SKKN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PT HIỆN ĐẠI

MỘT SỐ PHƯNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH MỚI 2.3. Phương pháp nhân liên hợp Đây là một phương pháp hay để giải phương trình và hệ phương trình, để vận dụng tốt phương pháp này ta quan tâm đến biểu thức liên hợp, trường hợp tổng biểu thức liên hợp của là và ngược lại ; biểu thức liên hợp của là . Sau khi thực hiện các phép nhân liên hợp ta tiến hành nhóm ra các nhân tử chung, đôi khi ta phải rút hoặc theo biểu thức còn lại. Để hiểu và vân dụng tốt phương pháp này ta nghiên cứu kỹ các bài tập sau: Bài 1. ( Bài toán gốc ) Quan sát cả hai phương trình của hệ ta thấy: Không có điểm chung giữa hai phương trình nên không đổi biến được. Hai biến không độc lập nên rât khó khăn cho việc rút, thế. Không có cấu trúc của một hằng đẳng thức. Không đưa được về dạng . Nhận thấy thỏa mãn (1). Lời giải Điều kiện Với thay vào (2) ta được: Vì nên Vậy hệ đã cho có các nghiệm . Bài tập sau là sự mở rộng tự nhiên của bài tập 1 theo nghĩa tịnh tiến nghiệm thay bởi Bài 2. Giải hệ phương trình: Làm tương tự bài 1 ta được nghiệm . Ta thử vị tự nghiệm của bài 1 thay bởi , bởi sẽ được kết quả ra sao, câu trả lời là bài tập 3.

Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ

Với xu thế hội nhập kinh tế toàn cầu như hiện nay, đã mở ra cho đấtnước ta rất nhiều cơ hội lớn nhưng cũng không ít những thách thức Đặcbiệt để thực hiện thắng lợi mục tiêu Công nghiệp hóa, hiện đại hóa đấtnước, đưa nước ta trở thành một nước công nghiệp vào năm 2020, đòi hỏirất nhiều yếu tố tác động tới, trong đó có việc thích ứng ngay với nền kinh

tế tri thức của thế giới Các môn học trong nhà trường đã và đang là cơ sở

để trang bị cho các em học sinh những tri thức có tính chất nền tảng nhất,trong đó có môn Toán học Vì “Toán học là một môn thể thao của trí tuệ”nên công việc của người dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy Là mộtgiáo viên giảng dạy môn toán hơn 10 năm tôi luôn luôn trăn trở rất nhiều

về quá trình học toán và làm toán của các em học sinh, trong quá trình họctoán, làm toán các em học sinh có thể gặp những bài toán mà không thểgiải bằng cách áp dụng trực tiếp các quy tắc, các phương pháp quen thuộc.Những bài toán như vậy thường được gọi là “không mẫu mực” có tác dụngkhông nhỏ trong việc rèn luyện tư duy toán học và thường là sự thử tháchđối với học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các lớp chuyên toán,thi vào đại học Qua kinh nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán,

đã tổng hợp, phân loại và hướng dẫn phương pháp giải đối với nhiềuphương trình và hệ phương trình “không mẫu mực”, tôi mạnh dạn xâydựng sáng kiến kinh nghiệm này nhằm giúp các em học sinh luyện tập, đểnhiều bài toán giải phương trình và hệ phương trình “không mẫu mực” dầntrở thành “quen thuộc” với mình, qua đó biết cách suy nghĩ trước nhữngphương trình và hệ phương trình “ không mẫu mực” khác

Phần thứ hai: NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận

Căn cứ vào Nghị quyết Trung ương 4 khoá VII ( 1-1993), Nghị quyếtTrung ương 2 khoá VIII ( 12-1996), Chỉ thị số 14 ( 4-1999) của Bộ giáodục và Đào tạo về định hướng đổi mới phương pháp dạy học

Căn cứ Luật Giáo dục năm 2005, Điều 28 khoản 2 nêu rõ : “ Phươngpháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng môn học, lớp học,bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn kỹ năngvận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,hứng thú học tập cho học sinh”

Căn cứ Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyếtđịnh số 16/2006/QĐ-BGĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục vàđào tạo, cũng nêu rõ “ Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sángtạo của học sinh, phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng họcsinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học,khả năng hợp tác, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tácđộng đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập củahọc sinh”

tạo làm toán cho học sinh, đặc biệt đối với những bài toán được các em coi

2.3 Phương pháp nhân liên hợp

Đây là một phương pháp hay để giải phương trình và hệ phương

trình, để vận dụng tốt phương pháp này ta quan tâm đến biểu thức liên

hợp, trường hợp tổng biểu thức liên hợp của A − B là A+ B và

ngược lại ; biểu thức liên hợp của A m− là A m− 2 Sau khi thực hiện cácphép nhân liên hợp ta tiến hành nhóm ra các nhân tử chung, đôi khi ta phải

rút A hoặc B theo biểu thức còn lại.

Để hiểu và vân dụng tốt phương pháp này ta nghiên cứu kỹ các bài tậpsau:

Bài 1 ( Bài toán gốc )

2 2

lập nên rât khó khăn cho việc rút, thế Không có cấu trúc của một hằng

đẳng thức Không đưa được về dạng ( )f u = f v( ).

Nhận thấy x y= thỏa mãn (1)

Lời giải

Điều kiện

530

x y

Vậy hệ đã cho có các nghiệm ( )x y; =(2;2) ;( ; ) (3;3)x y =

Bài tập sau là sự mở rộng tự nhiên của bài tập 1 theo nghĩa tịnh tiến

nghiệm thay x bởi x+1

Bài 2 Giải hệ phương trình:

2 2

Ta thử vị tự nghiệm của bài 1 thay x bởi 2x , y bởi 3y sẽ được kết

quả ra sao, câu trả lời là bài tập 3

Bài 3 Giải hệ phương trình:

2 2

thỏa mãn (*) Vậy hệ có nghiệm ( ) ( )x y; = 2;2

Nhận xét Phương pháp nhân liên hợp ở bài 6 khá hay, có sự khác

biệt với bài 1 về biểu thức suất phát, phương pháp này se làm mất một căn thức nên dễ dàng cho việc biến đổi ỏ bước sau Cụ thể

x y

Vậy hệ đã cho có các nghiệm ( )x y; =(2;2) ;( ; ) (3;3)x y =

Bài 12 Giải hệ phương trình:

Phân tích: Quan sát hệ ta thấy không khai thác được phương trình

(2), phương trình (1) có cấu trúc A+ B m= nên ta thử đi tìm A− B

2 2

2

11

thử lại ta thấy nghiện ( )x y; =( )1; 2 thỏa mãn hệ

Bài 13 Giải hệ phương trình:

2 3

Nhận xét: Từ bài 12 ta thay y bởi y ta được bài 13 2

Bài 14 Giải hệ phương trình:

2 3

Nhận xét: Từ bài 13 ta thay y bởi y+1ta được bài 14

Bài 15 Giải hệ phương trình:

2 3

Phân tích: Bài toán có nhiều điều kiện ràng, nên ta tiến hành giải

sau đó thử lại nghiệm sau Vì chưa rõ dấu của y và x−1 nên ta chọn việc rút căn x2 − y sẽ thuận lợi hơn việc rút y x( −1)

Với x= ⇒ =1 y 0 Vậy hệ có nghiệm ( ; ) (0;1)x y =

Bài 17.(Đề thi ĐH khối A năm 2014)

Giải hệ phương trình:

2 3

⇔ =

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ; ) (3;3)x y =

Nhận xét Đây là một bài có nhiều cách giải nhưng rõ ràng đây là

một cách giải có nhiều lợi thế Tương tự với bài 18, 19 và 20

Bài 18 Giải hệ phương trình:

≥



 ≥



11

Nếu hàm số y= f x( ) liên tục và đồng biến trên khoảng ( ; )a b và thỏa

mãn ( )f u = f v( ) ∀u v, ∈( ; )a b thì u v=

Nếu hàm số y= f x( ) liên tục và nghịch biến trên khoảng ( ; )a b và thỏa mãn ( )f u = f v( ) ∀u v, ∈( ; )a b thì u v=

Chứng minh

Nếu u v< thì ( )f u < f v( ) mâu thuẫn với giả thuyết

Nếu u v> thì ( )f u > f v( ) mâu thuẫn với giả thuyết

u v

Trường hợp ( )f x nghịch biến được chứng minh tương tự

Nhận xét: định lý trên còn đúng khi ta thay khoảng ( ; )a b bởi

[a b; ) ; ; ; ;[ ]a b (a b … ]

Phương pháp hàm số thường được áp dụng khi ta phát hiện trong hệ

có những đặc điểm sau:

Có một phương trình của hệ có các biến ,x y độc lập với nhau có thể

dồn về hai vế của phương trình

Ở hai vế của phương trình có thể biến đổi thành các biểu thức có cấu trúc giống nhau, chú ý t t =a3với a= t

Nhận dạng thông qua các hàm đặc trưng như f t( )=at3+bt

Vậy hệ có nghiệm ( ; ) (3 ;1)x y =

Bài 2 Giải hệ phương trình :

Phân tích: Quan sát phương trình (1) của hệ ta thấy hai biến ,x y

độc lập và có thể đưa về hai về của phương trình, phương trình (2) cũng có hai biến độc lập, nhưng biến đổi phương trình (2) rất khó, nhưng nó giúp ta một điều quan trọng đó là chặn được 0≤ ≤y 2; 1− ≤ ≤x 1

Bài 3 Giải hệ phương trình :

Phân tích: Biến đổi phương trình (2) khó đi đến một kết quả thuận

lợi, bình phương hai vế của (1) cũng khá rắc rối

Phân tích: Phương trình (2) của hệ không biến đổi được gì, ta chú ý

vào phương trình (1) Thật khó khăn nếu ta đi bình phưpng hai vế hoặc nhân chúng với nhau Ta chú ý hàm f x( )= +x x2 +1 là hàm đồng biến, giá như vế phải cũng có mộ hàm như vậy thì tốt, thật vậy

Lời giải

Điều kiện: 3

2

x y

suy ra ( )f t là hàm đồng biến trên ¡ , mà ( )f x = −f( y) ⇔ x= −y

Thay x= −yvào (2) ta được

x x

x x

Nhìn vào kết quả này ta thấy từ bài từ bài 3 đến bài 4 thực chất là

Phân tích: Phương trình (1) khó biến đổi để đi đến mộ kiết quả

thuận lợi, ta chú ý vào phương trình (2), phát hiện

y x

− + + >

Phân tích: Phương trình (2) khó biến đổi để đi đến mộ kiết quả thuận

lợi, ta chú ý vào phương trình (1)

Ta có 3 y2 + +9 3y>3 y +3y≥0 nên từ (1), suy ra x >0;y≠0

Từ (2)⇒ x y xy2 + − > ⇔5 0 y x( 2 + >x) 5 mà do x>0 nên suy ra0

y> Việc đánh giá này rất quan trọng, vì ta đang muốn đưa y vào trong căn Bây giờ ta hãy chuyển ,x y về hai vế độc lập

2 2

mà f x( ) f( )3 x 3 xy 3

Thay vào (2) ta được (3x−1) 3x− =2 4x3 −2x

Bài 13: Giải hệ phương trìnhsau:

++ + + >

+ do đó (*) ⇔ x− = ⇔ =1 0 x 1 Với 1 1

Phân tích : Đây là hệ đối xứng loại 2 có thể giải bằng phương pháp

nhân liên hợp, nhưng nếu không xử lý khéo léo thì bài toán trở nên phức tạp bởi điều kiện quá rộng

Điều kiện x≥ −5; y ≥ −5 với điều kiện này thì

mà ( )f x = f y( ) ⇔ x y= (**) thay (**) vào (2) ta được

Bài 20 Giải hệ phương trình:

2.5 Phương pháp đổi biến số

Khi đối mặt với một bài hệ phương trình, việc đầu tiên ta phải xem xét kỹ đề bài để đưa ra một hướng giải phù hợp.Trong đó có phương pháp đổi biến số, phương pháp này thường được áp dụng khi ta phát hiện

phương trình (1) và (2) của hệ có các biểu thức chung, hay nhờ phép đổi biến có thể khử được dạng vô tỷ theo biến mới… Sau đây ta cụ thể một số bài tập

u v

=



 =



Bài 2 Giải hệ phương trình :

Sử dụng các hằng đẳng thức trên ta có thể giải các hệ phương trình sau:

Bài 3 Giải hệ phương trình: ( 2 )(12 ) 182 2 2 2

Xét xy≠0 hệ phương trình tương đương với

u v

x y

xy xy

v v

2

uv

v u

2.5.4 Đổi biến số để đưa một phương trình của hệ về dạng tích

Có những bài tập mà ta chỉ thực hiên được phép đổi biến với một

phương trình của hệ, sau đó biểu diễn phần còn lại của phương trình đó theo biến mới và kết quả là được một phương trình mới đơn giản Ta hãy theo rõi các bài tập sau

Bài 10 Giải hệ phương trình: 33 22 ( )(2 1) 2 (1)

⇒ = +x y 1 Tới đây thay vào (2) ta có phương trình một ẩn và giải tiếp.

Bài 11 Giải hệ phương trình:

Bài 16 Giải hệ phương trình :

41

Bài 27 Giải hệ phương trình:

Bài 1 Giải hệ phương trình:

Phân tích: Không thể dùng phép thế để giải hệ trên Vì thế ta hi vọng

có thể từ hai phương trình của hệ đưa về dạng (x a+ )3 =(y b+ )3( để ý rằng,

x y độc lập với nhau) Muốn vậy ta nhân (2) cho một số α Công việc của

ta là tìm , ,a b α ( lưu ý phương trình (1) có bậc 3( cao nhất) nên ta để mặc

định hệ số như cũ, các số , ,a b α sẽ được chọn để phù hợp) Lấy (1) + α(2) ta được :

Phân tích: Như bài tên, do ,x y tách biệt nên ta hi vọng từ hai phương

trình của hệ đưa về dạng (x+α)4 =(y+β)4 Muốn vậy ta nhân phương

trình thứ hai cho một số k Công việc của ta là tìm các số , ,kα β

Bài 4 Giải hệ phương trình:

2

1

(1)5

Để ý rằng 2 phương trình của hệ đều có bậc hai và xuất hiện cả hạng

tử xy nên việc dùng hệ số bất định như bài 2 sẽ gặp nhiều khó khăn Một

hướng đi thường dùng của ta với hệ loại này là đưa về phương trình bậc haitheo (ax by+ ) Để làm điều đó, ta nhân (1) cho α , (2) cho β và cộng lại:

Với một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực tôi đã

áp dụng vào trong quá trình giảng dạy phần nào đã đem lại những hiệu quảnhất định, làm tăng hứng thú học tập của HS từ đó nâng cao được chấtlượng giờ dạy chất lượng môn học Dưới đây là kết quả điểm trung bìnhmôn học kỳ I, điểm trung bình môn học kỳ II, điểm trung bình môn cả năm(CN) do tôi thống kê đối với HS của 12A, 10A, cụ thể như sau:

-2014 TB 4/33= 12,1% 0 0

10A 2014

-2015

Giỏi 17/35 = 48,6 % 18/30 = 60 % 18/30 = 60% Khá 12/35 = 34,3 % 9/30 = 30 % 10/30 = 33,3%

TB 6/35 = 17,1% 3/30 = 10% 2/30 = 6,7%

Phần thứ ba: KẾT LUẬN CHUNG VÀ ĐỀ XUẤT

3.1 Kết luận

Sáng kiến “Một số phương pháp giải hệ phương trình không

mẫu mực ” đã hướng dẫn các em học sinh cách tiếp cận vấn đề đơn giản

và hiệu quả Với những phương pháp này tôi tin rằng các em học sinh sẽphát huy được tính sáng tạo của mình trong học toán, giải quyết đượcnhững bài toán, đồng thời sẽ hạn chế được sự nhàm chán của các em Hơnnữa còn góp phần kích thích sự yêu quý môn toán đối với những học sinhcòn thấy sợ môn toán khi không hiểu được bản chất vấn đề

3.2 Đề xuất

Giáo viên cần tích cực hơn nữa trong việc tìm ra các phương pháp

dạy học mới

Cần tập hợp các phương pháp giảng dạy mới của cán bộ giáo viênthành những bộ tài liệu phục vụ trong quá trình tập huấn, chuyên đề…như

là tài liệu bồi dưỡng chuyên môn

Lương Sơn, ngày27 tháng 05 năm 2015

Người thực hiện

Phạm Văn Thế