Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"
Trang 1Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN
Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí
Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc Hiểu Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4 Thực hiện bài tập lần 1
5 Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách
giải như vậy”
4 Thực hiện bài tập lần 2
5 Viết thu hoạch sáng tạo
Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận
được giải đáp
Trang 3Đ 7 v ị trí tơng đối của hai đờng tròn
bài giảng theo chơng trình chuẩn
1 ba vị trí tơng đối của Hai đờng tròn
Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 117 sgk): Ta gọi hai đờng tròn không trùng nhau là
hai đờng tròn phân biệt Vì sao hai đờng tròn phân biệt không thể
có quá hai điểm chung ?
Giải
Hai đờng tròn phân biệt không thể có quá hai điểm chung, bởi vì qua ba điểm thẳng hàng không thể có một đờng tròn, còn qua ba điểm không thẳng hàng chỉ có một đờng tròn duy nhất
Nh vậy, hai đờng tròn phân biệt chỉ có thể:
Có hai điểm chung
Có một điểm chung duy nhất
Không có điểm chung
Chú ý: Hai đờng tròn nếu có nhiều hơn hai điểm chung thì chúng trùng
nhau
a Hai đờng tròn có hai điểm chung
Cho hai đờng tròn (O; R) và (O’, r) với R > r và d = OO’ Trờng hợp này gọi là
hai đờng tròn cắt nhau, mỗi điểm chung gọi là một giao điểm.
Thí dụ 2: (HĐ 1/tr 120 sgk): Sử dụng bất đẳng thức tam
giác trong AOO' ta có:
OA – O'A < OO' < OA + O'A,
từ đó, suy ra điều kiện:
R – r < d < R + r
Nhận xét: Hai đờng tròn cắt nhau:
1 Có hai tiếp tuyến chung và chúng đồng quy
với đờng thẳng OO'
2 Nếu bài toán cần vẽ đờng phụ, ta thờng vẽ
thêm dây chung của chúng
Thí dụ 3: (HĐ 2.a/tr 118 sgk): Quan sát hình 85, chứng minh rằng OO' là
đ-ờng trung trực của AB
Giải
Gọi I là giao điểm của OO' và AB, ta có ngay:
OA = OB OAB cân tại O
OI là đờng trung trực AB
OO’ là đờng trung trực AB
Bài toán: Cho hai đờng tròn (O; R) và (O', r) với r < R cắt nhau tại A và B.
Hãy dựng tiếp tuyến chung của hai đờng tròn đó, biết OO' = d
Giải
Phân tích: Giả sử đã dựng đợc tiếp tuyến chung của hai
đờng tròn và M, M' theo thứ tự là tiếp điểm của tiếp
tuyến chung với (O; R) và (O', r) Gọi A là điểm đồng
quy của hai tiếp tuyến với OO', ta có:
AO
'
AO
=
OM
' M ' O
=
R
r
AO' = (AO' + O'O)
R r
O
O ' d
R
A r
O
O' A
M' M
N' N
O
O' A
O
O' B A I
Trang 4 AO' =
r R
rd
xác định đợc vị trí của điểm A
Khi đó:
Tiếp điểm M' là giao điểm của (O') và đờng tròn đờng kính AO'
Tiếp điểm M là giao điểm của đờng thẳng AM' và đờng tròn (O)
Cách dựng: Ta thực hiện:
Xác định điểm A trên tia OO' sao cho AO' =
r R
rd
Dựng đờng tròn đờng kính AO', đờng tròn này cắt (O') tại M'
Dựng đờng thẳng AM', đó chính là tiếp tuyến chung cần dựng
Chứng minh: Ta có ngay:
' O '
M
A = 900 AM' là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
Ngoài ra, ta cũng có:
AO
'
AO
=
O ' O ' AO
' AO
=
d r R rd r R rd
=
R
r
=
OM
' M ' O
OM // O'M' OM AM AM' là tiếp tuyến của đờng tròn (O')
Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình (tức là tồn tại hai tiếp tuyến chung của
(O) và (O'))
b Hai đờng tròn chỉ có một điểm chung
Cho hai đờng tròn (O; R) và (O’, r) với R > r và d = OO’ Trờng hợp này gọi là
hai đờng tròn tiếp xúc nhau, và điểm chung duy nhất đợc gọi là tiếp điểm
Ta có hai khả năng tiếp xúc:
Tiếp xúc ngoài Tiếp xúc trong
Thí dụ 4: (HĐ 2.b/tr 118 sgk): Quan sát hình 86, hãy dự đoán vị trí của
điểm A đối với đờng nối tâm OO'
Giải
Dễ thấy A thuộc đờng thẳng OO’
Nhận xét:
Hai đờng tiếp xúc ngoài với nhau có ba tiếp tuyến chung
Hai đờng tiếp xúc trong với nhau có một tiếp tuyến chung
Hai đờng tiếp xúc với nhau mà cần vẽ đờng phụ, ta thờng vẽ thêm tiếp tuyến chung của chúng
O
O' d
R A r
O
O'
d
A r
O
O' A M
O
O' A
Trang 5c Hai đờng tròn không có điểm chung
Cho hai đờng tròn (O; R) và (O’, r) với R > r và d = OO’ Trờng hợp này gọi là
hai đờng tròn không giao nhau.
Ta có hai khả năng:
Ngoài nhau Trong nhau
Chú ý:
a Hai đờng tròn phân biệt cùng tâm (d = 0) gọi là hai đờng tròn đồng
tâm
b Hai đờng tròn ngoài nhau có bốn tiếp tuyến chung, trong đó:
Có hai tiếp tuyến chung cắt đoạn OO'
Có hai tiếp tuyến chung không đoạn cắt OO'
c Hai đờng tròn ở trong nhau không có tiếp tuyến chung
2 tính chất đờng nối tâm
Tính chất 1: Đờng nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đờng tròn
Tính chất 2: Nếu hai đờng tròn cắt nhau thì dây cung
vuông góc với đờng nối tâm và bị đờng này chia làm hai phần bằng nhau
Cụ thể, theo hình vẽ ta có:
OO' AB và IA = IB
Tính chất 3: Nếu hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đờng nối
tâm
Cụ thể, theo hình vẽ sau ta có O, O', A thẳng hàng
Thí dụ 5: (HĐ 3/tr 119 sgk): Cho hình 88.
a Hãy xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn (O) và (O')
b Chứng minh rằng BC // OO' và ba điểm C, B, D thẳng hàng
Giải
a Từ hình vẽ ta thấy ngay (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B
b Gọi I là giao điểm của OO' với AB, ta lần lợt:
Trong ABC, ta có:
OI là đờng trung bình
OI // BC OO' // BC (1)
Trong ABD, ta có:
O'I là đờng trung bình O'I // BD OO' // BD (2)
O
O' d
R r
O
O'
d
A r
O
O '
A
B
I
O
O'
A
O
O' B A
O
O' I
B
A
C D
Trang 6Từ (1) và (2) suy ra ba điểm C, B, D thẳng hàng (vì cùng thuộc đờng thẳng qua
B song song với OO')
Nhận xét: Trong lời giải của ví dụ trên chúng ta đã tận dụng đầy đủ tính
chất của hai đờng tròn cắt nhau
3 tổng kết
Ta có bảng sau:
Vị trí tơng đối của hai đờng
tròn (O; R) và (O; r) (R r) Số điểmchung Hệ thức giữa OO'với R và r TtcSố Hai đờng tròn cắt nhau 2 R r < OO' < R + r 2 Hai đờng tròn tiếp xúc nhau:
Tiếp xúc trong
Tiếp xúc ngoài
1
OO' = R r > 0 OO' = R + r
1 3 Hai đờng tròn không giao nhau:
(O) chứa (O')
(O) ngoài nhau (O')
Đặc biệt (O) và (O') đồng tâm
0
OO' < R r OO' > R + r OO' = 0
0 4
Thí dụ 6: (Bài 40/tr 123 sgk): Đố: Trên các hình 99a, 99b, 99c, các bánh xe
tròn có răng ca đợc khớp với nhau Trên hình nào hệ thống bánh răng chuyển động đợc ? Trên hình nào hệ thống bánh răng không chuyển động đợc ?
Hớng dẫn:
Giải Sử dụng hình vẽ 99a, 99b, 99c/tr 123 Sgk
Ta thấy ngay:
Hệ thống bánh răng trong hình 99a chuyển động đợc
Hệ thống bánh răng trong hình 99b không chuyển động đợc
Hệ thống bánh răng trong hình 99c không chuyển động đợc
bài tập lần 1
Bài tập 1: Cho đờng (O) đờng kính AB Vẽ đờng tròn (B; BO), cắt đờng tròn
(O) ở C, D
a Xác định dạng tứ giác OCDB
b Xác định dạng tam giác ACD
Bài tập 2: Cho hai đờng tròn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt nhau tại A và B Tính
đoạn nối tâm OO’, biết rằng AB = 24cm
Bài tập 3: Chứng minh rằng nếu một đờng tròn đi qua một điểm bên trong và
một điểm bên ngoài một đờng tròn khác thì hai đờng tròn cắt nhau tại hai điểm
Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD Vẽ đờng tròn (D; DC) và đờng tròn đờng
kính BC, chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E Tia CE cắt AB tại M, tia BE cắt AD tại N Chứng minh rằng M là trung điểm của
AB, N là trung điểm của AD
Bài tập 5: Cho đờng tròn tâm O bán kính OA và đờng tròn đờng kính OA
a Hãy xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn
b Dây AD của đờng tròn lớn cắt đờng tròn nhỏ ở C Chứng minh rằng AC = CD
Trang 7Bài tập 6: Cho đờng tròn (O; OA), điểm I thuộc bán kính OA sao cho
1
3
Vẽ đờng tròn (I; IA)
a Xác định vị trí của các đờng tròn (O) và (I)
b Kẻ một đờng thẳng qua A, cắt các đờng tròn (I) và (O) theo thứ
tự ở B và C Tính tỉ số AB
AC.
Bài tập 7: Cho hai đờng tròn (O; R) và (O’, r) tiếp xúc với nhau tại A Vẽ một
cát tiếp qua A cắt hai đờng tròn tại B và C Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại B và C song song với nhau
Bài tập 8: Cho ba đờng tròn tâm O1, O2, O3 cùng có bán kính R và tiếp xúc
ngoài với nhau đôi một Tính diện tích tam giác có ba đỉnh là ba tiếp điểm
Bài tập 9: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng a không giao nhau Gọi H là hình
chiếu của O trên a Tia đối của tia OH cắt đờng tròn tại A Vẽ đờng thẳng b a tại điểm B trên đờng thẳng a Đoạn thẳng AB cắt đờng tròn tại C Tia OC cắt b tại I Chứng minh rằng đờng tròn (I; IB) tiếp xúc với đờng thẳng a và đờng tròn (O)
Bài tập 10: Cho hai đờng tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến
chung ngoài BC, B (O) , C (O') Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở I
a Chứng minh rằng BAC 90 0
b Tính số đo góc OIO'
c Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O'A = 4cm
Bài tập 11: Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở trên đờng tròn đó Vẽ đờng tròn
(I) đi qua O và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) tại A Qua A vẽ tiếp tuyến chung xy với hai đờng tròn Dây AC của đờng tròn (O) cắt đờng tròn (I) tại M Tia CO cắt đờng tròn tâm I tại N Đờng thẳng OM cắt
xy và tia AN lần lợt tại B và D Chứng minh rằng:
a MA = MC b Tứ giác ABCD là hình thoi
Bài tập 12: Cho hai đờng tròn (O; R) và (O’, r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A
Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B thuộc đờng tròn (O), C thuộc đờng tròn (O’)
a Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông
b Tính số đo góc OM O'
c Tính diện tích tứ giác BCO’O theo R và r
d Gọi I là trung điểm của OO’ Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng (I, IM)
Bài tập 13: Cho đoạn thẳng AB và một điểm M không trùng với A, B Vẽ các
ờng tròn (A, AM) và (B, BM) Hãy xác định vị trí tơng đối của hai đ-ờng tròn này, từ đó suy ra số tiếp tuyến chung của chúng
Bài tập 14: Cho đoạn thẳng AB cố định Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với AB tại
A, vẽ đờng tròn O’ tiếp xúc với AB tại B, hai đờng tròn này luôn luôn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và luôn tiếp xúc ngoài với nhau Tìm quỹ tích tiếp điểm M của hai đờng tròn
Bài tập 15: Cho hai đờng tròn đồng tâm O Dây AB của đờng tròn lớn cắt đờng
tròn nhỏ ở C và D Chứng minh rằng AC = BD
bài giảng nâng cao
Trang 8B phơng pháp giải toán
Ví dụ 1: Cho đờng (O) đờng kính AB Vẽ đờng tròn (B; BO), cắt đờng tròn
(O) ở C, D
a Xác định dạng tứ giác OCDB
b Xác định dạng tam giác ACD
Hớng dẫn: Với giả thiết, ta khẳng định đợc hai đờng
tròn là bằng nhau, từ đó:
Với câu a), ta nhận đợc một tứ giác với bốn cạnh bằng nhau nên
nó là hình thoi.
Với câu b), cần đi chứng minh ABC vuông bằng việc sử dụng tính chất đờng trung tuyến, tiếp đó tính đợc số đo góc BAC và DAC để dẫn tới khẳng định ACD đều.
Giải
a Ta có ngay:
OC = OD = OB và BC = BD = BO OC = CB = BD = DO
OCDB là hình thoi
b Trong ABC, ta có:
Trung tuyến CO và 1
2
ABC vuông tại C
BC =
2
1
AB BÂC = 300 CÂD = 600 ACD đều
Ví dụ 2: (Bài 34/tr 119 sgk): Cho hai đờng tròn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt
nhau tại A và B Tính đoạn nối tâm OO’, biết rằng AB = 24cm
Hớng dẫn: Xét hai trờng hợp: O và O' nằm khác phía đối với AB; O và O' nằm
cùng phía đối với AB Và sử dụng định lí Pytago cho các tam giác vuông tơng ứng, bởi:
OO’ = OI + IO’, với I là trung điểm của AB.
Giải
Gọi I là giao điểm của AB và OO' thì IA = IB = 12cm, xét hai trờng hợp:
Trờng hợp 1: Khi O và O' nằm khác phía đối với AB, ta lần lợt:
Trong OAI, ta có:
IO2 = OA2 IA2 = 202 122 = 256
IO = 16cm
Trong O'AI, ta có:
O'I2 = O'A2 IA2 = 152 122 = 81 IO = 9cm
Khi đó:
OO' = IO + IO' = 16 + 9 = 25cm
Trờng hợp 2: Khi O và O' nằm cùng phía đối với AB.
Độ dài IO và IO' đợc tính đúng nh trong trờng hợp 1
Khi đó:
OO' = IO IO' = 16 9 = 7cm
Chú ý: Bài toán ngợc là cho biết độ dài của OO’ và yêu cầu tính AB:
Bài 1: Cho hai đờng tròn (O 17cm) và (O’; 10cm) cắt nhau tại A
và B Biết OO’ = 21cm Tính AB
O
O' I A
O
O ' I
B A
O
O' I
B A
D
B A
C H O
Trang 9 Giải
Gọi I là giao điểm của AB và OO', suy ra:
AB = 2AI và AI OO'
Trong OAO', ta có:
SOAO' = p(p a)(p b)(p c) = 1
2AI.OO'
AI = 2 p(p a)(p b)(p c)
OO'
21 = 8cm.
Vậy, ta đợc AB = 16cm
Bài 2: Hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tai A và B, trong đó OA là
tiếp tuyến của đờng tròn (O’) Tính dây cung AB biết OA = 20cm, O’A = 15cm
Giải
Gọi I là trung điểm của AB, suy ra:
AB = 2AI và AI OO'
Trong OAO' vuông tại A, ta có:
SOAO' = 1
2OA.O'A =
1
2AI.OO' =
1
2AI.
OA O'A
AI = OA.O'A2 2
OA O'A = 20.152 2
20 15 = 12cm
Vậy, ta đợc AB = 24cm
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu một đờng tròn đi qua một điểm bên trong và
một điểm bên ngoài một đờng tròn khác thì hai đờng tròn cắt nhau tại hai điểm
Hớng dẫn: Sử dụng các kiến thức:
Vị trí tơng đối của một điểm với đờng tròn.
Hệ thức liên hệ giữa các cạnh của tam giác.
Để từ đó nhận đợc bất đẳng thức |R r| < OO' < R + r
Giải
Giả sử đờng (O) đi qua A và B, trong đó A ở bên ngoài (O’), B ở bên trong (O’) Gọi R, r theo thứ tự là bán kính của các đờng tròn (O), (O’)
Ta có:
OA = OB = R, O’A > r và O’B < r
Xét OO’B ta có:
OO’ OB + O’B < R + r (1)
Nếu R r thì trong OO’B, ta có:
OO’ OB – O’B > R – r (2)
Nếu r R thì trong OO’A, ta có:
OO’ O’A – OA > r – R (3)
Từ đó ta đợc:
R r < OO' < R + r Hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau
Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD Vẽ đờng tròn (D; DC) và đờng tròn đờng
kính BC, chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E Tia CE cắt AB tại M, tia BE cắt AD tại N Chứng minh rằng M là trung điểm của
AB, N là trung điểm của AD
O
O' d R B A
O
O' I
B A
Trang 10 Hớng dẫn: Trớc tiên, các em cần đọc kĩ đầu bài để thực hiện đúng việc vẽ hình.
Tiếp theo, ta sử dụng suy luận ngợc:
M là trung điểm AB
1
2
2
= CI, I là trung điểm BC
CDI = BCM, điều này đúng theo g.c.g.
Nh vậy, chỉ cần trình bày theo chiều ngợc lại ta có đợc lời giải trong việc chứng minh M là trung điểm của AB Tơng tự ta có cách chứng minh N là trung điểm của AD.
Giải
Gọi I là trung điểm của BC
Xét hai tam giác vuông CDI và BCM, ta có:
CD = BC, vì hai cạnh hình vuông
CDI = BCM, góc có cạnh tơng ứng vuông góc
do đó:
CDI = BCM (cạnh góc vuông và góc nhọn)
BM = CI = 1
2BC =
1
2AB M là trung điểm AB.
Chứng minh tơng tự, ta cũng có:
ABN = BCM (cạnh góc vuông và góc nhọn)
AN = BM = 1
2AD N là trung điểm AD.
Chú ý: Ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ việc sử dụng tính chất của hai đờng tròn
tiếp xúc với nhau
Ví dụ 5: (Bài 36/tr 123 sgk): Cho đờng tròn tâm O bán kính OA và đờng tròn
đờng kính OA
a Hãy xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn
b Dây AD của đờng tròn lớn cắt đờng tròn nhỏ ở C Chứng minh rằng AC = CD
Hớng dẫn: Sử dụng tính chất của hai đờng tròn tiếp xúc
với nhau.
Giải
a Gọi O' là trung điểm của OA, nhận xét rằng:
OO' = OA O'A = R r
Hai đờng tròn tiếp xúc trong với nhau
b Trong OAD, ta có:
O'C
OD =
r
R =
O'A
OA O'C // OD O'C là đờng trung bình
C là trung điểm AD AC = CD
Ví dụ 6: Cho đờng tròn (O; OA), điểm I thuộc bán kính OA sao cho
1
3
Vẽ đờng tròn (I; IA)
a Xác định vị trí của các đờng tròn (O) và (I)
O
O' A
D C
D
M
B
A
C
N E I
