Chú ý: Hàm số yaxb Đồng biến khi a0 , Nghịch biến khi a0 Đồ thị là đường thẳng, ta cần tìm hai điểm đi qua , thông thường hay tìm giao điểm với hai trục tọa độ.. Ba đường thẳng đồng
Trang 1LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Hàm số bậc nhất
+ Có dạng yaxb a, 0
+ Hàm đồng biến trên ( hoặc tạo với
Ox một góc nhọn, hoặc đường thẳng có
hướng đi lên) khi a0
+ Hàm số nghịch biến trên ( hoặc tạo
với Ox một góc tù, hoặc đường thẳng có
hướng đi xuống ) khi a0
+ Đường thẳng có dạngyaxb a, 0
thì hệ số góc là a, + Nếu góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là
a tan
+ Hệ số góc của đường thẳng đi qua
1; 1 ; 2; 2
A x y B x y là 2 1
2 1
k
+ Hai đường thẳng song song có cùng hệ số
góc: a1a2 , Hai đường thẳng vuông góc thì
1 2 1
a a
+ Góc tạo bởi đường thẳng ya x1 b1 với đường thẳng ya x2 b2 là góc α thì
1 2
1 2
tan
1
a a
Phương pháp chung:
+ Nếu 2 1
2 1
0
x x
, hàm số đồng biến
+ Nếu 2 1
2 1
0
x x
, hàm số nghịch biến
Chú ý: Hàm số yaxb Đồng biến khi a0 , Nghịch biến khi a0
Đồ thị là đường thẳng, ta cần tìm hai điểm
đi qua , thông thường hay tìm giao điểm với hai trục tọa độ
+ Giao Ox : Ta cho y0 để tìm x rồi suy
ra giao điểm
+ Giao Oy : Ta cho x0 để tìm y rồi suy
ra giao điểm
+ Đồ thị yax đi qua điểm O 0;0 và
1;
A a Đường thẳng xa song song với Oy cắt
Ox tại a Đường thẳng y b song song với
Ox cắt Oy tại b
Tìm giao điểm của hai đồ thịy f x
và yg x
Xét hoành độ giao điểm của hai đồ thị
thỏa mãn phương trình:
f x g x x , thay x vào
( )
y f x hoặc yg x( ) để tìm y và
suy ra giao điểm
Chú ý:
Tìm giao điểm của đồ thị với Ox: cho
0
y x
Tìm giao điểm của đồ thị với Oy: cho
0
x y
Nếu hai đường thẳng biểu diễn dưới dạng: ya x1 b1 vàya x2 b2 :
Cắt nhau: a1a2 Song song: 1
1 2 2
b b
Trùng nhau:
1 1 2 2
b b
vuông góc:a a1 2 1
Nếu hai đường thẳng biểu diễn dưới dạng: a x1 b y1 c1 vàa x2 b y2 c2 Cắt nhau: 1 1
2 2
a b Song song: 1 1 1
a b c
Trùng nhau: 1 1 1
a b c Vuông góc:
1 1
2 2
1 2
1 2
1
a a
b b
Chú ý: Đường thẳng ax by c : song song với Ox khi:
0 0 0
a b c
Trùng với Ox khi:
0 0 0
a b c
song song với Oy khi:
0 0 0
a b c
Trùng với Oy khi:
0 0 0
a b c
Phân giác góc phần tư thứ nhất là:yx Phân giác góc phần tư thứ hai là: y x
Đường thẳng y ax b song song Ox khi a0; b0
Tìm điểm cố định của y f x m , (chứng minh đồ thị luôn đi qua điểm cố định hoặc tìm điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m )
Khi các giá trị của m trong hàm số
;
y f x m thay đổi, hàm số y f x m ; luôn đi qua 1 điểm thì điểm đó là điểm cố định
Bước 1: Chuyển y f x m , về dạng:
f x m y
Bước 2: Nhóm các số chứa m lại với nhau:
m f x g x y
Bước 3: Gọi I x y , là điểm cố định, suy ra
suy ra điểm cố định I
Ba điểm thẳng hàng
Cách 1: Viết phương trình đường thẳng
đi qua 2 điểm, thay tọa độ điểm thứ 3
vào, nếu thỏa mãn thì 3 điểm thẳng
hàng, nếu không thỏa mãn thì 3 điểm
không thẳng hàng
Cách 2: Tính hệ số góc của đường
thẳng AB và AC Nếu K AB K AC thì 3
điểm thẳng hàng và ngược lại
Ba đường thẳng đồng quy Bước 1: Tìm điều kiện để các đường thẳng
cắt nhau, để đường thẳng là hàm số bậc nhất ( nếu có)
Bước 2: Tìm giao điểm của 2 đường thẳng ( 2
đường thẳng không chứa m) để 3 đường thẳng đồng quy thì giao điểm đó khi thay vào đường thẳng số 3 phải thỏa mãn, từ đó tìm được m; LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Trang 2LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
Diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng với hai trục:
Tìm giao của đường thẳng với Ox Oy; là A B, Suy ra
1
2
S OA OB
Khoảng cách từ O đến đường thẳng là h Tìm giao của
đường thẳng với Ox Oy; là A B, Sau đó sử dụng hệ thức
lượng trong tam giác vuông OAB :
h OA OB
+ Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
0
axby c lớn nhất:
Cách 1:
+ Xét các TH 0
0
a
m b
khoảng cách
+ Xét 0
0
a
b
Tìm giao của đồ thị với Ox Oy; là A B, Sử
dụng công thức 12 12 12
h OA OB để tìm khoảng cách, từ
đó tìm max
Cách 2: Dựa vào điểm cố định
+ Tìm tọa độ điểm cố định I x y 0; 0
+ Nhận xét: hOI. Dấu bằng xảy ra khi dOI Bài toán
trở về tìm m để đường thẳng d đi qua I x y 0; 0 và vuông
góc OI
+ Qua hai điểm: Gọi phương trình đường thẳng là
ya xb (1)
- Thay tọa độ của A x y 1, 1; B x y 2, 2 vào (1) ta được hệ phương trình: 1 1
Từ hệ phương trình trên tìm được a b, thay vào (1) ta được phương trình đường thẳng
+ Qua A x y 1, 1 và có hệ số góc là k
Gọi đường thẳng là y ax b Vì hệ số góc là k nên
ak Vì đường thẳng qua A x y 1, 1 nên thay tọa độ A vào đường thẳng để tìm b
Chú ý:
Nếu đường thẳng tạo với trục Ox góc thì ktan
Nếu đường thẳng song song với y cx d thì kc
Nếu đường thẳng vuông góc với y cx d thì 1
k c
Lập phương trình đường thẳng qua 1 điểm ( hoặc biết
hệ số góc) và tiếp xúc với đồ thị (P):
+ Gọi đường thẳng là yaxb Dựa vào điểm đi qua hoặc hệ số góc ta lập đường 1 phương trình
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm, hai đồ thị tiếp xúc nhau thì phương trình có nghiệm kép 0 1 phương trình
+ Giải hệ phương trình để tìm a b,
Bước 1: Xét hoành độ giao điểm của 2 đồ thị thỏa mãn
phương trình: f x g x Đưa phương trình về dạng:
2
0
Ax Bx C (1)
Bước 2: Để hai đồ thị tiếp xúc nhau thì phương trình (1) có nghiệm kép:
2
0
A
Từ đó tìm được m
Để hai đồ thị không cắt nhau thì phương trình (1) vô nghiệm:
+ XétA 0 m Thay vào phương trình kiểm tra và kết luận
+ Xét A 0 m Phương trình vô nghiệm khi:
2
Từ đó tìm được m
Để hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
2
0
A
Từ đó tìm được m
+ Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K nào đó:
Bước 1: Tìm điều kiện để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm
phân biệt
Bước 2: Viết hệ thức Vi – Ét:
Bước 3: Biến đổi điều kiện K rồi thay hệ thức Vi Ét vào
để tìm m, so sánh điều kiện và kết luận
Bảng biến thiên hàm số bậc nhất yaxb, a0 Bảng biến thiên hàm số bậc hai 2
, 0
yax bxc a
Hàm số bậc hai 2
, 0
yax bxc a + Hàm sốyax2
Nếu a0 , hàm số đồng biến khi x0 , nghịch biến khi x0
Nếu a0 , hàm số đồng biến khi x0 , nghịch biến khi x0
+ Hàm số yax2bxc a, 0 + Nếu a0 : Hàm số đồng biến trên ;
2
b a
; Nghịch biến trên ; 2
b a
+ Nếu a0 : Hàm số đồng biến trên ;
2
b a
; nghịch biến trên 2 ;
b a
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
a < 0 : Bảng biến thiên
a > 0 : Bảng biến thiên
- ∞
- ∞
+ ∞
y y
x
- 4a
- 4a
- b 2a
- b 2a
a < 0 : Bảng biến thiên
a > 0 : Bảng biến thiên
+ ∞
y y
x
Trang 3LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai Xét tính chẵn lẻ của hàm số Tìm tập xác định của hàm số Tịnh tiến điểm và đồ thị Cách vẽ: yax2bxc a( 0) ta làm
như sau:
- Tìm trục đối xứng:
2
b x a
- Tọa độ đỉnh: ;
b I
Δ
- Lấy điểm phụ ( thường là giao với hai
trục O x Oy,
- Đánh dấu các điểm lên hình rồi vẽ Ta
thường lấy 5 điểm
Các công thức cần nhớ khi làm toán:
+ Trục đối xứng:
2
b x a
+ Tọa độ đỉnh: ;
b I
Δ
+ Định lí Vi Ét:
1 2
1 2
b
a c
x x a
+ Bài cho tọa độ điểm đi qua, ta phải thay
vào đồ thị
Bước 1: Tìm TXĐ : D
- Nếu TXĐ đối xứng, ta chuyển qua bước 2 Ví
dụ TXĐ là: ;4;4
- Nếu TXĐ không đối xứng suy ra hàm sô không chẵn không lẻ bằng cách chỉ ra : xD nhưng
Ví dụ: TXĐ: D 3;5 Ta có: 4D nhưng
4 D
hàm số không chẵn không lẻ
Bước 2: Chỉ ra x D x D :
Bước 3: Tính:
Hµm sè ch½n Hµm sè lÎ : Hµm sè kh«ng ch½n kh«ng lÎ
( ) : ( ) ( ) :
( )
f x
- Hàm số yf x 0 là hàm số vừa chẵn, vừa lẻ trên D tập đối xứng qua O
- Để chứng minh hàm số không chẵn ta chứng minh
hoặc miền xác định D không đối xứng qua O, hoặc có
0 sao cho 0 0
- Để chứng minh hàm số không lẻ ta chứng minh
hoặc miền xác định D không đối xứng qua 0, hoặc có
0 sao cho 0 0
Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung
làm trục đối xứng
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng
Bước 1: Tìm điều kiện xác định:
Nếu có căn thì căn 0 Nếu có mẫu thì mẫu 0
Bước 2: Biểu diễn điều kiện dưới
dạng tập hợp ta được TXĐ của hàm
số
Chú ý điều kiện xác định của các biểu thức sau:
f x
g x h x Biểu thức xác
định:
00
g x
h x
f x
g x h x Biểu thức xác
định:
g x h x
f x a a f x a a
Tịnh tiến điểm ( ; )A x y :
Lên trên p đơn vị ta được A1x y; p
Xuống dưới p đơn vị ta được
1 ;
A x y p
Sang trái p đơn vị ta được
A x p y
Sang phải p đơn vị ta được
A x p y
Cho ( )G là đồ thị của y f x( ) và
, 0
p q Ta có
Tịnh tiến ( )G lên trên q đơn vị thì được
đồ thị y f x( )q Tịnh tiến ( )G xuống dưới q đơn vị thì
được đồ thị y f x( )q Tịnh tiến ( )G sang trái p đơn vị thì
được đồ thị y f x( p) Tịnh tiến ( )G sang phải p đơn vị thì
được đồ thị y f x( p)
Cho đồ thị ( ) :C y f x( ). Vẽ đồ thị của
hàm số yf x
Cho đồ thị ( ) :C y f x( ). Vẽ đồ thị của hàm số
( )
y f x
Cho đồ thị ( ) :C y f x( ). Vẽ đồ thị của hàm số y f x( )
Cho đồ thị ( ) :C y f x( ). Vẽ đồ thị của hàm số y f x( ) u x v x( ) ( )
Vẽ đồ thị của hàm số ( ) :C y f x( )
Ta có:
nÕu nÕu
Do đó, đồ thị của hàm số y f x
là hợp của hai phần:
Phần 1: là phần của đồ thị ( )C nằm
ở bên phải trục Ox
Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua
trục Ox
Vẽ đồ thị của hàm số ( ) :C y f x( )
Ta có: ( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
nÕu nÕu
Do đó, đồ thị của hàm số y f x là hợp của
hai phần:
Phần 1: là phần của đồ thị ( )C nằm ở bên trên trục Ox
Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị ( )C ở bên dưới trục Ox qua trục Ox
Vẽ đồ thị của hàm số ( ) :C y f x( )
Ta có:
( ) 0
( )
f x
Do đó, đồ thị của hàm số
( )
y f x là hợp của hai phần:
Phần 1: là phần của đồ thị ( )C nằm bên trên trục Ox
Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox
Vẽ đồ thị của hàm số ( ) :C y f x( )
Ta có:
( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0
y
nÕu nÕu
Do đó, đồ thị của hàm số
( ) ( ) ( )
yf x u x v x là hợp của hai
phần:
Phần 1: là phần của đồ thị ( )C trên miền ( )u x 0
Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị ( )C trên miền ( )u x 0 qua trục Ox
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122