnh Điện Biên G/v : Đặng Quang Trường
& Bai toan 2 Chitng minh rang néu a,b, cla
cac so thuc duong thoa man abc= ab+bc+ca
thi + +
«4 + 2b+ 3c 2œ-+ 3b +c- 3a +b+2e 16
Loi gidi
a be perce yal eet thì x-+ y + z = 1
Áp dung BĐT (3) ta có
x ¥ z «wc+2y+32
I <*x+2y+3z a+t+2b+3c 36
“Tương tự, ta cũng có
Cong theo từng vẽ ba BDT trén dan dén
a+2b+3c 2Za+3b+e 3a+b+2c
= Stes yt) aes a,
& Bai toan 3 Tim gid wri nhG nhdt cia Đbiểte thước
b* +e c +a a +b
trong dé a b, « la cac s6 thuc dwong thoa man
diéukiéna+ b+c=1
Lời giải Áp đụng BEIYT (4) ta có
= (a+b +P a +b +e"
Za*+b* +c") 2
Theo BDT Bunhiacovski
9(a+b+e)(a* +b° +e`*)
>{ a(z? + b* +7 yy >(a+b+cy
— suy ra
i
a*+b* +c* >—
9 Vay gia trị nhỏ nhất của Z bằng SỐ dat duoc
I œ>b >c=—
& Bai toan 4 Cho ở, 2>, c là ba số dugana2z thod
man abc=1 Chitn2g minh rane
⁄`(b+c} bo b`(c+e) o* (a+b)
khi
2 Ddne thitc xa@y ra khi nao?
Lời gidi Bién dGi vé trai cia BDT trén và áp
dung BDT (4) tacé
ab+ac bc+bha ca+ch
2
he
Mat khac theo BDT Cauchy
cuc c5 ca ` a3
a b c Tir dG ta suy ra BDT can chitmg minh
Dau “=" xay ra khi vachikhiag=>b=-c= 1
& Bai toan 5 Chime minh rane
“a z= a = a
Zz +x x ¥ z
x*+y* y*+2*
vor x vy z 1a cadc s6 dione
Ddne thitc xay ra khi nao?
Lời giải Áp dung BDT (4), ta c6
„® y* vŠ v x? +>" xo + y*
"Tương tự, ta cfng CÓ
a z « = yy os +z ~: cả > = of ° > sẻ = Zz 6 +x -
Cộng theo từng vế ba BIYT trên ta được BDT cần chứng minh
Dau “=" xay ra khi và chỉ khi x = y = z = 1_CTW
Có rất nhiều bài toán có thể giải bằng cách
nhìn the hướng các BIYT (3), (4), các bạn thử tim va giải nhé Còn bây giờ các bạn hãy thứ luyện tập với rnỘt số bài sau
Bai I Cho hai s6 duong «, y thoa man
24 y = 6 Tim gid trị nh nh cha Aa
so Bai 2.Chiing minh rang
2 2 2
=v = -— Sato
với a b, c lA cac sG6 thurc duong
Bai 3 Cho cac s6 thuc duong x, y z £ thoả man xyzr = 1 Chứng rninh rằng
x°(yz+zr+ry) — vÌ(xz+zr+rx}
zÌ(xr+ty+xvx) - 7 Ẻ(xy+yvz+zv)
Đẳng thức xảy ra khi nao?
Đài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2x? Ẫ 2 2x2 - z 2x2 (2 +b ) (» +c ) (< +a ) trong dG a, 6, « là các s6 thuc duong thỏa man diéu kién ab + be + ca=1
4
> —
3
Bai 5 Cho x, y, = 1a cac sG6 duong théa man
1 co 1 + 1 =e
x vỶ z Chứng rninh rằng
10
