Ôn nâng cao PT và hệ P.trình-toán 10

Chương III : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1.Khái niệm phương trình, phương trình bậc nhất một ẩn.. • Điều kiện xác định ĐKXĐ của phương trình là điều kiện cho ẩn x để các biểu thức

Chương III :

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§1.Khái niệm phương trình, phương trình bậc nhất một ẩn.

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Phương trình một ẩn

• Là mệnh đề chứa một biến x có dạng f(x) = g(x), x gọi là ẩn số, f(x) là vế trái;

g(x) là vế phải

• Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện cho ẩn x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa

• Mỗi số x0 thoả mãn ĐKXĐ sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng, là một nghiệm

của phương trình Một phương trình có tập nghiệm bằng rỗng gọi là phương trình vô

nghiệm

2 Phương trình tương đương (PTTĐ), phương trình hệ quả (PTHQ)

Cho hai phương trình (PT): f1(x) = g1(x) (1) & f2(x) = g2(x) (2)

+ PT (2) là (PTHQ) của PT (1) , kí hiệu f1(x) = g1(x)⇒ f2(x) = g2(x) nếu tập nghiệm của (1) là tập con của tập nghiệm của (2)

+ Hai phương trình (1) và (2) là tương đương, kí hiệu f1(x) = g1(x)⇔ f2(x) = g2(x), nếu các tập nghiệmcủa (1) và của (2) bằng nhau

3 Phép biến đổi tương đương

Định lý : Gọi D là ĐKXĐ của PT f(x) = g(x) và h(x) là biểu thức xác định ∀x∈Dthì

a) f(x) = g(x) ⇔ f(x) + h(x) = g(x) + h(x)

b) f(x) = g(x) ⇔ f(x) h(x) = g(x) h(x) , nếu h(x) ≠ 0 , ∀x∈D

4 Phương trình bậc nhất một ẩn

+ Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0, trong đó x là ẩn số, a, b ∈ R ; a≠ 0 x được gọi là ẩn còn a, b là các hệ số

+ PT ax + b = 0 với a≠ 0 có nghiệm duy nhất x = -b/a

5 Giải và biện luận phương trình ax + b = 0

• Nếu a ≠ 0, PT có nghiệm duy nhất x = -b/a

• Nếu a = 0, b ≠ 0, PT vô nghiệm

• Nếu a = 0, b = 0, PT có nghiệm x ∈ R

B CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN

Bài 3.1 Các cặp PT sau có tương đương không ?

a) 2x + 3 = 8 – 3x và

1

381

32

Kiến thức cơ bản đại số lớp 10

Bài 3.2 Giải các phương trình :

a) 2x – 1 + x− 1 = 1 −x + 1 ; b) x2 − 6 = −x2 + 6x− 9 + 3

Bài 3.3 Cho các phương trình bậc nhất với tham số m :

3mx – 4 = 2(m – x) và m(4x – 1) = 5x + 1

Xác định các giá trị của m để hai phương trình có một nghiệm chung

ài 3.4 Giải các phương trình sau :

a) 2x2−3−x10+3= 2x3−4 ; b) 2 1 1 2 − 1+1= ( 4 +3 2 +1)

−

− + +

+

x x x x x

x x

x x

87

1919 81

1925 75

1931

−

=

− +

− +

; d)

59

7 61

5 63

3 65

m x

m mx

c) 3 2

+

− +

+

+

m x

x a x b

b x

a

x

−

=+

x b a

ab x

+

= + + +

1

m + + = có nghiệm duy nhất

C BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 3.8 Các cặp PT sau có tương đương không ?

x m mx

3a) = +2

x m x

+

m x

n x n x

−

x

m x m x x

m x

6a) 2 3 ( 3 )

n x m n x

m + = + ; 6b) 2 2 ( )

n mx mn

Bài 3.10 Giải và biện luận phương trình theo hai tham số a, b :

a)

1

)1(11

b x

−

−

x

x x

m

x

; b) 2

1 2

+

+ + +

−

x

m x x

2 )

1 3

(

x

x m x

m x m

−

+ +

=

−

+ +

−

; b) 2 2

9

2 )

3 2 ( 9

3 ) 1 2 (

x

m x m x

x m

−

− + +

=

−

+ +

Bài 3.14 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm âm :

a) m2 (x− 1 ) =x+ 2m− 3 ; b) m2 (x− 1 ) = 4x− 3m+ 2

§2 Phương trình – hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

Kiến thức cơ bản đại số lớp 10

1 Phương trình bậc nhất hai ẩn số

+ Phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng : ax + by = c (1) , trong đó a, b, c là các số đã biết với a.b

≠ 0 ; x, y là hai ẩn số

+ Cặp số (x0 ; y0) thoả mãn ax0 + by0 = c thì (x0 ; y0) được gọi là một nghiệm của (1) + + Phương trình bậc nhất hai ẩn số có vô số nghiệm, biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ

là đường thẳng ax + by = c

2 Giải và biện luận phương trình ax + by = c (1)

a) Nếu a ≠ 0 , b≠ 0, phương trình (1) có vô số nghiệm Công thức nghiệm tổng quát của phương

b

ax c

b

a

y= − + Còn gọi là đường thẳng ax + by = c

b) Nếu a = 0 , b ≠0, phương trình có dạng by = c Công thức nghiệm tổng quát là :

e) Nếu a = b = c = 0 thì mọi cặp số (x ; y) , x∈R ; y∈R đều là nghiệm của phương trình

3 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

+ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng :

111

c y b x a

c y b x a

trong đó (1) và (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Kí hiệu :

122

1 22

11

baba ba ba

D = −= , gọi là định thức của hệ (1)

122

1 22

11

bcbc bc

bc

D x = −= ;

122

1 22

11

caca ca

ca

D y = −=

Ta có qui tắc Crame để giải hệ (I) như sau :

a) Nếu D ≠ 0 hệ (I) có một nghiệm duy nhất (x0 ; y0) được xác định bỡi công thức :

D

D y D

D

b) Nếu D = 0 va ø Dx ≠ 0 (hoặc Dy ≠ 0) thì hệ (I) vô nghiệm

c) Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ (I) có vô số nghiệm là tập nghiệm của (1) hoặc của (2)

4 Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Gọi d1 là đường thẳng a1x + b1y = c1 và d2 là đường thẳng a2x + b2y = c2

• Hệ (I) có nghiệm duy nhất ⇔ d1 và d2 cắt nhau

• Hệ (I) vô nghiệm ⇔ d1 // d2

• Hệ (I) có vô số nghiệm ⇔ d1 ≡ d2

B CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN

Bài 3.15 Giải phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ :

Kiến thức cơ bản đại số lớp 10

;

2 k k là nghiệm của phương trình đó

Bài 3.18 Giải các hệ phương trình :

1 3

5

y x

= +

−

0 3 4 5

0 4 2

3

y x

y x

+

−

= +

+

−

20

29 1

1 3

5

2 1

5 3

4

y x

y x

− +

= +

+ +

15

8 1 2 2

15

29 1

2 2

y

y x

x y

y x

=

−

−

1 3

3 2

y x

x y

=

− +

= +

−

10 3 2

11 3

2

6 2

3

z y x

z y x

z y x

Bài 3.19 Cho hệ phương trình : (I)

= +

+

1 3

2 )2

(

m my x

m y x

=

−

−

m y

m x

m y x

m

6 )4 (

(

3 ) 2(

6

ay x a

y a

+

=

+

m y m x

m y

mx

6 )1 ( 2

2

Tìm những giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm nguyên

2) Cho hệ phương trình với tham số m : (I)

m y x m

2

1 2

)1 (

2

Tìm những giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm nguyên

C BÀI TẬP TỰ GIẢI

2 k k là nghiệm của phương trình đó

Bài 3.25 Giải các hệ phương trình :

−=

−

5 3

4 3

2

y x

−

= +

−

3 5 2 2

7 2

3

y x

y x

−

−

= +

+

−

1 9 4

3 3 2

y x y x

y x y

−

−

− +

= +

−

−

− +

3

2 1 2

2 1

1

6

5 1 2

1 1

3

y x y

x

y x y

=

+

9 5

5 3

y x

=

−

−

3 4 3

1 2

2 3 2

z y x

z y x

z y x

Bài 3.26 Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số là x và y)

−

=

−

1 2 )6

2(

4

4

m y x m

m my

Kiến thức cơ bản đại số lớp 10

−

= +

−

2 )2

(

3 2

)1

my x m

y m x

= +

−

1 2

)1

(

my x

m y x m

m n my nx

m my x

−

= + +

−

m y n m x n m

n y n m x n

m

) ( ) (

) 2(

+

=

+

mn my nx

n m ny

mx

2

22

Bài 3.27 1) Cho hệ phương trình :







= +

−

−

= +

−

−

0 2 )1 (

0 3 6 )2

(

y m mx

my x m

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m

b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m

2) Cho hệ phương trình :

(

9 ) 2(

6

my x m

y m mx

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m

b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m

Bài 3.28 Tìm m là số nguyên để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) với

x, y đều là các số nguyên Lúc đó tìm (x;y) :

=

− + + +

+

0 4 )2 ( 2

0 2 )1

3(

)1

(

y m x

m y m x

=

−

+

0 1 2

0

3

m my x

m y mx

+

=

+

1 2 2

1

2

m my x

m y

m y mx

Bài 3.29 Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với nhau :

n y

+

=

+

3 3

2

2 2

y x

m y

=

− +

=

− +

0

0 1

0 1

m y x

my x

y mx

§3 Phương trình bậc hai một ẩn số

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Công thức nghiệm

Phương trình bâïc hai (một ẩn x) có dạng ax2 + bx + c = 0 (1)

trong đó a, b, c là các số đã biết gọi là các hệ số ; x là ẩn số

Đặt ∆ =b2 − 4ac (∆ ' =b' 2 −acvới b = 2b') là biệt thức của (1)

a) Nếu ∆ > 0 (∆’> 0), phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt tính bỡi công thức :

=− − ∆ =− + ∆  =− − ∆ =− +a ∆ 

b x a

b x hay a

b x a

1

b) Nếu ∆= 0 (∆’= 0), phương trình (1) có một nghiệm kép tính bỡi công thức :

x1 = x2 = -b/2a ( hay x1 = x2 = -b’/a)

c) Nếu ∆< 0 (∆’< 0), phương trình (1) vô nghiệm

2 Định lý Vi-et và ứng dụng

Định lý : Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có các nghiệm là x1 và x2 thì tổng và tích các nghiệm của phương trình là : S = P x x a c

a

b x

Ứng dụng :

* Nhẩm nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)

- Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a + b + c = 0 thì nó có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm

x2 = c/a

- Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a - b + c = 0 thì nó có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm

x2 = -c/a

* Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng là S và có tích là P thì các số ấy là nghiệm của phương trình :

Kiến thức cơ bản đại số lớp 10

Khi phương trình ax2 + bx + c = 0 trong đó a hoặc b hoặc c có chứa tham số Bài toán giảivà biện luận phương trình đượpc tiến hành như sau :

Bước 1: xét trường hợp a = 0 (nếu a có chứa tham số ) (giả sử tham số là m)

Từ a = 0 ⇒m = … thay giá trị m vào b và c Phương trình là bx + c = 0 với b, c là số đã biết Có một trong hai khả năng sau xảy ra :

• Nếu b = 0 và c ≠ 0 ( 0x + c = 0 với c ≠ 0) thì phương trình vô nghiệm

• Nếu b = 0 và c = 0 (0x + 0 = 0 ) thì phương trình có vô nghiệm x∈TXĐ

Bước 2: Xét trường hợp a ≠ 0 ⇒m ≠ …

• Tính biệt số ∆ =b2 − 4ac (hay∆ ' =b' 2 −ac) (Chú ý dấu của ∆ và ∆’như nhau)

• Biện luận theo dấu của ∆ (hoặc ∆’) :

- Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x0 = -b/2a (hoặc x0 = -b’/a)

- Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt tính theo công thức : =− − ∆ =− + ∆  =− − ∆ =− +a ∆ 

b x a

b x hay a

b x a

1

Bước 3: Tóm tắt lại các kết quả (Bước này có thể bỏ qua nếu làm bài không kịp thời gian)

4 Dấu các nghiệm số của phương trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0

• Nếu ac < 0 ⇒ x1 < 0 < x2 (gt x1 < x2 ) (tức là phương trình có 2 nghiệm trái dấu)

• Nếu ac > 0 ta tính ∆ ≥ 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (tức là x1.x2 > 0)Đặt S = x1 + x2 (= -b/a) ; P = x1.x2 (= c/a > 0)

-Nếu S > 0 thì 0 < x1 < x2 (phương trình có hai nghiệm dương)

-Nếu S < 0 thì x1 < x2 < 0 (phương trình có hai nghiệm âm)

Tóm tắt mục này như sau :

S

P x1 < x2 < 0

5 Một số phương trình qui về cách giải phương trình bậc hai

a) Phương trình trùng phương dạng ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0) (1)

-Đặt ẩn phụ y = x2 , điều kiện y ≥ 0

-Viết phương trình theo y là ay2 + by + c = 0 (2)

Bảng tóm tắt về nghiệm của (2) suy ra nghiệm tương ứng của (1) như sau :

Phương trình trung gian

ay 2 + by + c = 0 Phương trình trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0

với điều kiện trong 4 số a,b,c,d có tổng hai số bằng tổng hai số còn lại

giả sử a + b = c + d = m, khai triển (1) với mỗi nhóm tích của hai thừa số :

[x2 +(a+b)x+ab][x2+(c+d)x+cd]=k rồi đặt ẩn phụ t = x2 + mx thì ta thu được

phương trình bậc hai theo t Giải tìm nghiệm t0 rồi giải PT x2 + mx = t0 để tìm x

B CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN

Bài 3.31 Giải các phương trình sau :

x

; b)

x x

x x

x

42

14

2

2 2

−+

Bài 3.32 Cho phương trình : (m2-4)x2 – 2(m+2)x + 1 = 0 ; m là tham số

a) Với giá trị nào của m phương trình có một nghiệm ?

b) Với giá trị nào của m phương trình vô nghiệm ?

Bài 3.33 Giải và biện luận phương trình với tham số m :

a) (m+1)x2 – 2(m+2)x + m -3 = 0 ; b) (m+1)x2 - (2m+1)x + m-2 = 0

Bài 3.34 Cho hai phương trình chứa tham số m :

x2 + mx + 2 = 0 và x2 + 2x + m = 0

a) Xác định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung

b) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)( x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bài 3.35 Cho hai phương trình : x2 + mx + n = 0 x2 + px + q = 0 thoả mãn điều kiện :

mp≥ 2 (q+n) Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm

Bài 3.36 Không giải hãy nhẩm nghiệm của phương trình :

a) 3x2 – 10x + 7 = 0 ; b) 45x2 + 2007x + 1962 = 0

Bài 3.37 Lập các phương trình bậc hai có các nghiệm :

a) Lớn hơn các nghiệm của phương trình 2x2 + x -3 = 0 là 2

b) Lớn hơn các nghiệm của phương trình x2 + px + p = 0 là p/2

Bài 3.38 Rút gọn các phân thức :

a) A =

276

352

2

2

++

−

−

x x

x

x ; B =

152

673

2 4

2 4

x x

Bài 3.39 Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 – 11 x + 13 = 0 Không giải phương trình , hãy tính giá trị các biểu thức sau :

Kiến thức cơ bản đại số lớp 10

2 2 2 2

x

x x x

x

−+

−

Bài 3.40 Biểu diễn qua p, q :

a) Tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình x2 + px + q = 0

b) Hiệu các lập phương hai nghiệm của phương trình x2 + px + q = 0

Bài 3.41 Xác định m để phương trình : (m + 2)x2 + 2(m + 3)x + m -1 = 0

a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có đúng một nghiệm dương

Bài 3.42 Xác định m để phương trình :

a) 5x2 + mx - 28 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 5x1 + 2x2 = 1

b) x2 - 4x + m2 + 3m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 2 4( 1 2)

2

2

Bài 3.43 Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0

a) Chứng minh rằng phương trình sau luôn luôn có nghiệm :

a(x−b)(x−c) +b(x−c)(x−a) +c(x−a)(x−b) = 0 ( 1 )

b) Hãy tìm điều kiện để phương trình (1) chỉ có một nghiệm

Bài 3.44 Cho phương trình : x2 – 2(m+4)x + m2 - 8 = 0 (1) ; m là tham số

a) Với giá trị nào của m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ?

b) Tìm một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc m

c) Tìm giá trị của m để A = x1 + x2 - 3x1.x2 đạt giá trị lớn nhất

d) Tìm giá trị của m để B = 1 2

2 2

2

x + − đạt giá trị nhỏ nhất

C BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 3.45 Giải các phương trình sau :

x

; b)

x x

x x

x

−+

c) (x− 1 )(x+ 1 )(x+ 4 )(x+ 6 ) = 144 ; d) x2 + 3x− x2 + 3x = 2

e) x4 − 8x2 − 9 = 0 ; g) 2x4 + 7x2 + 6 = 0

Bài 3.46 Cho phương trình : (m2 -1)x2 – 2(m+1)x + 1 = 0 ; m là tham số

c) Với giá trị nào của m phương trình có một nghiệm ?

d) Với giá trị nào của m phương trình vô nghiệm ?

Bài 3.47 Giải và biện luận phương trình với tham số m :

a) (m2 -1)x2 – 2(m+1)x + 1 = 0 ; b) (m+2)x2 + 2(3m - 2)x + m + 2 = 0

c) mx2 + 2x + 1 = 0 ; d) (m2 - 5m - 36)x2 - 2(m + 4)x + 1 = 0

Bài 3.48 Chứng tỏ rằng kb2 = (k+1)2.ac là điều kiện cần và đủ để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠ 0) có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia.

Bài 3.49 Tìm m và n để hai số m, n là nghiệm của phương trình x2 + mx + n = 0

Bài 3.50 Cho a,b là nghiệm của phương trình x2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phương trình

x2 + qx + 2 = 0 Chứng minh rằng : (b - a)(b - c) = pq - 6

Bài 3.48 Cho hai phương trình x2 + p1x + q1 = 0 (1) và x2 + p2x + q2 = 0 (2) biết p1p2 = 2(q1 + q2) Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm

Bài 3.51 Cho hai số α ; β là các nghiệm của phương rình x2 + px + q = 0 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm số là ( α + β ) 2 & ( α − β ) 2

Bài 3.52 Cho phương trình x2 + 4x + m + 1 = 0 (1)

a) Định m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn hệ thức 2 7

1

2 2 2 2

2

x

x x x

b) Định m để phương trình (1) có đúng một nghiệm âm

c) Chứng tỏ rằng nếu phương trình (1) có một nghiệm dương x1 thì phương trình :

(m+1)x2 + 4x + 1 = 0 cũng có một nghiệm dương

1

1

Bài 3.53 Cho phương trình 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0

Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

A = x1x2 − 2 (x1 +x2)

Bài 3.54 Giả sử x1,x2 là các nghiệm của phương trình x2+2mx+4=0 Hãy tìm các giá trị của m để xảy ra đẳng thức : 3

2 1 2 2 2

x

Bài 3.55 Tìm các giá trị của a để hiệu hai nghiệm của phương trình : 2x2-(a+1)x+a+3=0 bằng 1

Bài 3.56 Hãy tìm các giá trị của k để các nghiệm của phương trình :2x2-(k+2)x+7=k2 trái dấu nhau và là nghịch đảo của nhau về giá trị tuyệt đối

Bài 3.57 Giả sử a,b là hai số thoả mãn a > b > 0 Không giải phương trình abx2 - (a+b)x +1 = 0 Hãy tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu hai nghiệm của phương trình

Bài 3.58 Tìm các giá trị của m để phương trình :

a) x2 + 2 (m+ 1 )x+ 9m− 5 = 0 có cả hai nghiệm đều âm

b) (m− 2 )x2 − 2mx+m+ 3 = 0 có cả hai nghiệm đều dương

Bài 3.59 Giải và biện luận phương trình : (m− 1 )x4 − 2 ( 2m− 1 )x2 + 8 = 0