(Hình học 10 - Chương II) Bài giảng: Tích vô hướng của hai vecto

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

H ÌNH HỌC 10

CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

§ 2 Tích vô hướng của hai vectơ

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải

như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận

được giải đáp

Đ2 tích vô hớng của hai vectơ

Bài học này nêu ra định nghĩa của tích vô hớng cùng với các tính chất cơ bản của nó Các em học sinh phải biết vận dụng những kiến thức cơ bản này để giải một số bài toán hình học và bài toán thực tế.

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ a và b ( a, b  0 ) Từ điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ OA

= a và OB = b Khi đó:

Số đo của góc AOB đợc gọi là số đo của góc giữa hai vectơ a và b, hoặc góc giữa hai vectơ a và b

Ta thấy ngay việc xác định góc giữa hai vectơ không phụ thuộc vào việc chọn điểm

O, do đó góc giữa hai vectơ a và b đợc kí hiệu là ( a, b).

Nếu ( a, b) = 900 thì ta nói rằng hai vectơ a và b vuông góc với nhau, kí hiệu a  b

Thí dụ 1: Cho ABC vuông tại A, biết B = 420 Tính các góc:

(BA, BC); (AB, BC); (AC, BC); (BA, AC)

Giải

Ta có ngay:

(BA, BC) = 420;

(AB, BC) = 900 + 420 = 1320;

(AC, BC) = 900  420 = 480;

(BA, AC ) = 900

Hoạt động 1 Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 0 0 ?

2 Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 180 0 ?

2 Định nghĩa tích vô hớng của hai vectơ

Định nghĩa : Tích vô hớng của hai vectơ a và b kí hiệu là a b là một số thực

đợc xác định bởi:

a b =  a. b.cos( a; b)

Từ định nghĩa với a, b  0 ta có các kết quả:

a 2

a

 = a a cos00 =  a2

b a b > 0  cos > 0  00   < 900

c a b = 0  cos = 0   = 900  a  b

B

C A

Hai vectơ cùng h ớng. Hai vectơ ng ợc h ớng.

Hai vectơ cùng h ớng. Hai vectơ ng ợc h ớng.

d a b < 0  cos < 0  900 <   1800.

Nếu một trong hai vectơ bằng 0 thì ta quy ớc:

a.0 = b.0 = 0

3 tính chất của tích vô hớng

Với mọi vectơ a, b, c và với mọi số thực k ta đều có :

Tính chất 1: (Tính chất giao hoán): a b = b a

Tính chất 2: (Tính chất phân phối): a.( b + c) = a b + a.c

Tính chất 3: m( a) b = m( a b)

Hoạt động H y chứng minh các tính chất của tích vô hãy chứng minh các tính chất của tích vô h ớng.

Dùng các tính chất của tích vô hớng, ta có thể chứng minh các hằng đẳng thức về tích vô hớng sau:

( a + b)2 =  a2 +  b2 + 2 a b ( a b)2 =  a2

+  b22 a b ( a + b)( a b) =  a2

 b2

Thí dụ 2: Cho ABC đều cạnh a, trọng tâm G

a Tính các tích vô hớng AB.AC và AB.BC

b Gọi I là điểm thoả mãn IA2IB + 4IC = 0 Chứng minh rằng BCIG

là hình bình hành, từ đó tính IA(AB + AC), IB.IC, IA.IB

Giải

a Ta có:

(AB, AC) = 60o

 AB.AC = AB.AC.cos60o = a.a

2

1 =

2

1 a2

Ta có:

(AB, BC) = 120o  AB.BC = AB.BC.cos120o = a.a.(

2

1 ) = 

2

1 a2

b Ta có:

IA2IB + 4IC = 0  (GAGI)2(GBGI) + 4(GCGI)

= 0

 GA2GB + 4GC = 3GI  (GA + GB + GC )3GB + 3

GC = 3GI

 BC = GI  BCIG là hình bình hành

Gọi M là trung điểm BC, ta đợc:

IA(AB + AC) = (IG + GA).2AM = 2IG.AM + 2GA.AM

= 2CB.AM2GA.AM = 2

3

3

a

2

3

a = a2

A

M

IB.IC = (IA + AB)(IA + AC) = IA + IA(AB + AC) + AB AC

= AG2 + GI2a2 +

2

1

a2 =

2

3 3 a









+ a2a2 +

2

1

a2 =

6

a

5 2

IA.IB = (IG + GA)(IG + IC) = IG2 + IG.IC + GA.IG + GA

IC

= IG2 + IG.IC + GA.GB = IG2 + IG.IC.cos300 + GA.GB.cos1200

=

2

3 3 a









+ a

2

3

a

2

3 +

2

3

a

2

3

a (

2

1 ) =

24

a

17 2

4 Công thức hình chiếu

a Nếu 4 điểm A, B, C, D cùng ở trên một trục thì:

AB.CD = AB.CD

b Nếu A', B' là hình chiếu của A, B lên giá của CD thì:

AB.CD = A'B'.CD

5 biểu thức toạ độ của tích vô hớng

Nếu a(a1; a2) và b(b1; b2) thì:

a b = a1.b1 + a2.b2

Góc  giữa hai vectơ a và b xác định bởi:

cos =

2 2 2 1 2 2 2 1

2 2 1 1

b b a a

b a b a







bài tập lần 1

Bài tập 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn nội

tiếp hình vuông và N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC Tính:

a MA.MB + MC.MD

b NA.AB

c NO.BA

Bài tập 2: Cho MM1 là đờng kính bất kỳ của đờng tròn tâm O, bán kính R A là

điểm cố định và OA = d Giả sử AM cắt (O) tại N

a Chứng minh rằng tích vô hớng AM.AM1 có giá trị không phụ thuộc M

b Chứng minh rằng tích AM.AN có giá trị không phụ thuộc M

Bài tập 3: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng ABCD khi và chỉ khi:

AC2 + BD2 = AD2 + BC2

Bài tập 4: Cho ABC vuông, có cạnh huyển BC = a 3, M là trung điểm BC Biết

rằng AM.BC =

2

a2

, tính độ dài AB và AC

Bài tập 5: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Tìm tập hợp những điểm M sao

cho MA.MBMA.MC = a2MB2 + MC2, với a = BC

Bài tập 6: Cho hai vectơ đơn vị a và b thoả mãn a + b = 2 Hãy xác định (3

a 4b)(2a + 5b)

bài giảng nâng cao

A Tóm tắt lí thuyết

I Định nghĩa

Tích vô hớng của hai vectơ a và b (a, b  0) ký hiệu là a.b là một số thực

đ-ợc xác định bởi:

a.b = |a|.|b|.cos, với  = (a,b)

Từ định nghĩa ta có các kết quả:

a 2

a

 = a.a = |a|2

b a.b > 0  cos > 0  00   < 900

c a.b = 0  cos = 0   = 900  ab

d a.b < 0  cos < 0  900 <   1800

Nếu một trong hai vectơ bằng 0 thì ta quy ớc:

a.0 = b.0 = 0

1 các tính chất của tích vô hớng

Với mọi vectơ a, b, c và với mọi số thực k ta đều có:

Tính chất 1: (Tính chất giao hoán) Ta có:

a.b = b.a

Tính chất 2: (Tính chất phân phối) Ta có:

a.(b + c) = a.b + a.c

Tính chất 3: Ta có:

m(a).b = m(a.b)

2 các hằng đẳng thức về tích vô hớng

 (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a.b

 (ab)2 = |a|2 + |b|22a.b

 (a + b)(ab) = |a|2|b|2

3 Công thức hình chiếu

a Nếu 4 điểm A, B, C, D cùng ở trên một trục thì:

AB

.CD = AB.CD

b Nếu A', B' là hình chiếu của A, B lên giá của CD thì:

AB



.CD = A ' B '.CD

4 biểu thức toạ độ của tích vô hớng

Nếu a(a1; a2) và b(b1; b2) thì a.b = a1.b1 + a2.b2

Góc  giữa hai vectơ a và b xác định bởi:

cos = 21 12 22 2 2

1 2 1 2

a b a b

a a b b



B phơng pháp giải toán

Bài toán 1:Tính tích vô hớng của hai vectơ

Phơng pháp thực hiện

Ta lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa bằng cách đa hai vectơ a, b về cùng gốc để xác

định đợc góc  = ( a, b), từ đó:

a b =  a. b.cos

Cách 2: Sử dụng các tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hớng của hai

vectơ

Cách 3: Sử dụng định lý hình chiếu: với A', B' là hình chiếu của A, B lên giá của

CD, ta có:

AB.CD = A'B'.CD

Cách 4: Sử dụng biểu thức toạ độ.

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn nội

tiếp hình vuông và N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC Tính:

a MA.MB + MC.MD

b NA.AB

c NO.BA

Giải

a Ta có:

MA.MB + MC.MD = (MO + OA).(MO + OB) +

+ (MO + OC).(MO + OD) = 2MO2 + OA.OB + OC.OD + MO(OA + OB + OC + OD)

=

4

1

a2, bởi OA  OB, OC  OD và OA + OB + OC + OD = 0

b Nhận xét rằng B là hình chiếu vuông góc của N lên AB, do đó:

NA.AB = BA.AB = AB.AB = AB2 = a2

c Gọi K là trung điểm của AB, suy ra M là hình chiếu vuông góc của O lên AB, do đó:

NO.BA = BK.BA =

2

1

a.a =

2

1

a2

 Chú ý: Với các bài toán có điều kiện, chúng ta cần vận dụng linh hoạt điều kiện dể

nhận đợc biểu thức cần dùng, cụ thể giả sử bài toán yêu cầu tính:

A = (1 a + 1 b)(2 a + 2 b) biết rằng a  = a, b = b và a + b = c, khi đó ta hiểu rằng:

K

C D

O

N M

A = 12 a + 12 b + (12 + 21)a.b

= 12a2 + 12b2 + (12 + 21)a.b

Nh vậy từ giả thiết ta cần nhận đợc giá trị của tích a.b , để có đợc nó ta sử dụng:

a + b  = c  (a + b)2 = c2

 a2 + b2 + 2a.b = c2  a.b =

2

1

(c2a2b2) Suy ra:

A = 12a2 + 12b2 +

2

1

(12 + 21)(c2a2 + b2)

Bài toán 2:Chứng minh đẳng thức về tích vô hớng hay độ dài

Phơng pháp thực hiện

Ta có hai dạng:

Dạng 1: Với các biểu thức về tích vô hớng ta sử dụng định nghĩa hoặc tính chất

của tích vô hớng, cần đặc biệt lu ý phép phân tích vectơ để biến đổi

Dạng 2: Với các biểu thức về độ dài ta thớng sử dụng AB2 = AB2

Ví dụ 2: Cho MM1 là đờng kính bất kỳ của đờng tròn tâm O, bán kính R A là

điểm cố định và OA = d Giả sử AM cắt (O) tại N

a Chứng minh rằng tích vô hớng AM.AM1 có giá trị không phụ thuộc M

b Chứng minh rằng tích AM.AN có giá trị không phụ thuộc M

Giải

a Ta có:

AM.AM1 = (OMOA).(OM1OA)

= OM.OM1(OM + OM1).OA + OA2

= OA2OM2 = d2R2

b Ta có:

AM.AN = AM.AN = AM.(AM1 + M1N )

= AM.AM1 + AM.M1N = d2R2

Bài toán 3:Chứng minh tính vuông góc  Thiết lập điều kiện vuông góc

Phơng pháp thực hiện

Ta dùng định lý:

a b  a b = 0   a. b.cos( a, b) = 0 



















0 ) b , a cos(

0 b

0 a

Ngoài ra, ta còn sử dụng các tính chất của tích vô hớng

Chú ý: Nếu a(a1; a2) và b(b1; b2) thì điều kiện

a b  a1.b1 + a2.b2 = 0

Ví dụ 3: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng ABCD khi và chỉ khi:

Giải

O

A

M M

1

N

Biến đổi (1) về dạng:

0 = (AC 2BC2) + (BD2AD2)

= (ACBC)(AC + BC) + (BDAD)(BD + AD)

= AB(AC + BC) + BA(BD + AD)

= AB(AC + BCBDAD) = AB.DC

 AB  CD

Bài toán 4:Sử dụng tích vô hớng giải các bài toán định lợng, định tính

Phơng pháp thực hiện

1 Với các bài toán định lợng, ta sử dụng các kết quả:

a Gọi  là góc giữa a và b , ta có:

cos =

| b

|

| a

|

b a

b Để tính độ dài đoạn AB, ta thực hiện AB2 = AB2 = AB.AB

rồi thực hiện phép phân tích vectơ AB thành tổ hợp các vectơ cơ sở

2 Với các bài toán định tính, ta biến đổi điều kiện ban đầu thành biểu thức của tích

vô hớng, rồi từ đó dẫn tới







  b //

a

b a

,

từ đó đa ra lời kết luận cho bài toán

Ví dụ 4: Cho ABC vuông, có cạnh huyển BC = a 3, M là trung điểm BC Biết

rằng AM.BC =

2

a2 , tính độ dài AB và AC

Giải

Từ giả thiết ta đợc;

2

a2

= AM.BC =

2

1

(AB + AC).(ACAB)

=

2

1 (AB2AC 2) =

2

1 (AB2AC2)

Mặt khác theo Pitago, ta đợc:

AB2 + AC2 = BC2 = ( a 3)2 = 3a2 (2) Giải hệ phơng trình tạo bởi (1), (2), ta đợc AB = a 2, AC = a

Bài toán 5: Tìm điểm M thoả mãn đẳng thức về tích vô hớng hay độ dài

Phơng pháp thực hiện

Ta biến đổi biểu thức ban đầu về một trong các dạng sau:

Dạng 1: AM2 = k > 0, thì M thuộc đờng tròn tâm A, bán kính R = k

Dạng 2: MA.MB = k, với A, B cố định và k không đổi Khi đó:

 Gọi I là trung điểm AB, ta đợc:

k = MA.MB = (MI + IA).(MI + IB) = (MI + IA).(MIIA) = MI2IA2

 IM2 = k + IA2 = k +

4

AB Dặt

 l

 Khi đó:

- Nếu l < 0 thì M không tồn tại M

- Nếu l = 0 thì M  I

- Nếu l > 0 thì M thuộc đờng tròn tâm I, bán kính R = l

Mở rộng: Nếu ta có MA.





n 1 i

i

iMA = k, với A, Ai, i = 1 , n cố định, 





n 1 i

i  0 và

k không đổi Khi đó:

 Gọi K là điểm thoả mãn:







n 1

i i i

KA = 0  tồn tại duy nhất điểm cố định K

 Từ đó:







n 1

i i i

MA = 





n 1

i i

.MK = MK, với  = 





n 1

i i

 Khi đó ta đợc:

MA.MK =



k

Dạng 3: MA.BC = k, với A, B, C cố định Khi đó:

 Gọi M0, A0 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M, A lên BC, ta đợc:

k = MA.BC = M0A0 BC  M0A0 =

BC

k

,

có giá trị không đổi và do A0 cố định nên M0 cố định

 Vậy điểm M thuộc đờng thẳng vuông góc với BC tại M0

Đặc biệt khi k = 0 thì M thuộc đờng thẳng qua A vuông góc với BC

Ví dụ 5: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Tìm tập hợp những điểm M sao

cho MA.MBMA.MC = a2MB2 + MC2, với a = BC

Giải

Ta biến đổi (1) về dạng:

a2 = MA(MCMB)MB2 + MC2

= (MA + MB + MC)(MCMB) = 3MG.BC

trong đó G là trọng tâm ABC, và gọi M0, G0 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của

M, G lên BC, ta đợc:

3M0G0.BC = a2  M0G0 =

3 a

do G0 cố định nên M0 cố định

Vậy điểm M thuộc đờng thẳng vuông góc với BC tại M0

Bài toán 6:Sử dụng biểu thức toạ độ của tích vô hớng

Phơng pháp thực hiện

Ta sử dụng kết quả:

Nếu a(a1; a2), b(b1; b2) và  là góc giữa a và bthì:

A

G G

0

M

0 M

 a b = a1.b1 + a2.b2.

2 2 1 2 2 2 1

2 2 1 1

b b a a

b a b a







Ví dụ 6: Cho hai vectơ đơn vị a và b thoả mãn a + b = 2 Hãy xác định (3

a 4b)(2a + 5b)

Giải

Giả sử a(a1; a2), b(b1; b2), từ giả thiết suy ra:





















2 ) b a ( ) b a

(

1 b

b

1 a

a

2 2 2 2 1 1

2 2

2 2



















1 b

a b

a

1 b

b

1 a

a

2 2 1

1

2 2

2 2

Ta có:

(3a4b)(2a + 5b) = (3a14b1; 3a24b2).(2a1 + 5b1; 2a2 + 5b2)

= (3a14b1)(2a1 + 5b1) + (3a24b2)(2a2 + 5b2) = 6( 2

1

a + 2

2

a )20( 2

1

b + 2

2

b ) + 7(a1b1 + a2b2) = 620 + 7 = 7

Chú ý: Bài toán trên cũng có thể giải bằng tích vô hớng thuần tuý, cụ thể:

Từ giải thiết, suy ra:

(a + b )2 = 4  a2 + b2 + 2a.b = 4  a.b = 1

Ta có:

(3a4b )(2a + 5b ) = 6a220b2 + 7a.b = 620 + 7 = 7

bài tập lần 2 Bài tập 1 Cho ABC có các cạnh bằng a, b, c

a Tính AB.AC theo a, b, c

b Tính AB.BC + BC.CA + CA AB

c Gọi M là trung điể BC và G là trọng tâm ABC, tính độ dài AM từ đó suy ra

độ dài AG

d Tính cosin góc nhọn tạo bởi AG và BC

Bài tập 2 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Có AC, BD là hai dây cung thuộc nửa

đờng tròn, cắt nhau tại E Chứng minh rằng:

AE.AC + BE.BD = AB2

Bài tập 3 Cho ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm BC Lấy các điểm B1, C1

trên AB và AC sao cho AB.AB1 = AC.AC1 Chứng minh rằng AM  B1C1

Bài tập 4 Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD = a, BC = b, đờng cao AB = h.

Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h sao cho:

a BDCI, với I là trung điểm của AB

b ACDI

c BMCN, với M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và BD

Bài tập 5 Cho hình bình hành ABCD, biết rằng với mọi điểm M luôn có:

MA2 + MC2 = MB2 + MD2 Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật

Bài tập 6 Cho ABC Tìm tập hợp những điểm M, sao cho MA2MB2 = k

Bài tập 7 Cho ABC Tìm tập hợp những điểm M, sao cho:

3MA22MB2MC2 = 2l

Bài tập 8 Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tuỳ ý.

a Chứng minh rằng MA2MB2 + MC2 = MD22(OB2 OA2)