Vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán ở tiểu học

đỡ, tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luậntốt nghiệp lần này.“Vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán ở tiểu học” là một đề tài

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

NGUYỄN THỊ TÂM

VẬN DỤNG LÍ THUYẾT TỔ HỢP HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN Ở TIỂU HỌC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học

HÀ NỘI, 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

NGUYỄN THỊ TÂM

VẬN DỤNG LÍ THUYẾT TỔ HỢP HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN Ở TIỂU HỌC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học

Người hướng dẫn khoa học:

ThS Nguyễn Văn Đệ

HÀ NỘI, 2018

đỡ, tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luậntốt nghiệp lần này.

“Vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán ở tiểu học” là một đề tài hay và hấp dẫn Tuy nhiên do thời gian có hạn và đây

là những bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài của

em không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được sự góp

ý của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luận của em được hoànthiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Tâm

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu của riêng tôi và được sựhướng dẫn khoa học của ThS Nguyễn Văn Đệ Các nội dung nghiên cứu, kếtquả trong đề tài này là trung thực và chưa công bố dưới hình thức nào trướcđây Nếu phát hiện có bất kì sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu tráchnhiệm về nội dung luận văn của mình

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Tâm

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .

LỜI CAM ĐOAN .

DANH MỤC CÁC BẢNG

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Đối tượng nghiên cứu 3

5 Phạm vi nghiên cứu 3

6 Khách thể nghiên cứu 3

7 Phương pháp nghiên cứu 3

8 Giả thiết khoa học 3

9 Cấu trúc của khoá luận 4

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VIỆC VẬN DỤNG LÍ THUYẾT TỔ HỢP HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN Ở TIỂU HỌC 5

1.1 Lí luận của việc vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán ở Tiểu học 5

1.1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học 5

1.1.2 Bài toán và lời giải bài toán 8

1.1.3 Phương pháp chung giải một bài toán 9

1.1.4 Lí luận về lí thuyết tổ hợp 14

1.2 Thực trạng của việc vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán ở tiểu học 27

1.2.1 Mục đích khảo sát 27

1.2.2 Đối tượng khảo sát 27

1.2.3 Phương pháp khảo sát 28

1.2.4 Nội dung khảo sát 28

1.2.5 Kết quả khảo sát 28

CHƯƠNG 2: VẬN DỤNG LÍ THUYẾT TỔ HỢP TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN Ở TIỂU HỌC 34

2.1 Vận dụng lí thuyết tổ hợp trong các bài toán cấu tạo số 34

2.2 Ứng dụng lý thuyết tổ hợp trong các bài toán hình học 46

2.3 Ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong các bài toán khác 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 62

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 60

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1: Bảng thống kê đánh giá của giáo viên về sự cần thiết của việc

vận dụng lí thuyết tổ hợp trong giải toán 28

Bảng 1.2: Bảng thống kê nhận thức của giáo viên về việc vận dụng lí

thuyết tổ hợp trong giải

toán 29

Bảng 1.3: Bảng thống kê mức độ giáo viên vận dụng lí thuyết tổ hợp để

hướng dẫn học sinh giải toán 30

Bảng 1.4: Bảng thống kê phạm vi trao đổi về việc vận dụng lí thuyết tổ

hợp 31

Bảng 1.5: Bảng thống kê khó khăn của giáo viên khi vận dụng lí thuyết tổ

hợp hướng dẫn học sinh giải toán 32

tư cho sự phát triển bền vững, đầu tư cho nguồn nhân lực có chất lượng caonhằm đưa nước ta trở thành một nước công nghiệp vào năm 2020 Vì vậy,công tác đào tạo, bồi dưỡng để nâng cao chất lượng đội ngũ cán bộ, đội ngũtri thức giữ một vị trí quan trọng Đây chính là yếu tố then chốt, mang tínhquyết định đưa đất nước đi lên như cha ông ta đã từng nói: “Hiền tài lànguyên khí quốc gia, nguyên khí thịnh thì nước mạnh, nguyên khí yếu thìnước suy”.

Như chúng ta đã biết, bậc Tiểu học là bậc học nền tảng trong việc hìnhthành, rèn luyện và bồi dưỡng nhằm phát triển nhân cách cho học sinh Thôngqua nội dung các môn học và hoạt động giáo dục, các em được cung cấpnhững kĩ năng toán học cơ bản, giáo dục thái độ và hành vi để có thể đáp ứngnhững yêu cầu của xã hội hiên nay Hơn nữa, Tiểu học là bậc học tạo ranhững nét cơ bản của nhân cách con người Việt Nam hiện đại Những gì conngười tiếp thu được ở bậc Tiểu học sẽ làm hành trang cho học sinh đi suốtcuộc đời

Dạy học môn Toán ở Tiểu học nhằm giúp học sinh có những kiến thức

cơ bản ban đầu về số học, các đại lượng thông dụng, một số yếu tố hình học

và thống kê đơn giản Hơn nữa, dạy học toán ở tiểu học còn giúp học sinhhình thành các kĩ năng thực hành, đo lường, giải bài toán có nhiều ứng dụngthiết thực trong đời sống, góp phần bước đầu phát triển năng lực tư duy, khảnăng suy luận hợp lí và diễn đạt đúng Trong đó, hình thức hoạt động toánhọc chủ yếu của học sinh là giải bài tập Thông qua việc giải các bài tập toán

sẽ giúp học sinh phát triển trí thông minh, óc sáng tạo và thói quen làm việcmột cách khoa học Qua đó các biểu tượng, khái niệm, quy tắc tính chất toánhọc ở tiểu học được tiếp thu qua con đường giải toán chứ không phải là líluận Học sinh có điều kiện rèn luyện, phát triển năng lực tư duy, rèn luyệnphương pháp suy luận và những phẩm chất cần thiết của người lao động mới

Qua thực tế ở trường Tiểu học, tôi thấy có nhiều bài toán ở mức độnâng cao, đi sâu của chương trình sách giáo khoa cần phải có phương phápriêng dựa trên những cơ sở toán học khác nhau Toán học ở bậc tiểu học lànhững bài toán cụ thể lấy từ các kiến thức toán học có dạng khái quát ở bậchọc cao hơn Những bài toán đó dựa trên những quy tắc, mệnh đề,… qua đó

mà học sinh có những hiểu biết sơ giản nhất và vận dụng vào các hoạt độngtoán học Bên cạnh đó, giáo viên có nhiệm vụ hình thành cho học sinh cácphương pháp giải toán hiệu quả nhất Phương pháp đó có cơ sở có thể lấy từ líthuyết, quy tắc, công thức toán học ở chính các bậc học cao hơn mà nó đãhình thành nên các công thức toán học và đã chứng minh Như vậy, đối vớimột số các dạng toán thì không chỉ hình thành kiến thức toán học mà phải có

cả phương pháp giải toán cho học sinh ở tiểu học dựa trên những cơ sở toánhọc

Vấn đề “ Vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán

ở tiểu học” là một vấn đề mà tôi đã quan tâm từ rất lâu và tôi thấy rằng vấn đềnày cũng chưa có công trình nào nghiên cứu Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tàinghiên cứu này để góp phần nhỏ bé của mình vào việc dạy và học toán ở tiểuhọc sao cho đạt hiệu quả Tôi rất mong nhận được sự đóng góp của bạn đọc để

đề tài của tôi được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn

2 Mục đích nghiên cứu

- Vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán ở tiểu học;

- Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giảicác bài toán ở tiểu học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về lí thuyết tổ hợp ứng dụng trong giải toán ở tiểu học;

- Tìm hiểu, phân tích các bài toán trong chương trình tiểu học vận dụng líthuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán đó

4 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài toán ở tiểu học vận dụng được lí thuyết tổ hợp để giải các bàitoán đó

7 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp thống kê

8 Giả thiết khoa học

- Nếu vận dụng được phương pháp lí thuyết tổ hợp để hướng dẫn học sinh giải các bài toán ở tiểu học thì sẽ giúp học sinh rèn luyện được kĩ năng giải toán

vận dụng lí thuyết tổ hợp và phát huy được khả năng tư duy cũng như nâng caochất lượng dạy học môn Toán

9 Cấu trúc của khoá luận

- Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Phụ lục, nội dungchính của khóa luận gồm hai chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của việc vận dụng lí thuyết tổ hợphướng dẫn học sinh giải các bài toán ở tiểu học

Chương 2: Vận dụng lí thuyết tổ hợp trong giải các bài toán ở tiểu học

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VIỆC VẬN DỤNG LÍ THUYẾT TỔ HỢP HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI

CÁC BÀI TOÁN Ở TIỂU HỌC 1.1 Lí luận của việc vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán ở Tiểu học

1.1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học

Tư duy của học sinh tiểu học là quá trình nhận thức giúp các em phảnánh được bản chất của đối tượng nghĩa là giúp các em tiếp thu được kháiniệm các môn học

- Phân tích là dùng trí óc phân tích đối tượng nhận thức thành bộ phận,những thuộc tính riêng biệt trong đối tượng Từ đó nhận thức đối tượng sâusắc

- So sánh là dùng trí óc để xác định sự giống, sự khác nhau giữ các sựvật, hiện tượng Muốn so sánh các sự vật, hiện tượng, học sinh phải phân tíchcác dấu hiệu, các thuộc tính, từng dấu hiệu một Sau đó tổng hợp mà đưa rakết luận

- Trừu tượng hoá là thao tác trí óc mà chủ thể bỏ qua những dấu hiệukhông bản chất của sự vật, hiện tượng tách ra những dấu hiệu bản chất để trởthành đối tượng tư duy

Tư duy của học sinh tiểu học được chia làm hai giai đoạn:

- Giai đoạn đầu tiểu học (lớp 1, 2, 3)

Tư duy của học sinh tiểu học ở giai đoạn này mang đậm tính trựcquan, cụ thể Trong đó, tư duy trực quan hành động chiếm ưu thế Học sinhtiếp thu tri thức các môn học bằng cách tiến hành các thao tác tư duy với cácđối tượng cụ thể hoặc là các hình ảnh trực quan

Ví dụ: Khi học sinh học các phép tính, chủ yếu là sử dụng que tính đểtính toán

+ Phân tích và tổng hợp phát triển không đồng đều khi các em học cácmôn học

Ví dụ: Khi học sinh làm bài tập toán, các em bị lôi cuốn vào các từ

“thêm vào”, “bớt đi”, “hơn” hoặc “kém” tách khỏi điều kiện chung của bài tập

từ đó dẫn đến kết quả sai lầm

+ Các thao tác tư duy đã liên kết với nhau thành tổng thể bằng tínhthuận nghịch, giúp học sinh có kĩ năng nhận thức bất biến (cái không thayđổi) khi biến đổi xuôi và ngược khái niệm bảo toàn (số lượng không thay đổikhi thay đổi cách sắp xếp) Từ đó, trong tư duy của học sinh có một bước tiếnquan trọng, đó là phân biệt định tính và định lượng Đó là điều kiện ban đầu

để hình thành khái niệm số ở học sinh tiểu học và học sinh nhận thức đượctính quy luật:

a > b thì b < a

a > b và b > c thì a > c+ Khái quát hoá còn mang tính trực tiếp dựa vào sự tri giác nhữngthuộc tính bề mặt của đối tượng

+ Suy luận của các em còn mang tính chủ quan và gắn liền với kinhnghiệm thực tế, các em khó chấp nhận một giả thiết không thực

Ví dụ: Một con chó có hai chân thì bốn con chó có mấy chân?

- Giai đoạn cuối tiểu học (lớp 4, 5)

Ở giai đoạn này tư duy trừu tượng được tăng cường hơn Học sinh tiếpthu tri thức các môn học bằng cách tiến hành các thao tác tư duy với các kíhiệu Học sinh đã nắm được các mối quan hệ của các khái niệm Học sinhkhông chỉ lĩnh hội các thao tác mà còn biết loại trừ Theo Pitaget, trẻ từ 8 tuổitrở đi có khái niệm bảo toàn vật chất và thao tác chuyển đảo Đây là nhữngdấu hiệu thay đổi tư duy của trẻ em và giai đoạn phát triển thứ hai bắt đầu

Các thao tác tư duy đã liên kết với nhau: thao tác thuận và thao tácngược Tính kết hợp nhiều thao tác, thao tác đồng nhất trong giai đoạn này vànhững thao tác tư duy được hình thành và phát triển mạnh

Theo tác giả Vũ Thị Nho – Tâm Lí học phát triển – NXB ĐHQGHN:

“Đến cuối giai đoạn thứ hai, phần lớn học sinh đã biết khái quát dựa trênnhững cơ sở, những biểu tượng đã tích luỹ được trước đây thông qua sự phântích tổng hợp bằng trí tuệ Đến đây vai trò của tư duy trực quan hình ảnh dầndần nhường chỗ cho kiểu tư duy ngôn ngữ”

Khái quát hoá ở giai đoạn này mang tính khái quát, biết dựa vào dấuhiệu bản chất

+ Các thao tác không gian và thời gian vận động được hình thành vàphát triển mạnh

+ Học sinh xác lập mối quan hệ từ nguyên nhân đến kết quả tốt hơn từkết quả đến nguyên nhân Bởi vì suy luận từ nguyên nhân đến kết quả, mốiquan hệ trực tiếp được xác lập và ngược lại; khi suy luận từ kết quả đến

nguyên nhân, mối quan hệ đó được xác lập một cách không trực tiếp do mộtkết quả có thể có nhiều nguyên nhân.

1.1.2 Bài toán và lời giải bài toán

1.1.2.1 Bài toán

Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách

có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trôngthấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bàitoán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó Như vậy bài toán có thể đồngnhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán: đề toán, bài tập,

1.1.2.2 Các yếu tố cơ bản của bài toán

Trong định nghĩa về bài toán ở trên, ta thấy có hai yếu tố chính hợpthành của một bài toán đó là:

+ Mục đích của bài toán

+ Sự đòi hỏi thực hiện mục đích của bài toán

Ví dụ: “Chứng minh rằng một số tự nhiên chia hết cho 3 khi tổng cácchữ số của chúng chia hết cho 3”

Trong bài toán này 2 yếu tố cơ bản hợp thành đó là:

+ Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ “Chứng minh rằng”.+ Mục đích của bài toán thể hiện qua: “một số tự nhiên chia hết cho 3khi tổng các chữ số của chúng chia hết cho 3”

1.1.2.3 Lời giải của bài toán

Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thựchiện để đạt tới mục đích đã đặt ra

Như vậy ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài toán.Một bài toán có thể có:

- Một lời giải

- Không có lời giải

- Nhiều lời giải.

Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhấtmột lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lí giảiđược bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải

1.1.3 Phương pháp chung giải một bài toán

1.1.3.1 Phân loại bài toán

Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt đượcmục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi

a Phân loại theo hình thức bài toán

Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã chohay chưa để phân chia bài toán ra thành 2 loại:

- Bài toán chứng minh: Là bài toán kết luận của nó đã được đưa ra mộtcách rõ ràng trong đề bài toán

b Phân loại theo phương pháp giải bài toán

Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có angôritgiải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại:

- Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theomột thuật toán chung nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó.

Ví dụ:

“Dạng toán tìm hai số biết tổng và tỉ số của hai số đó”

“Dạng toán tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó”

“Dạng toán tìm hai số biết tổng và hiệu của hai số đó”

“Dạng toán tìm số trung bình cộng của các số”

Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nókhông theo một thuật toán chung nào đó hoặc không mang tính chất angôrit nào

Ví dụ:

“Cho hình vuông ABCD có cạnh 10cm Gọi M, N lần lượt là điểmchính giữa của cạnh AB, BC Nối CM và DN cắt nhau tại I Hãy tính diện tíchcủa hình tứ giác AMID”

c Phân loại theo nội dung bài toán

Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuậtngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thànhcác loại khác nhau như sau:

Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay saukhi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó

Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống cáckiến thức cũng như kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duyphân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo

1.1.3.2 Phương pháp tìm lời giải của bài toán

Dựa theo 4 bước của G.POLIA:

* Bước 1: Tìm hiểu đề

Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìmhiểu kĩ nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:

+ Bài toán cho biết gì? Bài toán chưa cho biết gì?

+ Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tốthay đổi, biến thiên của bài toán.

+ Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán

+ Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không?

* Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xâydựng chương trình giải là bước quyết định, đồng thời cũng là bước khó khănnhất Bước này đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã học để nhậnxét, so sánh, bác bỏ, từ đó mới có thể tiếp cận tới lời giải của bài toán

Đối với những bài toán không có angôrit giải, chúng ta sẽ phải tiếnhành xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau:

a Phương pháp đi xuôi

Phương pháp đi xuôi xuất phát từ các giả thiết của bài toán được lấylàm tiền đề Bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic của cáctiền đề đó Tiếp tục chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kếtluận của bài toán làm tiền đề mới Lại bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm racác hệ quả lôgic mới gần gũi hơn với kết luận Cứ tiếp tục quá trình ấychúng ta tìm ra được hệ quả lôgic trùng với kết luận của bài toán Khi ấy tatìm được lời giải của bài toán

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

A => B

C => D => X (trong đó A, C là các giả thiết còn X là kết luận).

b Phương pháp đi ngược

Phương pháp đi ngược là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán.Bằng suy luận hợp lôgic chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề lôgic của kếtluận này

Tiếp tục chúng ta chọn lọc trong đó để lấy ra tiền đề gần gũi với giảthiết của bài toán để làm kết luận mới từ đó rút ra các tiền đề lôgic mới củacác kết

luận mới này Quá trình ấy lại được tiếp diễn tả tìm được các tiền đề lôgictrùng với giả thiết của bài toán, ta có được lời giải của bài toán

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

C <= A

X <=

D <= B

(trong đó A, C là các giả thiết còn X là kết luận)

Chú ý: Thông thường trong nhiều trường hợp để tìm được lời giải của

bài toán ta thường kết hợp cả 2 phương pháp đi xuôi và đi ngược

Ví dụ: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:

“Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không chứa nước sau 8 giờ đầy bể.Biết rằng lượng nước mỗi giờ vòi 1 chảy vào bể bằng 1,5 lần lượng nước vòi

2 chảy vào bể Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?”

Đến đây ta đưa bài toán về dạng toán quen thuộc nào?

Hãy trình bày lời giải bài toán

c Phương pháp sử dụng các phép suy luận qui nạp

Trong toán học, để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều phươngpháp Tuy nhiên, không phải phương pháp nào cũng có thể đi tới lời giải củabài toán

Có những bài toán mà ta đã sử dụng nhiều phương pháp: Phương pháp

đi xuôi, phương pháp đi ngược, thậm chí kết hợp cả hai phương pháp đó màvẫn chưa tìm được lời giải của bài toán đó Lúc này ta cần chuyển hướng suynghĩ theo một hướng khác, tạm gọi là phương pháp sử dụng các phép suy luậnquy nạp, nghĩa là: Suy nghĩ đến bài toán liên quan, có tính chất gần giống vớibài toán ta cần giải Có thể là bài toán con, bài toán tương tự, bài toán đặcbiệt, đôi khi là bài toán khái quát

Bằng cách phân tích sử dụng lời giải của các bài toán có liên quan vớibài toán đã cho, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải của bàitoán đã cho

Theo G.POLIA chúng ta thường phải đặt ra các câu hỏi sau: “Anh cóbiết một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?”; “Đây là một bàitoán gần giống với một bài toán của anh đã được giải rồi Anh có thể dùngđược nó làm gì không?”; “Nếu anh không giải được bài toán đã cho, thì trướchết hãy giải bài toán gần giống với nó”

* Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, tadùng các phép suy luận hợp lôgic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh

đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán

Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý phânbiệt sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra được –chính là điều chứng minh được

* Bước 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán

Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìmđuợc của bài toán.

Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán

Nghiên cứu các bài toán có liên quan

1.1.4 Lí luận về lí thuyết tổ hợp

1.1.4.1 Khái niệm lí thuyết tổ hợp

Toán học tổ hợp là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấuhình kết hợp các phần tử của một tập hợp hữu hạn phần tử Các cấu hình đó làhoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, các phần tử của một tập hợp

Lý thuyết tổ hợp được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau: lýthuyết số, hình học hữu hạn, biểu diễn nhóm, đại số không giao hoán, thống

kê xác xuất,…

Lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu sự phân bố các phần tửvào các tập hợp Các phần tử là hữu hạn và việc phân bố chúng phải thỏa mãnnhững điều kiện nào đó tùy theo yêu cầu của công việc (bài toán)

Mỗi cách phân bố như thế được gọi là một cấu hình tổ hợp (một bộ cácphần tử nào đó)

1.1.4.2 Xây dựng lí thuyết tổ hợp

Sự chuyển hướng xây dựng toán học hiện đại dựa trên cơ sở của líthuyết tổ hợp được mở ra vào cuối thế kỉ XIX đã tác động mạnh mẽ đến sựphát triển của toán học của thế kỉ XX Một trong những ảnh hưởng mạnh mẽnhất của lí thuyết tập hợp là lí thuyết tính toán với các tập hợp hữu hạn: tổhợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toán hình học, các bài toán tính số hạng củakhai triển đa thức, một số bài toán sắp xếp hoặc tô màu trong lí thuyết đồ thị

Những bài toán kể ở trên gọi chung là các bài toán tổ hợp Một địnhnghĩa chính xác như thế nào là các bài toán tổ hợp còn chưa được biết đến,mặc dù đây là một bộ phận quan trọng của toán học có nội dung rất phong

phú với nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kĩ thuật cũng như trong đờisống hàng ngày của chúng ta.

Lí thuyết tổ hợp được nhà toán học người Đức tên là Can – Tơr (1845 –1918) xây dựng Theo ông, một tập hợp được hiểu là một tổng thể các phần tửcùng tính chất chung nào đó

Thông thường người ta hay biểu diễn một tập hợp M như một phần mặtphẳng được giới hạn bởi một đường cong khép kín

M

X .

Phần mặt phẳng này được tô màu hoặc đánh dấu để nhận biết được.Trong cuộc sống ta có rất nhiều ví dụ về tập hợp: các em trong cùng một lớphọc, tập hợp các số tự nhiên N, tập hợp các tam giác,

a Quy tắc cộng

* Ví dụ: Có 8 quyển sách và 6 quyển vở khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách

chọn 1 quyển trong các quyển trên?

Ta có số cách chọn 1 quyển trong số các quyển sách và vở đã cho là:

8 + 6 = 14 (cách chọn)

* Quy tắc:

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặcphương án B Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương

án B Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách

Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì:

n (A B) = n(A) + n(B)

Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động

b Quy tắc nhân

* Ví dụ: Bạn Lan có hai cái áo màu khác nhau và ba chiếc váy khác nhau.

Hỏi Lan có bao nhiêu cách chọn để thành 1 bộ?

Bài giải:

Giả sử hai chiếc áo được đánh chữ a và b, ba chiếc váy được đánh số 1,

2, 3 a1

a2a

Để chọn một bộ quần áo, ta phải thực hiện liên tiếp 2 hành động:

+ Hành động 1 – Chọn áo Có hai cách chọn (chọn a hoặc chọn b)

+ Hành động 2 – Chọn váy Ứng với mỗi cách chọn áo có ba cách chọn váy Kết quả ta có các bộ như sau: a1, a2, a3, b1, b2, b3 (Hình 2)

Vậy có số cách chọn một bộ quần áo là:

* Quy tắc:

32 = 6 (cách chọn)

Đáp số: 6 cách chọn

Giả sử một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và B Công đoạn

A có thể làm theo n cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn

B có thể làm theo m cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo nmcách

Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.

c Hoán vị

* Định nghĩa

V

í d ụ 1 : Trong một trận bóng đá, sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hoà nên phải

thực hiện đá luân lưu 11m Một đội 5 cầu thủ để thực hiện đá năm quả 11m.Hãy nêu ba cách sắp xếp đá phạt

Bài giải:

Để xác định, ta giả thiết của năm cầu thủ được chọn A, B, C, D, E Để

tổ chức đá luân lưu, huấn luyện viên cần phân công người đá thứ nhất, thứhai, và kết quả phân công là một danh sách có thứ tự gồm tên của năm cầuthủ Chẳng hạn, nếu viết DEACB nghĩa là D đá quả thứ nhất, E đá quả thứhai, và B đá quả cuối cùng

Có thể nêu ba cách tổ chức đá luân lưu như sau:

Các cách sắp xếp chỗ ngồi được liệt kê như sau:

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB,

BACD, BADC, BCDA, BCAD, BDAC, BDCA,

CADB, CABD, CBDA, CBAD, CDAB, CDBA,

DABC, DACB, DBCA, DBAC, DCAB, DCBA

Như vậy có 24 cách chọn cho ta một hoán vị tên của bốn bạn

+ Cách thứ hai: Dùng quy tắc nhân

Pn = n(n –1) 21

Chứng minh:

Để lập được mọi hoán vị của n phần tử, ta tiến hành như sau:

Phần tử còn lại sau cùng được xếp vào vị trí thứ n

Như vậy, theo quy tắc nhân, có n(n – 1) 21 kết quả sắp xếp thứ tự

ị n h ng h ĩ a: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) Kết quả của việc lấy

k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo mộtthứ tự nào đó gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

* Số các chỉnh hợp

n

n n

Với ví dụ trên ta sử dụng quy tắc nhân Để tạo nên tất cả các cách phâncông ta tiến hành như sau:

- Chọn một bạn để giao việc quét nhà Có 5 cách

- Khi đã chọn một bạn quét nhà, chọn tiếp một bạn từ bốn bạn còn lại

để giao việc lau bảng Có 4 cách

- Khi đã chọn một bạn quét nhà và một bạn lau bảng, chọn một bạn từ

ba bạn còn lại để giao việc sắp bàn ghế Có 3 cách

Theo quy tắc nhân, số cách phân công trực nhật là:

543 = 60(cách)Nói cách khác, ta có 60 là chỉnh hợp chập 3 của 5 bạn

Định lí:

Kí hiệu k là chỉnh hợp chập k của n phần tử

Chứng minh:

Ak = n(n  1) (n  k +1)

Để tạo nên mọi chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta tiến hành như sau:Chọn một trong n phần tử đã cho xếp vào vị trí thứ nhất Có n cách.Khi đã có phần tử thứ nhất, chọn tiếp một trong n  1 phần tử còn lại xếp vào vị trí thứ hai Có n  1 cách

Khi đã chọn k  1 phần tử, chọn một trong n - (k -1) phần tử còn lại xếp vào vị trí thứ k Có n  k + 1 cách

Từ đó theo quy tắc nhân, ta được:

n k!n  k

!

n n  k!

í d ụ : Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D sao cho

không có ba điểm nào thẳng hàng Hỏi có thể tạo được bao nhiêu tam giác màđỉnh thuộc tập hợp bốn điểm đã cho?

Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thoả mãn điều kiện 1  k  n Tuy vậy,

tổ hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tập rỗng là tổ hợpchập 0 của n phần tử

Với k = 0, công thức hiển nhiên đúng

Với k 1, ta thấy một chỉnh hợp k của n phần tử được thành lập như

chọn

Chọn một tập con k phần tử của tập hợp gồm n phần tử Có k

Sắp thứ tự k phần tử được chọn Có k! cách

cách

2 Luyện tập (Bài 3 – Trang 104)

1 Ôn tập về phép cộng và phép trừ (tiếp theo) (Bài 5 – Trang 84)

Khoanh vào chữ đặt trước kết quả đúng

2 Luyện tập (Bài 3 – Trang 104)

Ghi tên các đường gấp khúc có trong hình vẽ sau, biết:

B C

A D

a) Đường gấp khúc đó gồm ba đoạn thẳng

b) Đường gấp khúc đó gồm hai đoạn thẳng

3 Luyện tập (Bài 3 – Trang 159)

Số hình tứ giác có trong hình vẽ là:

5 Luyện tập chung (Bài 5 - Trang 180)

Viết hai số mà mỗi số có ba chữ số giống nhau

b Lớp 3

1 Ôn tập về hình học (Bài 3 - Trang 11)

 Có bao nhiêu hình vuông ?

 Có bao nhiêu hình tam giác ?

2 Góc vuông – Góc không vuông (Bài 4 – Trang 42)

Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng

Số góc vuông trong hình bên là:

A 1 C 3

B 2 D 4

3 Luyện tập (Bài 4 – Trang 116)

Viết số thích hợp vào mỗi chỗ chấm?

a)

- Có ô vuông đã tô màu trong hình

- Tô màu thêm ô vuông để thành một hình vuông có tất cả 9 ô vuông.b)

- Có ô vuông đã tô màu trong hình

- Tô màu thêm ô vuông để thành một hình chữ nhật có tất cả 12 ô vuông

4 Diện tích của một hình (Bài 2 – Trang 150)

P

Q

a) Hình P gồm bao nhiêu ô vuông?

Hình Q gồm bao nhiêu ô vuông?

b) So sánh diện tích hình P với diện tích hình Q?

c Lớp 4

1 Luyện tập (Bài 2 – Trang 22)

a) Có bao nhiêu số có một chữ số?

b) Có bao nhiêu số có hai chữ số?

2 Dấu hiệu chia hết cho 2 (Bài 2 – trang 95)

a) Viết bốn số có hai chữ số, mỗi số đều chia hết cho 2

b) Viết hai số có ba chữ số, mỗi số đều không chia hết cho 2

3 Dấu hiệu chia hết cho 2 (Bài 3 – Trang 95)

a) Với ba số 3, 4, 6 hãy viết các số chẵn có ba chữ số, mỗi số có cả ba chữ sốđó

b) Với ba chữ số 3, 5, 6 hãy viết các số lẻ có ba chữ số, mỗi số có cả ba chữ

số đó

4 Dấu hiệu chia hết cho 5 (Bài 3 – Trang 96)

Với ba số 0, 5, 7 hãy viết các số có ba chữ số, mỗi số có cả ba chữ số

đó và đều chia hết cho 5

5 Luyện tập (Bài 4 – Trang 98)

a) Viết ba số có ba chữ số và chia hết cho 2

b) Hãy viết ba số có ba chữ số và chia hết cho 5

6 Luyện tập (Bài 4 - Trang 98)

Với bốn chữ số 0, 6, 1, 2

a) Hãy viết ít nhất ba số có ba chữ số (ba chữ số khác nhau) và chia hết cho 9 b) Hãy viết một số có ba chữ số (ba chữ số khác nhau) chia hết cho 3 nhưngkhông chia hết cho 9

7 Ôn tập về số tự nhiên (Bài 4 – Trang 162)

Với ba chữ số 0, 5, 2 hãy viết các số có ba chữ số (mỗi số đều có ba chữ

số đó) vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 2

- Các bài toán ở sách giáo khoa mới chỉ ở mức độ hết sức đơn giảnnhưng đó chính là những kiến thức cơ bản của chương trình toán học phổthông.

- Toán ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong chương trình chính khoá ở Tiểuhọc là các bài toán đơn giản, bước đầu của ứng dụng toán rời rạc Các bàitoán đưa ra ở mức độ chưa cao và số lượng chưa nhiều Các bài toán rời rạcchỉ điểm ở các lớp trong các nội dung khác nhau Học sinh giải các bài toán

đó chủ yếu là dùng phương pháp liệt kê, đếm mà ít khi dùng đến lí luận Đó làcách làm thông thường, đơn giản phù hợp với tư duy lứa tuổi

- Chủ đề ứng dụng lí thuyết tổ hợp để giải toán được đưa nhiều vàotrong các đề thi học sinh giỏi với lượng bài tập khá nhiều Các bài toán đưa ravới nhiều kiểu dạng khác nhau rèn luyện tư duy cho học sinh Khi học sinh đãnắm được dạng toán này thì học sinh nhanh chóng và dễ dàng giải được nóvới các kiểu dạng bài tập khác nhau

1.2 Thực trạng của việc vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán ở tiểu học

1.2.1 Mục đích khảo sát

Tìm hiểu thực trạng vận dụng lí thuyết tổ hợp để dạy môn Toán ởtrường Tiểu học hiện nay làm cơ sở góp phần tìm kiếm, đưa ra các phươngpháp giải toán để hướng dẫn học sinh vận dụng hiệu quả lí thuyết tổ hợp đểgiải các bài toán ở tiểu học

1.2.2 Đối tượng khảo sát

25 giáo viên của trường Tiểu học Khai Quang phường Khai Quang thành phố Vĩnh Yên - tỉnh Vĩnh Phúc

25 giáo viên của trường Tiểu học Xuân Hoà phường Xuân Hoà thành phố Phúc Yên - tỉnh Vĩnh Phúc

1.2.4 Nội dung khảo sát

- Nhận thức của giáo viên về việc vận dụng lí thuyết tổ hợp trong dạyhọc giải toán

- Thực trạng dạy học vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giảicác bài toán ở tiểu học

- Những thuận lợi và khó khăn khi vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫnhọc sinh giải các bài toán ở tiểu học

Bảng 1.1: Bảng thống kê đánh giá của giáo viên về sự cần thiết của việc

vận dụng lí thuyết tổ hợp trong giải toán

Số lượng giáo viên Tỉ lệ %

tổ hợp rất trừu tượng so với học sinh và khó truyền đạt cho học sinh hiểu mộtcách dễ dàng.

b Nhận thức của giáo viên về vận dụng lí thuyết tổ hợp trong dạy học giảitoán

Bảng 1.2: Bảng thống kê nhận thức của giáo viên về việc vận dụng lí

thuyết

tổ hợp trong giải

toán Nội dung

Kết quả

Số lượng giáo viên

Tỉ lệ %

Sử dụng các phép suy luận để hướng dẫn học sinh

Nghiên cứu sự phân bố các phần tử vào các tập hợp

để hướng dẫn học sinh giải các bài toán 26 52%Vận dụng tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị để hướng dẫn

học sinh giải toán

Từ kết quả ở bảng trên cho thấy, 52% trong tổng số 50 giáo viên đượckhảo sát đều nhận thức được rằng vận dụng lí thuyết tổ hợp trong giải toán lànghiên cứu sự phân bố của các phần tử vào các tập hợp để hướng dẫn họcsinh giải các bài toán Bên cạnh đó, số lượng giáo viên hiểu sai về vận dụng líthuyết tổ hợp trong giải toán vẫn tồn tại và chiếm đến 40%

Qua đây cho thấy, không phải tất cả 100% giáo viên đều nhận thứcđược vấn đề vận dụng lí thuyết tổ hợp trong hướng dẫn học sinh giải toán, màvẫn có giáo viên hiểu sai về vấn đề này

1.2.5.2 Thực trạng dạy học vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải các bài toán ở Tiểu học

a Mức độ vận dụng lí thuyết tổ hợp hướng dẫn học sinh giải toán ở tiểu học