(Hình học 9 - Chường II: Đường tròn) Bài giảng: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách

giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận

được giải đáp

Đ 6 t ính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau

Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 113  sgk): Cho hình 79, trong đó AB, AC theo thứ tự là

các tiếp tuyến tại B, tại C của đờng tròn (O) Hãy kể tên một vài

đoạn thẳng bằng nhau, một vài góc bằng nhau trong hình

 Giải

Từ hình vẽ ta nhận thấy:

OA = OB = R

AB = AB bởi OAB = OAC

(cạnh huyền và cạnh góc vuông)

ABO ACO 90   BOA COA. BAO CAO. 

Ta có kết quả:

Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì:

 Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

 Tia kẻ từ giao điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

 Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính

đi qua các tiếp điểm.

Nh vậy:

AB và AB' là hai tiếp tuyến của (O)

AB AB'

OAB OAB'

AOB AOB'













Thí dụ 2: (HĐ 2/tr 114  sgk): Hãy nêu cách tìm tâm của một miếng gỗ hình

tròn bằng "Thớc phân giác"  Hình vẽ trong khung ở đầu bài học

6/tr 113  Sgk

 Giải  Sử dụng hình vẽ tr 113  Sgk

Giả sử đờng phân giác cắt đờng tròn tại hai điểm A và B Khi đó, trung điểm O của AB là tâm của đờng tròn

2 Đờng tròn nội tiếp tam giác

Thí dụ 3: (HĐ 3/tr 114  sgk): Cho ABC Gọi I là giao điểm của các đờng

phân giác các góc trong của tam giác; D, E, F theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ I đến các cạnh BC, CA, AB (h.80) Chứng minh rằng ba điểm D, E, F nằm trên cùng một đờng tròn tâm I

 Giải  Sử dụng hình vẽ 80/tr 114  Sgk

3

O

B' A

B

O

C A

B

Sử dụng tính chất đờng phân giác, ta có ngay:

ID = IE  Vì I thuộc phân giác góc C,

IE = IF  Vì I thuộc phân giác góc A

suy ra ID = IE = IF, tức ba điểm D, E, F nằm trên cùng một đờng tròn tâm I

Định nghĩa : Đờng tròn nội tiếp tam giác là đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của

tam giác.

Khi đó:

1 Tam giác đó gọi là tam giác ngoại tiếp đờng tròn

2 Tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của

ba đờng phân giác của tam giác (trong thực tế ta chỉ

cần lấy giao điểm của hai đờng phân giác bởi trong một

tam giác ba đờng phân giác đồng qui)

Thí dụ 4: (Bài 32/tr 116  Sgk): Cho ABC đều, ngoại tiếp đờng tròn bán kính

1cm Tính diện tích của ABC

 Giải

Gọi a là độ dài cạnh của ABC, khi đó:

3

2 ABC

a 3 S

4

  2 32 3 2

3 3cm 4

 Nhận xét: Thông qua thí dụ trên các em học sinh cần ghi nhận công thức

tính bán kính đờng tròn nội tiếp một tam giác đều khi biết độ dài cạnh của tam giác và ngợc lại

3 đờng tròn bàng tiếp tam giác

Thí dụ 5: (HĐ 4/tr 115  sgk): Cho ABC Gọi K là giao điểm các đờng phân

giác của hai góc ngoài B và C; D, E, F theo thứ tự là chân các đờng

vuông góc kẻ từ K đến các đờng thẳng BC, CA, AB (h.81) Chứng

minh rằng ba điểm D, E, F nằm trên cùng một đờng tròn tâm I

 Giải  Sử dụng hình vẽ 81/tr 115  Sgk

Sử dụng tính chất đờng phân giác, ta có ngay:

KD = KE  Vì I thuộc phân giác góc ngoài C,

KE = KF  Vì I thuộc phân giác góc ngoài B

suy ra KD = KE = KF, tức ba điểm D, E, F nằm trên cùng một đờng tròn tâm K

Định nghĩa : Đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và các phần kéo dài của

hai cạnh kia gọi là đờng tròn bàng tiếp của tam giác.

Tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác trong góc

A là giao điểm của hai đờng phân giác các góc

ngoài tại B và C hoặc là giao điểm của một đờng

phân giác góc A với đờng phân giác ngoài tại B

(hoặc C)

Với một tam giác tồn tại ba đờng tròn bàng tiếp

A

O1

O

3

C

A

B O

C

A

B O

M

bài tập lần 1

Bài tập 1: Cho góc xAy khác góc bẹt Tâm của các đờng tròn tiếp xúc với hai

cạnh của góc xAy thuộc đờng nào ?

Bài tập 2: Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuôc tia Ax Dựng đờng tròn (O)

tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay

Bài tập 3: Cho đờng tròn (O), A là điểm cố định trên (O), còn B là điểm di

động trên (O) Các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C Tìm tập hợp tâm đờng tròn nội tiếp ABC

Bài tập 4: Trên hinhg 82, ABC ngoại tiếp đờng tròn (O)

a Chứng minh rằng 2AD = AB + AC  BC

b Tìm các hệ thức tơng tự nh hệ thức ở câu a)

Bài tập 5: Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với

đờng tròn (B, C là các tiếp điểm) Qua M thuộc cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến với đờng tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB

Bài tập 6: Cho đờng tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đờng tròn (O) Kẻ các

tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm)

a Chứng minh rằng OA vuông góc với BC

b Vẽ đờng kính CD Chứng minh rằng BD song song với AO

c Tính độ dài các cạnh ABC, biết OB = 2cm, OA = 4cm

Bài tập 7: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB (đờng kính của một đờng

tròn chia đờng tròn đó thành hai nửa đờng tròn) Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, Ay và nửa đờng tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua một điểm M thuộc nửa đờng tròn (M khác

A và B), kẻ tiếp tuyến với đờng tròn, nó cắt Ax và By lần lợt ở C và

D Chứng minh rằng:

c Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đờng tròn

Bài tập 8: Cho ABC, biết BC = 6 Lấy E, F theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho

EF song song với BC và tiếp xúc với đờng tròn nội tiếp ABC Tính chu ABC, biết EF = 2cm

Bài tập 9: Cho ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm Đờng tròn (I) nội

tiếp ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự ở D, E

a Tính BIC

b Tính diện tích tứ giác ADIE

Bài tập 10: Cho ABC có độ dài ba cạnh a, b, c và diện tích bằng S Đờng tròn

nội tiếp ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại A1,

B1, C1 Giả sử A1B1C1 có độ dài ba cạnh tơng ứng là a1, b1, c1 Chứng minh rằng

a

a1 + b

b1 = 2(sin

2

A

+ sin

2

B

).sin

2

C

bài giảng nâng cao

A Tóm tắt lí thuyết

Với hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm, ta có kết quả "Nếu hai tiếp tuyến của một đờng

tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao

điểm đó qua tâm của đờng tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến "

Nh vậy:

5 O

B' A

B

AB và AB' là hai tiếp tuyến của (O)













' B A O B A O

' AB AB





4 Đờng tròn nội tiếp tam giác

Định nghĩa : Đờng tròn nội tiếp tam giác là đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của

tam giác.

Khi đó:

1 Tam giác đó gọi là tam giác ngoại tiếp đờng tròn

2 Tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của

ba đờng phân giác của tam giác (trong thực tế ta chỉ cần

lấy giao điểm của hai đờng phân giác bởi trong một tam

giác ba đờng phân giác đồng qui)

5 đờng tròn bàng tiếp tam giác

Định nghĩa : Đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và các phần kéo dài của

hai cạnh kia gọi là đờng tròn bàng tiếp của tam giác.

Nh vậy, với ABC tồn tại ba đờng tròn bàng

tiếp và tâm của một đờng tròn bàng tiếp là giao

điểm của một đờng phân giác trong với hai phân

giác ngoài

B phơng pháp giải toán

Ví dụ 2: (Bài 28/tr 116  Sgk): Cho góc xAy khác góc bẹt Tâm của các đờng

tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy thuộc đờng nào ?

 Hớng dẫn: Sử dụng kết quả về tia phân giác của "Định lí về hai tiếp tuyến cắt

nhau".

 Giải

Tâm O của các đờng tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy thuộc tia phân giác

At của góc xAy

Ví dụ 3: (Bài 29/tr 116  Sgk): Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuôc tia Ax

Dựng đờng tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay

 Hớng dẫn

Tâm O là giao điểm của đờng thẳng d (d qua B và vuông

góc với Ax) với tia phân giác At của góc xAy

Ví dụ 4: Cho đờng tròn (O), A là điểm cố định trên (O), còn B là điểm di

động trên (O) Các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C Tìm

tập hợp tâm đờng tròn nội tiếp ABC

 Hớng dẫn: Sử dụng kết quả "Với I là giao điểm của OC và (O) thì AI là tia phân

giác của góc A".

 Giải

Gọi I là giao điểm của OC với (O), ta có ngay AI là

phân giác góc A, từ đó suy ra I là tâm đờng tròn nội

tiếp ABC

Vậy tập hợp tâm I thuộc đờng tròn (O), ngoại trừ

ba điểm A, A1, A2, trong đó A1A2 là đờng kính vuông

góc với OA

Ví dụ 5: (Bài 31/tr 116  Sgk): Trên hinhg 82, ABC ngoại tiếp đờng tròn (O)

B

A

O

y x

B

C I

A

O

A

O

1

C

A

B O

a Chứng minh rằng 2AD = AB + AC  BC.

b Tìm các hệ thức tơng tự nh hệ thức ở câu a)

 Hớng dẫn: Sử dụng kết quả của "Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau".

 Giải

a Sử dụng kết quả của "Định lí về hai tiếp tuyến

cắt nhau", ta có:

AD = AF; BD = BE; CE = CF

Khi đó:

AB AD BD

AC AF CF







 AB + AC = AD + AF + BD + CF

= AD + AD + BE + CE = 2AD + BC

 2AD = AB + AC  BC, đpcm

b Các hệ thức tơng tự nh hệ thức ở câu a) là:

2AF = AB + AC  BC,

2BD = BA + BC  AC, 2BE = BA + BC  AC,

2CF = CA + CB  AB, 2CE = CA + CB  AB

Ví dụ 6: (Bài 27/tr 115  Sgk): Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O) kẻ các

tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm) Qua M thuộc cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến với đờng tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB

 Hớng dẫn: Sử dụng kết quả của "Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau".

 Giải

a Sử dụng kết quả của "Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau", ta có:

AB = AC, DB = DM, EC = EM

Khi đó:

CVADE = AD + AE + DE

= AD + AE + (DM + ME) = AD + AE + (DB + EC) = (AD + DB) + (AE + EC)= AB + AC = 2AB

 Nhận xét: Cũng với giả thiết nh ví dụ trên ngời ta phát triển thành

Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O, R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Trên cung nhỏ BC lấy một điểm D Tiếp tuyến tại D của đ-ờng tròn cắt AB tại M, cắt AC tại N Cho biết dạng của ABC và tính chu

vi của AMN trong các trờng hợp sau:

a OA = 2R b OA R 2

 Giải

Ta đã biết kết quả CVAMN = 2AB

Để xác định dạng của ABC (cân tại A), ta xét:

sinOÂB = OB

OA.

a Với OA = 2R, ta đợc:

7

C

A

B

O E

F D

O

C A

B D

E

M

O

C A

B M

N

I

sinOÂB = R

2R =

1

2  OÂB = 30

0

 CÂB = 600  ABC đều

Khi đó:

CVAMN = 2AB = 2 OA2 OB2 = 2 4R2 R2 = 2R 3

b Với OA = R 2, ta đợc:

sinOÂB = R

2R =

1

2  OÂB = 45

0  CÂB = 900

 ABC vuông cân tại A

Khi đó:

CVAMN = 2AB = 2 OA2 OB2 = 2 2R2 R2 = 2R

Ví dụ 7: (Bài 26/tr 115  Sgk): Cho đờng tròn (O), điểm A nằm bên ngoài

đ-ờng tròn (O) Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đđ-ờng tròn (B, C là các

tiếp điểm)

a Chứng minh rằng OA vuông góc với BC

b Vẽ đờng kính CD Chứng minh rằng BD song song với AO

c Tính độ dài các cạnh ABC, biết OB = 2cm, OA = 4cm

 Hớng dẫn: Ta lần lợt:

 Với câu a), sử dụng kết quả về tia phân giác của "Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau".

hợp với việc chứng minh đợc BD  BC.

giác vuông.

 Giải

a Gọi I là giao điểm của OA và BC

Trong ABC, ta có:

AB = AC  Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

 ABC cân tại A

Do đó phân giác AI của góc A (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) cũng là đ

-ờng cao, tức là:

b Trong BCD, ta có:

OB = OC = OD OB 1CD

2

   BCD vuông tại B (tính chất trung tuyến)

Từ (1) và (2) suy ra OA song song với BD

c Trong OAB vuông tại B, ta có:

AC = AB OA2 OB2  42 22 2 3cm

2 2 2

BI BA BO 12 4 3  BI 3cm  BC = 2BI 2 3cm.

O C A

I

Ví dụ 8: (Bài 30/tr 116  Sgk): Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB

(đ-ờng kính của một đ(đ-ờng tròn chia đ(đ-ờng tròn đó thành hai nửa đ(đ-ờng tròn) Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, Ay và nửa đờng tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua một điểm M thuộc nửa đờng tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với đờng tròn,

nó cắt Ax và By lần lợt ở C và D Chứng minh rằng:

c Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đờng tròn

 Hớng dẫn: Ta lần lợt:

 Với câu a), sử dụng kết quả về tia phân giác của "Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau".

 Với câu b), sử dụng kết quả về độ dài của "Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau".

công thức hình chiếu và công thức tính đờng cao ứng với cạnh huyền trong một tam giác vuông ta sẽ nhận đợc giá trị không đổi

là

2

AB 4

 Giải

a Trong COD, ta có:

COD COM DOM  COA DOB 

2COD COA DOB COD

    = 1800  COD 90   0

b Ta lần lợt:

 CA và CM là hai tiếp tuyến cắt nhau của đờng tròn nên CA = CM

 DB và DM là hai tiếp tuyến cắt nhau của đờng tròn nên DB = DM

Cộng theo vế hai đẳng thức trên, ta đợc:

AC + BD = CM + DM = CD, đpcm

c Ta có ngay:

2

CM.CD DM.CD CD



2 2

2 2

OC OD



 = OM2

2

AB 4

 Vậy, tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đờng tròn

Ví dụ 9: Cho ABC, biết BC = 6 Lấy E, F theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho

EF song song với BC và tiếp xúc với đờng tròn nội tiếp ABC Tính chu ABC, biết EF = 2cm

 Hớng dẫn: Sử dụng sự đồng dạng của hai tam giác AEF và ABC kết hợp với kết

quả của "Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau".

 Giải

Ta có hai AEF và ABC đồng dạng, do đó:

BC

EF

=

AB

AE

Ta có:

























NC AM PC

AP AC

b

NB AM MB

AM AB

c

 b + c = 2AM + BC = 2AM + 6

9 A

F P

E M

N Q

O

y

 AM = AP =

2

1

(b + ca) = pa (2)























FQ AF FP AF AP AM

EQ AE EM AE AM

 2AM = AE + AF + EF

Thay (2), (3) vào (1), ta đợc

6

2

=

p

6

p 

 p = 9cm

Vậy chu vi của ABC bằng 18cm

Ví dụ 10: Cho ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm Đờng tròn (I) nội

tiếp ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự ở D, E

a Tính BIC

b Tính diện tích tứ giác ADIE

 Hớng dẫn: Ta lần lợt:

 Với câu a), sử dụng số đo tổng ba góc trong một tam giác kết hợp với kết quả của "Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau".

 Với câu b), cần đi chứng minh S ADIE = ID 2

 Giải

a Trong IBC, ta có:

C

I

B = 1800 – (IBCICˆB) = 1800 –

2

1 (BˆCˆ) = 1800 –

2

1 900

= 1350

b Gọi r là bán kính đờng tròn nội tiếp ABC

Xét tứ giác ADIE, ta có:

 = Dˆ = Ê = 900 và ID = IE = r  ADIE là hình vuông

do đó SADIE = ID2 = r2

Trong ABC, ta có:

SABC =

2

1 AB.AC =

2

1 p.r = 2

1 (AB + AC + BC).r

 r =

2 2

AC AB AC AB

AC AB





2

2 8 6 8 6

8 6





Vậy, ta đợc SADIE = 22 = 4cm2

Ví dụ 11: Cho ABC có độ dài ba cạnh a, b, c và diện tích bằng S Đờng tròn

nội tiếp ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại A1,

B1, C1 Giả sử A1B1C1 có độ dài ba cạnh tơng ứng là a1, b1, c1 Chứng minh rằng

a

a1 + b

b1 = 2(sin

2

A

+ sin

2

B

).sin

2

C

 Giải

Trong A1B1C1 ta có:

a1 = B1C1 = 2r.sinA1 = 2r.sin

2

C I

B1 1

= 2r.sin

2

A





= 2r.cos

2

A

,

tơng tự, ta đợc b1 = 2r.cos

2

B

Trong BICta có:

10

A

C1 I

B1

C B

A

I