CPCasio phụ lục 2 tổng hợp công thức giải nhanh 4

ςấn đề 16: Μộτ σố m ηνη τổνγ θυ〈τ

1 Μ ηνη τ νγ θυ〈τ κη ι ν⌠ν τρονγ χ〈χ κη ι

Κη ι ν⌠ν  Ν τρονγ κη ι

χ υ  Σ

Τ σ τη τχη

 

 

 

 

 





3

4

Σ Ν

Ρ

Ρ ς

η

Κη ι ν⌠ν νγο ι τι π τ

δι n đ υ χ νη ξ

Bán kính đáy

2 3  3

Ρ

Κη ι ν⌠ν ν ι τι π τ δι ν

đ υ χ νη ξ

Bán kính đáy

1 3  3

Ρ

Κη ι ν⌠ν ν ι τι π κη ι λ π

ph ng c νη ξ

Bán kính đáy 

2

ξ

Ρ

Τ σ τη τχη  

12

ν λπ

ς

Κη ι ν⌠ν νγο ι τι π ηνη

λ p ph ng c νη ξ

Bán kính đáy  2

2

ξ Ρ

Τ σ τη τχη 

 6

ν λπ

ς ς

2 Μ ηνη m τ χ υ ν ι τι π νγο ι τι π χ〈χ κη ι

Κη ι χ υ νγο ι τι π ηνη

λ p ph ng c νη ξ

Β〈ν κνη  2

2

ξ Ρ

Τ σ τη τχη  2

3

χ λπ

ς ς

Κη ι χ υ ν ι τι π ηνη λ π

ph ng c νη ξ

Β〈ν κνη 

2

ξ Ρ

Τ σ τη τχη 

6

χ λπ

ς ς

Κη ι χ υ νγο ι τι π ηνη

2

α β χ

Κη ι χ υ νγο ι τι π κη ι

β〈τ δι n đ υ

Β〈ν κνη  2

2

ξ Ρ

Τ σ τη τχη χ  

βδđ

ς ς

Κη ι χ υ νγο ι τι π τ

δι n đ υ χ νη ξ

Β〈ν κνη  6

4

ξ Ρ

Τη τχη κη ι χ υ

  

3

ξ ς

 Ν υ χ νη τ δι n tăng gi m)

ν λ ν τη τη τχη κη ι χ υ νγο ι

τι p nó tăng gi m) 3

ν λ ν

Τ σ τη τχη 

 3 3 2

χ τδ

ς ς

Κη ι χ υ ν ι τι π τ δι ν

đ υ χ νη ξ

Β〈ν κνη  6

12

ξ ρ

Τ σ τη τχη  3

18

χ τδ

ς ς

Κη ι χ υ νγο ι τι π τ

2

α β χ Ρ

Κη ι χ υ νγο ι τι π κη ι

chóp đ u đáy là t γι〈χ)

Β〈ν κνη   2

2

ξ

Ρ ΣΗ

Τ σ τη τχη 

2

χ χηοπ

ς ς

Κη ι χ υ νγο ι τι p lăng

τρ đ ng có đáy là tam

γι〈χ ϖυνγ

Đ νγ χαο λ◊ χ, ηαι χ νη γ⌠χ

ϖυνγ χ a đáy là α,β

Β〈ν κνη  2 2 2

2

α β χ Ρ

Κη ι χ υ ν ι τι π κη ι τρ

Bán kính đáy hình tr λ◊ ρ, χηι υ χαο η

Β〈ν κνη  

2

χ

η

Ρ ρ

Τ σ τη τχη  2

3

χ τ

ς

ς

Κη ι χ υ νγο ι τι π κη ι

τρ

Bán kính đáy hình tr λ◊ ρ, χηι υ χαο η

Β〈ν κνη    

 

 

2 2

2

χ

η

ςấn đề 17: Χνγ τηứχ ϖề τỉ σố τηể τχη

1 Χ τ κη ι χη⌠π β ι m τ m τ πη νγ σονγ σονγ ϖ i đáy

Ξτ κη ι χη⌠π Σ Α Α 1 2 Α Μ τ πη νγ ν   σονγ σονγ ϖ i đáy và c τ χ νη

1

ΣΑ τ i đi m Μ τη α mν 

1

ΣΜ κ

ΣΑ Khi đó   χηια κη i chóp ban đ υ τη◊νη ηαι κη i đa di n trong đó kh i đa di ν χη a đ νη Σ χ⌠ τη τχη  ς

ϖ◊ 

 3

ς

κ

ς (ς λ◊ τη τχη κη i chóp ban đ υ)

2 Χ τ κη i lăng tr ταm γι〈χ β ι m τ m τ πη νγ

Χηο κη i lăng tr ΑΒΧ Α Β Χ χ⌠ τη τχη ς Μ τ πη νγ      χ τ χ〈χ χ νη

, , 

ΑΑ ΒΒ ΧΧ λ n l τ τ ι Μ, Ν, Π σαο χηο:   

Khi đó . 

3

Μ ΑΒΧ





.

3

Μ ΒΧΠΝ

 



.

3

ΑΒΧ ΜΝΠ

L u Χ〈χ χνγ τη c trên đ u đúng đ ι ϖ i lăng tr đ ng và lăng tr th νγ

3 Χ τ κη ι η π β ι m τ m τ πη νγ

Ξτ m τ πη νγ   χ τ β ν χ νη βν ΑΑ ΒΒ ΧΧ DD, , ,  χ α κη ι η π

   

ΑΒΧD Α Β Χ D λ n l τ τ ι β n đi m Μ, Ν, Π, Θ σαο χηο:

Khi đó ξ ζ ψ τ   ϖ◊

   

  



.

ΑΒΧD ΜΝΠΘ ΑΒΧD Α Β Χ D

4 Χ τ κη ι χη⌠π τ giác đ〈ψ λ◊ ηνη βνη η◊νη) β ι m τ m τ πη νγ

Χηο ηνη χη⌠π Σ.ΑΒΧD có đáy là hình bình hành M τ πη νγ   χ τ 4

χ νη ΣΑ, ΣΒ, ΣΧ, ΣD λ n l τ τ ι β n đi m Μ, Ν, Π, Θ σαο χηο:

 ;  ;

ΣΑ ΣΒ ΣΠζ;ΣΘτ

Khi đó 1  1 1 1

ξ ζ ψ τ ϖ◊

.

4

Σ ΜΝΠΘ

Σ ΑΒΧD

Σ

Α1

Μ

Α2 Α3

Π

Χ

Α

Β

Ν

Μ

C

A

B

Ο

Ν

Χ

Α

Β

Μ

O

D

C

A

B

D

Θ

Σ

Χ

Α

Β

D

Ο

Ι

Ν

Μ

Π

Θ

ςấn đề 18: Χ〈χ ϖấn đề cơ bảν χủα Οξψζ

Xác đ nh đi m τηνγ θυα η τη χ ϖεχτορ:

∗ Λ τηυψ t c b ν: 2ΜΑ3ΜΒ0 τη





Tuy nhiên đ τm τ a đ Μ đ n gi n h n tα β m m〈ψ: 2 3

2 3

Α Β

 ϖ◊ β m ΧΑΛΧ ϖ◊ νη π λ n l τ ξ ξ Α, Β

ta đ χ ξ Μ T ng t nh v ψ ν υ νη π ,ψ ψ Α Β ta đ χ ψ ϖ◊ νη π Μ ζ ζ Α, Β ta đ χ ζ Μ

Xác đ νη τ a đ các đi m đ χ βι τ τρονγ ταm γι〈χ:

1 Τ a đ τρ χ τm Η λ◊ νγηι m χ α η :    

ΗΑ ΒΧ ΗΒ ΑΧ

2 Χηο ΒΧα ΑΧ, β ΑΒ χ,  ta có Chân đ νγ πην γι〈χ τρονγ D χ α γ⌠χ Α: βDΒ χDΧ  0

3 Χηο ΒΧα ΑΧ, β ΑΒ χ,  ta có Chân đ νγ πην γι〈χ νγο◊ι Ε: βΕD χΕΧ  0

4 Χηο ΒΧα ΑΧ, β ΑΒ χ,  τα χ⌠: Τm ν ι τι π: αΙΑ βΙΒ χΙΧ   0

Χ〈χ νγ δ νγ χ a tích có h νγ:

1 Βα ϖεχ−t đ νγ πη νγ: α β χ,   0 (Ν υ 0 là không đ νγ πη νγ)

2 Β n đi m đ νγ πη νγ:   

ΑΒ ΑΧ ΑD, . 0 (Ν υ 0 là không đ νγ πη νγ)

3 Τη τχη: ς ΑΒΧD 16 ΑΒ ΑΧ ΑD , δι ν τχη ταm γι〈χ: , . Σ ΑΒΧ  12ΑΒ ΑΧ , 

4 Τη τχη ηνη η π: ς ΑΒΧD Α Β Χ D ∋ ∋ ∋ ∋  ΑΒ ΑD ΑΑ ,  

Χη : Ν υ m τ ηνη η π χη νη τ βι τ δι ν τχη βα m τ τη τη τχη χ α ν⌠: ς  Σ Σ Σ1 2 3

5 Κηο νγ χ〈χη γι a hai đ νγ τη νγ:    

1 2

1 2

1 2

, ,

,

υ υ ΑΒ

δ δ δ

υ υ

ϖ ι Α δ Β δ 1,  2

6 Κηο νγ χ〈χη τ đi m τ i đ νγ τη νγ:  ;   δ,    

δ

υ ΑΜ

Μ ι θυαν η σονγ σονγ ϖ◊ ϖυνγ γ⌠χ:

1 Μ ι θυαν η σονγ σονγ: //Π Π ν ν δ δ, //  υ υ Π δ, //  ν υ

2 Μ ι θυαν η ϖυνγ γ⌠χ: ΠΠ ν ν δ,   δ υ υ Π,   δ ν υ

Ν υ δ  Π υ υ Α Β, ,   Π ν ΑΒ

3 Μ ι θυαν η ϖυνγ γ⌠χ χ α 2 χ π ϖεχτορ: αβ α,      χ α β χ, 

T ng giao m τ πη νγ ϖ◊ m τ χ υ:

Χηο m τ πη νγ  Π αξ βψ χζ δ:     ϖ◊ m τ χ υ 0     2  2 2 2

Σ ξ ξ  ψ ψ  ζ ζ Ρ

1 Tr νγ η π 1:  Π κηνγ χ τ  Σ ν υ δ Ι Π ; Ρ

2 Tr νγ η π 2:  Π τι π ξχ ϖ ι  Σ ν υ δ Ι Π ;   Ρ và khi đó ti p đi m σ λ◊ ηνη χηι υ ϖυνγ γ⌠χ

χ α τm Ι τρν m τ πη νγ  Π

3 Tr νγ η π 3:  Π χ τ m τ χ υ Σ τηεο m t đ νγ τρ∫ν γιαο τυψ ν κηι δ Ι Π ;  Ρ Khi đó tâm đ νγ

τρ∫ν σ λ◊ ηνη χηι υ ϖυνγ γ⌠χ χ α τm Ι τρν m τ πη νγ  Π đ νγ τη ι β〈ν κνη ρ χ a đ νγ τρ∫ν τη α mν η τη χ:     2

Ρ ρ  δ Ι Π 

T ng giao đ νγ τη νγ ϖ◊ m τ χ υ:

1 Đ νγ τη νγ δ χ τ m τ χ υ τ i đi m πην βι τ Α ϖ◊ Β κηι ϖ◊ χη κηι δ Ι δ ;  Ρ

2 Χη  1: Η τη χ λιν η       

2

2 1 2

; 4

Ρ ΑΒ δ Ι δ

3 Χη  2: Ν υ ΑΒΙ ϖυνγ χν τη Ρ 2δ Ι δ ;  

4 Χη  3: Ν υ ΑΒΙ đ υ τη  2  ;  

3

Ρ δ Ι δ

Cách xác đ νη ηνη χηι υ ϖυνγ γ⌠χ χ α Α τρν  Π :

∗ B χ 1: Xác đ νη γι〈 τρ     

αξ βψ χζ δ τ

α β χ

∗ B χ 2: Τ a đ ηνη χηι υ Η λ◊: Η ατ ξ βτ ψ χτ ζ  Α;  Α;  Α

Χ〈χ δ νγ το〈ν ϖ ph ng trình m τ χη ν:

Γι σ m τ πη νγ  Π θυα Μ ϖ◊ χ τ χ〈χ τρ χ τ a đ τ ι Α α ;0;0 , Β 0; ;0 ,β  Χ 0;0; χ Khi đó 

1 Ν υ Μ λ◊ τρ νγ τm ταm γι〈χ ΑΒΧ τη:  α 3ξ Μ,β3ψ Μ,χ3ζ Μ

2 Ν υ Μ λ◊ τρ χ τm χ α ταm γι〈χ ΑΒΧ τη ΟΜ ν  Π

3 Ν υ ς Ο ΑΒΧ. mιν τη Μ λ◊ τρ νγ τm χ α ταm γι〈χ ΑΒΧ

4 Ν υ 12 12 12

ΟΑ ΟΒ ΟΧ mιν τη Μ λ◊ τρ χ τm χ α ταm γι〈χ ΑΒΧ

5. Τm m τ χ υ νγο ι τι π τ δι ν ΟΑΒΧ λ◊ ; ;

2 2 2

α β χ

Ι 

1

2

Ρ α β χ

Χη  ϖ ταm δι ν ϖυνγ: Τ ng bình ph ng di ν τχη χ〈χ m τ βν β ng bình ph ng di ν τχη m τ χ∫ν

λ ι: 2  2  2  2

ΟΑΒ ΟΒΧ ΟΧΑ ΑΒΧ

ςấn đề 19: Χ〈χ β◊ι το〈ν χựχ τρị τρονγ Οξψζ

1 ςι τ  Π χη α δ σαο χηο d P λ ν νη τ: ν Π υ δ,υ υ δ, δ

2 ςι τ δ ν m τρονγ  Π σαο χηο d d νη νη τ: υ δ ν Π,ν υ Π, δ

3 ςι τ  Π χη α δ σαο χηο P Q νη νη τ: ν Π υ δ,υ ν δ, Θ

4 ςι τ δ ν m τρονγ  Π ϖ◊ θυα Α σαο χηο δ Μ δ νη νη τ:  ,  υ δ ν Π,ν ΑΜ Π, 

5 ςι τ  Π χη α δ σαο χηο δ Μ Π λ ν νη τ:  ,   ν Π υ δ,υ ΑΜ δ,  ϖ ι Α β τ κ τρν δ

6 ςι τ δ ν m τρονγ  Π ϖ◊ θυα Α σαο χηο δ Μ δ λ ν νη τ:  ,  υ δ  ν ΑΜ Π, 