KIẾN THỨC CHƯƠNG 1 PHẦN HÌNH HỌC TOÁN 10: VECTƠ

Tóm tắt kiến thức hình học 10 chương vecto . Toán học lớp 10 hình học tóm tắt kiến thức hình học 10.Toán học lớp 10 hình học chương 1 tóm tắt kiến thức hình học 10.Toán học lớp 10 hình học. Tóm tắt kiến thức hình học 10.Toán học lớp 10 hình học. Tóm tắt kiến thức hình học 10. Bài giảng hay với những ví dụ, bài tập điển hình.

§Þnh nghÜa : Vect¬ kh«ng lµ vect¬ cã ®iÓm ®Çu vµ ®iÓm cuèi trïng nhau

Nh- vËy, vÐct¬ kh«ng, kÝ hiÖu 0 lµ vect¬ cã:

5. Hai vect¬ b»ng nhau

Hai vÐct¬ AB, CD gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu:

II tổng của hai vectơ

Định nghĩa : Tổng của hai vectơ a và b là một véctơ đ-ợc xác định nh- sau:

 Từ một điểm tùy ý A trên mặt phẳng dựng vectơ AB = a

 Từ điểm B dựng vectơ BC = b

 Khi đó véctơ AC gọi là vectơ tổng của hai vectơ a và b, ta viết

AC = a + b

Từ định nghĩa trên ta đ-ợc quy tắc ba điểm:

AB + BC = AC, với ba điểm A, B, C bất kì

III hiệu của hai vectơ

1. Hai vectơ đối nhau

Hai véctơ AB, CD gọi là đối nhau, ký hiệu:

2. hiệu của hai vectơ

Định nghĩa: Hiệu của hai véctơ a và b, kí hiệu a  b, là tổng của vectơ a và

vectơ đối của vectơ b, nghĩa là:

Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ

Để dựng vectơ ab khi biết các vectơ a và b ta lấy điểm A tuỳ ý, từ đó dựng vectơ AB = a và AC = b, khi đó CB = ab

Từ cách dựng trên ta đ-ợc quy tắc hiệu hai vectơ cùng gốc:

AB  AC = CB, với ba điểm A, B, C bất kì

Tính chất của phép trừ véctơ

ab = c  a = b + c

IV tích của một vectơ với một số

Định nghĩa: Tích của vectơ a với một số thực k là một vectơ, kí hiệu ka đ-ợc xác

định nh- sau:

a Vectơ ka cùng ph-ơng với vectơ a và sẽ :

 Cùng h-ớng với vectơ a nếu k  0

 Ng-ợc h-ớng với vectơ a nếu k 0

2. điều kiện để hai vectơ cùng ph-ơng

Định lí 1 (Quan hệ giữa hai vectơ cùng ph-ơng) : Vectơ b cùng ph-ơng với vectơ

a 0 khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho b = ka

Hệ quả : Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là tồn tại số k sao cho

3. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng ph-ơng

Định lí 2 (Phân tích một vectơ thành hai vectơ khác 0 không cùng ph-ơng) : Cho

hai vectơ a và b khác 0 và không cùng ph-ơng Với mọi vectơ c bao giờ cũng tìm đ-ợc một cặp số thực m, n duy nhất, sao cho:

4. Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho tr-ớc

Điểm M(x; y) chia đoạn thẳng M1M2 theo một tỉ số k (tức là MM1= kMM2 ) đ-ợc xác định bởi các công thức:

1 2

1 2

x kxx

1 k

y kyy

2

y yy

Thí dụ 1 Cho OAB vuông cân với OA = OB = a Hãy dựng các vectơ sau đây

và tính độ dài của chúng:

OA + OB, OA  OB, 3OA + 4OB21

 Trên tia OA lấy điểm A1 sao cho OA1 = 3OA

 Trên tia OB lấy điểm B1 sao cho OB1 = 4OB

Thí dụ 2 Cho ABC đều có cạnh bằng a Tính độ dài vectơ tổng AB + AC

 Giải

Gọi M là trung điểm BC, lấy điểm A1 đối xứng với A

qua M, ta có ngay ABA1C là hình bình hành, suy ra:

AB + AC = AA1

AB + AC = AA1 = 2AM = 2.a 3

2 = a 3

thì th-ờng kết luận ngay rằng:

AB + AC = AB + AC = a + a = 2a

Ph-ơng pháp áp dụng

Ta lựa chọn một trong các h-ớng biến đổi sau:

H-ớng 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (VT  VP hoặc VP  VT) Khi đó:

 Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức

 Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ

H-ớng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn

Thí dụ 1 Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng AB + CD + BC = AD

 Giải

Ta có thể trình bày theo ba cách sau:

Cách 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:

 Nhận xét: Việc trình bày thí dụ trên theo bốn cách chỉ mang tính chất minh

hoạ cho những ý t-ởng sau:

1 Với cách 1 và cách 2, chúng ta gom hai vectơ có "điểm cuối

của vectơ thứ nhất trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai" từ đó

sử dụng chiều thuận của quy tắc ba điểm

2 Với cách 3 và cách 4, chúng ta sử dụng chiều ng-ợc lại của quy

tắc ba điểm, cụ thể "với một vectơ AB bất kì chúng ta đều có thể

xen thêm vào giữa một điểm tuỳ ý để từ đó phân tích đ-ợc vectơ

AB thành tổng của hai vectơ"

Thí dụ 2 Cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh rằng AB + CD = AD + CB

Cách 3: Biến đổi t-ơng đ-ơng biểu thức về dạng:

AB  AD = CB  CD DBDB, đúng  Điều phải chứng minh

Cách 4: Biến đổi t-ơng đ-ơng đẳng thức về dạng:

ABCB = ADCD AB + BC = AD + DC AC = AC, luôn đúng

 Nhận xét: 1 Để thực hiện chứng minh đẳng thức vectơ đã cho chúng ta lựa

chọn h-ớng biến đổi VT thành VP và hai cách giải trên đều có chung một ý t-ởng, cụ thể bằng việc lựa chọn vectơ xuất phát

là AB ta có:

 Trong cách 1, ta ý thức đ-ợc rằng cần tạo ra sự xuất hiện của vectơ AD do đó ta xen vào điểm D

 Trong cách 2, ta ý thức đ-ợc rằng cần tạo ra sự xuất hiện của vectơ CB do đó ta xen vào điểm C

2 Từ nhận xét trên hẳn các em học sinh thấy đ-ợc thêm rằng còn

có 4 cách khác để giải bài toán, cụ thể:

 Hai cách với việc lựa chọn vectơ xuất phát là CD

 Hai cách theo h-ớng biến đổi VP thành VT

Thí dụ 3 Cho M và N lần l-ợt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD Chứng

 Chú ý: Các em học sinh hãy trình bày thêm cách biến đổi VT thành VP Thí dụ 5 Cho ABC Gọi M, N, P lần l-ợt là trung điểm của BC, CA, AB

1 2

A A + B B1 2 + C C1 2 = 3G G1 2, đpcm

Thí dụ 7 Cho ABC Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh

AC, sao cho NC = 2NA Gọi K là trung điểm của MN

Thí dụ 1 Cho ABC đều nội tiếp đ-ờng tròn tâm O

b Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB

 Dựng hình bình hành AOBM bằng việc lấy điểm M

đối xứng với O qua C1, ta có đ-ợc OM = OAOB

Thí dụ 3 Cho ABC đều, nội tiếp đ-ờng tròn tâm O

a Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

OM = OA + OB, ON = OB + OC, OP = OC + OA

b Chứng minh rằng OA + OB + OC = 0

 Giải

a Dựa theo quy tắc hình bình hành, ta lần l-ợt có:

 Với điểm M thoả mãn:

OM = OA + OB

 M là đỉnh thứ t- của hình bình hành AOBM

 CM là đ-ờng kính của (O), vì ABC đều

 Với điểm N thoả mãn:

ON = OB + OC  N là đỉnh thứ t- của hình bình hành BOCN

 AN là đ-ờng kính của (O), vì ABC đều

 Với điểm P thoả mãn:

OP = OC + OA  P là đỉnh thứ t- của hình bình hành AOCP

 BP là đ-ờng kính của (O), vì ABC đều

Vậy, các điểm M, N, P nằm trên đ-ờng tròn (O) sao cho CM, AN, BP là các

đ-ờng kính của đ-ờng tròn (O)

b Dựa vào kết quả câu a) và OC = MO, ta có ngay:

OA + OB + OC = OM + MO = MO + OM = MM = 0

Thí dụ 4 Cho ABC

a Tìm điểm I sao cho IA + 2IB = 0

b Tìm điểm K sao cho KA + 2KB = CB

c Tìm điểm M sao cho MA + MB + 2MC = 0

Thí dụ 5 Cho tr-ớc hai điểm A, B và hai số thực ,  thoả mãn  +   0

a Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn IA + IB = 0

b Từ đó, suy ra với điểm bất kỳ M, ta luôn có:

   AB không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn điều kiện đầu bài

b Ta có:

MA + MB = (MI + IA) + (MI + IB) = ( + )MI + (IA + IB)

= ( + )MI, đpcm

1 Nếu  =  = 1 thì điểm I chính là trung điểm của AB

2 Bài toán trên đ-ợc mở rộng tự nhiên cho ba điểm A, B, C và bộ ba số thực , , 

i 1 



  0, xin dành cho bạn đọc

4 Kết quả trên đ-ợc sử dụng để giải bài toán:

“ Cho n điểm A i , i = 1, n và bộ n số thực i , 1, n thoả mãn

n i

i 1 





Thí dụ 6 Cho tứ giác ABCD, M là điểm tuỳ ý Trong mỗi tr-ờng hợp hãy tìm số

k và điểm cố định I, J, K sao cho các đẳng thức vectơ sau thoả mãn với

 Gọi E là trung điểm AB, từ (2.1), ta đ-ợc:

2JE + 2JC = 0  J là trung điểm của CE

Từ (3) và (3.2), suy ra:

6MK = kMK  k = 6

 Chú ý: Bài toán tìm điểm có thể đ-ợc mở rộng thành bài toán tìm tập hợp

điểm (quĩ tích) Với các bài toán quĩ tích ta cần nhớ rằng:

1 Nếu |MA| = |MB|, với A, B cho tr-ớc thì M thuộc đ-ờng trung trực của đoạn AB

2 |MC| = k|AB|, với A, B, C cho tr-ớc thì M thuộc đ-ờng tròn tâm C, bán kính bằng k.AB

3 Nếu MA = kBC, với A, B, C cho tr-ớc thì

a Với k  điểm M thuộc đ-ờng thẳng qua A song song với BC

(3)  2ME2kMF = 0  ME = kMF

 M thuộc đ-ờng trung bình EF của ABC

Ph-ơng pháp áp dụng

Ta lựa chọn một trong hai h-ớng:

H-ớng 1: Từ giả thiết xác định đ-ợc tính chất hình học, rồi từ đó khai triển

vectơ cần biểu diễn bằng ph-ơng pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc

H-ớng 2: Từ giả thiết thiết lập đ-ợc mối liên hệ vectơ giữa các đối t-ợng, rồi

từ đó khai triển biểu thức này bằng ph-ơng pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc

Thí dụ 1 Cho đoạn thẳng AB và điểm I sao cho 2IA + 3IB = 0

5 thoả mãn điều kiện đầu bài

b Biến đổi giả thiết:

0 = 2IA + 3IB = 2(MA  MI) + 3(MB  MI)

 5MI = 2MA + 3MB  MI = 2

5 MA + 3

5 MB, đpcm

Thí dụ 2 Cho OAB Gọi M, N lần l-ợt là trung điểm hai cạnh OA và OB Hãy

tìm các số m và n thích hợp trong mỗi đẳng thức sau đây:

ThÝ dô 3 Gäi G lµ träng t©m ABC §Æt a = GA vµ b = GB H·y biÓu thÞ mçi

vect¬ AB, GC, BC, CA qua c¸c vect¬ a vµ b

ThÝ dô 4 Cho ABC Gäi M, N, P lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB TÝnh

c¸c vect¬ AB, BC, CA theo c¸c vect¬ BN vµ CP

Vect¬ CA ®-îc biÓu diÔn t-¬ng tù AB

ThÝ dô 5 Cho ABC

a T×m c¸c ®iÓm M vµ N sao cho:

0 = 2NA + NB + NC = 2NA + 2NE, víi E lµ trung ®iÓm BC

 NA + NE = 0  N lµ trung ®iÓm cña AE

ThÝ dô 6 Cho ABC träng t©m G Gäi I lµ ®iÓm trªn c¹nh BC sao cho 2CI = 3BI

vµ J lµ ®iÓm trªn BC kÐo dµi sao cho 5JB = 2JC

C¸ch 2: Chøng minh OA1 = OA2víi O lµ ®iÓm tuú ý

ThÝ dô 1 Chøng minh r»ng AB = CD khi vµ chØ khi trung ®iÓm cña hai ®o¹n

Thí dụ 2 Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần l-ợt là trung điểm của

các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR

Để nhận đ-ợc (1), ta lựa chọn một trong hai h-ớng:

H-ớng 1: Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết

H-ớng 2: Xác định vectơ AB và AC thông qua một tổ hợp trung gian

 Chú ý: Ta có kết quả:

“ Cho ba điểm A, B, C Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là:

MC = MA + (1)MB, với điểm tuỳ ý M và số thực  bất kỳ ”

Thí dụ 1 Cho ABC, lấy các điểm I, J thoả mãn IA = 2IB, 3JA + 2JC = 0

Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của ABC

2(IA + IB + IC) = 5IJ  6IG = 5IJ  I, J, G th¼ng hµng

ThÝ dô 2 Cho ABC Gäi O, G, H theo thø tù lµ t©m ®-êng trßn ngo¹i tiÕp, träng

t©m, trùc t©m cña ABC Chøng minh r»ng:

a AH = 2OE, víi E lµ trung ®iÓm BC

Phân tích đ-ợc định tính xuất phát từ các đẳng thức vectơ của giả thiết

L-u ý tới những hệ thức đã biết về trung điểm của đoạn thảng và trọng tâm của tam giác

Thí dụ 1 Cho ABC, có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thoả mãn:

  a = b = c ABC là tam giác đều

Thí dụ 2 Cho tứ giác ABCD Giả sử tồn tại điểm O sao cho:

Từ ph-ơng trình thứ nhất của hệ , ta suy ra:

O là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD (1) Gọi M, N, P, Q là trung điểm của AB, BC, CD, DA , từ ph-ơng trình thứ hai của

hệ ta đ-ợc:

0 = OA + OB + OC + OD = 2OM + 2OP  OM + OP = 0

 M, P, O thẳng hàng và O là trung điểm MP (2)

2 Với hai vectơ a(x1, y1) và b(x2, y2) , ta có:

b Tìm toạ độ điểm D sao cho C là trọng tâm ABD

c Tìm toạ độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành

 Giải

a Gọi G là trọng tâm ABC, ta có ngay G(0, 1)

b Giả sử D(xD, yD), khi đó với điều kiện C là trọng tâm ABD, ta đ-ợc:

D

D

4 2 x2

ThÝ dô 2 Cho ®iÓm M(12t; 1 + t) T×m ®iÓm M sao cho 2 2

5) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi

ThÝ dô 3 Cho ba ®iÓm A(1; 1); B(3; 3); C(2; 0)

= BC2ABC vu«ng t¹i A

VËy diÖn tÝch ABC ®-îc cho bëi:

VËy, ®iÓm M(0; 0) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi

D¹ng to¸n 2: BiÓu diÔn vect¬ c (c 1 ; c 2 ) theo c¸c vect¬ a ( a 1 ; a 2 ), b ( b 1 ; b 2 )

Thí dụ 4 Hãy biểu diễn vectơ c theo các vectơ a, b, biết:

Thí dụ 5 Cho bốn điểm A(1; 1), B(2; 1), C(4; 3) và D(16; 3) Hãy biểu diễn

vectơ AD theo các vectơ AB, AC

B-ớc 2: Toạ độ hoá các vectơ có trong đẳng thức hoặc sử dụng công thức về

khoảng cách giữa hai điểm, để chuyển đẳng thức về biểu thức đại số

B-ớc 3: Giải ph-ơng trình hoặc hệ trên, ta nhận đ-ợc toạ độ của M

 Chú ý: Điểm M(x; y) chia đoạn thẳng M1M2 theo một tỉ số k (tức là MM1 = kMM2 )

đ-ợc xác định bởi các công thức:

1 2

1 2

x kxx

1 k

y kyy

Đặc biệt nếu k = 1, thì M là trung điểm của đoạn thẳng M1M2, khi đó toạ độ của

M đ-ợc xác định bởi:

1 2

1 2

x xx

2

y yy

Thí dụ 1 Cho hai điểm A(0; 2) và B(4; 3) Tìm toạ độ:

a Trung điểm I của AB

b Điểm M sao cho MA + 2MB = 0

Thí dụ 2 Cho ABC, biết A(1; 0), B(3; 5), C(0; 3)

a Xác định toạ độ điểm E sao cho AE = 2BC

b Xác định toạ độ điểm F sao cho AF = CF = 5

c Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

|2(MA + MB)3MC| = |MBMC| (1)

 Giải

a Giả sử E(x; y), khi đó AE(x1; y), BC(3; 8)

Vậy tồn tại hai điểm F1(4; 0) và F2(5; 3) thoả mãn điều kiện đầu bài

c Giả sử M(x; y), khi đó:

 Nhận xét: Nh- vậy, trong ví dụ trên chúng ta đã thực hiện việc xác định điểm

dựa trên các đẳng thức về vectơ, độ dài cho tr-ớc Tuy nhiên, trong nhiều tr-ờng hợp chúng ta cần đi thiết lập các đẳng thức đó dựa trên tính chất của điểm cần xác định

Thí dụ 3 Cho ABC cân tại A, biết A(a; 3a 73 7), B(1; 0), C(2a1; 0) và A

thuộc góc phần t- thứ nhất

a Xác định toạ độ các đỉnh của ABC, biết rằng p = 9 (p là nửa chu vi)

b Tìm toạ độ điểm MAB và NBC sao cho đ-ờng thẳng MN đồng

thời chia đôi chu vi và chia đôi diện tích của ABC

b Ta cần tìm điểm M  AB (tức là phải tìm x = BM, 0  x  8) sao cho trên cạnh

BC tồn tại điểm N thoả mãn:

 Với x = 8  M  A(2; 3 7) và N(2; 0) là trung điểm BC

 Chú ý: Bài toán trên có dạng tổng quát nh- sau "Cho ABC có các cạnh a, b,

c (t-ơng ứng với các đỉnh A, B, C và chu vi 2p), giả sử c  b  a Tìm

điểm M  AB, N  BC sao cho đ-ờng thẳng MN đồng thời chia

đôi chu vi và chia đôi diện tích của ABC "

Ph-ơng pháp giải

Ta thực hiện theo các b-ớc sau:

B-ớc 1: Điểm M  AB (tức là phải tìm x = BM, 0  x  c) sao cho trên cạnh BC

tồn tại điểm N thoả mãn:

BN = px, 0  px  và BMN

ABC

SS

2  x(p x)

c.a

 = 1

2  2x22px + ac = 0 (2)

B-ớc 3: Giải (2) ta xác định đ-ợc x, từ đó suy ra toạ độ các điểm M, N

Dạng toán 4: Vectơ cùng ph-ơng  Ba điểm thẳng hàng  Định lý

c Định lý Menelaus: Lấy ba điểm M, N, P theo thứ tự trên các cạnh BC, CA,

AB của ABC Điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là:

MB

MC NC

NA.PA

PB = 1

Thí dụ 1 Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(3 ; 4), B(1 ; 1), C(9 ; 5)

a Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng

b Tìm toạ độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD

c Tìm toạ độ điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng

c Giả sử E(xE, 0)  Ox, khi đó AE(xE + 3; 4)

Từ đó, để ba điểm A, B, E thẳng hàng điều kiện là:

Thí dụ 2 Tìm trên trục hoành điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M tới các

điểm A và B là nhỏ nhất trong các tr-ờng hợp sau:

a A(1; 2) và B(3; 4) b A(1; 1) và B(2; )

 Giải

a Nhận xét A, B cùng phía với Ox

Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua Ox, suy ra A1(1; 2)

 Chú ý: Thí dụ trên, đã minh hoạ ph-ơng pháp giải cho một lớp bài toán cực trị rất

quen thuộc trong các kỳ thi tuyển sinh vào các tr-ờng đại học và cao

đẳng, do đó các em học sinh cần nắm đ-ợc ph-ơng pháp giải cho bài toán tổng quát nh- sau:

Bài toán: Tìm trên đ-ờng thẳng (d): Ax + By + C = 0 điểm P sao cho

tổng các khoảng cách từ P tới các điểm A(x A , y A ) và B(x B , y B ) không

Tr-ờng hợp 1: Nếu tA.tB < 0  A, B ng-ợc phía với (d)

Ta thực hiện theo các b-ớc sau:

B-ớc 1: Gọi P0 = (AB)(d), suy ra toạ độ P0

B-ớc 2: Ta có PA + PB  AB

Vậy PA + PB nhỏ nhất khi và chỉ khi A, P, B thẳng hàng  P  P0

Tr-ờng hợp 2: Nếu tA.tB > 0  A, B cùng phía với (d)

Ta thực hiện theo các b-ớc sau:

B-ớc 1: Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (d) , suy ra toạ độ A1

B-ớc 2: Gọi P0 = (A1B)(d), suy ra toạ độ P0

B-ớc 3: Ta có PA + PB = PA1 + PB  AB

Vậy PA + PB nhỏ nhất  A1,P, B thẳng hàng  P  P0

Ngoài ph-ơng pháp trên chúng ta sẽ còn nhận đ-ợc một ph-ơng pháp giải

khác được minh hoạ trong bài toán “ Ph-ơng pháp toạ độ hoá ”

Ph-ơng pháp áp dụng

Ph-ơng pháp toạ độ hoá th-ờng đ-ợc sử dụng phổ biến trong hai dạng:

Dạng 1: Ta thực hiện phép toạ độ hoá các điểm trong hình và đ-a bài toán hình

học về dạng giải tích

Dạng 2: Lựa chọn các điểm thích hợp để biến đổi biểu thức đại số về dạng độ dài

hình học  Ph-ơng pháp này tỏ ra rất hiệu quả để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức đại số

Thí dụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số y = 2