Chứng minh đại số và hình học của định lý jung

Trong khâa luªn cõa em, em i t¼m hiºu v chùng minh ành lþ Jung trong tr÷íng hñp hai bi¸n v tr¶n tr÷íng câ °c sè khængtheo hai h÷îng ti¸p cªn kh¡c nhau.. Sau â ¡p döng ành lþ Rentchler º

Người hướng dẫn khoa học

ThS Đinh Thị Kim Thúy

HÀ NỘI – 2018

LÍI CƒM ÌN

Em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh ¸n Ths inh Thà Kim Thóy l  ng÷íi trüc ti¸p h÷îng d¨n em l m khâa luªn, cæ ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n em åc c¡c t i li»u v  tªp d÷ñt nghi¶n cùu b¶n c¤nh â cæ ¢ sûa chúa nhúng sai sât cho em º em câ thº

ho n th nh ÷ñc khâa luªn n y.

Em xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o Khoa To¡n tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m

H  Nëi 2, °c bi»t l  tê h¼nh håc, ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho em trong qu¡ tr¼nh håc ¤i håc v  thüc hi»n b£n khâa luªn n y.

Xu¥n Háa, th¡ng 05 n«m 2018 T¡c gi£ khâa luªn

é Thà Thõy Ti¶n

LÍI CAM OAN

Em xin cam oan d÷îi sü h÷îng d¨n ch¿ b£o cõa Ths inh Thà Kim Thóy em

¢ l m khâa luªn n y v  khæng tròng vîi c¡c khâa luªn kh¡c Trong khi thüc hi¶n

· t i n y em ¢ sû döng, tham kh£o c¡c t i li»u khoa håc cõa c¡c nh  to¡n håc vîi láng bi¸t ìn s¥u s­c.

Xu¥n Háa, th¡ng 05 n«m 2018 T¡c gi£ khâa luªn

é Thà Thõy Ti¶n

LÍI MÐ †U 1

1 ành lþ Jung v  ¤o h m lôy linh àa ph÷ìng 3

1.1 ¤o h m tr¶n mët v nh 3

1.2 ¤o h m lôy linh àa ph÷ìng v  i·u ki»n Jacobian 4

1.3 ành lþ Rentschler v· ¤o h m lôy linh tr¶n k[X, Y ] 10

1.4 Chùng minh ành lþ Jung 15

2 ành lþ Jung v  khai triºn Newton-Puiseux 18 2.1 Khai triºn Newton-Puiseux 18

2.2 Khai triºn Newton-Puiseux t¤i væ h¤n 19

2.3 Bªc h¼nh håc cõa ¡nh x¤ F=(P,Q) 22

2.4 Chùng minh ành lþ Jung 28

2.5 V½ dö 30

LÍI MÐ †U

ành lþ Jung ÷ñc ph¡t hi»n v  chùng minh ¦u ti¶n v o n«m 1942bði H.W.E Jung Æng ¢ chùng minh tü çng c§u cõa v nh a thùchai bi¸n tr¶n mët tr÷íng câ °c sè b¬ng khæng l  sü hñp th nh cõac¡c tü çng c§u cì b£n Sau æng câ r§t nhi·u nh  to¡n håc kh¡c ¢chùng minh ành lþ Jung theo c¡c h÷îng ti¸p cªn kh¡c nhau: Gutwirth(1961), Shafareristic (1966), Rentschler (1968), Makar-Limanov (1970),Abhyankar v  Moh (1975), Dick (1983), Nguy¹n V«n Ch¥u (2003), N«m 1953 Vander Kulk ¢ mð rëng chùng minh ành lþ Jung tr¶nmët tr÷íng câ °c tr÷ng b§t ký ¸n n«m 1972 Nagata ¢ nghi¶n cùu

mð rëng ành lþ Jung trong tr÷íng hñp ba bi¸n v  æng ¢ ph¡t biºur¬ng:"khi nghi¶n cùu v· tr÷íng hñp ba bi¸n ho°c tr÷íng hñp têngqu¡t hìn th¼ nâ câ nhi·u c¡ch chùng minh kh¡c nhau hìn cõa tr÷ínghñp hai bi¸n" Trong khâa luªn cõa em, em i t¼m hiºu v  chùng minh

ành lþ Jung trong tr÷íng hñp hai bi¸n v  tr¶n tr÷íng câ °c sè khængtheo hai h÷îng ti¸p cªn kh¡c nhau Khâa luªn gçm câ hai ch÷ìng:Ch÷ìng 1: "ành lþ Jung v  ¤o h m lôy linh àa ph÷ìng"

Ch÷ìng 2 "ành lþ Jung v  khai triºn Newton-Puiseux"

Ch÷ìng 1 düa tr¶n c¡c ki¸n thùc v· ¤o h m tr¶n mët v nh, ¤o h mlôy linh àa ph÷ìng º chùng minh ành lþ Rentschler Sau â ¡p döng

ành lþ Rentchler º chùng minh ành lþ Jung

Ch÷ìng 2 tr¼nh b y khai triºn Puiseux, khai triºn Puiseux t¤i væ h¤n, bªc h¼nh håc cõa ¡nh x¤ a thùc º chùng minh

Newton-bê · chia Sau â ¡p döng Newton-bê · chia º chùng minh ành lþ Jung.

Xu¥n Háa, th¡ng 05 n«m 2018T¡c gi£ khâa luªn

é Thà Thõy Ti¶n

ành lþ Jung v  ¤o h m lôy linh

àa ph÷ìng

1.1 ¤o h m tr¶n mët v nh

ành ngh¾a 1.1 ¤o h m tr¶n mët v nh A b§t k¼ l  mët ¡nh x¤ cëngt½nh

D : A −→ A

thäa m¢n c¡c quy t­c Leibniz: vîi måi a, b ∈ A ta câ:

D(a + b) = D(a) + D(b)

D(ab) = aD(b) + bD(a)

Mët ph¦n tû s ∈ A ÷ñc gåi l  mët l¡t c­t cõa A n¸u D(s) = 1.H¤ch cõa ¤o h m D : A −→ A ÷ñc kþ hi»u l  ker(D, A)

Tªp t§t c£ c¡c ¤o h m tr¶n v nh A ÷ñc k½ hi»u l  DerA

Cho D l  mët k−¤i sè c£m sinh bði çng c§u v nh f : k −→ A th¼

ta nâi D l  mët k−¤o h m n¸u D ◦ f = 0 V  khi â ta k½ hi»u tªpt§t c£ c¡c k−¤o h m tr¶n A l  DerkA

V½ dö 1.1.1 Cho A l  mët v nh, D ∈ Der(A), f ∈ A[T ] v  a ∈ A.

Ta câ D(f(a)) = f(D)(a) + f0(a)D(a), vîi f0 ∈ A[T ] l  T −¤o h mcõa f v  f(D) = P

iD(ai)Ti ∈ A [T ], (ð ¥y f = PiaiTi, ai ∈ A).Hìn núa n¸u f ∈ A[T1, T2, , Tn] v  a1, , an ∈ A th¼:

DN(a) = 0

N¸u D : A −→ A l  lôy linh àa ph÷ìng v  f ∈ kerD th¼ ¤o h m

f ◦ D : A −→ A công l  lôy linh àa ph÷ìng

V½ dö 1.2.1 X²t g(X, Y ) l  a thùc b§t k¼ thuëc k[X, Y ] Gi£ sûdegXg = n ≥ 1

Khi â vîi D = ∂

∂X ta câ DN +1g = 0 Vªy D = ∂

∂X l  ¤o h m lôylinh àa ph÷ìng tr¶n k[X, Y ]

T÷ìng tü ta công câ D = ∂

∂Y l  ¤o h m lôy linh àa ph÷ìng tr¶nk[X, Y ]

Gi£ sû k[X] = k[X1, X2, , Xn] v  F = (F1, F2, , Fn) ∈ k[X]nthäa m¢n i·u ki»n Jacobian:

Trong â aij(X) = (−1)i+j Mij l  ph¦n bò ¤i sè cõa và tr½ (i, j) trong

DF (X)vîi Mij l  ành thùc con bò cõa và tr½ (i, j) trong DF (X); i, j ∈{1, 2, , n}

l  tê hñp tuy¸n t½nh cõa ∂

∂Xj, (i, j ∈ 1, n) vîi h» sè l  c¡c a thùc trongk[X]

Vªy c¡c gi¡ trà k− ¤o h m ∂

a) Gi£ sû 1 ≤ i ≤ n p döng (1) v  thüc hi»n ph²p chuyºn và ta

Chùng minh.

Ta sû döng ph²p quy n¤p º chùng minh

Cho Q(R) l  tr÷íng th÷ìng cõa R

• Ta x²t tr÷íng hñp n = 1 th¼ R ⊂ Q(R) ∩ k[X1] = k[u] vîi u ∈ k[X1]Vi¸t u = r

s vîi r, s ∈ R, s 6= 0 Khi â:

s ∈ R ⊆ k[u] (∗)Lóc n y ta câ thº vi¸t s = p(u) sao cho p(T ) ∈ k[T ] Do â: u.p(u)−r =

0 vîi u nguy¶n tr¶n R

Suy ra u ∈ R(R nguy¶n âng) Khi â:

k[u] ⊂ R (∗∗)

N¸u Ma 6= 0 vîi måi a ∈ k th¼ Ma l  mët idean tèi ¤i

(khi â dimR = 1) Suy ra θa(R) ∼= R/Ma l  mët tr÷íng chùa trongk[X1, , Xn] Khi â k[X1, , Xn]∗ = k∗, v  ta cho θa(R) = k

V¼ vªy vîi méi f ∈ R th¼ tçn t¤i c ∈ k vîi

N¸u s = 0 th¼ méi ph¦n tû cõa R l  ¤i sè tr¶n k v  do â R = k Khi

â ch¿ c¡c ph¦n tû k(X, Y ) phö thuëc ¤i sè tr¶n k l  ph¦n tû cõa k

M»nh · 1.1 ÷a ra i·u ki»n c¦n v  õ º mët ¡nh x¤ a thùctr¶n kn thäa m¢n i·u ki»n Jacobian l  mët ¯ng c§u a thùc M»nh

· n y l  cì sð trong chùng minh ành lþ Jung

Tø m»nh · tr¶n ÷a ra kh¯ng ành c¡c ¤o h m ∂

∂F i l  lôy linh àaph÷ìng tr¶n k[X] khi v  ch¿ khi k[X] = k[F ]

1.3 ành lþ Rentschler v· ¤o h m lôy linh tr¶n

D = Dp+ Dp+1+ + Dd

sao cho DpAd ⊂ Ap+d, vîi måi p, d ∈ Z Khi â, n¸u D l  ¤o h mlôy linh àa ph÷ìng th¼ Dd công l  ¤o h m lôy linh àa ph÷ìng.Chùng minh

Chóng ta ch¿ c¦n ch¿ ra r¬ng vîi méi p ∈ Z, g ∈ Ap, tçn t¤i N ∈ N∗

d g = 0 hay nâi c¡ch kh¡c Dd công l  ¤o h m lôy linh àaph÷ìng

Gi£ sû A = k[X] v  D l  ¤o h m kh¡c khæng tr¶n A Gi£ sû

T = cXα∂Xi, c ∈ k∗ l  mët th nh ph¦n xu§t hi»n trong D

°t: s = α − ei vîi ei l  vecto thù i trong cì sð cõa Rn th¼

T (Xm) ∈ kXm+n vîi måi m Khi â s ÷ñc gåi l  ë d i cõa T

°t: suppD = {s ∈ Zn|D chùa mët ë d i s}

N¸u s ∈ suppD th¼ ta câ si ≥ −1 Suy ra n¸u D chùa cXα∂Xn th¼(α1, , αn − 1) ∈ suppD

M°t kh¡c vîi méi −→0 6= w ∈ Zn, w−ph¥n bªc ÷ñc ành ngh¾a tr¶n

A = k[X] nh÷ sau: Ad(w) l  khæng gian sinh bði c¡c ìn thùc Xa vîi

hα, wi = d, d ∈ Z Trong â k½ hi»u h i l  t½ch væ h÷îng tr¶n khænggian vecto thüc n−chi·u Rn

Cho 0 6= w ∈ Zn v  x²t w−ph¥n bªc tr¶n A Gi£ sû r¬ng D l  ¤o

h m kh¡c khæng tr¶n A, khi â D câ thº ph¥n th½ch ÷ñc th nh têngc¡c ¤o h m câ d¤ng:

D = Dp+ Dp+1+ + Dd

sao cho DpAd ⊂ Ap+d, vîi måi p, d ∈ Z

Sü ph¥n t½ch tr¶n ÷ñc gåi l  sü ph¥n t½ch w−thu¦n nh§t cõa D N¸u

p l  gi¡ trà lîn nh§t sao cho Dp 6= 0 th¼ p ÷ñc gåi l  w−bªc cõa D

H» qu£ 1.1 N¸u D l  ¤o h m lôy linh àa ph÷ìng th¼:

a) D = f(Y )∂X, f(Y ) ∈ k[Y ] ho°c

Theo h» qu£ 1.1 D l  ¤o h m lôy linh àa ph÷ìng th¼ n¸u

D = f (Y )∂X, f (Y ) ∈ k[Y ] th¼ khi â ta luæn câ h−1Dh = f (Y )∂Xvîi h = (Y, X)

Trong chùng minh n y ta sû döng s0(D) v  t0(D) thay cho s0 v  t0

trong h» qu£ 1.1

Gi£ sû ta ¢ câ s0(D) v  t0(D) thäa m¢n i·u ki»n trong h» qu£ 1.1Gåi l l  ÷íng th¯ng i qua iºm (s0, −1) v  (−1, t0) n¶n l câ ph÷ìngtr¼nh (t0 + 1)x + (s0 + 1)y = p vîi p = s0t0 − 1

°t: w = (t0 + 1, s0 + 1) th¼ wdegD = p (theo h» qu£ 1.1) v  Dp l 

¤o h m lôy linh àa ph÷ìng (theo m»nh · 1.2)

Gi£ sû r¬ng Dp ÷ñc biºu di¹n nh÷ sau: Dp = gD1, trong â

D1 = a∂X + b∂Y vîi gcd(a, b) = 1 N¸u Dp l  ¤o h m lôy linh àaph÷ìng th¼ D1 l  ¤o h m lôy linh àa ph÷ìng v  D1(g) = 0 M°t

Ta th§y v¼ D1 l  ¤o h m lôy linh àa ph÷ìng vîi gcd(a, b) = 1 n¶n suy

ra D1 câ mët l¡t c­t tr¶n k[X, Y ], l¤i câ a(0) 6= 0 ho°c b(0) 6= 0 (ta gi£

sû r¬ng a(0) 6= 0) Khi â D1 chùa mët ph¦n tû câ d¤ng c∂X, c ∈ k∗.M°t kh¡c iºm (s0, −1) ∈ suppDptùc l  Dp chùa mët ph¦n tû câ d¤ng

Khi â ta chån

f1 = Y − dX

r+1

c(r + 1)th¼ lóc n y f1 ∈ KerD1

M°t kh¡c theo ành lþ 1.2 tçn t¤i h ∈ k[X, Y ] sao cho KerD1 = k[h]n¶n f1 ∈ p(h) vîi p ∈ k[t] V¼ degf1 = 1 n¶n f1 = c.h, c ∈ k∗

r+1



Ta l¤i câ D1(g) = 0 n¶n

g ∈ KerD1 = k



Y − dc(r + 1)X

r+1



M  g l  w−thu¦n nh§t n¶n g câ biºu di¹n nh÷ sau:

g = a



Y − dc(r + 1)X

Khi â ta câ h−1Dph = aYNc∂X vîi

Dp = a



Y − dc(r + 1)X

ành lþ 1.5 N¸u k l  mët tr÷íng th¼ Autkk[X, Y ] = T (k, 2) câ ngh¾a

l  nhâm Autkk[X, Y ] ÷ñc sinh ra bði c¡c ¯ng c§u sì c§p, bao gçmc¡c ph²p bi¸n êi afinne v  c¡c ¯ng c§u câ d¤ng:

(x, y) 7−→ (x + h(y), y), h ∈ k[y]

Ta i chùng minh ành lþ Jung trong tr÷íng hñp k l  mët tr÷íng

câ °c sè b¬ng 0

Chùng minh

Ta c¦n i chùng minh:

Autkk[X, Y ] = T (k, 2)

Ta th§y n¸u F ∈ T (k, 2) th¼ hiºn nhi¶n F ∈ Autkk[X, Y ]

Do â chóng ta c¦n i chùng minh n¸u F = (F1, F2) ∈ AutkA th¼

∂F1h = f (Y )∂X n¶n f(Y )∂X(h−1(F1)) = 1 Suy ra:

∂X(C) ∈ k∗ hay h−1(F1) = c0X + d0Y vîi c0 ∈ k∗, d0 ∈ k[Y ]

ành lþ Jung v  khai triºn

Newton-Puiseux.

2.1 Khai triºn Newton-Puiseux

Cho a thùc hai bi¸n phùc P (x, y) vîi degP = d câ d¤ng Weierstrass

V (P ).

Cho y(x) ð (2.2) l  mët nghi»m Newton-Puiseux cõa ÷íng cong

V (P ) t¤i iºm (0, 0) Khi â y(x) câ thº vi¸t d÷îi d¤ng nh÷ sau:

2.2 Khai triºn Newton-Puiseux t¤i væ h¤n

Cho a thùc hai bi¸n phùc P (x, y) câ d¤ng Weierstrass nh÷ (2.1) v 

÷íng cong V (P ) Trong compact hâa CP2 cõa C2 ÷íng cong V (P )

câ mët sè nh¡nh àa ph÷ìng b§t kh£ quy t¤i mët v i iºm tr¶n ÷íngth¯ng t¤i væ tªn Nhúng nh¡nh n y gåi l  nh¡nh b§t kh£ quy t¤i væh¤n cõa ÷íng cong V (P ).

Gi£ sû Pd(x, y) l  th nh ph¦n thu¦n nh§t bªc d cõa P (x, y) Khi â

Pd(x, y) câ biºu di¹n:

Nh÷ vªy méi nghi»m Newton-Puiseux t¤i væ h¤n y(x) cõa ph÷ìngtr¼nh P (x, y) = 0 câ thº vi¸t d÷îi d¤ng:

Ngo i ra vîi R  0 ta câ:

i) Chuéi y(τ−m) x¡c ành mët h m ph¥n h¼nh tr¶n ¾a thõng

0 < |τ | < R1

ii) P (τ−m, y(τ−m)) = 0

iii) nh x¤ ph¥n h¼nh τ 7−→ (τ−m, y(τ−m)), 0 < |τ | < R1, x¡c ành mëttham sè hâa cõa mët nh¡nh t¤i væ h¤n cõa ÷íng cong V (P )

ành ngh¾a 2.2 a thùc 0 6= P ∈ C[x, y] vîi biºu di¹n

H» qu£ 2.1 Gi£ sû P l  a thùc rót gån bªc d trong ành lþ 2.1 v 

÷íng cong V (P ) ch¿ câ mët nh¡nh b§t kh£ quy t¤i væ h¤n Khi âph÷ìng tr¼nh P (x, y) = 0 câ nghi»m Newton-Puiseux t¤i væ h¤n

thäa m¢n i·u ki»n:

a) #F−1(0) < ∞;

b) P v  Q l  c¡c a thùc rót gån degyP = degP = m v 

degyQ = degQ = n;

c) Méi ÷íng cong P = 0 v  Q = 0 ch¿ câ mët nh¡nh b§t kh£ quy t¤i

væ h¤n

Vîi i·u ki»n a) v  b) c¡c a thùc P,Q câ d¤ng Weierstrass Nh÷ vªy

tø i·u ki»n c) ta câ thº ¡p döng h» qu£ 2.1 cho a thùc P v  Q Khi

â ta câ thº x¡c ành ÷ñc nghi»m Newton-Puiseux t¤i væ h¤n t÷ìngùng cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh P = 0 v  Q = 0 l :

Vîi ϕ v  ψ l  c¡c h m ph¥n h¼nh x¡c ành trong ành ngh¾a 2.3, ta

V¼ (l, k) = 1 n¶n l|si v  k|ri Do â ta câ (ii).

L§y η b§t k¼ sao cho ηn = 1 th¼ ta câ:

ϕ(tl) − ψ(ηtk) = akp1(1 − ηlp1)tN1 + + akpe−1(1 − ηtPe−1)tNe−1 +

N¸u η ∈ Ji, th¼ ηlp 1 = 1, , ηlpi = 1 Ta d¹ d ng kiºm tra r¬ng nghi»mthù n cõa ìn và thäa m¢n ¯ng thùc tr¶n b¬ng (p0, , pi)l (ta ÷ñc

i·u ki»n (iii))

Bê · 2.3 N¸u deggeoF l  bªc h¼nh håc cõa F th¼ deggeoF = degQ(tm, ϕ(t))vîi |t| > R1

m

ành lþ 2.2 Gi£ sû F = (P, Q) : C2

−→ C2 l  ¡nh x¤ a thùc thäam¢n c¡c i·u ki»n (a,b,c) trong ành ngh¾a 2.3 Khi â :

K¸t hñp còng bê · 2.2 ta câ i·u ph£i chùng minh.

Tø â ta câ c¡c h» qu£ sau:

H» qu£ 2.2 N¸u F = (P, Q) : C2

−→ C2 l  ¡nh x¤ a thùc thäa m¢nc¡c i·u ki»n ¢ n¶u trong ành ngh¾a 2.3 th¼:

degP

gcd(degP, degQ)|deggeoF ho°c degQ

gcd(degP, degQ)|deggeoF (2.3)Chùng minh

V¼ degP , degQ v  deggeoF l  ¤i l÷ñng khæng êi cõa tü çng c§utuy¸n t½nh cõa C2, n¶n ta câ thº gi£ sû r¬ng P v  Q l  c¡c a thùc câh» sè cõa h» tû cao nh§t b¬ng 1 èi vîi x v  degxP = degP,

degP1gcd(degP1, degQ1)|deggeoF1ho°c

degQ1gcd(degP1, degQ1)|deggeoF1

vîi F1 = (P1, Q1)

Ho°c

degQs.gcd(degPr , degQs )|deggeoF

r.sSuy ra

degPgcd(degP, degQ)|deggeoFho°c

degQgcd(degP, degQ)|deggeoFVªy ta công thu ÷ñc (2.3) trong tr÷íng hñp n y

Bê · 2.4 (Bê · chia)

N¸u F = (P, Q) : C2

−→ C2 l  tü ¯ng c§u a thùc cõa C2 th¼ :degP |degQ ho°c degQ|degP (2.4)

Chùng minh

Trong tr÷íng hñp n y gi£ sû cõa h» qu£ 2.2 l  rã r ng thäa m¢n.Hìn núa ta câ deggeoF = 1 n¶n tø (2.3) ta suy ra (2.4)

Bê · 2.5 Gi£ sû P, Q ∈ k[X, Y ] l  hai a thùc thu¦n nh§t thäam¢n:

[P, Q] = PxQy − PyQx ≡ 0trong k[X, Y ] Khi â tçn t¤i c ∈ k sao cho:

degP = m.degQ V¼ F = (P, Q) l  tü çng c§u n¶n ta câ:

PxQy − PyQx ≡ const 6= 0

Do â c¡c th nh ph¦n thu¦n nh§t bªc cao nh§t PdegP v  QdegQ thäam¢n gi£ thi¸t bê · 2.5

Vªy tçn t¤i c ∈ C sao cho PdegP = cQmdegQ

Khi â: deg(P − cQm) < degP Vªy n¸u °t F1 = (x − cym, y) v  °t

F1 = F1 ◦ F th¼ ta câ degF1 = deg(F1 ◦ F ) < degP = degF

N¸u degF1 > 1 b¬ng c¡ch lªp l¤i qu¡ tr¼nh tr¶n èi vîi F ÷ñc thayth¸ bði F1 ta nhªn ÷ñc ¯ng c§u sì c§p F2 v  ¡nh x¤ F2 = F2 ◦ F1

sao cho degF2 < degF1

Ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n, do bªc cõa F l  húu h¤n n¶n sau mët sèb÷îc k n o â chóng ta s³ nhªn ÷ñc ¯ng c§u sì c§p Fk v  ¯ng c§u

Fk = Fk ◦ Fk−1 vîi degFk = 1 Khi â ta câ:

Fk = Fk ◦ Fk−1 = Fk ◦ Fk−1 ◦ Fk−2 = Fk ◦ Fk−1 ◦ Fk−2 ◦ ◦ F1 ◦ F

trong â Fi(i = 1, k) l  c¡c ¯ng c§u sì c§p L÷u þ r¬ng c¡c nghàch

£o cõa Fi công l  c¡c ¯ng c§u sì c§p Tø â ta câ biºu di¹n:

F = F1−1 ◦ F2−1◦ ◦ Fk−1−1 ◦ Fk−1 ◦ Fk.Nh÷ vªy F câ thº ph¥n t½ch ÷ñc th nh t½ch húu h¤n c¡c tü ¯ng c§u

sì c§p

PdegP = γα3x6

QdegQ = αx2

N¶n khi â tçn t¤i c ∈ C sao cho

γα3x6 = c.(αx2)3

Tø c¡c i·u tr¶n suy ra F2 = F2 ◦ F1 ◦ F Suy ra F = F−1

Khâa luªn n y tr¼nh b y v· ành lþ Jung v  chùng minh ành lþ Jungtheo hai h÷îng ti¸p cªn kh¡c nhau.

H÷îng ti¸p cªn thù nh§t ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng 1 l  düa tr¶nc¡c ki¸n thùc v· ¤o h m tr¶n mët v nh, ¤o h m lôy linh àa ph÷ìng

º chùng minh ành lþ Rentschler Sau â ¡p döng ành lþ Rentschler

º chùng minh ÷ñc ành lþ Jung

H÷îng ti¸p cªn thù hai em ÷a ra trong ch÷ìng 2 l  sû döng khaitriºn Newton-Puiseux, khai triºn Newton-Puiseux t¤i væ h¤n, bªc h¼nhhåc cõa ¡nh x¤ a thùc ta câ bê · chia Sau â ¡p döng bê · chia

[A] - T i li»u Ti¸ng Anh

[1] Arno van den Essen Polynomial Automorphisms: and the bian cånecture (1995) 56-65

Jaco-[2] Chau Nguyen Van A simple proof of Jung's theorem on mial automorphisms of C2 Acta Math Vietnam (2003) 209-214.[3] D.Daigle Locally nilpotent derivations Lecture notes for the

polyno-September School of Algebraic Geometry Lukecin, Poland,September (2003) 1-4

[4] D.Daigle On some properties of locally nilpotent tions.Journal of Pure and Applied Algebra 114 (1997) 221-230.[5] J Chadzynsky, K.T Krasinski On a formula for the geometricdegree and Jung's theorem, (1991) 81-84

deriva-[6] J.McKay and S.S.-S Wang An elementary proof of the phism theorem for the polynomial ring in two variables, Journal

automor-of Pure and Appiled Algebra 52 (1988) 91-102

[B] - T i li»u Ti¸ng Vi»t

[7] inh Thà Trang Khai triºn Newton-Puiseux v  mët sè ùngdöng(2014).